《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点5：求异面直线所成角方法综合专练（教师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点5：求异面直线所成角方法综合专练（教师版）.pdf（37页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点5:求异面直线所成角方法综合专练（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.在正三棱柱ABC-A B Q 中，若 A3=叵B B,则 AB 与 BC,所成的角的大小是（）A.60 B.75。C.90 D.105【正确答案】C【思路点拨】取 BC的 中 点 连 接 A ,ByM,可证明进而可得用M l B 0,再由正三棱柱的性质可得AM由线面垂直的判定定理可证明BG J面,可得即可求解.【步步为营】如图：取 BC的中点M,连接AM,BM,设 AB=&a，则 8 4=，与G=0 a,交在 R L网 M 中，2 V2,tan Z.BB.M=1a 2在 RtABB 中，tan ZB.C,B=变
2、，y/2a 2所以 NBB|M=NB|G8,所以 N gG 8+NMBi=NBB、M+NM4cl=90,所以 SM _L8G，因为三棱柱A B C-A/G 是正三棱柱，所以B与J.面ABC,AMu 面ABC，所以8用_ 1,4加，因为AABC是等边三角形，所以4WJ.BC,因为84 0 8。=8,所以2 _ 1 面8（2 6 4，因为B G u 面8 C C 4，所以A M L B G，因为 A M c 8 1 M=M,所以 B q 上面因为AE,u 面4 用M,所以B Q 1 AB,所 以 与BC,所成的角的大小是90,2.长方体ABCO-ABIG R 中，8（和 G。与底面所成的角分别为6
3、0。和 45。，则异面直线 8 c 和 G。所成角的余弦值为（）C-4立一6A.CB.D.#一3五3【正确答案】A【思路点拨】设8 c=1,利用C Q 与底面所成的角分别为60。和45。可得长方体的另外两条棱的长，连接A g,A C,则。C J/A 4,所以异面直线B C 和G。所成角即为N A g C,由余弦定理可得结果.【步步为营】设 BC=1 ,则由 N C B =60。可得 ZCC,=B C、=2.由 NO CQ=45。，可得 A G=6,）C=布.连接AB A C,则。C J/4区,所以异面直线BtC和G。所成角即为N AB C.在 三 角 形 中，易得AB】=,B C =2,A C
4、 =2,由余弦定理可得c o s Z A B,C=6+4=,2 V 6 x2 4故选：A.3.已知正三棱柱A 8 C-A B|G 中，AB=4,M=3,点M 为 4A的中点，则异面直线 B M 与4G 所成角的余弦值为（）AHV i o r S n V sA.B.C.D.1 3 1 0 7 5【正确答案】A【思路点拨】以AB、AC 为邻边作平行四边形A3OC,以44、AG 为邻边作平行四边形4MRG，连接。4、BD,、,分 析 可 知 异 面 直 线 与 AG 所 成 角 为 或 其 补 角，计算出AB Q M三边边长，利用余弦定理可求得结果.【步步为营】以AB、AC 为邻边作平行四边形A8O
5、 C,以4瓦、AG 为邻边作平行四边形4 蜴。,连接）。、B D、D、M ,如下图所示:因为四边形ABDC为平行四边形，则 AB/CD且 他=8,同理可知 C3/CQ 且CO=C Q,所以，A8/CQ 且 A8=C Q,所以，四边形A 8 2 G 为平行四边形，所以，BDJ/AC、,所以，异面直线3M 与AG所成角为NM 8R或其补角，由勾股定理可得 8W=+=/32+22=岳,BD*=BD2+DD=5,在中，B、D、=4,B、M=2,NMBR=1201所以，D,M2=B&+8*-2B Q BtM cos 120=28,由余弦定理可得cosNMBR=8 +8；-Q 13+25-28 岳2BM-
6、BDt-2x713x5因此，直线BM与AG所成角的余弦值为*.故选：A.4.如图，在正方体ABCD-A B G。中，点 P 为线段8 c 上一动点，则下列说法错误的A.直 线 平 面 AG。B.异面直线B C 与 A G 所成角为45。C.三棱锥尸-A g G 的体积为定值D.平面AC。与底面A8CQ的交线平行于AG【正确答案】B【思路点拨】由直线与平面垂直的判定及性质得到AG 1 B D,D C,1 BQ,得到直线B D,，平面AD,判定A正确；求出异面直线所成角判断B错误；由直线与平面平行说明P到平面的距离为定值判断C正确；由直线与平面平行的性质判断D正确.【步步为营】解：连接用。1 4，
7、AGgA，AG，B B i,B RCBB、=B、,.4c 平 面 阴q,则 AG_L8A，同理。C J B A，.A G ng=C，直线8 4,平面4G。，故A正确；H,A4=cz）,.四边形OAgc为平行四边形，则B.C H A.D,则zm,c,为异面直线B,c与AC所成角，又A。=AG=CQ,则NOAG=60,即异面直线B、c与4G所成角为60。，故B错误；,:B、c/A D,AOu平面 AG。，BCU 平面4G。，.1qc/平面 AG。.可得尸到平面AG。的距离为定值，即三棱锥尸-AOG的体积为定值，故c正确；.4G 平面AfiC。，4G u平面4 C 0,设 平 面 与 底 面ABC7
8、）的交线为/,由直线与平面平行的性质，可得平面46。与底面ABC。的交线平行于AG,故D正确.故选：B.5.已知四棱锥S-ABC。的底面是正方形，侧棱长均相等，是线段A 5上 的 点（不含端点），设 SE与 BC所成的角为仇，SE与平面A8C。所成的角为，2,二面角S-AB-C的平面角为。3,则（）A.仇斗2 9 3 B.0302OM,所以 ta n q ta n a ta n g,即 Oi3i02,故选：D.6.在三棱锥 A-3C O 中，A5J_平面 8C。，BCBD,AB=BC=BD=2,E,尸分别是3C,AO的中点，则直线AE与C尸所成角的余弦值为（）AA 2x/30 0 2屈 万而
9、口 屈A.-B.-C.-D.-15 15 15 15【正确答案】B【思路点拨】取 CE,AF,AC 的中点分别为 M,N,G,作 于。，连接 MG,GN,MN,M0,由直线AE与C尸所成角即为GM与G/V所成角，利用余弦定理求解cos/M G N即可【步步为营】取CE,AF,4 C的中点分别为M,N,G,作N0_L8D于O,连接 MG,GN,MN,M 0,如图，由中位线性质可得GM/AE,GN/CF,得直线AE与CF所成角即为GM与GN所成角,根据题意得：GM=g AE=-/22+l2=此,2 2 2i 仃 r,j22+22,#G N-CF=J(22+22)-(V Z2h Z)2=-MN=yj
10、M O2+NO2=y/MB2+BO2+NO2=(|)2+()2+(1)2=平，八GM2+GN2-MN2 2 回.cosZ MGN=-=-,2GM GN15直线AE与 C F所成角的余弦值为2叵.1 5故选：B7.已知正方体A BC。-44G A棱长为I,尸是棱A4上一点，点。在棱4G 上运动，使得对任意的点，直线尸。与正方体的所有棱所成的角都大于2，则|A P|的取值范围为()A.0|A P|l-y B.l-y|A P|C.D.0 M|4 P|tan=y,所以所以0 4 k p lc 1-4,综上所述,0|A P|l-y故选：A.8.已知，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角
11、边AC所在的直线与?，都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：(1)直线AB与，”所成的角不可能为30;(2)直线AB与，”所成角的最大值为90;(3)直线A8与皿所成的角为6 0 时，4 5 与所成的角为30.其中正确的是()A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(1)(2)(3)【正确答案】A【思路点拨】由题意知,a、AAC三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，MC=1,A B =y/2,斜边A 8 以直线AC为旋转轴，则 4 点保持不变，8 点的运动轨迹是以C为圆心，1 为半径的圆，以 C 坐标原点，以 CD为x 轴，C 8为)轴，C 4为 z
12、轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能可求出结果【步步为营】由题意知，小 心 4 c 三条直线两两相互垂直，不妨平移到同一个交点C,放到一个正方形中，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1,故|AC|=1,|AB|=夜，斜边 A 8 以直线AC为旋转轴则A 点保持不变，B点的运动轨迹是以C 为圆心，1 为半径的圆，设”所在的直线为C Q,所在的直线为C8,所以，以 C 为坐标原点，以 8 为 x 轴，CB为 y 轴，CA为 z 轴，建立空间直角坐标系，则。(1,0,0),A(O,O,1),直线的方向单位向量3=(1,0,0),同=1,直线m 的方向单位向量味=(0,1,0),同=1,设点8
13、在运动过程中的坐标 为 瞅 cose,sin，,0),其中。为 C与8 的夹角，。40,2兀)，且sin*+cos2 1不成立,正确;由 cos a=J _|(cos=1,则0。=等，所 以C D =O，V2O F =,EF =l,26=如2近2O D;4/EDO,ZZMfi=6O,E 为边AB上的点(不包括A B),将沿对角线8。翻折,在翻折过程中,记直线B D 与CE所成角的最小值为a,最大值为夕()A.a,力均与E 位置有关 B.a 与 位置有关，4 与 E 位置无关C.a 与 E位 置 无 关,夕与E 位置有关 D.a,夕均与E 位置无关【正确答案】C【思路点拨】数形结合，作历 B。，
14、利 用 线 面 垂 直 得 到 然 后 找 到 异 面 直 线 所 成 角 NCEP,并表示tanZ C E P=M，通过讨论点C 位置得到结果.PE【步步为营】作 E F/B D 交AD于点F ,分别取E F,BD的中点P,Q连接CQ,CP,A Q,CE,如图，由翻折前该四边形为菱形，且ND48=60。，所以AABRABDC为等边三角形同时尸点在 AQ 上，由 BQ，CQ,BD，AQ,CQc AQ=Q,C Q,A Q u 平面 C PQ所以BO_L平面CPQ,又E尸8。，所以EF_L平面CP。，所以EF_LCP直线B D 与CE所成角即直线E F与C E 所 成 角,该角为NCEPCP所以t
15、anNCEP=A；，由点E 不与A 8 重合，所以当点C 翻折到与点A重合时，CP最小，NCEP=6 0 为最小与点E 位置无关;当没有翻折时，C P 最 大,tanNCEP最大，则NCEP最大，与点“位置有关故选：C二、填空题1 1.如图，E 是正方体4B C D-A B G R 的棱G R 的中点，则异面直线8 R 与 CE所成角的余弦值为.【正确答案】姮5【思路点拨】取 A片的中点F,连接根据题意得出NFBR为 异 面 直 线 与 CE所成的角，利用余弦定理求值即可.【步步为营】取 A 4 的中点尸，连接尸，因为尸,E 分别为4 线,C Q 的中点，所以EFUBC,E F=B C,所以四
16、边形BC砂 为 平行四边形，所以BF/CE,所以N F 8 Q为异面直线BD,与CE所成的角.设正方体 ABC。-A 4G A 的棱长为 2,则 BDt=22+22+22=2 g ,R F=BF=Jf+22=#),所以根据余弦定理，得cosNFBR=12+二与二叵2x2V3xV5 4V15 551 2.如图，在三棱锥4 一8。中，E,F,G 分别是AS,5C,AO 的中点，NGEF=120,则B D与A C所 成 的 角 的 大 小 为.A【正确答案】6 0,【思路点拨】由题中条件结合异面直线所成角的定义可知8。与AC所成的角即为E G与E尸所成的角,再由异面直线所成角的范围可知，E G与E
17、F所成的角为NGE F的补角，最后求解即可.【步步为营】因为E,F,G分别是A 8,B C,AO的中点，所以 E G比）,E F/A C,所以8。与AC所成的角即为E G与E F所成的角，因为N G E F =1 2 0,且异面直线所成角的范围为（。,9（门，所以E G与 所 成 的 角 为N G E的补角，为6 0 ,即30与AC所成的角的大小为6 a .故答案为：6 0 .1 3.如图，A8CO-A8CA为正方体，下面结论中正确的是一.（填写所有正确结论的编号）平面BD RA；B R J,平面A C B、.与 底 面B C C 国所成角的正切值是V2 ;过点A 与异面直线AD与 CA成 6
18、 0 角的直线有2 条.【正确答案】【思路点拨】通过线面垂直的判定定理或性质定理判断，找 出 直 线 在 平 面 B C G 4上射影，示出线面角的正切值判断，求出异面直线A/）与C4所成的角，进一步确定与它们成等角的直线的条件判断.【步步为营】正方体中，A C 上耳2,A G 上8出,且 B，B c ,则AG_L平 面 正 确；正方体中易证AC_L平面8O R 4,由线面垂直定义可得AC_LBR,同理可得 做，8。，AC和 是 平 面 AC片内两条相交直线，因此有8%_L平面A C 4,正确；易证B G 是B R在平面8CCg上的射影，N g 阳 是BDt与平面B C C R所成角，显然ta
19、n ZC,B Q =,错；由AD/BC可得直线A D与CB,所成的角是45,抽象出图形如下，D J!A D,A D M B,C ,N D 4QI=45。，机是N A Q 的平分线，/是其补角NOAE的平分线，机与AQ 和 A 夹角为22.5。，机与A。和 A E 夹角为67.5。，宜线机绕A（在平面A。的垂直平面内，保持与A。，A E 成等角）旋转时，与A 2 4 E的 夹 角（锐角）最大到90。，中间有成60。角的直线，共两条，而直线/同样旋转时，最小角是67.5。，不可能有60。角.所以过点A 与 异 面 直 线 与 C4成60。角的直线有2条，正确.故答案为：1 4.空间四边形 SABC
20、中，AB=A C =BC=2y/3,SA=SB=SC=2下，E、尸分别为AC、SB的中点，平面a 过点A,a/平面SBC,aA Y ffi ABC=l,则异面直线/和EF所 成 角 的 余 弦 值 为.【正确答案】且#4【思路点拨】如图所示，取 A 8中点为Q.B C 中点为G,连接AG,QF,E,SG,证明NFE。就是直线/和E尸所成的角或其补角，再解&EFD即得解.【步步为营】如图所示，取 AB中点为O.B C 中点为G,连接AG,ODE,SG.因为a 平面SBC,a h 平面A8C=/,平面SBC八平面ABC=BC,所以ABC.因为DEBC,所以/F E D 就是直线/和EF所成的角或其
21、补角.因为 A8=AC,CG=8G,;.AG _L 8C.同理 SG J.BC,又 4 7 0 5 6 =&4&5 6 匚平面总6,所以B C L 平面SAG,所以BC，SA.因为&V/DF,所以OE。心又 DE=,D F =&E F =W=2 所以 cos Z.FED=-=.2V2 4所以异面直线/和E尸所成角的余弦值为好.4故答案为：是41 5.在长方体A8C-A B C R 中，二面角力-A B-R 的大小为45。，直 线 与 平 面所成角的大小为30。，那么异面直线AO,与 O q 所 成 角 的 余 弦 值 是.【正确答案】叵.4【思路点拨】由题意画出图形，连接4 月，根据长方体的集
22、合特征可得4 4/C 2,可得N gA A 为异面直线AD,与DCt所成角，然后解直角三角形及余弦定理求得答案.【步步为营】解：如图，根据长方体的几何特征可得，A D lA B,A DtL A B,所以N R A O 即为二面角。-A B-。的平面角，即 ND,AD=45。,AD=AA,乂 z)G 与平面 c o 所成角的大小为3(r,因为CG，平面ABCD,所以即为DC与平面ABC。所成角的平面角，即 ZCDC,=30,DC,=2CC,=2AAi,DC=0CC、=&A4,.连接K g,B R,设 A3=A4|=a,则 AB=G a-.AD1=V2a,AB、=BQ,=2a.又 AD=81G 且
23、 A O/B ,所以四边形ADCt4 为平行四边形，所以AB/c q,所以Ng 即为异面直线AD,与DC,所成角的平面角,在中，由余弦定理可得：cos4A A=g+八生叽也.2x2axV2a 4.异 面 直 线 与。G所成角的余弦值是 巫.4故答案为：县.41 6.已知正三棱柱ABC-A与C,的 侧 面 积 为1 2,当其外接球的表面积取最小值时，异面直 线AG与BC所成角的余弦值等于.【正确答案】21 4【思路点拨】设正三棱柱的底面边长为。，高 为 h,球 的 半 径 为R,先得出=4,然后代=产+:2翳=爰，即=弓 人 时其外接球的表面积取最小值。然后由余弦定理即可求出cosZ D BC【
24、步步为营】设正三棱柱的底面边长为“，高 为 鼠 球 的 半 径 为R,由题意知3 H?=1 2,即a =4,底面外接圆半径言=耳,3由球的截面圆性质知心八M ah _ 4当且仅 当 争 时 取 等 号 将三棱柱补成一四棱柱，如图知 贻 叫即Z D B.C为异面直线A C,与B.C所成角或补角,=D B=y/a2+h2,DC=3 a，所以 cos/D B C =2（a2+A2）-3a22年+)5L 4故答案为：1 4【化龙点睛】异面直线所成的角一般是通过平移转化成相交直线所成的角.1 7.在正四棱柱AB CD-AB GQ中，E为棱B C 的中点，若 8R与该正四棱柱的每个面所成角都相等，则异面直
25、线C 与 8,所 成 角 的 余 弦 值 为.【正确答案】叵5【思路点拨】由题知正四棱柱为正方体，.取5G的中点F，则NFB 2 为异面直线GE与 B 2 所成的角，求出三角形尸8,三边，用余弦定理求解可得.【步步为营】因为8R与该正四棱柱的每个面所成角都相等，所以该正四棱柱为正方体.取8 cl的中点F,则N F B Q为异面直线C,E 与BD、所成的角.设 A 3 =2,则 B F =D、F =区 BD、=2日,八 5 4-1 2-5 5/1 5故 cos/FBI%=-产产-.2x 2V 3 x V 5 5故答案为：平【化龙点睛】本题考查利用集合法求异面直线所成角.两条异面直线所成角的求法：
26、几何法：作、证、求进行求解，通常利用平行线把两条异面直线转换为共面直线.向量法：（1）选好基底或建立空间直角坐标系;（2）设两条异面直线a,匕 的方向向量为石，a.h其 夹 角 为（3）代入公式cos/=卜拓引=产求解（其中。为异面直线4,。所成的角）.ab1 8.我国古代数学名著 九章算术中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）.如图，棱柱ABC-A,B,C,为一个“堑堵”，底面A8C的三边中的最长边与最短边分别为AB,A C,且 AB=5,AC=3,点尸在棱B瓦上，且 P C 1 P G，则当“P G 的面积取最小值时，异面直线AA与 P
27、 C 所成的角 的 余 弦 值 为.【正确答案】12【思路点拨】设直三棱柱的高为x,B P=y,则=由P C L P C,可得彳=上，再证明y&2，平面人。尸，从而得到A P L P G，可得ZAP C,=；x 4 P x C =；x，2 5 +y 2 x J 1 6+(x-y,将 二+丁 代入,利用均值不等式可求得当A4 P G的面积取最小值时，y=2 4 5,由B|B/4 A,所以N C/B1 (或其补角)为异面直线A 4与P G所成的角，从而可求得答案.【步步为营】设直三棱柱的高为x,BP=y,则B/=x-y,因为AA B C直角三角形，且A8=5,4 C=3,则8c =4.所以 P C
28、?=BC2 +8产=1 6 +/,PC-=B C：+与尸=1 6+(x-y)2,由 P C _ L PC,则 P C2+PC：=CC,2,即 l 6+V +1 6+(x y)2=x 整理得x =用 上由棱柱ABC-AB|G为一个“堑堵，则侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形.所以CG _ L平面ABC,又A C u平面A B C,则CG_ L AC又底面A B C是直角三角形，且最长边为A B,则8CJ.AC又CG c BC=C，所以4 c L平面B C B C f u 平面 8 c B e，所以 C f J.A C，且 PC 1 P C,P C Y A C =C所以C f J.平面ACP.AP
29、 u平面AGP,所以AP _ L C/S,APC、=gx APXC P =；X j2 5 +y 2 x J 1 6+(x-y)2=214可+第川4 1+2 b x苛=181 6 x 2 5 r-当且仅当于=二,即y =2 6时，取得等号.由瓦B/AA，所以N C F 4 (或其补角)为异面直线A A与PG所成的角.1 6+/1 8A/5 1 8石 片 8。y 5 5 58.所以 COS/CPBi=j=1,|PC,|1 2 352故答案为：【化龙点睛】本题考查异面直线成角问题，考查线面垂直的证明，考查利用均值不等式求最值，属于较难题.1 9.如图，四棱锥P-A 3 C D的底面四边形ABC。为正
30、方形，四条侧棱PA=P B=P C=P D,点E和尸分别为棱BC和 的 中 点.若 过A、E、尸三点的平面与侧面PC。的交线线段长为不，且异面直线A 8与PQ所成角的余弦值为巫，则该四4棱 锥 的 外 接 球 的 表 面 积 为.【正确答案】48%【思路点拨】连接A E并延长交0 c的 延 长 线 于 连 接F M交P C于G,由此确定所求交线线段FG=x/7,2在 平 面 中，过C作CN/,交F M于N ,利用平行关系得到PG=P C ,根据CZ)A 8,将异面直线4 8与P)所成角转化为N P D C,得到cos NPDC=丫-,进4一步得到P D =五D C，再设OC=&a，在PFG中利
31、用余弦定理求出。=3,从而可确定正四棱锥的底面边长及侧棱长，最后找出外接球球心的位置，构造三角形，利用勾股定理求出外接球的半径，从而可得外接球的表面积.【步步为营】如图，连接A E 并延长交。C 的延长线于M,连接月0交PC 于G,所以平面AEF与侧面PCD的交线线段为FG=b.因为E 为 8 c的中点，所以C 为。M 的中点，在平面POW 中，过C 作 CN P ,交.FM于N,因为c为。w的中点，所以CN=!DF=PF,2 2由 Q V 尸 Z)得，含条;,GC=gpG,PG=|P C,因为异面直线A 8 与P O 的成角余弦值为 迈，又CDUAB,4所以c os N P Z)C=.4由题
32、知，四棱锥P-A B C D 为正四棱锥，在等腰三角形P C中，由c os N P EC=X Z,得PD=&)C，42 4设 DC=。，则尸。=2 a,P F=a,P G=P C =q,在APCD中，由余弦定理得c os Z.DPC=PD2 PC2-CD22PDPC(2 )2+(2 a)2-(/2 a)：3 =2 x 2 a x 2 a 4在 P FG中，由余弦定理可得，FG2=PF2+PG-2PF-P Gc os NDPC,7 =/+()-2 a x ga x(,解得a =3.所以正四棱锥尸-A B C D 的底面边长为3 板，侧棱长为6.连接AC,B D,相交于。一 连接尸0-则 尸 为正
33、四棱锥的高，则 尸？=&2-3 2=3 6.设四棱锥外接球的球心为。，连接O A,在。0 小 中，由 0/=0。；+0 1 4 2 得，(3 5/3-/?)2+32=/?2,解得 R =2 石.所以该四棱锥的外接球的表面积为4;r x(2 6)2 =4 87.故答案为：4 8万.p2 0.已知在平行六面体 ABC。-A B C。中，=ZA,AB=ABAD=60,A=A B =AD,E为A Q的中点.给出下列四个说法：4 C G为异面直线AD与 明所成的角；三棱锥A-A 3。是正三棱锥；CE_L平面BBQQ；CE=-A D-A B+A At.其 中 正 确 的 说 法 有.（写出所有正确说法的序
34、号）【正确答案】【思路点拨】根据异面直线所成角的定义可以判断，利用正棱锥的定义可判断，利用直线与平面垂直的定义和空间向量的数量积运算可判断，利用空间向量的线性运算可判断.【步步为营】对，由题意AO8 C,则NBCG（或其补角）是A与CC,所成的角，由己知4/=120,则AZ）与CC；所成的角为60。，错误；对，根据条件，三棱锥A-A B O的每个面都是正三角形，则它为正四面体，也为正三棱锥，正确；1 1 对，CE=CB+BA+AA,+AiE=-A D-AB+AAl+-A D =-AD-A B+AA,正确；对，根据，又因为访1 -2 1 -2=AD AB-AD+AB2 21 -2 1 -2 1
35、-2=4。AD+-A D -2 4 2：乙 L-/1-4 T -A/-T、=加/，所以 C 8。=层 A。-AB+叼 A。-AB J -+A41A-A41AB 2 i 2-A=-A D片0,所以CE与BO不垂直，错误；1 4故答案为：.三、解答题2 1.如图，在长方体A 8C Q-A 4G A 中，他=4,BC=3,CC、=2.(2)线段8 c 上是否存在点P,使 A P/平面4 cA?【正确答案】(1)存在；P 为B C 的中点时，A P/平面4 C 0.【思路点拨】(1)连接A。与4。交于E,由长方体的性质易知直线A。与8。的夹角即为直线4。与A。的夹角，根据已知边长，应用余弦定理求夹角余
36、弦值即可.(2)若尸为B C 中点，连接E C,易知四边形APCE为平行四边形，由线面平行的判定可得A P/平面AC。，即可确定点的存在性.【步步为营】(1)连接4。与A Q 交于E,由长方体性质知：A D U B,C ,则直线A 4 与 B C 的夹角即为直线A Q 与耳。的夹角，二由题设知：AE=D E =,A D =B C =3,2A cosZ A E D =AE+de-Ad2=_ A ,又线线角的范围为直线A与AtD的夹角余弦值为，即直线A Dt与B,C的夹角余弦值得.(2)若尸为B Q 中点，连接E C,则4 E=P C 且 A E/PC,，四边形4 尸 C E为平行四边形，即A?/
37、C ,又C E u 面 A C Q,其尸 面ACR,二4 尸平面A C Q,故存在，此时尸为8 c 的中点.2 2.如图，在四棱锥P-A B C D中，底面为直角梯形，A D/B C,Z B A D =9 0 ,融 垂直于底面A B C。，P A=A D =A B =2 B C =2,M、N分别为P C、心的中点.(2)求8。与平面A D M N所成的角.【正确答案】(1)证明见解析；(2)9【思路点拨】(1)由题设易得3CL AB,由己知及线面垂直的性质有8。_1面2 4 5,根据线面垂直的判定可证B C _ LP8、P AVAB,再由线面垂直的判定及平行的推论可得面ADM N,最后由线面垂
38、直的性质证结论.B N(2)若B D与平 面 如W所成角为8,由线面垂直易知s i n e：、，即可求线面角的大B D小.【步步为营】(1)由 N8 4 D =9 0 即 又 4 9/8 C,有 B C _ LA B,PA _|_ 面 A B C D,B C u 面 A B C D,P A1BC,而尸A n A B =A,则有 8。_1面 处8,又 P 3 u而 E 4 B,则 8 C _ LP8,由A f i i面A B C D,有 _ LA B,且2 4 =A 6,N为尸8的中点，则A N_ LPB,又为 PC 的中点，有 M N/B C,即 M N _ L P 8,而 A N C M N
39、 =N ,又 A D/B C ,则 A D脑V,即 A,N,O,M 共面，PB _ L面 A D A 7 N,而 D M u面 ADMV,故 P3 _ L M.(2)由(1)知：M_L 面AQMN,若 30与平面ADMN 所成角为。0,g，且 3 c=1,*.B N =2,B D=2 /2 ，则 s i n 0=-=,故 6 =7.B D 2 62 3.如图，为正六棱柱ABCOEF-ABCQ&K，底面边长4 3 =,高 A A|=.（1）若 a=h,求异面直线BQ和 C E 所成角的大小；（2）计算四面体8CR G的 体 积（用 a,来表示）；（3）若正六棱柱为一容器（有盖），且底面边长”和高
40、/?满足：2 +Ga=%（Z 为定值），则当底面边长“和高/?分别取得何值时，正六棱柱的表面积与体积之比最小？【正确答案】（1）a r c c o s 且；（2）且%；a=2k,h=；k,取得最小.1 0 1 2 6 4【思路点拨】（1）延长EE8A相交于G点，延长4耳,4A相交于H点，连接G 4,得 B C F G-是直四棱柱，证明C E/B”,所 以 异 面 直 线 和 M 所成角的大小即为直线B D、和BH所成角的大小.解三角形可得.（2）建立空间直角坐标系，求 出 平 面 法 向 量，求出自到平面m C的距离，可得四面体B C D 书的体积.(3)求出正六棱柱的表面积S=6/74+3百
41、 心 正六棱柱的体积丫=述4%,利用已知2条件，转化为二次函数求得最值，得解.【步步为营】(1)补形如图：延长E尸,8 4相交于G点，延长片耳,8 0相交于H点，连接G”由正六边形性质知8CFG是平行四边形，从而得B C FG-8G E”是直四棱柱，则B C/H F,且BC=H4所以四边形BCK”是平行四边形，所以C耳8”,所以异面直线8 R和C、所成角的大小即为直线BDt和 B H 所成角的大小.在 三 角 形 中，由平面几何知识和余弦定理得：D、H=S a,BH=&,BD、=2a,cos?HBDtBH?+BD：-HD；_ 5/+44 7a2 _ 628Hx 明2 石 x2 10?HBDt
42、arccos哈(2)如图，建立分别以尸B小,尸耳为x,y,z轴的空间直角坐标系，则B(扁 0,0),C(y/3a,a,0),.(华，四,小0,0,/?)B C =(0,a,0),瓯=(-缶,0向，C D.=-,-,h)2 2设平面8C法向量为G =(x,)，,z)n-BC=0n-BF=0ay=0-yjax+hz=0则z3ahy=0百=(30,*)h俗 西I所以R到平面BFC的距离d=H3ah25 3面+9/又耳C =j 4 4 2+层，BC=a,BF、=J 3 a 2+*,BC2+BF,2=FtC2 S01ACBC?BF-a a2+lrV=s?d 1?-a J =a2h卬 呻3 4 3-2历.
43、2 6,+9/1 2(3)由题知，正六棱柱的表面积S =6 a+2仓6 -?2s in6 0 6 t e+3 /3 a22正六棱柱的体枳V =6 仓 4 a2s in6 0?/J a2h2 23 百2_ g a h 又 2 h+W =kS -6 ha+3岛:-4 垢+2岛 2 -4 h+2 6 a、V -h-k-2-h-2 h h2 -1-（h _ k_、）,_ +kS 2 k 2 左 攵 4 1 6k V s所以当二:时，8有最大值，也即取得最小值，此时=4，a=-k4 6【化龙点睛】本题考查异面直线所成角，利用空间向量求四面体体积及利用表面积与体积之比转化为函数求其最值问题，属于较难题.2
44、 4.已 知 圆 台 轴 截 面 488,圆台的上底面圆半径与高相等，下底面圆半径为高的两倍，点 为下底圆弧8 的中点，点 N为上底圆周上靠近点A 的a?的四等分点，经过。I、。2，N三点的平面与弧C。交于点M,且 E,M ,N三点在平面AB C。的同侧.（1）判断平面q o?M N 与直线C E 的位置关系，并证明你的结论；（2）P 为上底圆周上的一个动点，当四棱锥P-A B G D 的体积最大时，求异面直线C P与。8 所成角的余弦值.【正确答案】（1）C E 平面OQMN；证明见解析；（2）巫.6【思路点拨】（1）先证a M C E,由线线平行得到线面平行；（2）设圆台的上底面圆的半径为
45、r,建立空间直角坐标系，表示出向量/，D B，再求解夹角的余弦值即可.【步步为营】(1)C E 平面 圆台的两个底面互相平行，平面。0 5以 与圆台两个底面的交线平行.又因为点N为上底圆周上靠近点A的AB的四等分点，点/为下底圆周上靠近点。的C。的四等分点，7T：.Z A OtN =Z D O2M =.:点E为下底圆弧CD的中点，A Z(?2C=p 所以 a M CE.又 02 M u 平面 O Q M N ,C E 的体积最大时，也就是点尸到平面A8CD的距离最大，此时点P为上底圆周上AB的中点.设圆台的上底面圆的半径为，则高为，O2C =2 r.以点。2为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐
46、标系，则C(0,2r,0),尸(r,O,r),(0,-2r,0),8(0,b),C/=(r,-2r,r).B=(0,3r,r),则 cos(CP,8(r,-2r,r)(O,3r,r)y/br-y/l Or.异面直线CP与QB所成角的余弦值为 姮.6当点尸在AB的另一侧中点时，异面直线CP与OB所成角的余弦值也 是 巫.异面直线C P与OB所成角的余弦值 为 姮.X【化龙点睛】本题采用建立空间直角坐标系的方法求解异面直线所成角，可求出两条直线所在向量,i A C P DB利用c o s(C P,8)=时网，求出向量夹角的余弦值，由异面直线所成的角的取值范围是(。，楙，当所作的角为钝角时，应取它的
47、补角作为两条异面直线所成的角.2 5.已知矩形A B C D 中，A B=3,A D =1,E为 线 段 上 一 点(不在端点)，沿线段AE将折成 4 7 E,使得平面4 5 C _ L 平面ABC.(1)证明：平 面 与 平 面 3 C。不可能垂直；(2)若二面角。一A -8大小为6 0。，(i )求直线A D与 8 c 所成角的余弦值；(i i)求三棱锥。-A B C 的外接球的体积.1 3?【正确答案】(1)证明见解析；(2)(i)-；(i i)4 3【思路点拨】(1)用反证法进行证明；(2)先根据二面角。A E B 大小为6 0。，判断出 E=1.(i)连结),由A O B C,判断出
48、NDAQ或其补角即为直线A D与 B C 所成角.在 三 角 形 中，先求出c o s N D 4 G =22=，再利用二倍角的余弦公式求出直线A D 447与3 c 所成角的余弦值；(i i)取 A C的中点为O ,过O 作0 0 J _ 面A B C于 O ,判断出三棱锥。-A B C的外接球的球心必在0 0 匕 不妨设球心为O.利用8=OC,求出外接球的半径R,即可求出外接球的体积.【步步为营】(1)假设结论不成立，则平面ABiy V平面BCD.过 C 作C F L面A3。于 尸（F 与 5 不重合时），则 CF AB乂 ABC。为矩形，所以C8_LAB；因为C3nCF=C,所以面BCD
49、.相对于BC。，4 3 为垂线，为斜线，所以而Afi=3,AD=i,所以4 3 A D,矛盾.所以假设不成立，所以平面W与平面BC。不可能垂直；过 C 作 CF_L面 板/于F（尸与B 重合时），则面J_面 ABC,这与平面AOCL平面ABC相矛盾，（过平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直）.所以假设不成立，所以平面W与平面8 8 不可能垂直；(2)图(2)图 因为平面ADC 1平面A B C,过 小作DN _LAC于N,则DN 面ABC.过D作D M 1 A C于 M,连结M N,则NOMN即为二面角D 的平面角，所以NDMN=60。.M N 1在直角三角形D M N 中，因为N）M
50、N=60。，所以cos/仞V=一 丁 一 =一D M 2在 图（1）中，以。为原点，反，而 分别为X、），轴正方向建立平面直角坐标系，则D（0,0）,A（0,-l）,C（3,0）,E（r,0）,（0 r AO或其补角即为直线A 0与 BC在三角形2 X4。中，AD=AD=1，DD=yjDN2+DN2=j f 1 +述=A过 A作 AG垂直DO 于G,则 G为 的 中 点，所以c o s N D 4 G =空=9,AD 4所以 c o s ZDAD=c o s 2ZDAG=24即直线.与 B C 所成角的余弦值为？(i i)图(2)在直角三角形D A N 中，A D，=1,ND，=旦,所以4A