《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点4：几何体的“内切”“外接”球问题综合专练（教师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点4：几何体的“内切”“外接”球问题综合专练（教师版）.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点4：几何体的“内切”“外接”球问题综合专练（解析版）学校:姓名：班 级：考号：一、单选题1.九章算术卷 五 商功 中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥现有阳马（如 图），平 面4 5 8.=4?=1,4）=3,点 E,厂分别在AB,BC上，当 空 间 四 边 形 的 周 长 最 小 时，三 棱 锥Q-AEF外接球的表 面 积 为（）【正 确 答 案】AD.7兀【思路点拨】如图所示，把A P,尸8剪 开，使 得RW与 矩 形48C3在同一个平面内.延长OC到M,使 得CM=Q C,则 四 点P,E,尸，M在同一条直线上时，PE+EF+FD取得最小值,即空间四边形在 阳
2、的 周 长 取 得最小值.再利用三角形相似和勾股定理，即可求出B E,E F,A F.设AAEF的外心 为。-外接圆的半径为，则2=.二 sin ZAEF.再sin ZBEF 由 氏2=r+（2）即可得出结论.【步步为营】解：如图所示，把A P,所 剪 开，使 得PAB与 矩 形ABCD在同一个平面内.延 长。C到M,使 得CM=C,则 四 点 尸，E,F,在 同一条直线上时，P E+E F+F D取得最小值，即空间四边形P E F D的周长取得最小值.I C F C M F M如图所示，可 得 CF=：PD=2,.斯=1.三=*=-=22 B F B E F E-B E =；,E F=,：.
3、sinNBEF=,A F =6设AAEF的外心为a,外接圆的半径为/,2r.AF 版 M贝 lj r-sin Z4F-sin ZBEF 2 .5设三棱锥P-A D F外接球的半径为R,则心=（坐 f+夕二三棱锥尸-A M 外接球的表面积=4万代=9.故选：A.2.已知四棱锥P-4 5 a ,底面A8CD为矩形，侧面PC。，平面4 3 8,BC=2 ,C D=P C =P D =2底,若点M 为 PC 的中点，则下列说法正确的是（）A.8W_L平面 PC3B.24/平面”8。C.四棱锥尸-ABC。外接球的表面积为44兀D.四棱锥M-ABCD的体积为6【正确答案】B【思路点拨】根据面面垂直的性质定
4、理得出BCL平面PCZ）,从而可判断出选项A 错误；证明出0M 尸 4 即可判断出选项B 正确；判断出AB,CD的交点。为四棱锥M-A8C。外接球的球心，从而求四棱锥M -A B C D外接球的体积，从而判断选项C 错误；通过求四棱锥尸-43C D 的体积来求四棱锥M-A 8 C 3 的体积，从而判断选项D 错误.【步步为营】在四棱锥尸-ABC。中,因为侧面 PC)_L平面 A8CZ),面 PCn平面 A 6 a =8，B C L C D,所以BCJ_平面PC),因为过点B只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A错误；连接AC交 出 于。，连接MO,在PAC 中，OM/PA,A/Ou 面 A/
5、3),PA a 面 M3。，所以PAII面M B D,所以选项B正确；取CQ中点N,连接P N,在矩形ABC7)中，易得A C =6,0C=3,0N=6,在 APCD 中，N M =g p c =娓,在 RtZMNO中，M O =ION2+M N2=3 1所以 0A/=0A=Q3=0C=0D,所以。为四棱锥M-ABC。外接球的球心，半径为3,所以其体积为36，所以选项C不正确；四 棱 锥 的 体 积 是 四 棱 锥 尸-ABCD的体积的一半，因为P N L C D,侧面PCZ)_L平面ABC,面PCC|平面ABC=C,所以P N 平面ABCD,PN=3近，所以四棱锥M-ABCD的体积匕B8=；
6、X；X2 6X2x3a =1 2,所以选项D错误.故选：B.3.下列命题正确的是()A.与平面内无数条直线垂直的直线与该平面垂直B.过直线外一点可以作无数条直线与该直线平行C.正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合D.各面都是等腰三角形的三棱锥一定是正三棱锥【正确答案】C【思路点拨】由线面垂直的定义可判断A；由平行公理可判断B；证明正四面体的外接球球心和内切球球心恰好重合可判断C；举反例可判断D,进而可得正确选项.【步步为营】对于A：与平面任意一条直线都垂直的直线与该平面垂直，故选项A不正确；对 于B：过直线外一点可以作一数条直线与该直线平行，故选项B不正确；对于C：如图为棱长为。的正四面体
7、A-B Q),设BCD的中心为连接A。，则人。1，面5 8,设正四面体A-BC。外接球的球心为。，则点。在A01上，如图，则OA=O B =O C =O D,因为A43C=AAC三AABD三A8C,所以四个小三棱锥，三棱锥O-A B C,三棱锥O-A 8、三棱锥O-A 8 、三棱锥O-8C全等，所以四个小三棱锥体积相等，因为四个等边三角形作为底面且面积相等，所以点。到四个面的距离相等,所以外接球的球心为。也即是内切球的球心，故选项C 正确；对于D：如图：三棱锥A-8C D 中，AD,BD,8 两两垂直且相等，则 4?=AC,可满足各面都是等腰三角形，但不是正三棱锥，故选项D 不正确，故选：C.
8、4.已知在正四面体AZ?C 中，E 是 4。的中点，尸是棱AC上的一动点，5 P+P E 的最小值 为 折，则该四面体内切球的体积为（）.256后 n 1A.-n B.-7t93C.4 A D.n27【正确答案】D【思路点拨】首先设正四面体的棱长为。，将侧面AABC和沿AC边展开成平面图形，根据题意得到BP+P E的最小值为BE=V14,从而得到a=2 0,根据等体积转化得到内切球半径r=立，再计算其体枳即可.3【步步为营】设正四面体的棱长为“，将侧面AABC和反。沿 AC边展开成平面图形，如图所示:CB贝 U 3 P+P E 的最小值为 8 E =J/+土-2 x a x x（-i|=V 1
9、 4 ,V 4 2 2 2解得 =2 后.如图所示：V 为正四面体的高，I 乙 7 乙 I/厂C D R过r,正四面体 高 =（2g）、（竽所 以 正 四 面 体 的 体 积 逑x，x（2&Vx=-.3 3 2、2 34 万设正四面体内切球的球心为。，半径为，如图所示:则0到正四面体四个面的距离相等，都等于，所以正四面体的体积V =4x1xL（2&）2x 走=,解得=且.4 /0 丫 4 百所 以 内 切 球 的 体 积 孚=笠 兀.3 1 3 J 2 7故选：D5.已知圆锥S。的母线长为2 石，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 为 也，则该圆锥外接球的表3面 积 为（）A.126 B.2
10、4 C.3 6/D.4 8【正确答案】C【思路点拨】由圆锥侧面展开图的圆心角可构造方程求得圆锥底面半径r =2 夜，在R/AAOB中，利用勾股定理可构造关于圆锥外接球半径R的方程，解方程求得R,根据球的表面积公式即可求得结果.【步步为营】设圆锥S。的底面半径为一，由题意得：蕊=2等，解得：r =2&.如图，必是圆锥的一条母线，由圆锥的性质知其外接球的球心8在S。上，连接A3,设圆锥的外接球的半径为R,则A 8 =S B=R,则 OS =yJs-OA2=J（2 -（2*=7 2 4-8=4，A B2 O A2+（O S-S B）2,即 R 2 =（2扃+（4-R）2,解得：R =3,二圆锥的外接
11、球的表面积为4万x 3 2 =3 6万.故选：C.6.已知正方体A 8 CO-A B&A是半径为6的球。的内接正方体（八个顶点全部在球面上），则正方体六个面所在的平面与球面的交线总长度是（）A.6兀 B.6近兀 C.1 2万 D.1 2近兀【正确答案】D【思路点拨】画出图形分析可得：正方体的每一个面与球面相交,所得的交线是一个圆，共有6个圆，故六个面所在的平面与球面的交线总长度为6个圆的周长之和，然后利用平面几何知识进行计算即可得解.【步步为营】由图可知，正方体的每一个面与球面相交，所得的交线是一个圆，共有6 个圆，故六个面所在的平面与球面的交线总长度为6 个圆的周长之和，设正方体的棱长为“，
12、在直角三角形。中，。=6，O,D=a.。=:，所以有：T6 2+1J=(6);解得a =2，所以 OD=x 2 =，2所以每个圆的周长为2 岳，6 个圆的周长之和为1 2 友乃.故选：D.7.已知直三棱柱A B C-A qa，AB L B C9 A8=3,5 C =4,M =3,设该直三棱柱的外接球的表面积为S 1,该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为邑，则 兴=()【正确答案】D【思路点拨】容易判断当球与三棱柱内切时三棱柱内部的球表面积最大，进而求出内切球和外接球的表面积得到答案.【步步为营】易知R t Z k ABC 的外接圆直径为A C,所以半径长为g ,设外接球半径 为 凡 则 R=(
13、|J+(|J=，.5=4 7 =3 4-设 RtZXAHC 的内切圆半径为，贝 ljgx(3+4+5)r=Jx3x4,A r=l,V2r=2A=&C,A BE 1 AC,DE 1 AC故NBED为直二面角的平面角，由于 8A=8C=4 C=ZM=C=2 r.E8=E）=百又 BD=2五,：.EBZ+ED1+BD1：.ABED*90故两平面不垂直，故 B 选项不正确；选项C,由选项A 中计算可知AC=2,故选项C 不正确；选项D,由于OA=O8=OC=O=0,故三棱锥A-BC。的外接球以。为圆心，血 为半径，表面积为47（友 f =8万.故选：D【化龙点睛】本题考查了空间几何体综合问题，考查了学
14、生综合分析，空间想象，逻辑推理，数学运算能力，属于较难题9.已知三棱锥P-A B C 的各顶点都在同一球面上，且 抬，平面A B C,若该棱锥的体积 为 空,AB=2,AC=,C=6O。，则此球的表面积等于（）3A.54 B.8乃 C.16万 D.20万【正确答案】D【思路点拨】由条件确定三棱锥尸-M C 的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【步步为营】由已知AB=2,AC=,Zfi4C=6O,可得三棱锥的底面是直角三角形，ZACB=90,由PA，平面ABC可得户 B就是三棱锥外接球的直径，S.=-x2xlxsin60=,2 2V=ls/?=-x l xPA=,
15、即 丛=4,则=42 AB2 =2后,故三棱锥外接球3 3 2 3的半径为后,所以三棱锥外接球的表面积为S=4乃R2=20）.故选：D.【化龙点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径：球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.1 0.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早系外包皮革、内饰米糠的球，因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的踢足球活动.如图所示
16、，已知某“鞠”的表面上有四个点，A,B,C,。满足AB=BC=CD=DA=DB=2cm,AC=3 c m,则该“鞠”的表面积为（）B.3C.35%cm2D.355T 2-cm-27【正确答案】A【思路点拨】首先对题意进行转化，要求该“鞠”的 表 面 积 即 求 三 棱 锥 外 接 球 的 表 面 积，其次确定圆心，由所给数据 =BC=CD=ZM=D B,根据对称性，圆心为过 ）和 CBZ）的 中 心 且 垂 直 于 平 面 和 C8D的两直线的交点，构造直角三角形求解即可.【步步为营】由已知得，AABD,ACB。均为等边三角形，如图所示，设球心为0,8C。的 中 心 为 取 BD中点F,连接
17、A F,C F,OB,OB,AO,则 A ELBO,C F 1 B D,而 A尸c b =尸，/.BO_L平面ACT,且求得 AF=CF=Gem,而 AC=3cm,八 3+3-9 1 ,cosZAFC=2.限有则 ZAFC=120。，在平面AFC中，过点A作 C F的垂线，与C F的延长线交于点E,山 平面 A C T,得 8_LA,故 A EL平面 BCD,过点。作O G J.A E于点G,则四边形OTGO是矩形，而 OB=BCsin 60 x-=cm,OF=-O B=-cm,3 3 2 3设球的半径为 R,OO=x(c m),则由 OO+O，B2=OB2,OA2=AG2+GO2,7解得 x
18、=1cm,R2=cm2,3故三棱锥A-B C D外接球的表面积为S=4/?2=y-(cm2).故选：A.二、填空题11.如图，已知平面四边形ABC。中，A 9是边长为2的正三角形，B C V C D,以8。为棱折成直二面角A-B D-C,若折叠后A,B,C,。四点在同一球面上，则该球的体积为.【正确答案】必必兀27【思路点拨】如图,折叠后，取8。的中点H，连接C ,A ,由面面垂直的性质可得A H _L平面BC。，由可得球心。在A”上，设球半径为R,求得半径上 再根据球的体积公式即可得出答案.【步步为营】解：如图，折叠后，取8。的 中 点 连 接因为回）是边长为2的正三角形，所以AHJL8D,
19、又二面角A-B D-C为直二面角，平面A3。_L平面8 8,所以AH_L平面BC。，则 AH=6,H C =1,又 B C 1 C D,所以球心。在A 4上，设球半径为R,则 CM=QB=R,O H =S-R，所以R 2=(g-R+1,解得R=迈,所 以 球 的 体 积 为 苧=粤-故答案为：现5 7t.A B C是边长为2G的等边三角形，则三棱锥尸-A B C外 接 球 的 半 径 长 为.【正确答案】不【思路点拨】山题可知“A B C的外心为其中心，三角形网B的外心为线段A 8的中点，再利用球的性质可构造直角三角形即求.【步步为营】opB设AABC的外心为。I，线段4 B的中点为。2,则
20、C O z lA B,且 翳=2,C2=3,：.0（）2=i,cq =2,易知三角形以B的外心为。2,连接。2尸，且AP=BP,PO2 Y A B ,又 CO?_ L AB所以NCO?P为二面角P-AB-C的平面角，即NCO?P=等,6设外接球球心为O,连接。，。2，则。平面A 8 C,。2_1_平面4?P，可知 Z.CO-P=三，贝!|。0|=唐,半径10C|=孤。/+卬 二百故答案为：币.1 3.在三棱锥P-A 3 C中，已 知 如，PB,PC两两垂直，且 勿=1,PB=2,PC=3,则三棱锥P-A B C的外接球的表面积为【正确答案】14乃【思路点拨】由题意把三棱锥P-A B C放置在一
21、个长方体中，求出长方体的外接球的表面积，即为三棱锥P-A 8 C的外接球的表面积.【步步为营】解：把三棱锥P-A B C放置在一个长方体中，如图:则长方体的外接球即三棱锥的外接球，其外接球的半径为/?=42 +2 2 +3 2 =巫.2 2，三棱锥尸-A B C的外接球的表面积为4仆(半 产=1 4万.故答案为：1 4万.1 4.在四面体S-A B C中，S A，平面A8 C,三内角5,A,C成等差数列，S A =A C =2,他=1,则 该 四 面 体 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【正确答案】8万【思路点拨】证明再利用模型法求出该四面体的外接球的半径，即得解.【步步为营】由题意，内角
22、8,A C成等差数列，可得2 A=8+C,因为A+3+C =/r,可得3 A=，即人=工，3 2 2 2 1在“A B C中，由余弦定理可得c o s A=+C-=2 bc 222+2-n2 1 p-即 解得a =J L2 x2 x1 2所以62=0 2+/,所以A8 L B C,所以该四面体的外接球与该长方体的外接球是相同的，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得(2 R)2=22+/+(G)2,解得R?=2,所以该四面体的外接球的表面积为5 =4万&=8万.故答案为：8 7r15.在三棱锥P-4 3 C中，点A在平面P8C中的投影是AP3C的垂心，若AABC是等腰直角三角形且A8=A
23、C=1,PC=6 则三棱锥P-ABC的外接球表面积为【正确答案】4万【思路点拨】设APBC的垂心为“，由平面PCB可证明PCL45,A C V B P,A P L B C,结合4BJ_AC推导出AB,AP,AC两两互相垂直，则外接球半径R满足(2R)2=AP2+AB2+AC2,求出代入求解即可得出答案.【步步为营】解：设APBC的垂心为H,连接则A H,平面P 8 C,如图所示：由垂心知，B H A.PC,CH 1 P B ,又 A H 工 PC,BHAH=H ,则PC _L平面A B H,又A 8 i平面ABH，所以PC_LAB,又ABJ_AC,PCcAC=C,所以A8_L平面P A C,又
24、PAu平面P A C,得同理 AC_LPA,则 AP=正，所以43,AP,AC两两互相垂直，设三棱锥P-ABC的外接球半径为R,贝I(2R=AP2+AB2+AC2,所以4 a=4，球的表面积为4%7?2=4万.故答案为：4人16.如图，在三棱锥P-A B C 中，P 3,平面ABC,PB=B C =A C =2,A B=2舟则该 三 棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【正确答案】20乃【思路点拨】首 先 根 据 正 弦 定 理 求 出 外 接 圆 的 半 径 为r,然后再根据关系式（2R）2 =PB-+（2r）2即可求出三棱锥P-ABC外接球的半径为R.【步步为营】入 2 R2 _
25、A O2因为8C=AC=2,A B=2g,所以cos/8C4=2xBCxAC4+4-12_ 12x2x2 2因为0NBC4，所以sin/3 c4=火2设AABC外接圆的半径为r,三棱锥P-A 8C外接球的半径为R,.A B _ 2 6 则由正弦定理，得 sinNBCA 一再,即r=2,2所以由（2R）2 =PB2+（2r）2 =4+16=2 0,得 R=5所以该三棱锥外接球的表面积为4万改=20万.故答案为：20万.17.已知正三棱柱的所有棱长均为。，且所有顶点都在一个球面上，若该球的表面积为【正确答案】2【思路点拨】7设A43C的外心为a，该球的球心为。，半径为/?,山球的表面积可得R 2=
26、,又由正三棱柱的对称性可得R2=0 C2=OO+0C2=，即得解【步步为营】如图，设AABC的外心为。|,该球的球心为0,半径为R，贝IJ4万 代=等，解得R2=g,5 iOiC =-C D =-x -a =,OOl=-,3 3 2 3,2故答案为：21 8.在梯形 A8CD 中，A A B C =Z B A D =9 0 ,A B=B C =A D =,M 为 4 c 的中点，将沿直线AC翻折成V A B 0,当三棱锥片-A C。的体积最大时，过点M 的平面截 三 棱 锥ACD的 外 接 球 所 得 截 面 面 积 的 最 小 值 为.【正确答案】y【思路点拨】分析出当平面4 A C,平面A
27、CO时，三棱锥与-AC。的体积最大，取 AO的中点。，分析出点。为三棱锥用-A C O 的外接球的球心，求出球的半径，计算出截面圆半径为最小值，结合圆的面积公式可得结果.【步步为营】如下图所示，连接耳M,则与M_LAC,Bi则 N48C=90,故 型=率=也，A C y/2 2设二面角A-A C-。的平面角为a,设三棱锥与-A C。的高为力，则&h =B,M sin a =sin a ，12x/_ 1 v _ 1 c 72.垃 -ACD=SAACD =LCD 工-sm a,所以，NCAO=NACB=45。，在AACD中，4 c =应，A=2,NC4O=45。，由余弦定理可得C D =l A C
28、2+A D2-2AC-ADcos45,=叵,SkAC2+CD2=A D2,:.C DA.A C,因为平面814cd.平面ACO,平面用ACPI平面AC0=AC,C D L A C,C O u 平面AC。，CD 八平面及AC,j A8i u 平面 B14C,贝因为 _L q C，B、Cc CD =C ,A Bt 1 平面 BtC D ,B Du 平面 B Q ,所以，A Bt B,D,记 A中点为。，由。片=OA=OC=O D得。为三棱锥B.-A C D的外接球的球心，旦球的半径为OC=gAO=l,设 与 过 点 M 的平面所成的角为8,设点。到截面的距离为d,则5d=OMs n0 =n d,2
29、故截面圆的半径为r=71二/=sin。4,当且仅当。=9 0 时，过点M 的平面截三棱锥外接球。所得截面面积最小，（5Y所以截面圆面积的最小值为;TX 学=1.I 2）21 T故答案为：y.【化龙点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下：(1)定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径；(2)作截面：选准最佳角度做出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系)，达到空间问题平面化的目的；(3)求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，
30、建立关于球的半径的方程，并求解.1 9.四棱锥4-8 C 0 E的各顶点都在同一球面上，4 8 J L底 面8 C 0 E,底面8 C 0 E为梯形，NBCZ)=6 0。，且4 8=C 5=5 E=E O=2,则 此 球 的 表 面 积 等 于.【正确答案】2 0 7 r【思路点拨】由条件确定球心位置及球的半径，由此计算球的表面积.【步步为营】若5 C|O E,又BC=E =2,则四边形2 CD E为平行四边形，与条件矛盾，二 BE C D,又 C B=BE=E D=2,Z B C D=6 0,：.C =4,BD=yj C B2+C D2-2 C BC Dcos A BC D=3 4+1 6-
31、8 =20，/.BCD是以C D为斜边的直角三角形，同理可得AECD为C D为斜边的直角三角形,二 四 边 形3 C D E的外接圆圆心为C D的中点，记 中 点 为设四棱锥4 -BC D E的外接球的球心为O,则O O A.平面BC DE,又4 8，底面BC DE,/.。|瓜3.设0 0，=%，设球的半径为R,过点。作，回,垂足为F,/OB2=OO；+BO：,OA2=A F2+OF2：.R2=22+X2,R2=(2-X)2+22/.X=1 ,/.球的半径7?=有，二 球的表面积S =4%R 2=2 0万,故答案为：2 0万.【化龙点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一 种 是 外 接.解
32、 题时要认真 分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.2 0.如 图，已知三个两两互相垂直的半平面。，夕，7交 于 点O,矩 形A8C的 边BC在 半 平 面7内，顶 点A,O分 别 在半平面。，0内,AD=2,AB=3,AD与 平 面。所J T _ _ 1 _ _成 角 为:，二 面 角A-8 C-O的余弦值为彳，则同时与半平面a,B,7和 平 面ABCQ4 3都相切的球的半径为.【正确答案】也 或2&2【思路点拨
33、】以O为原点建立空间直角坐标系，求 出4 B,C,。坐 标，求 出 平 面48C。的法向量,PA-n根据*=可求出.H【步步为营】如图，以。为原点建立空间直角坐标系,过。作E_Ly轴，交y轴 于E,连 接EC,.1 _Ly,DE Vy,：.DEHC,又 BCLCD,CDQDE=D,DEC,BCA.EC,ZDCE 即为二面角 A-8C-O 的平面角，cos ZDCE=-.DC=3,:.DE=2近,过。作 次_Lz轴，交z轴于F,连接4 F,可 得 止L a,冗即ND4尸为AO与平面a所成角，NA尸=：,又AD=2,:.AF=DF=。44（夜,0,2&）,（0,&,2 a）,设 5（力,0）,BC
34、=AD=（-立7 2,0）,C（a -也+夜,0）,AB=（一0/+匕2 +8=9,AC=（a-2 +（6+夜）+8=13,则可解得 印等则研冬冬训设平面ABCD的法向量为百=（x,y,z）,ABn=O一一，即ADn=O则 x+v-2/2z=0 i2 2 ,令x=2,可得y=2,z=l,即=（2,2,1）,-s2x+6 y =0设同时与半平面a邛，/和平面ABC。都相切的球的球心为尸，半径为，则P（r,r,r）,则 中=（四-r,-r,2&-r）,则弊=，即2（3；）-2r+2/解得,=2夜 或 立.|/22+22+12 2三、解答题2 1.如图一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆
35、锥，且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，如图，已知大圆锥轴截面是等边三角形，设球的半径为R,圆锥底面半径为r.（1）试确定K 与 r 的关系；（2）若小圆锥、大圆锥的侧面积为、邑，球的表面积为其，求 品 也 应；（3）求出两个圆锥的总体积（即体积之和）与球的体积之比.【正确答案】（1）/=与；（2）51:52:53=:3:8；（3）3:8.【思路点拨】（1）根据题意分析出AABC为直角三角形，及 W C =3 0。，进而得到答案；（2）由题意，求出大小圆锥的母线长，进而算出它们的侧面积，再求出球的表面积,最后得到答案；（3）根 据（1）,求出圆锥体积之和与球的体积，进而得到答案.【步步
36、为营】（1）由几何体的特征，得到 A B C为直角三角形，由于大圆锥的轴截面为等边三角形,故N A B C =3 0。，所以：A C=R,BC=R,所以=空=遮，2 2（2）球心到圆锥底面的距离O O|=今，所 以 小 圆 锥 的 高 为=故小圆锥的母线长为R,大圆锥的母线长为指R,所以3=字 上，S2R2,S 4K-R2,故S 1：S 2：S3=6：3:8.（3）由（1）得：两个圆锥的体积和为万产2 R=，球的体积为丝史.3 2 3故两个圆锥的体积和为 ：体积之比为：止:皿=3:8.2 2 32 2.已知直角梯形43EF,ZA=ZB=90,AB =,BE=2,A尸=3,C为跳的中点，A D
37、=l,如 图（1）,沿直线8 折成直二面角，连结都分线段后围成一个空间几何体（如图 2）.F(1)求异面直线3。与E F所成角的大小；(2)求过人、8、(：、0、这五个点的球的表面积.【正确答案】(1)p(2)3 n【思路点拨】(1)建立坐标系，用向量法求解即可；(2)过A、8、C、D、E这 五 个 点 的 球 是 四 棱 锥 的 外 接 球，利用正方体的外接球求解即可【步步为营】(1)以。为原点，下所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，则（0,0,0）,B（l,l,0）,E（0,l,l）,F（0,0,2）,DB=（l,l,0）,EF=（0,-l,l）,设异面直线B D与E F所成的角为凡
38、DBEF 1则8 E 网同于T T所以。=?,所以异面直线8 0与E F所成角的大小为(2)过A、8、C、O、E这五个点的球是四棱锥E-A B C。的外接球,由题意可知四棱锥E-A B C D是一个边长为1的正方体的五个顶点，故四棱锥E-A B C D的外接球等价于一个边长为1的正方体的外接球，且外接球的半径R满足：(2 7?)2 =产+/+2 =3,所以外接球的表面积为：4 兀R2=3兀所以过A、8、C、D、E这五个点的球的表面积为沏2 3.已知底面为正三角形，顶点在底面的正投影是正三角形的中心的三棱锥的高为1,底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切.求：(1)棱锥的全面积；(2
39、)球的半径.【正确答案】9夜+66；(2)7 6-2.【思路点拨】(1)利用正三棱锥底面为正三角形，侧面为等腰三角形，计算可得侧面的高4尸=JAE+EF=6 计算即得解；(2)借助AAOGS/XAFE,利用边长比例关系即得解【步步为营】(1)由题意，三棱锥为正三棱锥，如图所示正三棱锥A-2 C Q,假设顶点在底面的正投影为E,则E为底面正三角形8 c 0的中心，作于F,故F为中点由题意可知4 E=1,CD=2y/6.：.E F=L x2xC D=五,3 2侧面的高 A F=JAE2+EF2=，*S 3=3x2娓 x y/j x；+2 6 X-X2A/6 X2 2 2=9及+6右.(2)设内切球
40、的半径为凡 圆心为O,与平面A C D切于点G,由正三棱锥的对称性可知G 在高A尸上，且 OG，A尸故 A O G s F E.A O O G 旅 一 而日 一 R R即行=忖*R=5/6 2.2 4.如图，点 C 在直径为A 3 的半圆。上，CD垂直于半圆。所在平面，平面AOE，平面A C&,且 CD E.(1)证明：C D=BE；(2)若 AC=L A B=,ZADC=45,求四棱锥A-BC0E的内切球的半径.4【正确答案】(1)证明见解析；(2)7+2 0 +6【思路点拨】(1)利用平面的基本性质得到CDBE共面，记作平面8CDE.利用线面垂直判定定理证得 ACJ_平面8 cO E,得至
41、IJACLOE,在平面ACD中，C F L A D,由面面垂直的性质定理证得。产 JL平面ADE,得至l)F_LOE,进而得到/)E_L平面AC。，得到DE_L C。，结合3C，C,得到8C 7/M,进而四边形3CDE为平行四边形，即可得到结论；(2)先求四棱锥A-3C D E的衣面积S,再利用体积法，求出四棱锥A-3C D E的内切球的半径一二3毛V.【步步为营】(1)证明：C D/B E,，C,8E 共面，记作平面 8CDE.点C 在直径为AB的半圆。上，是 直 径：.CBAC,.,CD_L平面AC8,ACu平面4CDB：.CDAC,：CBCCD=C,，ACJ_平面 8cOE,：QEu平面
42、 BCDE,：.ACLDE,在平面ACO中，作CF,A D,垂足为尸.平面4。n平面4C),平面ADEC平面ACD=AD,.。/平面49：,又,；DEu 平面 ADE,：.DF1DE,又.ACCIAO=A,结合，可得。平面ACD,又；COu 平面 ACD,：.EDI.CD,X V C D ABC,BCu平面 ABC,：.CDBC,由可得BC/IED,又O C/E B,四边形BCE为平行四边形，CD=BE；(2)解：-.-ZADC=45.:.CD=AC1,BC=y/AB2-AC2=2.由(1)可证A C,平面8COE.1 2二四棱锥 A3CDE的体积y=x lx lx 2 =.又四棱锥A-BCD
43、E的表面积S=lx2+-(lx l+lx2+lx75+2 x )=7+2x +.3V 4故四棱锥A-BCDE的内切球的半径/=丁 =7+2及+7-2 5.已知平面。与平面夕是空间中距离为1的两平行平面，A B ca,C D c/3,且AB=CD=2,A8和8的夹角为60。.D/A V(1)证明：四面体A B C。的体积为定值；(2)已知P e尸，且P,A,B,C,。均在半径为好的球面上.当孙，尸8与平面a2的夹角均为。时，求co s。.【正确答案】(1)证明见解析；(2)叁3【思路点拨】(1)四面体A 8C O补成一个斜三棱柱，这个斜三棱柱的体积为定值，则四面体A 8C Q的体积为定值.(2)
44、首先判断球心。的位置，然后判断出P点的轨迹，然后求得s i n。的值，进而求得co s。的值.【步步为营】(1)如图，平移线段A B使得A与C重合，并将四面体A B C D补成一个斜三棱柱.则该斜棱柱的底面积S=g x2 x2 xs i n 6 0o =6,高为=1,所以该斜棱柱的体积为定值.此斜棱柱恰好可以分为两两底面积相同，高相同的三个三棱锥.于是这三个三棱锥的体积都相等，都是斜棱柱的g所以四面体A 6 c。的体积为丫是定值.3 3(2)设球心是。，并设。与 平 面 平 面 夕的距离分别是九，h2.由04 =08=0。=。=好 可知，。在A,8的中垂面和C,。的中垂面的交线上.2设A 8的中点是M,8的中点是N.则由勾股定理得OM=ON=g.注意到1 =4+H 4O M+O N =1,所以O,M,N 共线，且 MN_L平面a.因为P e/?,且 R4,P8与平面a 的夹角均为。，所以=而尸，A,B,C,。均在球。上，所以P在以N 为圆心，C 为直径的圆上.所 以 以=PB=jF+F+12=.于是sin=A=-,0s 0,g,所以cos6=J l-sin2=好.PA 43 L 2 3