《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点3：几何体表面积的求法综合专练（教师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点3：几何体表面积的求法综合专练（教师版）.pdf（28页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点3：几何体表面积的求法综合专练（解析版）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1.已知四棱锥P-4 3 C D 的侧棱均相等，其各个顶点都在球。的球面上，A B =B C,Z A B C =90 ,A D =2&，8 =2,三 棱 锥 的 体 积 为 与，则球。的表面积为（）【正确答案】A【思路点拨】山四点共圆，可得出N M Q=9 0。，进而求出截面圆的直径，再根据体积可求出四棱锥的高，然后根据勾股定理，可求出外接球的半径，最后直接套表面积公式，可求得答案.【步步为营】如图，F为 A C中点，由题意可知P F 为四棱锥的高,:各 个顶点都在球。的球面上，Z A B C =90 ,；.A、B、
2、C、。四点共圆，且 A C为直径，ZA B C=ZA D C=90 ,又；4。=2 后 C D =2,：.A C=lA D2+C EP=V 12+4=4在 R M A B C 中，A C J Z A B?,解得AB =2 应，同理可 得 所=2.三棱锥P-M C的体积为与，Vix S.ABC x P F =；x g x 2 夜 x 2&x 尸尸=与，解得小=4,、5设0 P二 人 则小 在 RMOES中，r2=（4-r）+22,解得r=球 0 的表面积为4 万产=4?rx2 5 7.故选：A2.攒尖顶是中国传统建筑屋顶表现手法，多用于面积不大的建筑，如故宫的中和殿.攒尖根据脊数多少，分三角攒尖
3、顶、四角攒尖顶、六角攒尖顶、八 角 攒 尖 顶，具有较 强 的 艺 术 装 饰 效 果.一建筑屋顶想采用攒尖形式，有三种设计方案，三角攒尖，四角攒 尖，八角攒尖，若将三种方案中屋顶分别看成正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的侧面，且各正棱锥底面面积相同，各正棱锥侧面与底面所成角相等.那么三种设计中正棱锥侧面 积 最 小 的 为（）A.三角攒尖B.四角攒尖C.八角攒尖D.面积一样大【正 确 答 案】D【思路点拨】先分别表示出正三棱锥，正四棱锥，正八棱锥的底面积，再求出对应的侧面积，结合已知条件即可求解【步步为营】设正三棱锥的底面边长 为“，底面中心到边的距离为匕，底 面 积 为 色，侧 面 积 为S；
4、;设正四棱锥的底面边长为c,底面中心到边的距离为d,底 面 积 为54,侧 面 积 为S；;设正八棱锥的底面边长为e,底面中心到边的距离为F,底 面 积 为 以，侧 面 积 为S；;1 3 1 1S3=ab3=ab,S4=cdx4=2cd,58=e/,x8=4ef,因为底面积相同，所 以&=54=$8,因为侧面与底面的夹角相等，设 为。，所以正三棱锥，正四棱锥，正八楼锥侧面每个三角形的高分别为一1,工,工C OS e c o s，c o s夕所 以 邑=-*3=用 也=9工，2 c o s。2 c o s 6 c o s。0,1 d.led S 42 c o s，c o s。c o s。C，1
5、 f Q Aef S82 c o s 0 c o s 0 c o s 0又 邑=S4=$8，所以S；=S：=S；，所以侧面积一样大，故选：D3.已知A B 是球。的球面上两点，4 4 0 8 =2,P 为该球面上的动点，若三棱锥0-抬562的体积的最大值为:，则球。的表面积为（）A.12万 B.16兀 C.24万 D.36乃【正确答案】B【思路点拨】首先确定P到面A 0 B的距离最大时P到面A 0 8 的距离为球的半径长度，再利用棱锥的体积公式列方程求球体半径，进而求球的表面积.【步步为营】若球的半径为R,要使0-%8 的体积的最大，即尸到面A 05的距离最大，二当P到面A O B的距离为R时
6、，O-P A B的体积的最大，|1 D3 2此时，P A B=-R x-R2sinZAOB =-,则 R=2,-PAB 3 2 12 3，球。的表面积为4万/?2=16万.故选：B4.已知在四面体ABC。中，AC=3,其余棱长均为2,则该四面体外接球的表面积是（）284A.B,8万 C.12 D.3243【正确答案】A【思路点拨】由球的性质可知四面体外接球的球心必在过A3。和AC3）的外接圆圆心且与所在而垂直的直线上，结合条件利用勾股定理即求.【步步为营】取 的 中 点 E,连结AE,CE,在AACE中，AE=CE=B AC=3,可得ZAC=120。.四面体外接球的球心必在过AB。和ACBD的
7、外接圆圆心且与所在而垂直的直线上，设AC Q,外接圆的圆心分别为0，02,作L 平面C3。，。劣，平面4 如，则。即为四面体A8C。外接球的球心，连结0E,如图,在 R3OO1 中，0,E=4,NOE。=60。，所以O Q=1,在 RtZSOO。中，o C=巫,所以。？=产+32=7 3所以四面体ABC。外接球的表面积为4乃xg=狰.故选：A.5.如图，已知四棱柱A 8C 0-4B 1G O I的底面为正方形，且侧棱与底面垂直，点 01为 A C”B id 的交点，点。2为 AC,8 0 的交点，连接0 0 2,点。为 0 0 2 的中点.过点0且与直线AB平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的
8、最小值和最大值分别为1和 加，则四棱柱A B C D-A iaG O i的表面积为（）【正确答案】D【思路点拨】当截面平行于平面ABC。时，截面面积最小；当截面为平面A4C0 时，截面面积最大.根据题设条件列出方程，然后求出正四棱柱的底面边长和高，即可求出四棱柱A8CO-的表面积.【步步为营】由题意知四棱柱A8C）-48iG i为正四棱柱，设正四棱柱的底面边长为“，高为/?因为过点。且与直线A8平行的平面截这个四棱柱所得截面面积的最小值和最大值分别为 1 和Vio,可知当截面平行于平面A 8co时，截面面积最小;当截面为平面A4C。时，截面面积最大.所以a2=1=解得a=1h=3丁是四棱柱 A
9、 BCD-A1B1C1D1 的表面积为 2/+4RI=2+12=14故选：D6.如图，平面A8CD，平面ABEF,四边形48。是正方形，四边形ABE/是矩形，若G 是 防 的 中 点，AF=,而.册=-2,则三棱锥C-ABG的外接球的表面积是（）A.6万B.10万C.8乃D.Un【正确答案】C【思路点拨】利用已知结合数量积的运算求解A 3,可得AAGC为直角三角形，再由AABC为宜角三角形，可知AC为三棱锥C-M G 的外接球的直径，再由球的表面积公式得答案.【步步为营】解：衣=而+而，的=丽+;丽=而4亚,.Ad.旃=（福+布）（而一；防，又QA8、A尸、AO两两相互垂直,1-2ACBG=-
10、A B =-2,即 AB=2,AG2=AF2+FG2=2,GC2=BC2+BE2+EG?=6,AC2=AB2+BC2=8 则 AAGC 为直角二角形,又A ABC为直角三角形，AC为三棱锥C-ABG的外接球的直径,则三棱锥C-A B G 的外接球的表面积S=4 G（苧2=8万.故选：C.7.如图所示，正 方 形 的 边 长 为 2,切去阴影部分围成一个正四棱锥，则正四棱锥的侧面积取值范围为（）BB.1,2【正确答案】DDC.0,2D.(0,2)【思路点拨】折叠围成一个正四棱锥，设四棱锥一个侧面为三角形APQ，ZAPQ=xf利用平面几何知识得到PQ=2,A”=!竺，求得s 二 -T 二 一二 利
11、 用基本不等式得解.l+tanx 1 +tanx；+tanx+2tanx【步步为营】设四棱锥一个侧面为三角形APQ,ZAPQ=xfm.i.1 n八 AC PQ 25/2 PQ FT 1 八贝 AH=x PQx tanx=-=-=。2 PQ,2 2 2 2：.PQ=-,A H=,1 +tan x 1 +tan x：.S=4xxP Q xA H =2xPQxAH2V2 5/2 tan x 8tanx=2 x-x-=-,l+tanx 1 +tan x(l+tanxxe7 1几7 58tanx _ 8tanx(1+tan x)2 1 +tan2 x+2tanx8-F tan x+2tanx 0,故S
12、0,4；S=2 时，三角形APQ是等腰直角三角形,顶角NPAQ=90。，阴影部分不存在，折叠后A与O 重合，构不成棱锥,.S的范围为（0,2）.故选D.AC用角度的正切值表示正四棱锥的侧面积是解题关键.8.如图，在四棱锥P ABCD中，叨，平面ABC。，底面A8C 是梯形，AB/CD,2乃Z B C D ,AB =4,P D =B C =C D =2,则四棱锥PABC。的外接球的表面积为【正确答案】C【思路点拨】结 合 平 面 ABC。，作MN 尸 ,使得M N =P D,以及底面为梯形，利用四棱锥的几何特征，得出球心为MN的中点，以及 直 角 三 角 形 中 求 出 球 的 半 径，即可得到
13、表面积.【步步为营】因为AB/CD,Z B C D =-y,所以乙4BC=。.取A 8的中点M,连接MC,M D,易得M C =M D =2,所以梯形ABC7）的外接圆的圆心为例.过点、M作MN/PD（N 与 P 位于平面A8CD的同侧），使得MN=PD,取MN的中点。，易得。尸=8,故。为四棱锥P-4 3 c o 的外接球的球心.因为 OE=+=6,所 以 四 棱 锥 4 8 8 的外接球的表面积为4 0（石）2=20万.故选：C9.四面体A3C）的四个顶点都在球。上且A8=AC=3 c =8=8=4,A D =2限,则球0的表面积为（）70兀 80KA.B.C.307r D.40兀3 3【
14、正确答案】B【思路点拨】作出图形，根据题中的数据证明平面ABCJ平面B C D,并找出球心的位置，列出等式求出外接球的半径，结合球的表面积公式可得出结果.【步步为营】A取BC的中点“，连接AM、D M,设和BCD的外心分别为尸、E,分别过点F、E作平面ABC和平面BC。的垂线交于点0,则点0为外接球球心.由题意可知，AABC和BCD都是边长为4的等边三角形.M 为 BC 的中点，A M 1 5 c，且 A M =D M =2 6：.A D =2娓A M2+D M2=A D2,A M D M j 8Cc OM=C 平面 5C3A u平面ABC,.平面A B C，平面B C D易得 ME=MF=空
15、，B E=-D M =,3 3 3 3.A M，平面 B CD.OE，平面 B C D :.OE/AM同理可得。尸。M,则四边形OEM尸为菱形，.AM A.D M ,菱形OEA/尸为正方形，.-0七 _1 _平面8 0）,8仁平面5。.0 ，跖所以外接圆半径为08=1。七2 +8炉=巫,3on因此，四面体ABCD的外接球的表面积为4乃xOB2=T；r.故选：B【化龙点睛】这个题目考查了外接球表面积的计算，找出球心位置，并计算外接球的半径是解答的关键，考查推理能力与计算能力.1 0.已知点A.8、C、。都在球。的球面上，AB =AC,BC。是边长为1的等边三角形，AO与平面8CQ所 成 角 的
16、正 弦 值 为 ，若AO=2,则球。的表面积为（）3A.冗 B.4万 C.8万 D.16 7r【正确答案】B【思路点拨】若E是BC的中点，则0 是4 BCD的中心，连接O E,由线面垂直、面面垂直的判定可得面3 a 1面AE。，过A 作 AF_L面 88,由面面垂直的性质知尸必在直线OE上，即44尸为A与面BCD所成角，再过。作O(7_LDE 交AO于。，结合已知可知O 是O F中点，。为的中点，即可确定球心的位置，进而求表面积.【步步为营】由题设，若 E 是8 c 的中点，则。是4 8 c o 的中心，连接O E,如下图示：由题设知：DEA.B C,AE B C,又 A E H O E=E,
17、则 8。_ 1 _ 面 4,而B C u面B C D,即面8 8 _ 1 面 40,过 A 作 AF_Lfij8C),则尸必在直线DE1 上，易知：NADF为AO与平面BC。所成角的平面角，又 4)与平面5 8 所成角的正弦值为 迈，4 5 =2,可得D F 二 空.3 3过O 作OOJ_)E 交 A)于。，易知：O D =O B =OC,而0 力=且，即。7)=,。尸，又 A F H O O ,故。为4。的中点，。=。4,3 2：.O D =OB =O C =O A,即。是球心，故球。的半径为1,二球。的表面积为4万.故选：B【化龙点睛】关键点点睛：利用线面垂直、面面垂直的判定及性质，结合线
18、段的数量及位置关系确定球心的位置，进而求半径，即可求外接球的表面积.二、填空题11.如图，在 AABC中，AB =A C =s3,cosZBAC=-p。是棱BC的中点，以 4。为折痕把ACD折叠，使点C到达点C 的位置，则当三棱锥C-A3。体积最大时，其外接球的表面积为.【正确答案】5 7【思路点拨】由已知求出B C =20，当C OL B D,即CZ)，平面加，三棱锥C-A 8 D 体积最大,再利用模型法求出外接球半径即得解.【步步为营】在 AA8 c中，因为 A8=A C =百，c o s Z BAC=-1,由余弦定理可得SC?=A82+4 C 2-2 4 8-A CCOSA=3 +3 2
19、X-73 x-x()=8,fff y,B C-2 /2 当CD上BD,即C )_ L平 面 迎，三棱锥C-A6 体积最大，此时C。、D B、D 4 两两垂直，可把三棱锥补形为一个长方体，且长方体长、宽、高分别为：1,忘,&,所以三棱锥C-A B D的外接球半径为：D-B D-+A D1+C-D2 J+(0)2+(0 2 亚K-2 2 2所以外接球的表面积为S=4兀R。=4TTX(-)2=5%.故答案为：5 万1 2.学生到工厂参加劳动实践，用薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8万，则该 圆 柱 体 的 外 接 球 的 表 面 积 的 最 小 值 是.【正确答案】8(6-1)乃【思路点拨】设
20、圆柱底面圆半径为r,结合已知表示出圆柱的高，再利用球及其内接圆柱的特征求出球的表面积与r 的函数关系结合基本不等式即可得解.【步步为营】4设圆柱底面圆半径为r,高为，则有2 万，+27rM=既，整理得力=-r(0 =2,A）=3 C =3,A C =B4=的长方体，则该长方体的外接球即为四面体的外接球，即得解【步步为营】如图所示，构造对角线长分别为A B =8=2,A D =5 C =3,A C =B =折6的长方体,则该长方体的外接球即为四面体的外接球不妨设从A点出发的三条棱长分别为x，）；z,外接球半径为R,如图所示则x2+y2=A C2=10y2+z2=A B2=4x2+z2=A D2=
21、94R 2=x2+y2+z2解得出=,即外接球的表面积为4乃用=4万*号=与o o 2故答案为：等2 3 414.如图，在长方体A B C D-A B G A 中，已知AA=-点M,N 分别在棱ZM,DC上.二面角D-M N-D、的大小为30。.若三棱锥R-D M N的体积为卫叵，则三棱锥9DDMN的 外 接 球 的 表 面 积 为.【正确答案】【思路点拨】由题条件可求MN=4,再 利 用 长 方 体 的 性 质 可 得 三 棱 锥 的 外 接 球 的 半 径，即求.【步步为营】如图过。作。于 E,连。E,则，由长方体的性质可知，OQi_L平面A8CQ,：.DDVMN,D D Q D E=D,
22、平面 DED二Z DE D为二面角D-M N-D,的平面角，.ZD|=30:,又 A A=孚，=4,又三棱锥口-OMN的体积为卫 也,9.32遥 _1 n n _ c.一 二 3处M，UU 二个 QNM X-Y，:SW M=8=3MN-DE,:.MN=4,设三棱锥D D M N的外接球的半径为R,则64T(27?)2=DM2+D N2+DD;=M N2+D D；=42+647r.三 棱 锥D M N的外接球的表面积为等.八 八.,，工.64兀故答案为：w 1 5.在三棱锥 中，PA=P C =A B =A C =,=BC=&,则三棱锥产一ABC的外接球的表面积为.77【正确答案】y【思路点拨】
23、根据题设长度关系，可 证 明 平 面P A C,由正弦定理可得A4C的外接圆半径为即可得在 AABC 中，AB =A C =,B C=E，所以 AB?+AC2=BC2,所以 AB_LAC,在PAB中，AB =PA=,PB =yJi,所以AB+RV=尸82,所以43 _ LB4.又P Ap|AC=A,PA,A C u平面P AC,所以AB _ L平面P AC,在 P AC中，PA =P C =A C =l,i i _ G所以P AC的外接圆半径为了 一 =丁，s in 3不 妨 设 的 外 接 圆 圆 心 为Q,三棱锥P-A B C的外接球球心为。连接。由于。4=03,故0在线段4 3的垂直平分
24、线上，即O Q=-AB=-外接球的表面积为4加片=号.故答案为：告16.已知正四棱柱的对角线的长为迷，且对角线与底面所成角的余弦值为 正，则该3正 四 棱 柱 的 全 面 积 等 于.【正确答案】10【思路点拨】结合已知条件分别求出正四棱柱的底面边长和高即可求解.【步步为营】山题意，正四棱柱A B C D-A M G R如下图:不妨设正四棱柱4 8 C O-A 8 G。底面边长为a ,1 AA 1=力,由已知条件可得，|B Dy|=cr+/+肥=2cr+h2=(V 6)2=6,又因为。_ L底面A B C D,所以对角线B D与底面ABC。所成角为N DB1,因为对角线与底面所成角的余弦值 为
25、 史，3所以cosZD B p=警 =毕=且，解得。=1,从而6=2,B Dt V6 3故该正四棱柱的表面积S=lx2x4+lxlx2=10.故答案为：10.7 T17.在三棱锥O A8C 中，平面43C_L平 面 的,A B A D,A B =A D =49 A C B =-96若三棱锥。-A B C 的四个顶点都在同一个球面上，则 该 球 的 表 面 积 为.【正确答案】807【思路点拨】设的外心为。一 半径/，三棱锥O-A B C 的外接球球心0,半径R,应用线面垂直的性质及矩形、外接球的性质，结合正弦定理即可求。、r，由代=产+。0；求出R,即可求外接球表面积.【步步为营】设AABC的
26、 外 心 为 半 径，三棱锥D-A 8 C 的外接球球心。，半径R,过。作力。的平行线，过。作A。的平行线，两条直线交于E,:面 ABC1.面 AB,面 A8CCI面A B A.A D,4)u 面ABD，A)J_ 平面 ABC,又。J-平面 ABC,.OQ J/4。，则四边形A D E为矩形，而OD=O A,即。为 E(Z 中点，即。=2,2-F _A_B_ _ _4_ S&在“U3C中，由正弦定理得：-$出4 4 6 8 一 .乃 一，所以r=4,sin 6,R 2=4。2 =r +O O；=16+4=20,5=4万?2 =80万.故答案为：80万.ED【化龙点睛】关键点点睛：利用线面垂直、
27、矩形、外接球的性质求点面距，再利用正弦定理求外接圆半径，进而求球体的半径.18.如图，四棱锥尸-ABC。的底面是边长为2的正方形，融_1底面ABC。，PA=2,若在四棱锥内挖掉一个体积最大的圆柱，则 剩 余 几 何 体 的 表 面 积 等 于.【正确答案】8+4&+，【思路点拨】首先将挖掉的圆柱放在一个正四棱柱里面，根据体积公式列出圆柱体积的表达式，利用导数工具判断体积最大值时圆柱的高和底面半径，最后求出剩下几何体的表面积即可.【步步为营】如图，在四棱锥P-ABCD内作出正四棱柱AMNK-HEFG,其中点E,F,C,H,M,K分别在棱尸8,PC,PD,PA,AB,A）上，则要使挖掉的圆柱体枳最
28、大，则需其底面圆为正四棱柱AMNK-HEFG底面的内切圆，连接尸，设挖掉的圆柱的底面圆半径为，高为，则，尸=2&r,AH=h.连接AC,易知点N 在 AC上、在平面PAC内,c,贝 嘿噜,即翳甘,艮 tt，故挖掉的圆柱的体积V=万 尸 2 =(1 3)=?(/?-42+4)，0 A 2.则 Vr=-(3ft2-8/?+4)=-(h-2)(3 -2),4 42 2当0 。0,当。2 时，F 0,所以当力=:2 时，挖掉的圆柱体积最大，此时=：2,故剩余几何体的表面积等于四棱锥的表面积与圆柱的侧面积之和，即剩余儿何体的表面积S=2x(gx2x2)+2 x(g x 2 x 2&+22+2r/z=8+
29、4 7 2+2 x-x-=8+45/2+.3 3 9故答案为：8+4啦+小【化龙点睛】本题主要考查圆柱的体积、几何体表面积的求解，考查考生的空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力.试题以考生比较熟悉的几何体为载体，需要借助图形建立数量关系，对考生思维的灵活性要求较高，考查的学科素养是理性思维、数学探索、数学应用.1 9.我国古代 九章算术中将上，下两面为平行矩形的六面体称为刍童，如图的刍童A B C D-E F G H 有外接球，且 AB =4区 A D =4,EH=4瓜 EF=472,点 E 到平面 A B C D距离为4,则该刍童外接球的表面积为【正确答案】1287r【思路点拨】由已知得
30、,球心在上下底面中心的连线上，该连线与上下底面垂直,球心必在该垂线上,然后根据。8 =O G,利用直角三角形。与直角三角形。?8,即可列出外接球半径的方程，求解即可.【步步为营】连接“尸、EG 交于点。一 连接4 C、OB交于点。2，山球的几何性质可知，刍童外接球的球心。必在线段。2上，如图，由题意可知，。2,平面ABC。，。，平面及6”，。2。=4,设。2。=，在 ROGO|中，OG?=0 0：+0。2,在矩形 E F G H 中，E G =yjEF2+F G2=#&了+卜=8&，QG=g EG=4 0 ,O G2=OO-+O,G2=（4-r）2+（4V2）2,在 RTAOBO?中，O B2
31、=0 0；+O2B2,在矩形 ABC。中，DB =yjAD2+A B2=42+（473）2=8.O2B =B D 4 ,O B2=O O 1+O2B2=r2+42,设外接球半径OG=O8=R,，（4-r f +卜友=,+4 2,解得厂=4,则OB =7不=4&，即该刍童的外接球半径为R=4近,该刍童外接球的表面积为：4万齐=128万，故答案为：128万.【化龙点睛】方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法（1）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.(2)若球面上四点P,A,B,C
32、构成的三条线段P A P B,P C两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用PA2+PB2+PC2=4内 求解.2 0.在三棱锥S-A B C中，A B C是边长为2的等边三角形，AS A B是以A B为斜边的等腰直角三角形，二面角S-A 3-C的大小为9 0 ,则该三棱锥外接球的表面积为【正确答案】g乃【思路点拨】取A B的中点。，连接S O,C D,设“A B C的外接圆的圆心为O,连接4 0,B O,S O,根据二面角和勾股定理求得A O =B O =C O =S O =拽，求得球心和球半径，由此可求3得球。的表面积.【步步为营】取A 8的中点。，连接S D,C D
33、,设“A B C的外接圆的圆心为O,连接A O,B O,S O,因为AA B C是边长为2的等边三角形，AS A B是以A 8为斜边的等腰直角三角形，所以S D A B,C D 1 A B,所以N S O C就是二面角S A 3 C的平面角，又二面角S A B C的大小为9 0，所以Z S D C =9 0 S又 A O=B O=C O=2x立 乏=吏 ,S D =,D O =2 x x-=,2 3 3 2 3 3所以s o=JSD?+DO。=卜+亭 =苧所以A O=B O=C O=S O=，所以点。就是三棱锥S-A B C外接球的球心，其球半径为 友，3/的延长线于E,则 4 E D C=1
34、 8 0-Z A D C=4 5 ,E C =C D-si n450 =2.E D =C D-c o s4 5 =2,C F =A E4,B F =A B-A F =3、B C =M+42=5.故圆台的上底面半径r=2,下底面半径R =5,高/?=4,母线长4 =5.圆锥底面半径r=2,高6 =2,母线长=2 百.所以圆台侧面积E =万(&+r)l2=(5 +2)x5 =3 5 乃,圆锥侧面积x/,=；x2;rx2 x2&=4&;r,圆台底面积邑=*=2 5 乃故该几何体的表面积S =E +S 2 +S 3 =3 5 万+4 0 1+2 5 万=(6 0 +4 及)万又：圆台的体积V g l
35、s+S +dr M7)/?=g(4 乃+2 5 乃 +J 4%-2 5 万)X 4 =,圆锥的体积匕=；S/=g x 4/x2 =中,所以四边形A 8 C Q 绕 AO旋转一周所成几何体体积V =匕-匕=等-等2 3.如图，已知图1 中AABC是等腰三角形，A C =B C,D,E分别是A C,B C的中点，沿着D E把KDE折起到 CD E,使得平面CDE1平面B A D E，图2 中A =也，A B =4,F为 8c的中点，连接E F.(I )求证：F 平面A C 7)；(H)求四棱锥C-ABED 的侧面积.【正确答案】(I )证明见解析；(H)2 夜【思路点拨】(I)取4 7 中点6,连
36、接。6,E G,可得四边形QEFG是平行四边形，即得ZJG/E/,即可证明；(I I)由线面垂直和面面垂直的性质得出垂直关系，计算出各边长度即可得出侧面积.【步步为营】(I)证明：取 AC中点G,连接。G,FG,由点尸、G 分别是8 C,A C 的中点，得G F/M B,GF=AB,又 DE/AB ,D E =-A B .2所以四边形D E F G是平行四边形，所以DG/EF,且 E尸丈平面ACT),)Gu 平面 AC。，所以。平面AC7。；(I I)因为AABC是等腰三角形，A C B C,A D =近,AB =4,所以 ZAC3=90。，所以AABC是等腰直角三角形，且 AC=BC=2分别
37、取E、A 8的中点“、/,连接C 4,H I,C I,从而有C，_L)E.又因为平面C DE J平面B A D E,平面C D E c 平面B A D E =D E,所以C H,平面8AOE,又 印 u 平面B A D E,所以CHIH/,在(?”/中，CH=HI=l,；=五，又翻折后，CA=C B,在 CZ4 中，CA=46 ,四棱锥C -A B E D的侧面积为：S=-x 2 x l+2xlxJ(x/2)2-()2 x +-x4x/2=l+/3+2/2.2 2 V 2 2c【化龙点睛】关键点点睛：本题考查几何体表面积的求解，解题的关键是由线面垂直和面面垂直的性质得出垂直关系，计算出各边长度
38、.2 4.正四棱台A B 8-A B C。的下底边长AB=6石，它的内切球半径为3.（1）求正四棱台的表面积S表；（2）求 4 用与底面ABC。所成角的正弦值.【正确答案】（1）52；（2）显.4【思路点拨】（1）利用正四棱台和球的对称性，做轴截面，观 察 数 据 特 点 得 出 长 度，可得上底面正方形边长，利用等体积法求出表面积；先找出线面角为N4AM,利用正四棱台的特点，求出4。=4 6 ,AB、=4底,即可求出角的正弦值.【步步为营】(1)如图，做该正棱台的轴截面，J3 N E中，G N =3,NE=3瓜2 G N E =9V,所以6 =6,/6 硒=3 0 ,根据对称性，Z Q E
39、G =3 0 ,故N Q E N =6 0 ,N M P Q =1 2 0 ,所以 N M P G =6 0 ,：GM =3,:.MP=正四棱台上底面是一个边长为2 6 的正方形，；5 表 3 =1 (2 )2+(6A/3)2+J(2 6)2 ,与底面A 8 C O 所成角为,M Q=2瓜 B、M =6,:.B Q =4 ,A Q =4 石,A Bt=4 7 6 ,s i nZBtA M=-=-.【化龙点睛】充分利用正四棱台及其内切球的对称性，利用轴截面来找出突破口，以及等体积法的应用，找准线面角，再进行求解.25.如图,两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体,可放入棱长为2 的正方体中，重
40、合的底面与正方体的某一个面平行，各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.(1)若正子体的六个顶点分别是正方体各面的中心，求该八面体的表面积.(2)此正子体的表面积S是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出表面积的取值范围.【正确答案】(1)4 x/3;(2)不是，4 6,8&.【思路点拨】(I)根据题意，正子体的所有棱都是正方体相邻两个面中心的连线，则正子体每个面都是正三角形，进而求出表面积；(2)设平面A B C。截正方体所得截面为A B C D ,设A A=x(O W l),进而算出的面积，从而算出正子体的表面积即可判断.【步步为营】(1)依题意，正子体任
41、一棱都是正方体相邻两个面中心的连线，所以正子体所有棱的长均相等.因为4 8 =夜，所以S ABE=X(6 力,故该八面体的表面积为 x8 =4 /3 .2(2)正子体的表面积5不是定值.如 图1,设平面A 3 C D截正方体所得截面为AB CD，且AB CD的中心为0,过点。作O G J.A *,垂足为G.设 A A=X(0 W1),则 A G =1 x,AE2=DE2=AO2+OE2=(-X)2+=X2-2X+3,AD2=(2-x)2+x2=2(x2-2x)+4.设A力的中点为H,如图2,贝IJA“2=(券)=1(X2-2X)+1,图2EH2AE2-A H2-2X)+2,所以(L,*)2=%CH2=；2(X2 _ 2X)+4 1(X2-2%)+2=1(?-2x)2+|(?-2x)+2.因为 OMxWl,所以IVx，2 x 4 0,则2x)+-(x2 2x)+2 2,故 在4具.4&,所以4 6 4 s 48夜，所以此正子体的表面积S的取值范围为4石,8应.