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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知等差数列 4 的前项和为S,若 Sg=16,4=1，则数列%的公差为（）3 3 2 2A.-B.一一 C.-D.一一2 2 3 32.从某市的中学生中随机调查了部分男生，获得了他们的身高数据，整理得到如下频率分布直方图：A.17
2、1.25cm B.172.75cmC.173.75cm D.175cm3.复数z 满足z l=（z+l）i（i 为虚数单位），则 z 的值是（）A.1+z B.1-z C.i D.-i、24.已知双曲线C：鼻-夫=1（。0/0）的左、右两个焦点分别为月，F2,若存在点P 满足a b耳 尸 丁 耳 引=4:6:5,则该双曲线的离心率为（）5 5A.2 B.-C.-D.52 35.古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6 和 2 8,进一步研究发现后续三个“完全数”分别为496,8128,33550336,现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2 个，另一组3 个，则 6
3、和 28恰好在同一组的概率为（）6 .正项等比数列%中的、%39是 函 数/（力=；/一4 1+6 X一3的极值点，贝H o g%）20=（）A.-1 B.1 C.yf2 D.27 .已知双曲线c：一 旦=1（。0 2 0）的左、右顶点分别为A、4,点P是双曲线。上与A、A?不重合的动点,a h若即&女人=3,则双曲线的离心率为（）A.V 2 B.6 C.4D.28 .周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化.如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑 八 卦（每一卦由三个爻组成，其中“一”表示一个阳爻，表示一个阴爻）.若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中
4、都恰有两个阳爻的概率为（）23D.34“一l）x +4,x 7是R上的减函数，当 最小时，若函数y =/（x）一近一4恰有两个零点，则实数k的取值范围是（）A.（,0）B.（-2,）C.（-1,1）D.（1,1）2 212 21 0.设 双 曲 线 十 点=1 （。0 0）的一条渐近线与抛物线y =f+有且只有一个公共点，且 椭 圆 点+/=1的焦距为2,则双曲线的标准方程为（）A.=1 B.区-片=1 C.其=1 D.炉-=14 3 4 3 2 3 3 21 1 .设正项等比数列 4 的前项和为S，若2=3,%+%=12,则公比（）A.4B.4C.2D.21 2 .已知/(x)是定义在-2,
5、2 上的奇函数，当无 0,2 时，/(x)=2*l,贝!J/(2)+/(0)=()A.-3 B.2 C.3 D.-2二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 2 0分。1 3 .已知在等差数列%中，%=1 7,%+%+%=15,前”项和为S，贝!5 6=.1 4 .已知函数 X)=l o g 产,尤 1,则/(/(2)=.、21 5 .平面向量d 与 5的夹角为g 同=1,忖=1,贝|附一2 同=.1 6 .已知向量机=(1,1),=(2,-1),g=(l,2),若 g _ L(2 同+)，则 4=.三、解答题：共 7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .(1 2 分)在
6、四棱锥尸一 A3C D 中，底面AB C D 是平行四边形，底面ABCD,P D=A D =1,A B =x/5,s i n N A B。=g(1)证明：P A I B D i(2)求二面角AP B -C 的正弦值.1 8 .(1 2 分)如 图，已知三棱柱AB C-AB|G中，A B C 与 是 全 等 的 等 边 三 角 形.(1)求证：B C A B1；(2)若 c o s/4 5 A =；,求二面角3gc A的余弦值.1 9.（1 2 分）如图，在四棱锥 P-AB C O中，PA _ L 平面 A B C。，A D A B,A B/C D,A B =A D =A P =-C D =2
7、,2E为P C的中点.(1)求证：B E 1平面P C D；(2)求二面角A心 一。的余弦值.2 0.(1 2分)如 图，已知,户分别是正方形A B C。边3 C,C D的中点，E尸与AC交于点。，PA,N C都垂直于平面AB C D,且A 4=A B =4，N C =2,M是线段Q 4上一动点.(1)当M O _ L平面E/W,求的值；(2)当M是 物 中 点 时，求四面体M-E F N的体积.X2 1.(1 2分)如图，椭 圆 二+ay2=l(a b 0)的长轴长为4,点A、B、C为椭圆上的三个点，A为椭圆的右端点,(1)求椭圆的标准方程；(2)设 P、。是椭圆上位于直线AC 同侧的两个动
8、点(异于A、C),且满足Z P B C =NQ84,试讨论直线族与直线B Q斜率之间的关系，并求证直线P Q的斜率为定值.2 2.(1 0分)某工厂为提高生产效率，需引进一条新的生产线投入生产，现有两条生产线可供选择，生产线：有 48两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.02,0.03.若两道工序都没有出现故障，则生产成本为 1 5 万元；若 A工序出现故障，则生产成本增加2万元；若 B 工序出现故障，则生产成本增加3万元；若 A,B 两道工序都出现故障，则生产成本增加5万元.生产线：有 a,6 两道独立运行的生产工序，且两道工序出现故障的概率依次是0.04,0.01.若两
9、道工序都没有出现故障，则生产成本为1 4 万元；若 a工序出现故障，则生产成本增加8 万元;若 5 工序出现故障，则生产成本增加5 万元；若 a,5两道工序都出现故障，则生产成本增加1 3 万元.(D 若选择生产线，求生产成本恰好为1 8 万元的概率；(2)为最大限度节约生产成本，你会给工厂建议选择哪条生产线？请说明理由.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】根据等差数列公式直接计算得到答案.【详解】依题意，8 =8(4 +.)=8(%+46)=6,故/+4=4,故%=3,故 d =二,故选：口.8
10、 2 2 3 3【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力.2.C【解析】由题可得(0 0 0 5 x 2 +4+0.0 2 0 x 2 +0.0 40)x 1 0 =1,解得a =0.0 1 0,则(0.0 0 5 +0.0 1 0 +0.0 2 0)x 1 0 =0.3 5 ,0.3 5 +0.0 40 x 1 0 =0.7 5 0.5 ,所以这部分男生的身高的中位数的估计值为1 7 0+竽 三 空|x lO =1 7 3.7 5(c m),故选C.3.C【解析】直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由 z-l=(z +l)/得：z=-=-=1 1-z (l+z)
11、(l-z)本题正确选项：C【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用，考查计算能力.4.B【解析】利用双曲线的定义和条件中的比例关系可求.【详解】巧 国 5 5 皿e=-；-：=-=一 选 B.|-|6-4 2【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，离心率求解时，一般是把已知条件，转化为a,b,c 的关系式.5.B【解析】推导出基本事件总数，6 和 2 8 恰好在同一组包含的基本事件个数，由此能求出6 和 2 8 恰好在同一组的概率.【详解】解：将五个“完全数”6,2 8,49 6,8 1 2 8,3 3 5 5 0 3 3 6,随机分为两组，一组2 个，另一组3 个，基本事件总数 =C；C
12、；=1 0,6 和 2 8 恰好在同一组包含的基本事件个数加=C；C；+C；C；=4,4 2.6 和 2 8 恰好在同一组的概率n 1()5故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.6.B【解析】根据可导函数在极值点处的导数值为0,得出4%039=6,再由等比数列的性质可得.【详解】解：依题意外、%039是函数/（x）=g v 4 f+6 x 3的极值点，也就是_f（x）=-8 x+6 =o的两个根；4 4039=6又（是正项等比数列，所以4（1 2 0 =历 以 京=底1086%。2。=108而#=1故选：B【点睛】本题主要考查了等比
13、数列下标和性质以应用，属于中档题.7.D【解析】2 2设P（X o，%），4（-。，0），4（。，0），根据即=3可得y；=3尺一3/，再 根 据 又 鸟 一 与=1，由可a h得仅2-3/）片=/仅2一3。2）,化简可得c、=2 a,即可求出离心率.【详解】解:设 尸（如 ），4（一。,0）,4（。,。），八k k=3KPA2 J，亲六=3,即y八?2又 工 一 乌=1,a2 h2由可得92-3 4)片=/9 2 -3。2 ),V 玉）。土 Q,二/一3。2=0,：b1=3/=c1 cr 9 c 2a9即 e=2,故选：D.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查了斜率的计算，离心率的求法，
14、属于基础题和易错题.8.B【解析】基本事件总数为6个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为3个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共6个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共3个，3 1所以，所求的概率P =：=K6 2故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题.9.A【解析】首先根据/（%）为R上的减函数，列出不等式组，求得;所以当“最小时，a=,之后将函数零点个数转化为函数
15、图象与直线交点的个数问题，画出图形，数形结合得到结果.【详解】a-1 0由 于/（久）为R上的减函数，则有，0 a l,可 得;Wal,7（a-1）+4所以当“最小时，a -,2函数y=/（x）-丘-4恰有两个零点等价于方程 力=丘+4有两个实根,等价于函数y=/（X）与y=丘+4的图像有两个交点.画出函数/（X）的简图如下，而函数了=丘+4恒过定点（0,4）,数形结合可得k的 取 值 范 围 为%b,椭圆r2 、J,_靛+万=1的焦距2，4 -2,b2 b2=h2=,b=3,a2=4,3 32 2双曲线的标准方程为二-=1.4 3故选:B.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的标准方程、双曲线的简单
16、几何性质，要注意双曲线焦点位置，属于中档题.11.D【解析】由$2=3得4+=3,又 +%=(%+生)/=1 2,两式相除即可解出4.【详解】解：由 S2=3得q+%=3,又=（6+4）/=12,八4,二 q=.2,或 4=2,又正项等比数列%得q。，:.q=2,故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题.12.A【解析】由奇函数定义求出/(0)和/(一2).【详解】因为/(X)是定义在 2,2上的奇函数，./(0)=0.又当x e(0,2时，/(x)=2r-1,/(-2)=-/(2)=-(22-1)=-3,-./(-2)+/(O)=-3.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇
17、偶性，掌握奇函数的定义是解题关键.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.39【解析】设等差数列公差为4首项为，再利用基本量法列式求解公差与首项，进而求得56即可.【详解】0,=。I+6d=17 a.=1设等差数列公差为4首项为,根据题意可得 ，解得,c，所以q+4+2d+4+4 d =15 d=3S,=-1X6 +-X6X5X3=39.6 2故答案为：39【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和的公式,属于基础题.114.-2【解析】先由解析式求得/(2),再求/(/(2).【详解】f (2)=仞/=-1,T)=2T=L22所以/(/(2)=/(-1)=1,故答案为：【点
18、睛】本题考查对数、指数的运算性质，分段函数求值关键是“对号入座”，属于容易题.15.V13【解析】由平面向量模的计算公式，直接计算即可.【详解】rr因为平面向量不与5的夹角为二，所以a-5 =o,所 以 用 _25卜,9同2+可可2 12万6=V13；故 答 案 为 内【点睛】本题主要考查平面向量模的计算，只需先求出向量的数量积，进而即可求出结果，属于基础题型.16.-1【解析】由向量垂直得向量的数量积为0,根据数量积的坐标运算可得结论.【详解】由 已 知 说+1=(4,1),9+)，.g.(2m+)=4+/l=0,2=4故答案为：一1.【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算.掌握向量垂直与数量积
19、的关系是解题关键.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)见 解 析(2)-3【解析】(1)利用正弦定理求得sinNADB=l,由此得到NA8=90 A O,结合证得BQ_L平面24。,由此证得。4,(2)建立空间直角坐标系，利用平面ABP和平面P3C的法向量，计算出二面角A-依 C的余弦值，再转化为正弦值.【详解】在中，由正弦定理可得：高 石 而ADsin ZABDsin Z A D B =./4阳=90 -B D A.A D,A D底面 ABC。，:.PD BD,.3。_1平 面 加0,:.P A B D；(2)以。为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
20、.P0=AO=1,A8=石，:.BD=2,A(l,0,0),B(Q,2,0),C(-l,2,0),P(0,0,1),A8 =(-1,2,0),CB=(1,0,0),PB=(0,2,-1)设平面A5P的法向量为G=(x,y,z),由，n AB-0_ _ 可得：n PB=0一 x+2 y=0 _ 21=。令则 设平面P8C的法向量为“2 =(石,M，ZJ,由，m*C B=0 ,一 可得:m-PB=0须=0 _令y=1,则加=(o,i,2),2乂-4=0设二面角A依c的平面角为e,由图可知。为钝角,I _ m-nll-h l则 cos 0 -|cos|5 _ V53石 一 3sin0=V l-cos
21、2=|,故二面角4一心一。的正弦值为g.【点睛】本小题主要考查线线垂直的证明，考查空间向量法求二面角，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.18.(1)证明见解析；(2)正.【解析】(1)取BC的中点。，则用。_L BC,由AABC是等边三角形，得A O L B C,从而得到3C L平面g A。，由此能证明B C AB(2)以Q4,O B,。与所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】(1)取8 c的中点0,连接A。，BQ,由于AABC与 是 等 边 三 角 形，所以有AOLBC,B Q A.B C,且A On B Q=。,所 以8 C
22、，平面与A。，4旦=平面与A。，所以BC_LAB.(2)设4?=a,AABC与ABC是全等的等边三角形，所以 BB、=AB=B C -A C =BXC =a,i i 3又cos/耳区4 =,由余弦定理可得AB：2 a.ax=4 4 2在 V A B Q 中，有 AB：=4。2 +与。2,所以以。4,O B,。4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,0,0,2设平面4 5片的一个法向量为G=(x,y,z),贝 小n-AB=0ax+ay=0n-AB-026-ax+2令无=1,则又平面BCB,的一个法向量为m =(l,0,0),n m1 x 1 +百x 0 +Ix 0 _ 逐V5
23、x l所以二面角-A的余弦值为cos。=即二面角8-g C-A的余弦值为【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.1 9.(1)见解析；(2)-正3【解析】(1)取P D的 中 点/，连接AF,E F，根据中位线的方法证明四边形A5 E尸是平行四边形.再证明A E，与CZ)，A/从而证明A F，平 面PC。,从而得到8E 1平面P C D即可.(2)以AD,AB,A P所在的直线为,V，z轴建立空间直角坐标系，再求得平面C P B的法向量与平面A P B的法向量进而求得二面角A P 6-C的余弦值即可.【详解】(
24、1)证明：如图,取尸力的中点尸,连接A R E E又E为P C的中点，则E F是APCD的中位线.所以E F/C D且EF=gcD.又A S/C O且AB=!C D,所以/4?且 防=A B.所以四边形A B E F是平行四边形.2所以8 E/AF.因为A D =,E为P O的中点，所以A F L P D.因为4。，4氏4 5/8,所 以 仞 _1 8.因为9 4 _1 _平面ABCO,所以Q4 _LCD.又 A D c Q4 =A，所以 C D _L 平面 2 4。.所以 C D，A E.又P D c C D =D，所以A F，平面P C D.又B E/A F，所以B E 1平面PCD.(2
25、)易知AD,AB,A P两两互相垂直，所以分别以AD,AB,A P所在的直线为x,X z轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为 AB=A。=A P =2,所以点 A(0,0,0),5(0,2,0),P(0,0,2),C(2,4,0).2则 P B=(0,2,-2),A P =(0,0,2),B C =(2,2,0).设平面 C P B 的法向量为=(x,y,z),.n-PB=(x,y,z)(0,2,-2)=2 y-2 z =0 fz=y,r t i /S vn-B C -(x,y.z)(2,2,0)=2 x +2y-0 x=-y9令 =1，得平面C P B的一个法向量为 =(-1,1,1)；显然
26、平面A P B的一个法向量为m =(1,0,0)；设 二 面 角A-P B-C的 大 小 为 区 则cos0=/3 =(1，。，。”，1，1)=_ 且.|m|n|lx5/3 33故 二 面 角A-P6-C的余弦值是-【点 睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及建立空间直角坐标系求解二面角的问题，需要用到线线垂直与线面垂直的转换以及法向量的求法等.属于中档题.20.(1)AM:MP=3.(2)3【解 析】(1)利用线面垂直的性质得出O_LO N,进 而 得 出M 4O ZiO aV,利用相似三角形的性质，得 出AM，从而得出的值；(2)利 用 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 得 出 所，平 面
27、A CN,进而得 出 四 面 体M-EF7V的 体 积V Sa”。.，计算出EF,S.M O N，即可得出四面体M EFN的体积【详 解】(1)因 为MO_L平 面EFN,O N u平 面E F N,所 以O_LON又 因 为Q4,NC都 垂 直 于 平 面ABCO,所 以ZW IO OC7V又E,尸 分 别 是 正 方 形ABCO边BC,CO的中点，且B4=A?=4，NC=2所 以 理=半=逑5*3OC NC 叵 2:.AM:MP=3.(2)因 为E,产 分 别 是 正 方 形A6CD边BC,CO的中点，所 以EFJ_AC又 因 为Q4,NC都 垂 直 于 平 面A 3C D,耳 u平 面A
28、BC。，所 以EF人CN因为AC c N C =C,AC,N C u平面A C N,所以E P，平面A C N所以，四面体M-E R V的体积V u g/R S.o zEF=2 V2 M ON=4 5/2 x 2 =4 5/2所以v=.3【点睛】本题主要考查了线面垂直的性质定理的应用，以及求棱锥的体积，属于中档题.2 22 1.（1）工+二=1 ；（2）详见解析.4 3【解析】试题分析：（1）利用题中条件先得出。的值，然后利用条件忸C|=2|4 5,S“BC=3结合椭圆的对称性得到点3的坐标，然后将点3的坐标代入椭圆方程求出的值，从而确定椭圆的方程；（2）将条件NP8 C=N Q 8 A得到直
29、线3P与8Q的斜率直线的关系（互为相反数），然 后 设 直 线 的 方 程 为=Z（x-l）,将此直线的方程与椭圆方程联立，求出点P的坐标，注 意 到直线肝与8Q的斜率之间的关系得到点。的坐标，最后再用斜率公式证明直线P Q的斜率为定值.（1）*.,|BC|=2|AB|,sOAB=-=,又A A 0 3是等腰三角形，所以2 2X V把B点 代 入 椭 圆 方 程 丁+刍=1,求 得 尸=3,4 b22 2所以椭圆方程 为 人+上=1;4 3(2)由题易得直线8 P、B Q斜率均存在,又 N P B C =Z Q B A,所以&户=kBQ,3 r2 2设直线B P：y)=(x 1)代入椭圆方程亍
30、+g =l,化简得(3+4女2)2一8%(%一：)+4/一1 2左一3=0,其一解为1,另一解 为%=3+疗，可求以=-12k2-6k 33+4&2 2用-左代入得迎4/+1 2 A-33+4k2-12k2+6k 33+4 2 +2kpQ=；为定值.xP-xQ 2考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.两点间连线的斜率2 2.(1)0.0 2 9 4.(2)应选生产线.见解析【解析】(1)由题意转化条件得4工序不出现故障8工序出现故障，利用相互独立事件的概率公式即可得解；(2)分别算出两个生产线增加的生产成本的期望，进而求出两个生产线的生产成本期望值，比较期望值即可得解.【详解】(
31、1)若选择生产线，生产成本恰好为1 8万元，即A工序不出现故障B工序出现故障，故所求的概率为(1-0.0 2)x 0.0 3=0.0 2 9 4.(2)若选择生产线，设增加的生产成本为1万元)，则J的可能取值为0,2,3,5.p(=0)=(l-0.0 2)x (1-0.0 3)=0.9 5 0 6,=2)=0.0 2 x(1-0.0 3)=0.0 1 9 4,=3)=(1-0.0 2)x 0.0 3=0.0 2 9 4,=5)=0.0 2 x 0.0 2 =0.0 0 0 6,所以 (4)=0 x 0.9 5 0 6 +2 x 0.0 1 9 4 +3 x 0.0 2 9 4 +5 x 0.0
32、 0 0 6 =0.1 3 万元；故选生产线的生产成本期望值为15+0.13=15.13(万元).若选生产线，设增加的生产成本为(万元)，则的可能取值为0,8,5,13.Pr)=0)=(l-0.04)x(l-0.01)=0.9504,尸何=8)=0.04x(1-0.01)=0.0396,p(7=5)=(1-0.04)x0.01=0.0096,P(?7 =13)=0.04 x0.01=0.0004,所以 (77)=0 x 0.9504+8 x 0.0396+5 x 0.0096+13x 0.0004=0.37,故选生产线的生产成本期望值为14+0.37=14.37(万元)，故应选生产线.【点睛】本题考查了相互独立事件的概率，考查了离散型随机变量期望的应用，属于中档题.