《2022年广东省广州市高考数学一模试卷(含解析)14096.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年广东省广州市高考数学一模试卷(含解析)14096.pdf（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2022 年广东省广州市高考数学一模试卷 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合|11AxZx，|02Bxx，则AB的子集个数为()A2 B3 C4 D6 2（5 分）若复数21zi，则|(zi )A2 B5 C4 D5 3（5 分）甲、乙两人在 5 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是()A在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同 B在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C在这 5 天中，甲日
2、均加工零件数大于乙日均加工零件数 D在这 5 天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差 4（5 分）曲线31yx在点(1,)a处的切线方程为()A33yx B31yx C31yx D33yx 5（5 分）6(3)(2)xy xy的展开式中52x y的系数为()A60 B24 C12 D48 6（5 分）若函数()yf x的大致图象如图，则()f x的解析式可能是()A22()1xxx ef xe B221()xxef xx e C22()1xxx ef xe D221()xxef xx e 7（5 分）设抛物线2:8E yx的焦点为F，过点(4,0)M的直线与E相交于A，B两点，与E的准
3、线相交于点C，点B在线段AC上，|3BF，则BCF与ACF的面积之比(BCFACFSS )A14 B15 C16 D17 8（5 分）若正实数a，b满足ab，且0lna lnb，则下列不等式一定成立的是()Alog0ab B11abba C122aba b D11baab 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9（5 分）已知直线:20l xy与圆22:(1)(1)4Cxy，则()A直线l与圆C相离 B直线l与圆C相交 C圆C上到直线l的距离为 1 的点共有 2 个
4、D圆C上到直线l的距离为 1 的点共有 3 个 10（5 分）将函数sin2yx的图象向右平移个单位，得到函数()yf x的图象，则下列说法正确的是()A若4，则()yf x是偶函数 B若4，则()yf x在区间0,2上单调递减 C若2，则()yf x的图象关于点(,0)2对称 D若2，则()yf x在区间0,2上单调递增 11（5 分）在长方体1111ABCDA BC D中，2AB，13AA，4AD，则下列命题为真命题的是()A若直线1AC与直线CD所成的角为，则5tan2 B若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面11BCC B交于点M，则29AM C若经过点A的直线m与长方
5、体所有面所成的角都为，则3sin3 D若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则6sin3 12（5 分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段1 2(,)3 3，记为第 1 次操作；再将剩下的两个区间10,3，2,13分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 2 次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”若第n次操作去掉的区间长度记为(
6、)n，则()A(1)3()2nn B()10lnn C()(3)2(2)nnn D2()64nn（8）三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）已知3sin5，2，则tan 14（5 分）已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC，点P在BC边上（包括端点），则AD AP的取值范围是 15（5 分）已知三棱锥PABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，2 3APABAC，以顶点P为球心，4 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 16（5 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共
7、移动 6 次，则事件“质点位于2的位置”的概率为 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17在等比数列na中，1a，2a，3a分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且1a，2a，3a中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8（1）写出1a，2a，3a，并求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足2(1)lognnnnbaa，求数列nb的前n项和nS 18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为221()sin2abC（1）证明：sin2sinAB；
8、（2）若3cos2aCb，求cos A 19如图，在五面体ABCDE中，AD 平面ABC，/ADBE，2ADBE，ABBC（1）求证：平面CDE 平面ACD；（2）若3AB，2AC，五面体ABCDE的体积为2，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值 20 人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品 1 月至 5 月的销售量如表：月份 1 2 3 4 5 销售量y（万件）4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：2yuxv（1）根据所给数据与回归模型，求y
9、关于x的回归方程(u的值精确到0.1)；（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为5224yzxx，根据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据1(x，1)y，2(x，2)y，(nx，)ny，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()niiiniixxyybxx，aybx 21在平面直角坐标系xOy中，已知点(2,0)A，(2,0)B，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为34，点M的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2）已知点(1,0)F，直线:4l x 与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数，使得MFDN
10、FD？若存在，求的值；若不存在，说明理由 22已知函数()sincosxf xexx，()fx为()f x的导数（1）证明：当0 x时，()2fx；（2）设()()21g xf xx，证明：()g x有且仅有 2 个零点 2022 年广东省广州市高考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1（5 分）已知集合|11AxZx，|02Bxx，则AB的子集个数为()A2 B3 C4 D6【考点】交集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】求出集合A，进而是求出AB，由此能求出AB
11、的子集个数【解答】解：集合|11 1AxZx，0，1，|02Bxx，0AB，1，则AB的子集个数为224 故选：C【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 2（5 分）若复数21zi，则|(zi )A2 B5 C4 D5【考点】复数的模【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论【解答】解：复数2222(1)2(1)11(1)(1)11iiziiii，则22|12|1(2)5zii ，故选：B【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 3（5
12、分）甲、乙两人在 5 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是()A在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同 B在这 5 天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同 C在这 5 天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数 D在这 5 天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【考点】茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解 【解答】解：对于A，甲在 5 天中每天加工的零件的个数为 18，19，
13、23，27，28，乙在 5 天中每天加工零件的个数为 17，19，21，23，25，对于A，甲加工零件数的极差为281810，乙加工零件数的极差为25178，故A错误，对于B，甲加工零件数的中位数为 23，乙加工零件数的中位数为 21，故B错误，对于C，甲加工零件的平均数为1819232728235，乙加工零件数的中位数为1719212325215，故C正确，对于D，甲加工零件数的方差为222225404516.45，乙加工零件数的方程为222224202485，故D错误 故选：C【点评】本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题 4（5 分）曲线31yx在点(1,)a
14、处的切线方程为()A33yx B31yx C31yx D33yx 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】求出导函数，求出切线的斜率，然后求解切线方程【解答】解：31yx，可得23yx，(1)0fa，(1)3f ，所以切线方程：3(1)yx，可得330 xy 故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题 5（5 分）6(3)(2)xy xy的展开式中52x y的系数为()A60 B24 C12 D48【考点】二项式定理【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】利用展开式的通项公式求得52x
15、 y的系数【解答】解：6(2)xy的展开式中第1r 项为616(2)rrrrrTCxy，令64r，得2r；令65r，得1r 6(3)(2)xy xy展开式中52x y的系数为221166(2)3(2)24CC 故选：B【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题 6（5 分）若函数()yf x的大致图象如图，则()f x的解析式可能是()A22()1xxx ef xe B221()xxef xx e C22()1xxx ef xe D221()xxef xx e【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象的变换【专题】数形结合；数形结合法；函
16、数的性质及应用；直观想象【分析】由函数的奇偶性和函数值的变化趋势可得结论【解答】解：由已知图象可得()f x为奇函数，对于A，2()xxxf xee是偶函数，故A错误；对于B，2()xxeef xx的定义域为|0 x x，且()()fxf x，可得()f x为偶函数，故B错误；对于C，2()xxxf xee的定义域为|0 x x，且()()fxf x，可得()f x为奇函数，且x ，xye比20yx增加快，所以()0f x，故C错误；对于D，2()xxeef xx的定义域为|0 x x，且()()fxf x，可得()f x为奇函数，且x ，()f x ，故D正确 故选：D【点评】本题考查函数的
17、图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题 7（5 分）设抛物线2:8E yx的焦点为F，过点(4,0)M的直线与E相交于A，B两点，与E的准线相交于点C，点B在线段AC上，|3BF，则BCF与ACF的面积之比(BCFACFSS )A14 B15 C16 D17【考点】抛物线的性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】利用三角形面积公式，可把BCF与ACF的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A，B到准线的距离之比，借助|4BF 求出B点坐标，得到AB方程，代入抛物线方程，解出A点坐标，就可求出BN与AE的长度之比，得
18、答案【解答】解：抛物线方程为28yx，焦点F的坐标为(2,0)，准线方程为2x ，如图，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则2|23BFx，21x，把21x 代入抛物线28yx，得，22 2y ，直线AB过点(4,0)M与(1,2 2)，方程为2 238 20 xy，代入抛物线方程，解得，116x，|16218AE，在AEC中，/BNAE，|31|186BCFACFSBCBNSACAE 故选：C 【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题 8（5 分）若正实数a，b满足ab，且0lna ln
19、b，则下列不等式一定成立的是()Alog0ab B11abba C122aba b D11baab【考点】不等关系与不等式【专题】方程思想；转化思想；综合法；不等式；数学运算【分析】根据题意得出1ab或01ba，再依次分析选项中的命题是否成立即可【解答】解：根据题意，正实数a，b满足ab且0lna lnb，则有1ab或01ba，依次分析选项：对于A，无论1ab或01ba，都有log0ab，所以A错误；对于B，11111()()ababababababbaababab，当01ba时，110abba，即11abba，所以B错误；对于C，因为1(1)(1)0ababab，所以1abab，所以122a
20、ba b，即选项C错误；对于D，由11baab，两边取自然对数，得(1)(1)blnaalnb，因为(1)(1)0ab，所以11lnalnbab，设()1lnxf xx，(0 x，1)(1，)，则211()(1)lnxxfxx，设1()1g xlnxx，(0 x，1)(1，)，则22111()xg xxxx，当(0,1)x时，()0g x，()g x单调递增，当(1,)x时，()0g x，()g x单调递减，所以()g xg（1）0，所以()0fx，()f x在(0,1)和(1,)上都是单调减函数，所以f（a）f（b），即选项D正确 故选：D【点评】本题考查不等式的性质以及应用，涉及不等式大小
21、的比较，以及导数的综合应用问题，是难题 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.9（5 分）已知直线:20l xy与圆22:(1)(1)4Cxy，则()A直线l与圆C相离 B直线l与圆C相交 C圆C上到直线l的距离为 1 的点共有 2 个 D圆C上到直线l的距离为 1 的点共有 3 个【考点】直线与圆的位置关系【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解【解答】解：圆22:(1)(1)4Cxy，即圆心坐标为(1,1)
22、，半径2r，圆心(1,1)到直线:20l xy的距离22|1 12|1211d ，即直线l与圆相交，圆C上到直线l的距离为 1 的点共有 3 个 故选：BD【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题 10（5 分）将函数sin2yx的图象向右平移个单位，得到函数()yf x的图象，则下列说法正确的是()A若4，则()yf x是偶函数 B若4，则()yf x在区间0,2上单调递减 C若2，则()yf x的图象关于点(,0)2对称 D若2，则()yf x在区间0,2上单调递增【考点】函数sin()yAx的图象变换【专题】转化思想；转化法；三角函数的图象与性质；数学运算【分析】
23、利用三角函数的图象变换关系求出函数()f x的解析式，利用三角函数的奇偶性对称性和单调性分别进行判断即可【解答】解：将函数sin2yx的图象向右平移个单位，得到函数()yf x的图象，得sin 2()sin(22)yxx，若4，则sin(2)cos22yxx，则函数()f x为偶函数，故A正确，当0,2x，则20 x，此时cos2yx为减函数，则()cos2f xx 为增函数，故B错误，若2时，则sin(2)sin2yxx，当2x时，()sin002f ，则()yf x的图象关于点(,0)2对称，故C正确，当0,2x，则20 x，此时sin2yx不单调，则()sin2f xx 不单调性，故D错
24、误，故选：AC【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的奇偶性单调性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题 11（5 分）在长方体1111ABCDA BC D中，2AB，13AA，4AD，则下列命题为真命题的是()A若直线1AC与直线CD所成的角为，则5tan2 B若经过点A的直线l与长方体所有棱所成的角相等，且l与面11BCC B交于点M，则29AM C若经过点A的直线m与长方体所有面所成的角都为，则3sin3 D若经过点A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，则6sin3【考点】命题的真假判断与应用；棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角【专题】转化思想；综合法；空间角；逻
25、辑推理；数学运算【分析】根据长方体的性质找到直线1AC与直线CD所成角的平面角，判断A；建立空间直角坐标系，利用向量法判断B；将长方体补为以 4 为棱长的正方体，求线面角和二面角，判断CD【解答】解：对于A，如图，直线1AC与直线CD所成角，即为直线1AC与直线AB所成角为1BAC，则115tantan2BCBACAB，故A正确；对于B，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，过A的l与长方体所有棱所成的角都相等，与面11BCC B交于(M x，2，)z，且x，0z，1(0AA，0，3)，(0AB，2，0)，(4AD，0，0)，则1122222212cos,cos,cos,|444AAAMz
26、AB AMAD AMxAA AMAB AMAD AMAAAMABAMADAMxzxzxz，2xz，2 3AM，故B错误；对于C，如图，过A的直线m与长方体所有面所成角都为，则直线m为以 4 为棱长的正方体的体对角线AM，3sin3，故C正确；对于D，如图，过A的平面与长方体所有面所成的二面角都为，只需面与以 4 为棱长的正方体中相邻的三条棱的顶点所在平面平行，如面EDF，3cos3EDFADESS，6sin3，故D正确 故选：ACD【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 12（5 分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数
27、学的基础著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间0，1均分为三段，去掉中间的区间段1 2(,)3 3，记为第 1 次操作；再将剩下的两个区间10,3，2,13分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第 2 次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”若第n次操作去掉的区间长度记为()n，则()A(1)3()2nn B()10lnn C()(3)2(2)nnn D2()64nn（8）【考点】进行简单的合情推理【专题】综合题；转化思想；
28、综合法；等差数列与等比数列；推理和证明；逻辑推理【分析】分析发现得到()n是一个等比数列，按等比数列的性质逐一判断即可【解答】解：由题可得（1）13，（2）11233，（3）11122333，（4）1111233333，由此可知1112()2()()323nnnn，即为一个等比数列，对112()(1)223:12()3()23nnnAn，故A错误；对122:()1()1210233nB lnnlnnlnln ，因为203ln，故该数列为递减数列，又因为1n 时，ln（1）21213103lnlnln ，故B正确；对C：要 证()(3)2(2)nnn，即 证32121212()()2()2323
29、23nnn，整 理 可 得2221()2()33nn，当1n 时，413212993，符合条件；当2n时，212()3n恒成立，所以2221()2()33nn恒成立，故C正确；对D：令2()()k nnn，则2211212(1)()(1)(1)()(1)2()2()2323nnk nk nnnnnnn，整理可得12(1)()()(242)63nk nk nnn，令2420nn解得26n 或26n（舍)，因为*nN，所以45n，由此可知4n时(1)()0k nk n；5n时，(1)()0k nk n，故k（5）为最大值，k（8）82（8）64（8），根据单调性，k（5）k（8），故2()64nn
30、（8）不成立，故D错误；故选：BC【点评】本题考查简单的合情推理，涉及等比数列的性质应用，属于中档题 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.13（5 分）已知3sin5，2，则tan 34 【考点】同角三角函数间的基本关系【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解【解答】解：因为3sin5，2，所以24cos15sin ，则sin3tancos4 故答案为：34【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题 14（5 分）已知菱形ABCD的边长为 2，60ABC，点P在BC边上
31、（包括端点），则AD AP的取值范围是 2，2 【考点】平面向量数量积的性质及其运算【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算【分析】建立坐标系，设出点P的坐标，利用向量的数量积，转化求解即可【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,0)A，(2,0)D，(1,3)C，(1,3)D 当点P在BC上时，设(,3)P x，1x，1，(2,0)AD，(,3)APx，则2 2AD APx，2 故答案为：2，2 【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，以及共线向量的表示，属于中档题 15（5 分）已知三棱锥PABC的棱AP，AB，AC两两互相垂直，2 3APABAC
32、，以顶点P为球心，4 为半径作一个球，球面与该三棱锥的表面相交得到四段弧，则最长弧的弧长等于 43 【考点】弧长公式【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算【分析】将三棱锥PABC补全为棱长为2 3的正方体，根据已知条件判断棱锥各面与球面相交所成圆弧的圆心，进而求出弧长即可【解答】解：将三棱锥PABC补全为棱长为2 3的正方体，如下图所示，若2ADAF，则4PDPF，即D，F在P为球心，4 为半径的球面上，且O为底面中心，又62OA，3 24OP，所以面ABC与球面所成弧是以A为圆心，2 为半径的四分之一圆弧，弧长为，面PBA，PCA与球面所成弧是以P为圆心，4 为半径且圆心角为12的圆弧
33、，故弧长为3，面PBC与球面所成弧以P为圆心，4 为半径且圆心角为3的圆弧，故弧长为43，综上所述，最长弧的弧长为43 故答案为：43【点评】本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题 16（5 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点O出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动 6 次，则事件“质点位于2的位置”的概率为 1564 【考点】古典概型及其概率计算公式【专题】对应思想；定义法；概率与统计【分析】根据分步计数原理进行计算即可【解答】解：质点移动 6 次，可能结果共有22222264 种，质若点位于2的位置，则质点需要向左移动 4 次，然后向右移动 2 次，则
34、有4615C 种，则对应的概率1564P，故答案为：1564【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.17在等比数列na中，1a，2a，3a分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且1a，2a，3a中的任何两个数不在下表的同一列 第一列 第二列 第三列 第一行 3 2 3 第二行 4 6 5 第三行 9 12 8（1）写出1a，2a，3a，并求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足2(1)lognnnnbaa，求数列nb的前n项和nS【考点】数列的求和【专
35、题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】（1）根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到12a，24a，38a，进而求得通项公式；（2）由（1）知2(1)nnnbn，利用分组求和，含有(1)n需讨论n为偶数与奇数，然后按照等差数列求和【解答】解：（1）根据等比数列的定义和表格中数据，得到12a，24a，38a，即数列na是首项为 2，公比为 2 的等比数列，故1222nnna（2）因为22(1)log2(1)log 22(1)nnnnnnnnnbaan ，当n为偶数时，112122(222)1234(1)221222nnnnnnSnn ，当n为奇数时，112112211
36、5(222)1234(1)222122222nnnnnnnnSnnnn ，综上所述，1122,252,22nnnnnTnn为偶数为奇数【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及分组求和问题，属于中档题 18ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ABC的面积为221()sin2abC（1）证明：sin2sinAB；（2）若3cos2aCb，求cos A【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算【分析】（1）根据三角形面积公式及三角形内角性质可得221122abab，再由正弦定理的边角关系即可证结论（2）方法一：由（1）及题设可得323cos
37、(,)422C，进而求得7sin4C，应用余弦定理及正弦定理边角关系求sin B，即可求cos B，注意根据B的范围判断符号，最后利用coscos()ABC 及和角余弦公式求值即可；方法二：由已知条件得3cos4C，再根据余弦定理即可求解【解答】（1）证明：由题设，2211sin()sin22abCabC，又sin0C，所以221122abab，由正弦定理可得22sinsinsin2sinABAB，所以22sin(sinsin)sinsin(sinsin)(sinsin)BABABABAB，又sinsin0AB，所以sinsinsinBAB，即sin2sinAB 解：（2）方法一：由（1）及题
38、设，3sincos2sincossin2ACBCB，且sin0B，所以323cos(,)422C，则64C，故7sin4C，又2222222275316cos22sinsin44sin Babcsin Asin Bsin CCabABsin B，可得14sin8B，若5 23cos82B ，则56B，而2334AB，故不合题设；所以5 2cos8B，所以1475 232coscos()cos()sinsincoscos84844ABCBCBCBC 方法二：由23cos34cos2abCaCb，由余弦定理222cos2abcCab，则2223(2)42 2bbcb b，有2cb，由余弦定理222
39、222(2)(2)2cos2422bcabbbAbcbb 【点评】本题考查了正余弦定理，两角和与差的公式，三角形面积等知识，属于中档题 19如图，在五面体ABCDE中，AD 平面ABC，/ADBE，2ADBE，ABBC（1）求证：平面CDE 平面ACD；（2）若3AB，2AC，五面体ABCDE的体积为2，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值 【考点】平面与平面垂直；直线与平面所成的角【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】（1）若O是AC中点，连接OB，作/OzAD，根据题设可得Oz，OB，AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令22ADBEa，OBc，OAOCb并
40、确定点坐标，求面CDE、面ACD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出AD，BE，进而求面ABED的法向量、直线CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值【解答】证明：（1）解法一：若O是AC中点，连接OB，作/OzAD，由ABBC知：OBAC，因为AD 面ABC，则Oz 面ABC，又OB，AC 面ABC，所以OzOB，OzAC，综上，Oz，OB，AC两两垂直，故可构建如图所示的空间直角坐标系Oxyz，令22ADBEa，OBc，OAOCb，则(0D，b，2)a，(0C，b，0)，(E c，0，)a，所以(0,2,2),(,)CD
41、ba CEcb a，若(mx，y，)z 是面CDE的一个法向量，即2200m CDbyazm CEcxbyaz，令zb，则(0m，a，)b，又(1,0,0)n 是面ACD的一个法向量，则0m n，所以面CDE 面ACD（1）解法二：分别取AC，CD中点H，F，连接EF、BH、HF，则/HFADBE，22ADHFBE，四边形BEFH为平行四边形，/BHEF，又BH 平面ACD，EF平面ACD，EF 平面CDE，平面CDE垂直平面ACD 解：（2）由AD 面ABC，AD 面ABED，则面ABED 面ABC，故C到面ABED的距离，即为ABC中AB上的高，因为3,2ABBCAC，则3341cos32
42、33B，故2 2sin3B，所以AB上的高2 6sin3hBCB 又AB 面ABC，则ADAB，而/ADBE，有BEAB，2ADBE，所以ABED为直角梯形，令22ADBEa，则13 33322ABEDaSa，综上，12 63 322332ABCDEaVa，故1a 由（1）知：(0,1,0),(0,1,2),(0,1,0),(2,0,1)ADCE，所以(0,0,2),(2,1,1)ADDE，若(,)lm n k是面ABED的一个法向量，即2020lADkl DEmnk，令1m ，则(1,2,0)l ，而(2,1,1)CE，则2 26|cos,|3|32l CEl CElCE，所以直线CE与平面
43、ABED所成角的正弦值为63【点评】本题考查利用向量法解决立体几何的问题，考查学生的运算能力，属于中档题 20 人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品 1 月至 5 月的销售量如表：月份 1 2 3 4 5 销售量y（万件）4.9 5.8 6.8 8.3 10.2 该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了y关于x的回归模型：2yuxv（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程(u的值精确到0.1)；（2）已知该公司的月利润z（单位：万元）与x，y的关系为5224yzxx，根据（1）的结果，问该公司哪一
44、个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据1(x，1)y，2(x，2)y，(nx，)ny，其回归直线ybxa的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()niiiniixxyybxx，aybx【考点】线性回归方程【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】（1）根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解（2）由（1）可知，20.25yx，322525(0.25)227242424yxzxxxxxxx，再利用导数研究函数的单调性，即可求解【解答】解：（1）令2wx，则1(1491625)115w，1(4.95.86.88.310.2)7.25y，51521(
45、)()81.10.2374()iiiiiww yyuww，7.20.2 115vybw，故y关于x的回归方程为20.25yx（2）由（1）可知，20.25yx，322525(0.25)227242424yxzxxxxxxx，令3227()24g xxxx，则32212327324273(9)(1)()(0)2222xxxxg xxxxxx xx x，令()0g x，解得09x，令()0g x，解得9x，令()0g x，解得9x，故()g x在9x 处取得极大值，也为最大值，故()maxg xg（9）7227936，故第 9 个月的月利润预报值最大【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，以及利用
46、导数研究函数的单调性，属于中档题 21在平面直角坐标系xOy中，已知点(2,0)A，(2,0)B，点M满足直线AM与直线BM的斜率之积为34，点M的轨迹为曲线C（1）求C的方程；（2）已知点(1,0)F，直线:4l x 与x轴交于点D，直线AM与l交于点N，是否存在常数，使得MFDNFD？若存在，求的值；若不存在，说明理由【考点】轨迹方程【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算【分析】（1）利用斜率两点式，结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C，注意2x （2）设(4,)Nn、直线AM为(2)6nyx，联立曲线C，应用韦达定理求M坐标，进而
47、应用n表示tanMFD、tanNFD，结合二倍角正切公式判断tanMFD与tanNFD的数量关系，即可得解【解答】解：（1）设(,)M x y，则3224AMBMyykkxx 且2x ，所以M的轨迹为曲线C方程为22143xy且2x （2）设(4,)Nn，则直线AM为(2)6nyx，联立曲线C得：22(2)6143nyxxy，整理得：2222(27)441080nxn xn，由题设知：22427AMnxxn，则2254227Mnxn，故221081862727Mnnynn，又26tan19MMynMFDxn，tan3nNFD，所以22222tan63tan1tan919nNFDnMFDnNFD
48、n，即2MFDNFD，很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件 所以存在2，使2MFDNFD 【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题 22已知函数()sincosxf xexx，()fx为()f x的导数（1）证明：当0 x时，()2fx；（2）设()()21g xf xx，证明：()g x有且仅有 2 个零点【考点】利用导数研究函数的最值【专题】证明题；分类讨论；转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理【分析】（1）令()cossinxh xexx，利用导数判断()h x的单调性，并求出其最小值即可证明；（2）由()l可知，()g
49、x在0，)上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数，即可证明()g x在(,0)上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点【解答】证明：（1）由()sincosxf xexx，得()cossinxfxexx，设()cossinxh xexx，则()sincosxh xexx，当0 x时，设()xp xexl，()sinq xxx，因为()1 0 xp xe，()1cos0q xx，所以()p x和()q x在0，)上单调递增，()(0)0p xp，()(0)0q xq，所以当0 x时，1xex，sinxx，则()sincos1sincos(s
50、in)(1cos)0 xh xexx xxxxxx，所以()cossinxh xexx在0，)上单调递增，所以()(0)2h xh，即当0 x吋，()2fx（2）由已知得()sincos21xg xexxx，当0 x时，因为()cossin2()2 0 xg xexxfx，所以()g x在0，)上单调递增，又因为(0)10g ，()20ge，所以由零点存在性定理可知()g x在0，)上仅有一个零点，当0 x 时，设2sincos()(0)xxxm xxe，则2(sin1)()0 xxm xe，所以()m x在(,0)上单调递减，所以()(0)1m xm，所以cossin20 xexx，所以()