《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点6：证明线线、线面平行的方法综合专练（教师版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021-2022学年高考数学空间向量及立体几何综合专练-考点6：证明线线、线面平行的方法综合专练（教师版）.pdf（38页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点6：证明线线、线面平行的方法综合专练（解析版）学校:姓名:班级：考号：一、单选题1.已知平面&与夕为两个完全不重合的平面，乙与4 也为两不同的直线，则对此下列说法正确（）A.若 a 夕，4JL面 a,则匕_ 1_面“B.若 卬/4,面 a匕，则 4 面 aC.若 aL1,k，则面a 面“D.若面a_L面“，4_1_面 a,则心 面“【正确答案】A【思路点拨】根据直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可.【步步为营】解：对于A,若已 /?,面a,由 面 面 平 行 的 性 质 可 得 面 用，故 A 正确；对于B,Lt/L2,面 /B.PA/面 M B DC.四棱锥M-A
2、BCD外接球的表面积为18万 D.四棱锥M-A3CZ）的体积为6【正确答案】B【思路点拨】根 据 面 面 垂 直 的 性 质 定 理 得 出 平 面 尸 8,从而可判断出选项A 错误；证明出O M H P A即可判断出选项B 正确；判断出AB,。的交点。为四棱锥-A B C D外接球的球心，从而求四棱锥M-A B C D外接球的体积，从而判断选项C 错误；通过求四棱锥尸-ABCD的体积来求四棱锥M-M C O 的体积，从而判断选项D 错误.【步步为营】在四棱锥P-A 8 c o 中，因为侧面PCD_L平面ABC。，面尸C)n 平面ABC。=8,BCA.CD,所以BC_L平面尸 8,因为过点B
3、只能作一条直线与已知平面垂直，所以选项A 错误；连接AC交于0，连接MO,在中，OM/PA,M0=面 MB。，P A a面A78D,所以/W/面 M B D,所以选项B 正确；取 C。中点N,连接P N,在矩形ABCD中，易得AC=6,OC=3,CW=石，在 APC 中，NM.P C =m,在 RtAMNO中，MO=jON2+MN2=3 所以 OM=OA=O3=OC=OD,所以0 为四棱锥M-ABC。外接球的球心，半径为3,所以其体积为36万，所以选项C 不正确；四棱锥M-A 8 c的体积是四棱锥尸-ABCD的体积的一半，因为 PN _LC),侧面面 A8C。，面 PCn平面 A8C=CZ),
4、所以 PNA 平面 ABC,PN=3 0，所以四棱锥M-A 8 8 的体积VwrBco=gx；x2百 x 2 x 3&=1 2,所以选项D 错误.故选：B.3.已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，点 E 是 S 8 的中点，则直线AE,SZ)所成角的余弦值为()A、.-2-0-n 76 君 n 1B.C.D.-3 3 3 3【正确答案】C【思路点拨】由题意画出图形，连接AC,B D,交于。，连接EO,SO,可得O S ),则 NAEO为直线A E 与直线SO所成的角，证明A C,平面S8D,AC J_ O E,则求解直角三角形得答案.【步步为营】解：如图，连接AC,B D,交于0
5、,连接EO,S。,则 SOJ.平面 A B C Q,又 ACu 平面 4?C ),所以 S0_LAC,因为正四棱锥S-A B C D的侧棱长与底面边长都相等，则A C BD,又 B D c S 0 =0,所以 HC_L平面 S3D,又O E u平面S 8 D,所以AC_LOE,在AS3D中，。为8。的中点，点 E 是SB的中点，所以EO，则直线AE与直线S 所成的角为ZAEO或其补角,设正四棱锥S-43C D 的棱长为2,则 AO=0,A E =6在 Rt A O E 中，E 0 =-J A E2-A O2=(扬2 T 扬 2 =1,Fn E O 1 GAE G 3即宜线AE,SO所成角的余弦
6、值为迫.3故选：C.4.设山，“为两个不同的直线，a,夕为两个不同的平面，则下列说法中不正确的是()A.若加/，J尸，m ua ,则1_1_/B.当 m 与a 平行时,若与”不平行，则与a 不平行C.若 a-L ,点 P w a ,点P e a,a 工 ,则“u aD.若 m u/?,allp,则加/a【正确答案】B【思路点拨】由线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可判断A；由面面平行的性质定理可判断B；由面面垂直的性质定理可判断C；由面面平行的性质定理可判断D.【步步为营】对于A,由血/，_L尸，可得m_L夕，又m ua ,则a _ L Q,故 A 正确；对 于 B,过犯作平面夕，使得。夕
7、，则夕内的任一条直线都与。平行，故 B 错误；对于C,若点点P e a,点Pea,夕，由面面垂直的性质定理可得。u a,故 C 正确；对于D,若机u尸，al1/3,由面面平行的性质定理可得m a,故 D 正确.故 选:B.5.如图，四棱锥尸-ABC。的底面为矩形，底面ABC。，A D =,P D=A B =2,点 E是 P8的中点，过 A,D,E三点的平面a 与平面PBC的交线为/,则下列结论中正确的有（）（1）/平面 A4Q；（2）AE/平面 PCQ；（3）直线处与/所成角的余弦值为去；3（4）平面。截四棱锥尸-钻8所得的上、下两部分几何体的体积之比为.A.1个 B.2 个C.3 个 D.4
8、 个【正确答案】C【思路点拨】对 A,取 PC的中点F,连接E F,证明EF平面P A O,即/平面PA。，可判断A；对 B,若 AE平面PC。，则AO=1,结合EF,所以E/平面P A D,即/平面 P A D,故 A 正确；对 B：由瓦7/4),若 AE平面P C O.则必有AE。凡 即四边形AOFE为平行四边形，则4)=尸，因为4 5 =1,E F =4 2 =,故 C 正确；AP 5对 D：连接E C,由 A 知截面a 就是平 面 帖?),下半部分分为四棱锥-A3CD和三棱锥E-O FC.1 1 4 1 2VP_ABCD=SABCD,P D=-x2x2=,VE_ABCD=xlx2xl=
9、,由尸。，底面ABC。得乂B C 工CD,CDCPD=Df C D,PO u平面所以B C,平面P D C,即E F,平面POC.所以4,即下半部分体积为+:=会3 2 2 o 3 6 6所 以 上 半 部 分 体 积 与 下 半 部 分 体 积 之 比 为=故 D 正确.3 56因此正确的结论有3 个.故选：C.6.如图，点 4,B,C,M,N 为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN平面A3C的 是（）【正确答案】D【思路点拨】根据正方体的性质相应作出完整的截面，然后根据正方体的性质及线面平行的判定即可得解.【步步为营】对于A,由 正 方 体 的 性 质 可 得 瓦7/A
10、 C,可 得 直 线 平 面 A 8 C,能满足；对于B,作出完整的截面ACBCEF,由正方体的性质可得M N/AO,可得直线MN平面 A B C,能满足：D对于C,作出完整的截面A 8 C。由正方体的性质可得M N/8。可得直线MN 平面A B C,能满足；对于D,作出完整的截面，如下图4 B NM/C,可得MN 在平面48c内，不能得出平行,不能满足.故选：D.7.如图所示，在直角梯形8 C E F 中，N C B F =N B C E =90,A,D,分别是8 尸，CE上的点，AD/BC,S.AB=D E =2BC=2AF（如图），将四边形A O E F 沿 AO 折起,连接B E,BF
11、,CE（如图），在折起的过程中，下列说法中不正确的个数是（）A C 平面B E F；B,C,E,尸四点不可能共面；若E F _ L C ,则平面4）F J _平面A B C D；平面B C E与平面B E F可能垂直E【正确答案】B【思路点拨】连接AC、B D 交于点M ,取8E的中点N,证 明 四 边 形 为平行四边形，可判断命题；利用线面平行的性质定理和空间平行线的传递性可判断命题；连接。尸，证明出)尸八E F,结合线面垂直和面面垂直的判定定理可判断命题；假设平面BCE与平面BEF垂直，利用面面垂直的性质定理可判断.【步步为营】对于，连接AC、B D 交于点、M ,取8E的中点N,连接MN
12、、F N ,如图所示：则四边形A8CQ是矩形，且ACr)3O=M,为8。的中点，QN 为 BE 的中点，.,.MZV)1且 MN=Jo E ,又 A F =3 D E&A F U D E,：.M N 11A F且 MN=AF,二四边形AFM0为平行四边形，:.AM M F N ,H P A C H F N ,.ACZ平面应产，硒 匚 平 面3环，二4(7平面3尸，故正确；对于，-.-BC/ZAD,BCu平面AEE,A)u平面A F,平面ADE尸，假设四点8、C、E、F共面，则这四点可确定平面。，则B C u a,平面aA平面A D E F =EF,山线面平行的性质定理可得8CEF,则EF/AD
13、,但四边形AEk为梯形且A。、EF为两腰，AO与 防 相交矛盾，所以四点8、C、E、尸不共面，故正确；对于，连接。F、CF,设4O=AF=a,则 E=2a,jr在自4Z)F中，AD=AF=a,ZDAF=,则AA)F 为等腰直角三角形，S.ZAFD=ZADF=-,DF=&t,：.NEDF=巴,且)E=2a,4 4由余弦定理得 EF2=DE2+OF2-IDE-DFcos AEDF=2a2,DF2+EF2=DE1，:.D F 1 E F,又；EF LC F,)F(1。/=尸，.所 J平面 CDF，CD u 平面 CDF,CD J_ EF,-,-CDLAD,AD.EF为平面ADEF内的两条相交直线，所
14、以C)_L平面4DEF,.CDu平面ABC。，.平 面45瓦平面4 8 a),故正确：对于，假设平面BCE与平面8ER垂直，过点尸在平面BE尸内作FGL8E,平面 平面 B E F,平面 BCEfl平面 BF=B；,FGLBE,FGu 平面 BEF,二 尸6_1平面3(7；,.BCu 平面 8CE,:.BCFG,-.AD1AB,ADAF,BC/AD,:.BCA.AB,BCVAF,又Q45I AF=A,平面A8尸，.8尸 匚 平 面 尸，3。_15尸.FGrBF=F,.1BCL平面 3 H 平面5F,:.BCVEF.-,-AD/BC,:.E F A D,显然EF与AO不垂直，故错误.故选：B.【
15、化龙点睛】关键点点睛：本题考查立体几何综合问题，涉及线面平行、面面垂直的证明、以及点共面的判断，熟悉证明垂直关系与平行关系的判定定理及性质定理式解题的关键，考查推理能力，属于中等题.8.在边长为2的等边三角形A B C中，点D E分别是边A C,4 3上的点，满足D E/BCA n且 器=2 Q e(0,l),将AADE沿直线D E折到 A Z组的位置.在翻折过程中，下列结论成立的是()A.在边A E上存在点F,使得在翻折过程中，满足B f 7/平面A C。B.存 在 使 得 在 翻 折 过 程 中 的 某 个 位 置，满足平面A 7 J C L平面B Q 9 EC.若/=g，当二面角川-小一
16、8为直二面角时，|4 8|=乎D.在翻折过程中，四棱锥A -8 8 E体积的最大值记为.f。)，/(的最大值为等【正确答案】D【思路点拨】对于A选项，根据线面平行的性质定理推出矛盾即可；对于B选项，根据题意证明平面A /_ L平面C B&9,假设平面A 8 C _ L平面8 C O E,所4 0 AH ArI-f 1以A在平面3 C O E的射影为/,所以从而4 =哭=筌从A C A l A H+I H 2而推出矛盾；对于C选项，因为二面角A-D E-B为直二面角，故N A /=9 0。，根据勾股定理在R f A A /四中，求出A B对于D选项，在翻折过程中，当平面C 3 E D时，四棱锥A
17、 -B C DE体积最大值,此时匕+求导判断单调性，求出最大值中的最大值即可.【步步为营】对于A,假设存在Fe AE，使得BF 平面A C D,如 图1所示,图1因为8 bu平面A B E，平面A 8 E c平面A 8 =A A,故8 E 7 A A,但在平面A B E内,是相交的，故假设错误，即不存在尸使得B F平面A C ，故A错误.对于B,如图2,A取BC,OE的中点分别为/,，连接IH,Al,AH,AI,因为A43C为等边三角形，故 A U B C,因为 DE/BC,故 ZADE=Z A D E =ZACB=60,ZAEO=Z A E D =N A B C=60,所 以 均 为 等 边
18、 三 角 形，故A_LDE,A H A.D E,因为 DE/BC,A/1 B C,A/1 B C,故 A,“共线，所以/_LD E,因为Ac/=，故DEL平面AT/,而 D E u 平面C组），故平面A”/J_平面C8ED,若某个位置，满足平面A 8C，平面8COE,则W在平面8 8 E 的射影在/t,也在8c上，故A 在平面8CDE的射影为/,所以此 时 人 然=察=益%4这与4码矛盾，故 B 错误对于C,如图3（仍取5C,E的中点分别为/,H,连接）图3因为AH J.D E J H B C,所以NA77/为二面角A-D E-I的平面角,因为二面角4-E-3 为直二面角，故NAH/=90。，
19、所以A”_LAH,而 J H c D E =H ,故 AH _L 平面 C3E),因身/u 平面 C3E。，故 AH_L3”.因为兀=：,所以 A/=/=1 A/2 2 2在 RtAIHB 中,BH在 MA 47/B 中,故C错.对 于D,如图4（仍取8 C O E的中点分别为/,”，连接出,A ,A 8,A C）,作A在底面C 8 E D上的射影0,则。在匕因 为 空=4BC/E，所 以 竿=且=2,所以47/=向 其0E =2 2.AC，3 2又 VA-CBED=1 X 1X(D E +CB)X/X A O=-(2/l +2)x (l-2)x 4,(9,BDu平面 A 3C D,所以 SO
20、_LBD；由点例、N 分别是A。、C的中点，所以MNAC；取T,R为 A8,C8中点，连结77?,交 B D 于 E,故7K/A CMN,又 S D=3 P D=3,连接 SE,则袈=筹=；，所以PQSE；SD ED 3又 77?cSE=E,PQ c MN=。,故平面 PMV平面 S7K,故当在77?上运动时，始终有SH面PMN由于T,R为 A8,C8中点，故 S7=SR.当H 在77?中点E 时，SEJ.TR.此时S H取得最小值为JS 2 +D E?=赤+(3后 产=3#.故答案为：3G1 2.在棱长为1的正方体48 co-A 4cA中，E为CG的中点，若尸，。均在平面A冉GA内，满足8
21、P，A E，B Q Y A.E,则PQ与B Z）的位置关系是.【正确答案】平行【思路点拨】以。为原点，以D4，D C,。所在的直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设1b a=,P（a力,1）,由可得 j ,从而可求 得 而，而，n-m =,2即可得出结论.【步步为营】解：以。为原点，以D A,DC,。所在的宜线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系如图所示，A（l,0,l）,因为P,。均在平面 内,所以设尸（。也1）,。（孙 训,A =-l,1,-1,丽=（u,l）,BQ=m-,n-,）,因为B P _ L AE,BQVA.E,所以B P E=-(a-l)+(f e-l)-=0,B 0-4 E
22、 =-(w-l)+(n-l)-=O,解得 i2PQ-(n-b,n-b,0),丽=（-1,-1,0）,所 以 而/丽,所以尸。与BO的位置关系是平行.故答案为：平行.1 3.已知点M 为正方体A 8C D-A B C Q 内（含表面）的一点，过点M 的平面为。，有以下四个结论：（1）与 4A 和 4 G 都平行的a 有且只有一个；（2）过点M 至少可以作两条直线与AA和 8 G 所在的直线都相交；（3）与正方体的所有棱所成的角都相等的a 有且只有四个；（4）过点M 可以作四条直线与正方体的所有棱所成的角都相等.其中所 有 正 确 结 论 的 序 号 是.【正确答案】（4）【思路点拨】直接利用线面
23、的夹角，异面直线的定义，三棱锥体的定义和性质，线线夹角的应用判断四个命题的结论.【步步为营】解：己知点为正方体内（含表面）的一点，过点M 的平面为a,如图所示：对 于（1）：在平面原以。与平面8BC C 之间与平面相以。与平面BB、C 平行的平面均与 AA和4 G 平行，如平面a，此时点M为a与正方体相交的任一点,所以与A A 和 4G都平行的a有无数个，故（|）错误;对 于（2）：不妨设点 在 R 处，此时“与直线A A 连 成 的 所 在 线 都 在 平 面 内，而易知Eg与平面A 4 Q Q 平行，所 以 此 时 不 可 能 有 平 面 与 直 线 4G相交，故（2）错误；对 于（3）：
24、连接由于A 8 CO-A gG2为正方体，所以A 四=8,B =BC，且AB=g =A,所以三棱锥BABCI为正三棱锥体，所以4 百、B、B、8 G与平面A 8 G所成的角都相等，由于A B-B,B,CD,A 8 都平行，B&,A%,CC,都平行，B ,BC,A D，A A 都平行，所以平面A BC与正方体所有的棱所成的角都相等，故只需让“所在的平面与平面ABC平行即可，易知有无数个，故（3）错误；对 于（4）：同（3）,要使直线与正方体所有棱所成的角相等，只需该直线与正方体某个顶角周围的三条棱所成的角相等即可，在q-A8 G中，由于4-ABG为正三棱锥，所以只有过点片和 ABG中心的直线与4
25、4，BB,B C,所成的角相等，易知该直线为正方体的体对角线片。，由于正方体由4条互不相同的体对角线，所以只需在点M 处作与该4条体对角线平行的直线即可，使该4条直线与正方体所有棱所成的角都相等，故（4）正确.故答案为：（4）.1 4.如图是一几何体的平面展开图，其中四边形A8C。为正方形，E,F,G,H 分别为 PA,PD,P C,尸 8 的中点，在此几何体中，给出下面五个结论:平面E尸 GH平面A B C D；P4平面5OG；直线EF平面P5C；尸”平面3OG；E/平面5ZJG.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是.p【正确答案】【思路点拨】把平面展开图还原为一个四棱锥，结合直线与平面、
26、平面与平面平行的判定定理，逐项判定，即可求解.【步步为营】先把平面展开图还原为一个四棱锥，如图所示，对于中，因为E,G,分别为的中点，所以EF/A),G/8C,因 为 仞 8 C,所以EAV/G”,所以E F,G H 确定平面E F G H ,所以E F u 平面E F G H ,又因为A)(Z平面EFG”，所以A)平面EFG”,同理可得A B/平面E F G H ,又由=48,4。u平面BO G,所以尸“平面BDG,所以是正确的：对于中，若 E F/平面BDG,因为P A/平面8 D G,且 尸。2 4=,瓦;24二平面尸4),可得平面24平面5 D G,显然不正确，所以E尸与平面处G不平行
27、，所以不正确.故答案为：.1 5.在棱长为2的正方体ABC。-4 5 1 G o i中，E,F分别为棱AAi,的中点，G为棱4办上的一点，且A iG=4(02 =(2,2,7)，A E =(0,0,-l设 平 面O 1 E F的法向量为1=(x,y,z),n-DlE =0 f 2 x-z =0不 而=0 2x+2y-z=0令4 1,则 产0,z=2,所 以 平 面AEF的一个法向量Z =(l,0,2).点A i到 平 面D E F的距离d乎，即 点G到 平 面DtEF的距离为乎.故答案为：手.1 6.平 面a平面夕，O a,Otp,自点。引三条直线分别交a ,夕 于 点A,B,C和 点A”B
28、1,G，则与 A U G的关系是.【正 确 答 案】相似【思路点拨】由面面平行的性质定理可得A B/A B,B CHB G,A C/A.C,进而可 得 笺=第=装 _,A B nC A C即可得两个三角形是相似三角形.【步步为营】因为平面a平面/，平 面cA平 面Q 4 5 =AB,平 面 夕 平 面O A B =入用，所 以A B A A，所 以 装=绘；A B O A同理可证：ACA G，弟;今,A C OAAA=ACAB A C所以同理可证：第=隼，oC AC所 以 纯 L=g L=4 .,AB BC A C所以ABC：A 4 G，故答案为：相似.1 7.如图，在 RfAABC中，A C
29、 =,8C=百，O 是斜边A 的中点，将 5C。沿直线 CZ）翻折，使得二面角5-C O-A 为直二面角，则此时线段A 5 的 长 度 为.【正确答案】叵2【思路点拨】过 B作 BE垂直于C D的延长线交于点E,连接AE,在4 A C E中由余弦定理得A E=立,2再利用勾股定理计算得到答案.【步步为营】如图，过 8 作 BE垂直于CZ）的延长线交于点E,连接AE,山面面垂直的性质定理得8E_L平面4 C E,又A E u 平面A C E,则 8EJ_AE,因为在R/AA8C中，A C =,BC=,D 是斜边4 8 的中点，则/0cA=/ZM C=60。，NBDE=60,所以 8 E=3,D
30、E=g,C E=,2 2 2在 ACE 中由余弦定理：A E2=A C2+CE2-2AC-CEcos60=-,故 4后=立,4 2所以 48=JAE?+B E?=故答案为：典.2【化龙点睛】本题考查了立体几何长度的计算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.1 8.线段尸。分别交两平行平面区于A,B 两点，线段尸。分别交平面a,于C,。两点，线段。尸分别交平面a，夕于F,E 两 点,若24=9,他=12,B Q =12,的面积为7 2,则应）E的面积为.【正确答案】84.【思路点拨】利用a/,得到A F/B E,A C/B D,从而得到线段长的比例，进而得到AACF与 3DE的面积关系，利用A
31、ACT7的面积为7 2,即 可 求 得 的 面 积.【步步为营】平面QAFI a=A F,平面。AFI P=BE,X-.-a/?,;.AFH BE,同理可证：AC/BDNE4C 与 NEBD相等或互补，sin NFAC=sin ZEBD.,BE QB 12由A F/B E,得6=遢=茂 而2 2由 A C/3。，得/Z 1 V-Z依 9+12PA 97 7BD=-A C.3 3又 SVACF 尸 ACsinN 必 C=72,1 1 7 1 7 7SV B D E=-BD BE sin ZEBD=-x-A C-A F sinZE4C=-SVACF=-x 7 2 =842 2 3 2 6 6的面积
32、为84.故答案为：84.【化龙点睛】本题考查了面面平行的性质定理，在运用两平面平行的性质定理时，一定要先找到与两平行平面都相交的第三个平面，继而推得两交线平行，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于中档题.1 9.如图，已知在正方体A 8C O-A 8C A 中，他=4,点 E 为棱CG上的一个动点,平面8E R 与棱4A 交于点尸，给出下列命题：无论E 在 c q 如何移动，四 棱 锥 BE。F 的体积恒为定值；截面四边形8E D L 的周长的最小值是86；当E 点不与C,G 重合时，在棱AZ）上恒存在点G,使得CG/平面8E R；存在点E,使得平面A R E；其 中 正 确 的 命 题 是
33、.【正确答案】【思路点拨】由题意逐个讨论所给的命题，判断它们的真假.第一个根据等体积法求体积，第二个求周长函数关系式，再求最小值，第三个利用反证法确定真假，第四个举例说明存在.【步步为营】解:由 题 意 可 得 的，B F/D.E,如图建立坐标系:A F =CtE,四边形R E B F为平行四边形-SADEB=SG F B又：Y氏 一BE E =四阳唱（4 为 E 到平面88,距离）且C C,H BB,CG上点到平面D、BB,距离相等，无论E 在CG上何处，4 不变；V%_BED、不变B-BE D jF 不变故正确由知：四边形R E 8 P 的周长=2（|RE|+|EB|）设|G目=m,DlE
34、 =j42+m2,E B =42+（4-/H）2等价于y=4 上点（加,4）到（0,0）与（4,0）距离此时m =2，|）闺=2 6二周长最小为4x2石=8后故正确 在 上 寻 找 一 点 H,使 H 到A D的距离为CE距离.-.HE/CG,且 在 平 面 0E B 中但当C E 2,HG=C E A F 2 矛盾故错误；当E 与C 重合时，显然4 nA AD,B Q A AC与。_L平面ARE故正确综上可得:正确为.故答案为:.【化龙点睛】考查正方体的性质、线面垂直的判定定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力.2 0.如图，长方体A B C D-44G。的底面ABC。是正方形，
35、其侧面展开图是边长为4 的正方形，E、尸 分 别 是 侧 棱 上 的 动 点，AE+CF=4,点 尸 在 棱 上，且 AP=1,若 EF 平面 P B D,贝!|CF=.【正确答案】1【思路点拨】先连接4 c 交 2。于 O,进而通过线面平行的性质定理得出EF 尸O,然席在尸 4 上截取P Q,使得PQ=PA=,进而证明QC 尸。，得出E F/Q C,进一步得到四边形EQCF是平行四边形，得出QE=C F,结合条件的长度关系最后得到答案.【步步为营】由题意可知，长方体A8CO-的高为4,底面A8CD是边长为1 的正方形,连接AC交 8。于。，连接P 0,因为EF平面P8。，E F u平面EA
36、C F,平面4小个平面 PBD=PO,所以 EF P0.在尸4 上截取P Q,使得PQ=%=1,连 接 Q C,易知。为 AC的中点，所以QC 尸0,所以E尸 QC,乂 E Q FC,所以四边形EQCF是平行四边形，所以QE=CF.又 AE+CF=4,AE+AE=4,所以4 E =CF=EQ=JA Q =1，所以 CF=1.故答案为：1.三、解答题21.如图，在三棱柱A B C-A B G 和 四 棱 锥 构 成 的 几 何 体 中，AA J平面A8C,ZBAC=90,AB=,AC=6，BBt=2,q=QC=石，平面 CC Q 1 平面 ACGA.(I)若点用为棱CG的中点，求证：EM 平面4
37、4产出；(I I)已知点尸是线段BC上靠近C 的三等分点，求直线OP与平面B 8Q 所成角的正弦值.【正确答案】(I)证明见解析；(II)巫.9【思路点拨】(I)根 据 面 面 垂 直 的 性 质 可 证 明 平 面 ACGA，证明441，A8结合z a 4 c =9(/可证 明 平 面 ACGA，进而可得A 8/D W,再由线面平行的判定定理即可求证；(I I)如图建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而可得 丽 的 坐 标 以 及 平 面 的一个法向量，由空间向量夹角公式计算cos(DP-、即可求解.【步步为营】(I).DC=D C,且为棱CG 的中点，,平面 DCCt 1 平面 ACG A
38、,平面 DCC.n 平面 ACG A=CC,DW u 平面 DCC,平面 ACC|A,.他1 平面 ABC,ABi 面 ABC,AAt 1.AB,又.A8_LAC,/L41nA e=A,，AB_L平面ACQA,AB/DM,.A B u平面 ABBIA,DM/2,l,l j,设平面BB D的一个法向量=(x,y,z)由,万 丽=2 y=0 -r ，y=。，令 X =1,可得 Z =/2，万 8。=j2 x+y+z=0=夜),设直线D P与 平 面 所 成 角 为。,贝|J s i n 0=|c os D P-n)|=J -p i-&5 近-1-3 32+2巡9 直线O P与平面B B Q所成角的
39、正弦值 为 遗.92 2.如图，在四棱锥P-A B C D中，底面A B C D为正方形，P D=2 A D,即，平面A B C D,M、N分别为A D、尸。的中点.(1)证明：P 4/平面M N C；(2)求直线P 8与平面M N C所成角的正弦值；(3)求二面角M-NC-。的余弦值.【正确答案】(1)证明见解析；(2)：；(3)业.【思路点拨】(1)利用中位线的性质得出P A/M N,利用线面平行的判定定理可证得结论成立；(2)以点Z)为坐标原点，DA，DC，丽 的方向分别为X、y、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线P 8与平面MNC所成角的正弦值；(3)利用空间向量
40、法可求得二面角用-N C-O的余弦值.【步步为营】(1).M、N 为 AD、中点，所以，M N/P A ,又P A U平面MVC,加V u平面M V C,.1 P A平面MVC；（2）.P D _ L 平面4 38,四边形A B C。为正方形，以点。为坐标原点，DA，DC,而 的方向分别为X、丫、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，不妨设也=2,则 P D =4,0（0,0,0）、A（2,0,0）、B（2,2,0）、C（0,2,0）、*0,0,4）、M(1,0,0),N(0,0,2),丽=(2,2,Y),设平面MNC法向量为加=(X，x，zJ ,W =(-l,0,2),N C =(0,
41、2,-2),m-M N =0 ，旦-4+2 Z =0in-N C Q f 2 y,-2 z,=0取 4=1,可得蔡=（2,1,1）,c os =PB m2阿.问一 2#x6 _6所以，直线M 与平面MNC所成角的正弦值为J；6（3）由题知方=（2,0,0）为平面N C Z）的一个法向量,COS /=(o,6,l)，P C =(3,0,-1).筋=(o，1)，设平面P。的法向量为1=(x,y,z)，平面P C 8 的法向量为3 =(a,o,c)，所以n-DP=Gy +z=0n PC=3 冗 一 z=0令 x=l,则q=(1,百,3 1n-PB=y/3b-c=0riy-PC=3a-c=0令=1,则
42、=(1,6,3)，.-nfn,7,c os =J-=，7由图可知，二面角3-C P-为钝角，所以二面角3-的余弦值为：一值.2 4.在四棱锥 P A B C。中，PD 上平面 ABCD,A B/D C,AB1AD9 CD=AD=A B9Z P A D =45 ,E是 的 中 点，G在线段A 3 上，且满足C G J _ B O.(1)求证：/平面P8C；(2)求平面PGC与平面BPC夹角的余弦值.(3)在线 段 抬 上是否存在点H,使得GH与平面PGC所成角的正 弦 值 是 更，若存3在，求 出 的 长；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)证明见解析；(2)正；(3)存在，A H =叵31
43、0【思路点拨】(1)取 心中点M,进而证明四边形CDEM为平行四边形，得到小C M,进而根据线面平行的判定定理即可得到答案；(2)建立空间直角坐标系，进而通过空间向量的夹角公式即可得到答案；(3)设/=久成,进而通过空间向量线面角公式求出几，进而得到答案.【步步为营】(1)如 图 1,取尸5 中点A7,QCO/AB且CQ=gA8,又；E,M 分 别 为,总 的 中点，；.EM/A8且 EM=；A8,E M H C D且E M=C D,四边形C D E M为平行四边形，DE/CM,CM u 平面 PBC,D E A=(-1,0,1)，设点 G 坐标为(l,0),则&7=(ij_ i,o),而=(
44、1,2,0)，由 CG_L8。得CGDB=l+2(/-l)=0.贝 =g，1 ,。)，cZ =(l,-g,0),-n P C-0 p-z =0设平面PGC的法向量为n=(x,y,z)，由 万m%=0令 日、2得：;=(1,2,2),设平面P8C的法向量为巾=3,仇c)，由 万.而=0=+匕=0,令得:m=(-1,1,1)，所以c o s 6,i=半，由图可知，平面PGC与平面P8C夹角为锐角,11 1 m 373 3故平面PGC与平面PBC夹角的余弦值为日.(3)设/=义。=(-4 0,2)，彳。1，;.GH=GA+AH=-2,-,:.nGH=X-cos=-2 _3晒)：GH与平面PGC所成角
45、的正弦值 为 立32/1-2 _昱3,8兀 2 +1 3整理得：20/l2+8A-l=0.解得：彳=L，（舍）,存在满足条件的点“，/=白,喧），则 4”=力+U丫=理.I io ioj ioj u o j 102 5.如图，在直三棱柱 A B C-4 8 c 中，A B 1 A C,AB=A C =AA,=2,M 为 BB1 的中（1）记平面ACM与平面A 4 G 的交线为/,证明：/A G；（2）求二面角A-C M-5的正弦值.【正确答案】（1）证明见解析；（2）亚.10【思路点拨】（1）先根据线面平行的判断定理证明A G 平面ACM,再根据线面平行的性质定理即可证明/A G；（2）取B
46、C中点E,连接AE,过 E 作E F，CM 于点F,连接A F,先证明A EL 平面B C M ,再证明MCJ_平面AE忆 从而可得/4 庄 即为所求二面角，在直角4 U 话中解三角形即可得二面角A-C M-8的正弦值.【步步为营】解：（1）证明：在直三棱柱A B C-A B C 中，A G AC.AG 2 平面 4cM ,ACu 平面 ACM,二 AG 平面 ACM,AG u 平面 A 4 G,平面G平面 ACM=/,41(2)取 BC中点E,连接AE，过 E 作 E FL C M 于点E连接A尸.：AB=AC,:.AEVBC,又.MB,平面ABC,:.MBVAE.：MBBC=B,AEJ_平面BCM,.?!_LMC,又 A尸 AEF=尸，所以M C L 平面A E F,所以M C A 尸,.ZAFE即为所求二面角.因为 AE=：8C=&,sin ZAFE=&x25/5 10GB