《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点9：证明面面垂直的方法综合专练（教师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点9：证明面面垂直的方法综合专练（教师版）.pdf（36页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点9：证明面面垂直的方法综合专练（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知小，/为三条不同的直线，a,夕，y为三个不同的平面，有以下结论：若 m 上 /,_!_/,则加“若 a _ L?,则 a/?若机a,mLn,贝！J_ L c 若z _ L a,mVn,则 /a若m V n,m a,秣，B ,则a /?若Il l a,l 上0,则a J 夕其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】B【思路点拨】根据空间中直线与平面，平面与平面之间的平行与垂直关系借助举特例判断或推理判断正误即可.【步步为营】对于，长方体中，一侧棱所在直线为/，同一底面的一组邻边所在直线分
2、别为机，显然有机J_/,n il,而机与相交，不正确；对于，直三棱柱的相邻两个侧面分别为a ,夕，底面为7,显然a J九 g,而a与夕相交，不正确；对于，因，W/a,过，作平面y e a =b,在a内作直线”_ L b,显然加/花,则帆_ L，即满足条件的直线”可以在a内，不正确；对于，因加-L a ,在a内任作一直线n,则有切_ L，即满足条件的直线”可以在a内，不正确；对于，在直线”上取一点，过该点作直线加/?，因7_ 1，则W _ L，直线加，确定平面5,而 ，尸，则平面5与平面夕必相交，令5与4的交线为a,即有a _ L，因此，“/?，而加_ L a ,于是得a _ L a,又a u
3、/7,所以正确；对于，因/a,过/作平面u c a =，则/，而于是得/，/，所以a _ L/,正确，所以正确结论的个数是2.故选：B2.如图，四边形ABC。为正方形，PZ 平 面 ABC。，PD/QA,QA=AB=P D,则平面PQC与平面。CQ的位置关系为()A.平行 B.相交 C.相交但不垂直 D.位置关系不确定【正确答案】B【思路点拨】证明尸 ,AD,。两两垂直，建立如图所示的空间宜角坐标系，求出各点的坐标，证明D Q P Q =O,D C P Q =O,可得PQJ_QQ,P Q 1 D C ,再利用线面垂直的判定定理以及面面垂宜的判定定理即可求证.【步步为营】因 为 叨 _L平面AB
4、C。，A D u面ABC。，C)u 面 ABC),所以P)_L0C,PD DA因为四边形ABC。为正方形，所以Q C _L D 4,即 2 A。,CD两两垂直，如图，以。为原点建立空间直角坐标系，设QA=1,则。(0,0,0),C(0,0,l),0(1,1,0),P(0,2,0),丽=(1,1,0),DC=(0,0,1),旦=(1,-1,0)可 得 丽 而=lxl+lx(-l)+Ox()=(),D C PQ =O,所以 PQ J.O Q,P Q 1D C,因为。Q cD C =。，所以产。，平面。C。，又因为P Q u 平面PQC,所以平面PQC，平面QCQ.所以选项ACD都不正确，故选：B.
5、3.设 m,n 为两个不同的直线,a,p为两个不同的平面,则下列说法中不正确的是()A.若，“”，np,w iua,则 a_L0B.当m与a 平行时，若，与不平行，则 与a不平行C.若 aJ_g 点 P G a,点 PGa,a p,则“uaD.若,u|$,ab，则 ia【正确答案】B【思路点拨】由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断A；由面面平行的性质定理可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D.【步步为营】对于A,由加 小 n p,可得加_1_仇又m u a,则 a_L3,故 A 正确；对于B,过小、作平面仇 使得a p,则。内的任一条直线都与a 平行，故
6、 B 错误;对于C,若 a J _ 0,点 P G a,点PGa,p,由面面垂直的性质定理可得a u a,故 C正确；对于D,若7Up,a/p,由面面平行的性质定理可得?a,故 D 正确.故选：B4.如图，在棱长为I的正方体ABCD-AEGA中，点P为线段AG上的动点，则下列说法不正确的是()A.BDA.CPC.平面PAC JL平面80cl【正确答案】D【思路点拨】B.三棱锥C-BPD的体积为定值D.BP+OP的最小值为石由题意易证BOL平面ACCH,由此进而可判断AC；由等积法可判断B；等边BAG与等边OAG展开到一个平面上，由B,P,D三点共线时可判断D【步步为营】对于A：连接A C,在正
7、方体中易知：BD1AC,BO_LAA，ACQAA=A,所以8 0,平面4CA,又因为C Pu平面ACG A-所以BD_LCP,故A正确；对于B：由等体积得匕一 即”=V,.BCD=1.S.BCD.A A u g x g x lx lx g 为定值，故B正确;对于C：由801.平面ACGA,得由BO_L平面PAC,乂因为8u平面8。加，所以平面平面故C正确；对 于D：将等边 阴G与等边OAG展开到一个平面匕可知当8,P,。三点共线时，BP+DP有最小值，最小值为21（可-图=2 4=遥,故D不正确.故选：D.5.如 图，已知三棱柱A B C-A B C 的底面ABC为正三角形，侧棱AA垂直于底面
8、A3C,。为 AC中点，则下列判断不正确的是（）BA.G。与 8片是异面直线 B.BD14C,C.面 面 AGC D.AB,面 B D Q【正确答案】D【思路点拨】根据异面直线的定义结合三棱柱A 8 C-4 4 G 的性质即可判断A；证明8。J_平面4C G A，根据线面垂直的性质即可判断B；由平面ACGA,利用面面垂直的判定定理即可判断C；由ABC平面BOG=8,A 8/A 4，即可得4 片与面BG不平行，从而判断D.【步步为营】解：对于A,在三棱柱A B C-A BG 中，BBJ /C C、,CC|U 平面 ACGA，所以 B B J/平面 ACGA，又C C C C D=G，所以G。与8
9、瓦是异面直线，故 A 正确;对 于 B,因为AA垂直于底面ABC,Q u 平面ABC,所以4 A，B。，又因AABC为正三角形，且。为4 c 中点，所以8O_LAC,又A c n c G=c,所以B。！平面 ACGA，又A G u A C C/,所以8O_LAC1,故 B 正确；对于C,因 为 平 面 ACG4,8D U 平面8D G，所以面8G，面44,C C，故 C 正确；对于D,因为A B c平面8Z）C 1=8,所以A 8与面8G不平行，又A 8/A 4,所以A 4 与面8Q G 不平行，故 D 错误.故选：D.6.如图，点 P 在正方体ABCO-ABCQI的面对角线8 G 上运动，则
10、下列结论一定成立的 是（）A.三棱锥A-A?。的体积大小与点尸的位置有关B.A f 与平面ACA相交c.平面A平面A8GD.APDtC【正确答案】c【思路点拨】由匕一卡。=匕 一乂,结合正方体ABC。-A百G R 的性质，可得判定A 不成立；由线面平行的判定定理，分别证得BG/平面ACD,和 BA/平面ACD,得到平面BA,C,/平面A C ,可判断B 不成立；根据线面垂直的判定定理，证得BQ_L平而A G，得到平面PDB,人平面ABC、,可判定C 成立;根据当8 与P重合时，得至U AP与 R C 的夹角为J，可判定D不成立.【步步为营】对于A中，由匕 ”=匕 ,。，在正方体A B C D-
11、A B C Q中,可得BG 平面A4,。，所以尸到 平 面 的 距 离 不 变，即三棱锥尸-的。的高不变，又由 明。的面积不变，因此三棱锥P-44。的体积不变，即三棱锥A-AP。的休积与点尸的位置无关，故A不成立.对于B中，由于8G/A。，4。3平面4(7。，BC,(Z平面4C。，所以BG 平面A C Dt,同理可证BAJ1平面4C。，又由BACIBCLB,所以平面BAG/平面ACR,因为A/u平面BAC，所以AP平面AC。，所以B不成立.对于c 中，因为AG BO,BDCBB、=B,所以AG J平面B B Q,则A G，4。，同理AB_L瓦o,又因为AGnAB=A，所以瓦。，平而ABG.又由
12、BQu 平面尸。瓦，所以平面P Z*八平面ABG，所以C成立.IT对于D中，当8与P重合时，可得A P与R C的夹角为:，所以D不成立.故选：C.7.如图，点P在正方体A88-A4G。的面对角线8c上运动，则下列结论中不一定正确的是（）.A.OP/平面4月。B.平面A C P，平面尸8。C.三 棱 锥 的 体 积 不 变D.A-B2【正确答案】D【思路点拨】根据面面平行的判定及性质定理，可判断A的正误；根据面面垂直的判定定理，可判断B的正误；根据等体积法，可判断C的正误；根据线面垂直的判定、性质定理，结合反证法，可判断D的正误，即可得答案.【步步为营】对于A：连接。B,）G，QP,因为正方体A
13、 B C D-A B C 9，所以O G/44，D B /D M,且。u 平面D B C ,4母乌耳u 平面4）出，所以平面。8C/平面4。妫，因为。P u平面D B G ,所以。P平面故A正确;对于B：连接A C,则AC_LB),乂0_L平面ABCD,所以AA LBO,所以8。_L平面44。，所以 B_LAC,同理可得8G A A。，又 P B C 则 8 P，AC,所以A|C _L平面BDP,因为A C u 平面ACP,所以平面A C P,平面P S D,故 B 正确;对于C：因为B C|/A。，AR u 平面A。用，8 6 吠平面4。与，所以B C /平面4。百，所以P 到平面ADB的距
14、离不变，所以三棱锥P-ARB1体积不变，即三棱锥A-P 耳。的体积不变，故 C 正确;对于D：连接A G，耳R,因为正方体A 8C D-A B CR,所以A G 工B Q、,BBt 1 平面A A G R，所以3用_LAG，所以4 1 平面DBBt,则AG 1 BQ,假设A P，B R ,则BD、L 平面A P G，所以8 2，P C-这显然不成立，假设错误，故 D 错误,故选：D8.设小、是不同的直线，a.4、/是不同的平面，有以下四个命题：。，九 4,则 a B 若 a，0 ,m H a ,贝！若 m l l n,u a,则 m l I a；若 m V a,ni l Ip,则a_LQ.其中
15、假命题的序号是（）A.B.C.D.【正确答案】C【思路点拨】根据面面位置关系可判断；举反例判断；根据线面位置关系可判断；根据线面平行的性质定理以及面面垂直的判定定理可判断，进而可得正确答案.【步步为营】对于：1Z（/7 Z,则a 分或a 和夕相交，故是假命题；对于：在正方体A B C D-A 4G R 中，平面A。同 为平面a,平面A B Q P 为平面夕，直线BC为?，满足m H a,但相夕：故是假命题；对于：若，/，“u a,则机a 或帆u a,故是假命题；对于:因为机夕，过，作平面与夕相交则交线与?平行,且交线在夕内，因为,则交线与a 垂直，由面面垂直的判定定理可得a，尸，故是真命题，所
16、以假命题有，故选：c.9.如图，已知正方体ABC。-A 4 G 的棱长为1,点 E为 8月上一动点，现有以下四个结论：面A G E,面 A E 面C D D ；当E为 四 的 中 点 时，AA E Q的周长取得最小值；三棱锥A-A E C 的体积是定值，其中正确的结论个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】D【思路点拨】证得A，平面A8。，根据平面与平面垂直判定，可知正确；由平面AA BBJ/平面CDG，根据平面与平面平行的性质可知正确；根据三点共线，线段和最小，可得正确；由三棱锥等体积法可求得匕T E C,=:，可知错误.连接与，因为正方体A B C O-ABCQ,所以M G，平
17、面A A B Q,且A/U平面4/B与，所以又因为A 4，AB，且 4 用CBC=4,所以A B J.平面AS,AC,c=平面 A 8 ,所以 AB _L 4 c l,同理 B）_L 4 c l,且 ABcBD=B,所以 AQ 1平面A B O,且 4G u 平面A C ,所以平面AGE，平面AB。，故正确；因为平面/平面CDDC,且 A E u平面AABg,所以AE面CDAG,故正确；的周长等于A E+E G+A ,而AG为体对角线是定值，所以周长最小即为4 E+E G最小，将平面B C C蜴展开到平面A 8 B M在同一个平面，如图:图2B.8 c L 平面尸0 cD.P B 2 A N当
18、A,E，G三点共线时，A E +EG最小，则E为B片的中点时，故正确；k网=%3=；x l x g x l x l=W 故正确.故选：D.1 0.如 图 1,已知R1BC是直角梯形，AB/PC,A B r B C,。在线段尸C 上，A D L P C.将力。沿 4。折起，使平面B1OJL平面48C。，连接尸8,P C,设尸8 的中点为N,如图 2.对于图2,下列选项错误的是(p _ D _c 1A 图1A.平面平面P8CC.P D L A C【正确答案】A【思路点拨】由 已 知 利 用平面与平面垂直的性质得到平面4 8 C D,判定C正确；进一步得到平面PC D _ L平面A B C D,结合
19、BCA.CD判 定B正确；再 证 明 平 面B 4 Z),得到力3为直角三角形，判定D正确；可证明平面P B C，平面P D C,若平面MB上平面P B C,则平面P AB与平面P D C的交线，平面P8 C,矛盾，可判断A【步步为营】图1中A D P C,则图2中PDLAD,又；平面处。J _平面A B C D,平面B 4 OC平面4 8 C Z)=A D,.PO_ L平面4 8 C ),贝IJ PO_ L A C,故选项C正确；由平面ABCD,PDu平面P D C,得平面PDC_L平面ABCD,而平面 POCC平面 A8CO=CD,8C u平面 A8CD,BCLCD,.BCL平面P Q C
20、,故选项B 正确；,CABA.AD,Tffi B 4D A B C D,且平面 B4OCI平面 A2C）=AO,平面以O,贝即 是以尸8 为斜边的直角三角形,而 N 为 P 8 的中点，则 P B=2 4 V,故选项D 正确.由于8 c _L平面P O C,又 B C u平面PBC平面P8C_L平面P DC若平面以8，平面P B C,则平面PA B与平面P D C的交线_L平面PBC由于A8平面P D C,则平面以8 与平面PDC的交线 A8显然AB不与平面P8C 垂直，故 A 错误故选：A二、填空题1 1.如图，在 QABCD 中，AB=B D=D C =1,A D =BC=C，将 QA8C
21、 沿对角线 BO折 成 三 棱 锥 使 平 面 A7_L平面8 C O,在下列结论中：直线C0_L平面A M；平面ABC _L平面B C D；点B到平面A C D的 距 离 为 正；4棱A C 上存在一点到顶点4,B,C,O 的距离相等.其 中 正 确 的 结 论 有.（填序号）【正确答案】【思路点拨】易证8 L B Q,再根据平面A3Z），平面B C 3,利用面面垂直的性质定理判断；易证A B B D,再根据平面A B D平面B C D,利用面面垂立的性质定理和判定定理判断;设点B到平面A C D的距离为h,由匕=%.求 解 判断；根据AN MAACZ）都是直角三角形，利用中线定理判断；【步
22、步为营】因为AB=3r=OC=l,A D =BCm，所以C_LBQ,又C O u 平面B C D,且平面A，8)_L平面BCD,所以直线C O L平面A B D,故正确；因为 AB=8D=QC=1,A D =BC=0所以A B u 平面A 3 ),且平面A 3D _L平面8 c所以直线A25J_平面BC。，乂A 3 u 平面A，8 C,所以平面A，8 C L 平面B C D,故正确;设点B到平面A C D的距离为h,由直线C_L平面A B D,=匕.Q，得力=3 x CD x SA.BD X AACDCDx-xABxBD 万 H-=号故错误;-xCDxAD 22因为AABCUTCZ)都是直角三
23、角形，由中线定理得，棱 A C 的中点到顶点4,B,C,。的距离相等，故正确.故答案为：1 2.如图，正三棱柱ABC-A耳G 的棱长均为2,点 M 是侧棱4 A 的中点，过点4 与平面B C M垂直的平面与侧面A B B 的交线为I,则直线/与直线8 c 所成角的余弦值为B【正确答案】也10【思路点拨】取 A8,AC的中点E,F,根据线面垂直的判定定理，面面垂直的判定定理证明平面3cM，平 面 由 此 确 定 直 线/,再确定直线/与直线8C 所成角，解三角形求其大小.【步步为营】依题意，分别取AB,AC的中点E,F,连接用E,CE,B、C,E F,BXF .因为正三棱柱4 8 C-A q G
24、 的棱长均为2,所以四边形ABBM为正方形，由点M 是侧棱A/的中点，得 因为 C E,平面 A 88M，所以 CELBM,CEB,E=E,所以 8 ，平面BtC E,所以平面B C M 1 平面BtC E,所以过点S,与平面B CM垂直的平面与侧面A B 8M的交线/即为q E.又因为EFHBC,成的角，在 及E F中，EF=1,B 1=#所以直线/与直线BC所成角的余弦值为卫1(13，可得直线/与直线8 c所成角即与E与E F所,B、F =g ,cos ZB.EF=X+5 =-,11 2 x 1 x 6 10B1 3.如图，直三棱柱4 g-4 8 ,4 4 8。为等腰直角三角形，43_18
25、。.且4。=441=2,E,尸分别是AC,4 G 的中点，。为 4 4 的中点，则四棱锥。田加F E 的外接球表面积为.【正确答案】57r【思路点拨】记BF,的交点为0,取 EF的中点G,连接0G,GD,0,易证得平面8所囱1.平面 ACG4,再根据集合关系得O即为四棱锥D-B B F E的外接球的球心，进而求解即可得答案.【步步为营】记 8凡 EBi的交点为0,取 EF的中点G,连接0G,GD,0D.直三棱柱A B C-A B G 中,E,2 分别是AC,4 直的中点,M _L平面 ABC,：-E F l BE,；ABC为等腰直角三角形,E 是A C中点,A C 上 B E,：AC rEF=
26、E.6E 1J平面ACGA,/3 E u 平面 BEFB*.平面 BEFB J-5F AC C A.:D 为 AAi 的中点,AC=AAi=2,A OG LG D,且 OG=1,OG=g,/.O D =yl O G2+G D2=.2由矩形的性质知OB=OE=OF=OB|,1 2令四棱锥Q-881FE的外接球半径为K,则 R=,2其表面积为S=4%炉=5万.故答案为：5万1 4.下 列 命 题 正 确 的 序 号 是.（其中/,机表示直线，a ,/,/表示平面）若/_Ln?,/l a ml p,则 a J 尸；若/_D，l ua,mu 0 ,则 a_L/?；若 0，7,P I!y,则 a J力；
27、若/?，Il a,m u/3 ,则 a_L.【正确答案】【思路点拨】对于：利用面面垂直的判定定理即可判断；对于：经判断a与夕可能平行也可能相交；对于：利用面面垂直的判定定理即可判断；对于：利用面面垂直的判定定理即可判断.【步步为营】若/_ L i,1 1 a,则，?a或mua,又由相，尸，则a l?，故正确；若/_ L，I u a,mu 0 ,则a与夕可能平行也可能相交，故不正确；若aly,则存在直线“ua,使。_1 _九乂由9/人则a _ L尸，根据面面垂直的判定定理可得aJ尸，故正确：若U l m,/a ,则，_ L a ,又由mu尸，则a _ L/?,故正确.故答案为.1 5.已知a,P
28、是两个不同的平面，直线/是平面a,夕外的一条直线，现有下列三个论断：C6；/a；.请以其中两个论断为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：.【正确答案】二或n【思路点拨】为条件，为结论，利用面面垂直的性质定理和线面平行的判定定理可证为正确命题；为条件，为结论，利用线面平行的性质定理和线面、面面垂直的判定定理可证为正确命题；为条件，为结论，利用线面平行的判定定理构造反例可证伪.【步步为营】为条件，为结论，是正确的命题.证明如下：。，在平面a内作交线的垂线?,则 加，,又.成 立，根据线面垂直的性质定理得/孙又.直线/是平面a外的一条直线，是平面a内的一条直线，./a,即成立；为条件，
29、为结论，是正确的命题.证明如下：由成立/a,过/作平面y,使aC尸，根据线面平行的性质定理，可得/，由/_!.成立，又即成立.为条件，为结论，是错误的命题.反例构造如下：由于直线/是平面a,尸外的一条直线，所以/只要与a,的交线平行，/即与a和/?都平行，故 不 一 定 有 成 立.故答案为：=（或 ）16.在正方体A8CD-A4CQ中，P为底面ABCD的中心，E为线段4。上的动点（不包括两个端点），。为线段AE的中点现有以下结论：PE与QC是异面直线;过A,P,E 三点的正方体的截面是等腰梯形平面APE JL平面BDD、B；P E/平面CDRG.其中正确结论是.【正确答案】【思路点拨】作出过
30、A,P,E 三点的正方体的截面即可得到答案.【步步为营】如图，连接AC,E C,易知：点 P 为线段AC的中点，连接4 G,则 4 G 4C,过点E 作 EF4 G 交 C Q i于 F,于是AE=G F,又AA=G C,则由勾股定理可知：A E =C F,又因为EF4 G,AC/AC,J.EF/AC,即过A,P,E 三点的正方体的截面是等腰梯形，正确；容易得出，PE与Q C共面于平面A C FE,错误；易知：A C B D,A C L B BBDcBB=B,二 AC，平面 BD。,而 ACu 平面 APE,平面A P E,平面3。用，正确；容易判断，当点E 不是线段4 G 的中点时，PE与平
31、面CDQ不平行，错误.故答案为：.1 7.如图，已知棱长为2 的正方体4B C O-A 8C。中，点 尸 在 线 段 上 运 动，给出下列结论:TT 7T异面直线”与。所成的角范围为p y ;平面平面ACQ；点P 到平面4G。的距离为定 值 亚；3存在一点尸，使得直线”与平面8CGg 所成的角为女.其 中 正 确 的 结 论 是.【正确答案】【思路点拨】TT 7T数形结合说明异面直线a与。所成的 角 的 范 围 为，故错误；证 明 平 面4G。，所以平面尸8，平面4G。，故正确；点尸到平面4G。的距离为定值，且等于的?，即2 叵，故正确；”与平面8CC百所成的角为N A PH tan/A PB
32、最大值为&t a n ,故不正确.【步步为营】对于，当P 在 C 点时，D Dt 1 A C ,7 T异面直线AC与D D、所成的角最大为y ,当P在片点时，异面直线ABt与。2所成的角最小为N D Q C =：,所以异面直线口 与。自所成的 角 的 范 围 为，故错误；对于，如图，因为AG，耳2,46，与8,隹。门8田,81。,四8 匚平面881。,所以AG BD,另 理 D C,BDt，又因为 AG nog=G，AG，D G U平面 DAG,所以叫 J平面 ACQ,所以平面P 8。一 平面ACQ,故正确；对于，因为BQ A。,4Ca平面AGO.AOU平面A G。,所以B C平面AG。，所以
33、点P到平面AC?的距离为定值且等于B R 的！即 挈 故正确:对于，直线A P 与平面BC C 蜴所成的角为N 4 P 3,t a n N A P B=/R,当8P J_ 8|C 时，8尸最小，l a n N A P B最大，最大值为0 t a n；,故不正确,故答案为：.【化龙点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断命题的真假，它们都是求空间的角，它们都是利用数形结合的方法求空间角的最值，对于数形结合的这种数学思想要注意灵活运用.1 8.已知正方形的边长为4,E,尸分别为AO,8 c 的中点，以 E尸为棱将正方形A3Q9折成如图所示的60。的二面角，点 M 在线段A 8上.直 线 OE与平面EM
34、C所成的角为6 0 ,则面M C E与 面C E F夹角余弦值为.【正确答案】74【思路点拨】由线面垂直的判定可得平面A8FEL平面A O E,取 AE的中点，为坐标原点，构建丽，田，丽 为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，写出相应点的坐标并设朋(1/0)(0/,所以E F，”，所以A P I平面。所，从而平面A B/，平面。尸，故正确；对于，正方体ABCQ-ABCA中，A G/A C,所以AP与AG所成的角为RP与A C所成的角，连接。4，QC，则AR A C为正三角形，所以。P与AG所成角的取值范围为j,f，故正确;设平面AGE与直线B C交于点G,连接G G,EG,则G为8 C的中点，
35、分别取A。，OC的中点M,N,连接R M,MN,D、N,易知R M/G G,所 以 平 面ACE,同理可得R N 平面ACE,所以平面R M N 平面A G E,由此结合P R 平面AGE,可得直线PRu平面RMN,所以点尸的轨迹是线段M N,易得M N =后，故正确；对于，如下图，取 Bq的中点R,8c 的中点G,OC的中点N,连接F N,因为F B/N C,FB、=N C ,所以四边形F q C N 为平行四边形，所以FN HB.C,所以F N H平面3 c 2，连接 8 ,NG,则 N G/B D,又 BDHB、D,所以 N G/BR,所以 N G 平面片。，连接网，G R,易知G R
36、B,C,又 B、C i/FN ,所以RG/FN,故F,N ,G,R四点共面，所以平面F N G R/平面BC D、.因为尸F/平面4 C。，所以P 尸u 平面/W G R,所以点P的轨迹为线段N G.由 A fi=2 知，FN =2及，N G =&，连接 阳，F G、在 R tZS F B G 中，FG?=FB+BG=(琦 +1 =6 ,所以尸G =，所以 FN?=N G?+FG?,得 N F G N 为直角,故线段 叱 长 度的最小值为布，故正确.故答案为：2 0.空间四面体 A B C。中，AB=C D =2,A D =BC =243.A C =4,直线 B O 与 A C 所成的角为4
37、5。，则 该 四 面 体 的 体 积 为.【正确答案】逑3【思路点拨】由条件可得AABC,为直角三角形，作直角三角形AABC和AD4c 斜边上的高BE,DF,作平行四边形8 E F G,由此可得直线8。与 4c 的平面角为N O 8 G,4(7，平面 D F G,解三角形确定三棱锥Q-A B C 底面A 8 C 上的高，利用体积公式求体积.【步步为营】,/AB=2,8 c=2 百，A C=4,；.AABC 为直角三角形，同理可得 D 4 C 为宜角三角形，如图，作直角三角形AABC和 ZM C 斜边上的高B E,DF,贝 U A E=1E,尸是线段AC的两个四等分点，作平行四边形B E FG,
38、则DF1AC,由线面垂直判定定理可得AC_L平面D F G,又A C u平面ABGC,二 平面4BGC_L平面DFG,在平面D F G内，过点。作垂足为H,由 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 得 平 面ABGC,二 。”为四面体48C O 的底面A8C上的高，由 三 角 函 数 定 义 可 得。尸 sin 2 D F G又因为8GA C,所以8G_LOG,又因为直线B D与A C所成的角为45。，所以NO8G=45。，/.ADGB为等腰直角三角形，GD=GB=EF=2在 G F G 中 GD=2,BE=DF=6由余弦定理可求得cosNFG=1,；.sin ZDFG=-3 3所以四面体的
39、体积V=S/!=S ABc，D F sinNDFG=还.3 3匹 3故答案为：逑.3【化龙点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是（。，当所作的角为钝角时;应取它的补角作为两条异面直线所成的角.三、解答题2 1.如图，四边形A BCD是边长为a 的正方形，R1_L平面ABC。，PD ABCD所成角的大小为4(1)求 证：平面A尸 8_1_平
40、 面 CPB；(2)求 直 线 与 平 面 PBC所成角的大小.【正确答案】(1)证明见详解(2)y【思路点拨】(1)由PAJ_8C,AB_LBC证明BCJ平面A P 8,结合BC u平面C P 8,即得证；(2)建立空间直角坐标系，计算平面P8C的法向量，利用线面角的向量公式，即得解【步步为营】(1)由题意，出，平面A8CD,B C u平面48CO:.PA1BC又四边形A8C。是正方形，.A8LBC又 4n A 3=AP A,48u 平面 AP8.8CJ平面 AP8,BC u平面 CP8J.平面平面CPB(2)由题意，B4_L平面A8CZ),与平面A8CZ)所成角的大小为工471 ZPDA=
41、-,.PA=AD=a4由 于%_L平面43CQ,AB.LAD,如图所示建立空间直角坐标系则 A(0,0,0),P(0,0,a),5(0,%0),C(a,a,0)则 PA=(0,0,a ),PB=(0,。,一。),PC=(a,a,-a)设平面PBC的法向量7=(x,y,z)n-PB=O (ay-az=OH PC=O ax+ay-az=O令 y=l.,.z=1,x=0AH=(0,1,1)不妨设直线PA与平面尸 8C 所成角的大小为a.PA n a y/2 笈,sin ct=.1=f=,a e(0,PAn 41a 2 2冗 二 a=一4故直线PA与平面PBC所成角的大小为巳.42 2.如图，长方体A
42、5CD-A山iG O i的底面是边长为2 的正方形，4 4=4,点 E、/、M、N 分别为棱CCi、BC、BBi、4A l的中点.(I)求三棱锥E-A尸 M 的体积;(n)求证：平 面 8|。归_1_平 面C 1M N.4【正确答案】(I )p(I I)证明见解析.【思路点拨】(I)根据三棱锥的体积公式计算即可.C I I)利用线面垂直和面面垂直的判定定理，证明即可.【步步为营】解：(I )因为A 8 _L侧面所以平面又M、E分别为BBi、CG的中点，所以四边形M 8 C E为正方形，所以mE F 的面积为 SA MEF=M E M B=y x 2 x 2=2.1 1 4所以三棱锥 A -E
43、F M 的体积为 V：A-EFM=-5 A M Er-AB=-x 2 x 2=-.(I I)证明：长方体A B C。-A iS C Qi中，四边形B C G B i是矩形，因为E、M分别为棱C C i、的中点，且8 B i=4,8 1 cl=2,所以四边形MEGS是正方形，所以C iM _LS E,又N、M分别为棱4 4 1、2 8 1的中点，所以平面B C G B i,又 8 iE u平面 BCG8,所以 N M-L Bi E,又因为 N M Q C i M=M,N M,C iM u平面 C i M N,所以8 iE _L平面C i M N,又2 iE u平面BDE,所以平面8 QiE _L
44、平 面C M N.2 3.如图，将 等 腰 直 角 沿 斜 边 AC旋转，使得8 到达9 的位置，且B B =AB.(1)证明：平面A8C_L平面ABC.(2)求二面角8-A 8-C 的余弦值.-1 4(3)若在棱CU上存在点M,使得CM=C*，在棱BB上存在点N,使 得 俞=2曲，且求2 的取值范围.【正确答案】(1)证明见解析；(2)且；(3)-3 L6 9 J【思路点拨】(1)取 AC的中点为0,进而证 明 的 人平面ABC,然后根据面面垂直的判定定理得到答案；(2)建立空间直角坐标系，进而根据空间向量的夹角公式求得答案；(3)根据空间向量的坐标运算得出4与间的关系式，进而求出力的取值范
45、围.【步步为营】(1)取 AC的中点为0,连接O B,0B.由题意得，BB=AB =AB=BCBC,在V A8C中，因为。为AC的中点，所以0 B J _ A C,即ZB O C =9 0。.易得0 3 B 与 AOC*全等，则 N?O 8 =/B O C =9 0。，B P BOIOB.因为A C n O 3 =O,所以胸7 八平面A B C.因为B O u 平面A B C,所以平面A B C,平面4 8 c.(2)不妨设。4 =1,由(1)淑9 人平面ABC,易知O B J_4 C,如图，以。为坐标原点，分别以O C,OB,O B 所在直线为 轴，了轴，z 轴，建立空间直角坐标系。一 年，
46、则。(0,0,0),A(-l,0,0),B(O,l,O),(0,0,1),C(l,0,0),A=(1,1,0)，A%，=(l,0,l)，r z 、it-AB=0,fx+y =0,设平面4 8 8 的法向量为=x，N，z ,则 一.得 二n-AB=0,1 x+z =0,不妨取x =l,则万=(1,-1,-1).因为O B _LA C,O B，O B ,A C cO B =O,所以08,平面A?C,所以平面A9C的一个法向量 为 防=(0,1,0).因为C O S =一 6,=-1-.nOB 员 1 3又二面角3-A B -C是锐二面角，所以二面角3-A B C的余弦值为3.3(3)结 合(2)可
47、得靛*=(1,_1,0),加=(-1,0,1)，m=(0,-1,1).T T T T TBM=B C+C M =B C+C 8 =(l,-l,0)+(-l,0,l)=(l-,-l,)，因为BML AN,所 以 嬴.力v =o,得(l-)-(l-/l)+M =0.即=2是关于的单调递增函数，r 1 4 1 1 4 1 1 4-当 w 时，,故2的 取 值 范 围 是._3 5 9 J 9 _2 4.如图所示，三棱柱ABC-A山Ci中，侧面8 8 1 G C是边长为2的正方形，A C C.A.是菱形，Z CM=6 0,且平面8 8 1 G C，垂直平面ACG41,为Ai G中点.(1)求证：平 面
48、M B C 1,平面4 3 1 G;(2)求 点G到 平 面 的 距 离.【正确答案】(1)证明见解析；(2)半.【思路点拨】(1)利用平面 B B iG C _L 平面 A C G 4,B.q i C.C,得到 g CJ 平面 GCAA，又 C M u平面GOA，得CML C4，由题意得C，AC，即可证明;(2)利用等体积法%-M B1c=VBMCC，即可求解.【步步为营】(1)证明：.,正方形 BBiCiC,B C C G ,.,面 B81GCJ_J_面 ACGA,面 面 4CGA=CG,A G u 面 8耳。0,.,.8心_1_面)(；4,又 CMu面 ACCiAi,A Bi Ci CM
49、,：AC C A 是菱形，NC4A=60,，ACGA为等边三角形，:例 为 4 G 中点，A CM!Ai Ci,X AiCiABiCi=Ci,且 AiC”BiCiU面 AiBiCi,.CM，面 A iBC,又 CMu面 M BC,；平面 M8C_L平面 AiBiCi.(2)解：由 可 知,BQ_L面 A C G 4,:.Bi到平面M C C x的距离为81cl=2,由(1)知，CM_L面 A1囱C”面 A山C i,：.C M L M B,在MCG 中，CM=C C-si n6 00=yf 3 ,在M/C 中，M B,=A C?-C M-=J(2 0 _(扬 2 =石，=；CM.MB尸 半，S&
50、MCC、=；C M.M C,T，设点C i到平面M B i C的距离为h,.VvC=Vi-M BC Y%-M C G，,2 SAM ByC ,h =1 S&M C G,B C、,.1 _ 2 6.h =-,5故点C l到平面M B i C的距离 为 手.2 5.如图，正三棱柱A B C-A B C 中，D、E 分别为CC、4的的中点.Bx(D证明：G E平面A4；(2)若A8=2,M=2 V 2,求点A到平面AO片的距离.【正确答案】(1)证明见解析：(2)巫.3【思路点拨】(1)本题可连接A B与A片交于点。，连接。、0 E,然后根据三角形的中位线法则得出。EBq,O E =；B B-根据。