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1、2022年广东省广州市高考数学一模试卷一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5 分）已知集合4=21-尽底1 ,B =x l 以 运 2,则 A 0|B 的子集个数为（)A.22.(5 分)B.3若复数z =3,则l z-i l=(1 +iC.4 D.6)A.23.(5 分)B.7?C.4 D.5甲、乙两人在5 天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）乙7 9甲9 88 7 3 2 1 3 5A.在这5 天中，甲、乙两人加工零件数
2、的极差相同B.在这5 天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同C.在这5 天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5 天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差4.（5 分）曲线 =兄+1 在 点 处 的 切 线 方 程 为（）A.y=3x+3 B.y =3x +l C.y=-3x-1 D.y=-3x-35.（5 分）（x +3y）（x-2y）6 的展开式中45y 2的系数为（）A.6 0B.24C.-1 2 D.-486.（5 分）若函数y =/（x）的大致图象如图，则，（x）的解析式可能是（)B./3 =e2x+1X2exC./(x)X2exe2x-1D./(x)e2x 1x2
3、ex7.（5分）设抛物线E:），2=8x的焦点为尸，过点加（4,0）的直线与E相交于A ,8两点,与E的准线相交于点C,点B在线段AC上，1 8尸1=3,则A B C尸 与A A C F的面积之比AACFA.-B.1 C.1 D.14 5 6 78.（5分）若正实数a,b满足且 而 加b 0,则下列不等式一定成立的是（）A.l o g /?b C.23+i 2a+b D.d-i。b a二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分.9.（5 分）已知直线/:x+y-0 =0 与圆 C:（x
4、-l”+（y +l）2=4,贝 lj（）A.直线/与圆C相离B.直线/与圆C相交C.圆C上到直线/的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线/的距离为1的点共有3个1 0.（5分）将函数y =s i n 2x的图象向右平移所成的角为（P，则t a n（p =32B.若经过点A的直线/与长方体所有棱所成的角相等，且/与面5 C C 3交于点M,则 A M二 晒C.若经过点A的直线机与长方体所有面所成的角都为e ,则S i n 0=3D.若经过点A的平面0与长方体所有面所成的二面角都为日，则s i n R=31 2.(5分)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理
5、性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 0,I 均分为三段，去掉中间的区间段(；q),记为第1次操作；再将剩下的两个区间 0,；,|,1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第，次操作去掉的区间长度记为中()，则()A.-S +D=2 B./n (p(n)+1 2 p(2 n)D.n 2(p(X 64(p (8)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.2 7T1 3.(5 分)己 知s in a
6、=-，a 中，A D _L 平面/WC,A D/B E,A D =2B E,AB =B C .(1)求证：平面C D E 1平面AC D；(2)若 A 8 =,AC =2,五面体A B C D E 的体积为77,求直线C E 与 平 面 所 成 角2 0.人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策.某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1 月至5月的销售量如表：该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了 y 关于x的回归模型：yuxi+v.月份12345销售量y （万件）4.95.86.88.31 0.2（1）根据所给数据与回归模型，求 y关于x 的回
7、归方程（日的值精确到0.1）；（2）已知该公司的月利润z （单位：万元）与x,y的关系为z =2 4j l-1,根 据（1）的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据(x ,y),(x ，y),，(x ，y),其回归直线？=&+&的斜11 2 2 n nE(x -x)(y -y)率和截距的最小二乘估计公式分别为A =-，a=y-b x.-7)21=121 .在平面直角坐标系x O y 中，已知点4(-2,0)，3(2,0),点 满 足 直 线 40与 直 线 的斜率之积为-3 ,点M 的轨迹为曲线C.4(1)求C 的方程；(2)已知点尸(1,0),直线/:x =4 与x
8、 轴交于点。，直线AM与/交于点N,是否存在常数九，使得NMFD=NNFD?若存在，求九的值；若不存在，说明理由.22.已知函数/(x)=e*+s in x-co s x,尸(x)为/(x)的导数.(1)证明：当心0 时，尸(x)22；(2)设g(x)=/(x)-2x-l,证 明:g(x)有且仅有2 个零点.2022年广东省广州市高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.（5分）已知集合4=x w Z I-K球1,8=娼以运2 ,则 的 子 集 个 数 为（）A.2 B.3 C.4 D.6【考点】交
9、集及其运算【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算【分析】求出集合A,进而是求出4 n 8，由 此 能 求 出 巾8的子集个数.【解答】解：.集合A=x e Z I-l 运 1=-1,0,1,B=xl（X2,.1哨8=0,1,则3的子集个数为22=4.故选：C.【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力,是基础题.2.（5分）若复数z=-，则lz-il=（）1 +iA.2 B.yJ5 C.4 D.5【考点】复数的模【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论.【解答】解：复数z=7-=1 +Z2(
10、1-0(1+0(1-012+12则 lz il=ll-2 il=J12+(-2)2 =小,故选：B.【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.3.（5分）甲、乙两人在5天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则下列结论正确的是（）甲_9 8 1乙7 98 7 3 2 1 3 5A.在这5天中，甲、乙两人加工零件数的极差相同B.在这5天中，甲、乙两人加工零件数的中位数相同C.在这5天中，甲日均加工零件数大于乙日均加工零件数D.在这5天中，甲加工零件数的方差小于乙加工零件数的方差【考点】
11、茎叶图；众数、中位数、平均数【专题】对应思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】根据已知条件，结合极差和中位数的定义，以及平均数和方差的公式，即可求解.【解答】解：对于A,甲在5天中每天加工的零件的个数为1 8,1 9,2 3,2 7,2 8,乙在5天中每天加工零件的个数为1 7,1 9,2 1,23,2 5,对于A，甲加工零件数的极差为2 8-1 8 =1 0 ,乙加工零件数的极差为2 5 -1 7 =8 ,故A错误，对于8,甲加工零件数的中位数为2 3,乙加工零件数的中位数为2 1,故3错误，对于C ,甲加工零件的平均数为I+19+23+27+28=2 3,5乙加工零件数的中位数为*+1
12、9+21+23+25=2 ,故c正确，5对于D,甲加工零件数的方差为52+42+）+42+52=1 6 4,乙加工零件数的方程为上翼话卫旺=8,故O错误.故选：C.【点评】本题主要考查极差和中位数的定义，以及平均数和方差的求法，属于基础题.4.（5分）曲线 =兄+1在点（-1,4）处的切线方程为（）A.y =3 x +3 B.y =3 x +l C.y=-3x-1 D.y=-3x-3【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【分析】求出导函数，求出切线的斜率，然后求解切线方程.【解答】解：y=xi+l,可得y =3 x 2,/(-i)=a=
13、o,r(-1)=3,所以切线方程：y =3(x +l),可得3 x-y +3 =0.故选：A.【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，是基础题.5.(5 分)(x +3 y)(x-2 y)6 的展开式中x 5 2 的系数为()A.6 0 B.2 4 C.-1 2 D.-4 8【考点】二项式定理【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算【分析】利用展开式的通项公式求得X 5)，2 的系数.【解答】解：(x-2 y)6 的展开式中第r +1 项为T =-2)一小一 y,r+l 6令 6-r =4,得 r =2；令 6-r =5,得 r =l.二(x +3 y)(x-2 y)6
14、 展开式中心尹的系数为。2 .(-2)2 +3 x。x(-2)1 =2 4 .6 6故选：B .【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题.6.(5 分)若 函 数 y =/(x)的大致图象如图，则/(x)的解析式可能是()C.f(x)=Xe D./(%)=-e2x-1x z e*【考点】函数解析式的求解及常用方法；函数的图象与图象的变换【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象【分析】由函数的奇偶性和函数值的变化趋势可得结论.【解答】解：由已知图象可得 X)为奇函数，对于A,/(x)=是偶函数，故A错误；ex+e-4W,故。正确.故
15、选：D.【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题.7.（5 分）设抛物线E:y2=8x的焦点为尸，过点M（4,0）的直线与E 相交于A,8 两点,与 E 的准线相交于点C,点 B 在线段A C上，18尸1=3,则 ABCF与 AACF的面积之比AACFA.1 B.1 C.1 D.14 5 6 7【考点】抛物线的性质【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【分析】利用三角形面积公式，可把ABCF与&4 3 的面积之比转化为BC长与AC长的比，再根据抛物线的焦半径公式转化为A,8 到准线的距离之比，借助IB尸1=4求出8 点坐标,得 到
16、 方 程，代入抛物线方程，解出A 点坐标，就可求出8 N 与 的 长 度 之 比，得答案.【解答】解：.抛物线方程为W=8x,.焦点尸的坐标为（2,0）,准线方程为x=-2,如图，设 4（尢 ,y）B（x，y）,1I 2 2过 A,B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E,N,则 16/1=4+2=3,A X=1,2 2把 x=1代入抛物线尹=81，得，y=-2点，2 2二.直线A B 过点M（4,0）与（1,-2折,方程为2 c-3），-8 0 =O,代入抛物线方程，解得，x=16,I.J AE 1=16+2=18,在 A4EC 中，BN/AE,“S 4 4 4 4 =B C B N 3
17、=1一 S I AC I AE 1 8 6M C F故选：C .【点评】本题主要考查了抛物线的焦半径公式，侧重了学生的转化能力，以及计算能力，是中档题.8.（5分）若正实数“，b满足a b,且加?/肪 0,则下列不等式一定成立的是（）A.l og b b C.2 M -i b a【考点】不等关系与不等式【专题】方程思想；转化思想；综合法；不等式；数学运算【分析】根据题意得出。匕1或0 匕。b且/“a 防 0 ,贝U有a b l或0 4 b l或,都有l og b0,所以A错误;a工 n 1 ,1 ,1 1 ,a-b、/八 ab-1X J j B ,a _ -b+_=/?+_=u-b (-)=(
18、q b)-,b a a b ab ab当 0 b a l 时，+即 a-J L a +，所以2 +1 2+b,即选项C错误；对于 ),由 ,两边取自然对数，W(b-V)lna 0,所 以 妈 竺，I .J*“S设/(x)=,x e(O,1)(1 ,+0 0),贝lf (x)=-X-(X-1)2设 g(x)=l-Inx,x e (0 ,+oo),则 g(x)=J-1 =-,X X2 X X2当 x e(0,l)时，g (x)0,g(x)单调递增，当 x e(l,4 w)时，g (x)0，g(x)单调递减，所以g(x)g(1)=0,所 以:(x)0,x)在(0,1)和(1,加)上都是单调减函数,所
19、以/(a)/T =0 与圆 C:(x-1)2 +(y+1)2 =4 ,则()A.直线/与圆C相离B.直线/与圆C相交C.圆C上到直线/的距离为1的点共有2个D.圆C上到直线/的距离为1的点共有3个【考点】直线与圆的位置关系【专题】转化思想；转化法；直线与圆；数学运算【分析】根据已知条件，结合点到直线的距离公式，即可求解.【解答】解：.圆C：(x-l)2+(y+l”=4,即圆心坐标为(1,-1),半径r=2,二.圆心(1,-1)到直线/:x+y-应=0的距离=匕 匕 包=12,即直线/与圆相交，圆CV 1 2 +1 2上到直线/的距离为1的点共有3个.故选：B D.【点评】本题主要考查直线与圆的
20、位置关系，考查计算能力，属于中档题.1 0.(5分)将 函 数y =s in2 x的图象向右平移若中 弋，则 尸 s in(2 xq)=-c o s 2 x,则函数f(x)为偶函数，故 4正确，当光。5 ,则 2 xw 0,K ,此时y =c o s 2 x为减函数，则/(x)=-c o s 2 x为增函数，故 B错误，若(p =彳时，则 y =s in(2 x 一 兀)=一 s in 2 x,当X =g 时，/(.)=-s in7 T =-0 =0,则 y =/(x)的图象关于点4,0)对称，故C正确，当xe 0 守，则 2 x e 0,兀,此时y =s in2 x不单调，则 f(x)=-s
21、 in2 x不单调性，故。错误，故选：AC .【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的奇偶性单调性和对称性进行判断是解决本题的关键，是中档题.1 1.(5 分)在长方体A B C。-A8c。中，旗=2,A 4 =3 ,4)=4,则下列命题为真命1 1 1 1 I题的是()A.若直线AC与直线CC所成的角为0,1 141=(0,0,3),AB=(0,2,0),4D=(4,0,0),则c i.iAA A M,二 AH AM=cos=IA 8 I/A M I=CO.正确.3故选：ACD.【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力
22、，是中档题.1 2.（5 分）十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 0,1 均分为三段，去掉中间的区间段（；,|）,记为第1 次操作；再将剩下的两个区间1 0,3,|,1 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记 为 第 2次操作；每次操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第次操作去掉的区间长度记为(p(),则()A.“=2 B./H l(p(n)+1 0(p()2C.(p()+2
23、p(2 )D.2 p(nX 64 p(8)【考点】进行简单的合情推理【专题】综合题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；推理和证明；逻辑推理【分析】分析发现得到叭)是一个等比数列，按等比数列的性质逐一判断即可.【解答】解：由题可得(p(1)=1，(p(2)=2 x l x l,(p(3)=2 2 x 1 x 1 x 1,(p(4)3 3 3 3 3 31 1 1 I=2 3 X -X X X ,3 3 3 3由此可知 P()=2”T x(；)“=1-(|),即为一个等比数列，对 从 也 把 二(P()2故A错误;3对 B:+1 =(,)+1 =nln-lnl+0 ,因为/g0,故该数列为递减
24、数列，2又因为=1 时，/nf(p(1)+l =/n-/n2 +l=-/3 +l 2(p(2 ),即 证;.(令“+；.(|2 x；.(|)2“，整 理 可 得2 71 +(3)2”2.(3)，当”=1时，1 +3 =竺 2、2,符合条件；9 9 3当冲2时，1 2令 恒 成 立，所以1 +)2”2令 恒 成 立，故C正确；对)：令 k(n)=a 2(p(),则1 2 1k(n+V)-k(n)=(n+l)2(p(n+1)-n2(p(n)=(+1)2 ()+1 -2-i 2整理可得以+1)-A()=_ (_)(一 2 +4 +2),6 3令-2 +4 +2 =0解得”=2 +#或w=2-#(舍)
25、，因为e N*,所以4 w 0 ；吟5时，k(n+1)-k(n)k(8),故 2 p(其 64 p(8)不成立，故。错误；故选：B C .【点评】本题考查简单的合情推理，涉及等比数列的性质应用，属于中档题.三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分.1 3.(5 分)已 知 sina=-，一an,则ta na=-.5 2 -4-【考点】同角三角函数间的基本关系【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解.【解答】解：因为s i n a=3,-a 2 ,OP=3a 4,所以面4 3 c 与球面所成弧是以A 为圆心，2 为半径
26、的四分之一圆弧，弧长为兀，面 P84,PC 4与球面所成弧是以尸为圆心，4 为半径且圆心角为兀 的圆弧，故弧长为兀，12 3面 PBC与球面所成弧以P 为圆心，4 为半径且圆心角为巴的圆弧，故 弧 长 为 竺，3 3综上所述，最长弧的弧长为竺.3故答案为：竺.3【点评】本题主要考查弧长的求解，考查了转化思想，属于中档题.16.（5 分）如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点。出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6 次，则事件“质点位于-2 的位置”的概率为.一 64 一II II 1111tli 11b6 5 4 3 2 I 0 1 2 3 4 5 6【考点】古典概型及其概
27、率计算公式【专题】对应思想；定义法；概率与统计【分析】根据分步计数原理进行计算即可.【解答】解：质点移动6 次，可能结果共有2x2x2x2x2x2=64种，质若点位于-2 的位置，则质点需要向左移动4 次，然后向右移动2 次，则有C 4=15种,6则对应的概率P=上，64故答案为：竺.64【点评】本题主要考查古典概型的概率的计算，利用分步计数原理进行求解是解决本题的关键，是基础题.四、解答题：本题共6 小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.1 7.在等比数列 中，a,a,a 分别是下表第一，第二，第三行中的某一个数，且a，n 12 3 Ia，a 中的任何两个数不在下表的同一
28、列.2 3第一列第二列第三列第一行323第二行465第三行9128(1)写出,并求数列伍 的通项公式;I 2 3(2)若数列仍 满足b =a+(-1)l o g a,求数列 b 的前项和S .n n n 2 n n n【考点】数列的求和【专题】计算题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列；数学运算【分析】(1)根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到a =2,a=4,a =8,进而1 2 3求得通项公式；(2)由(1)知匕=2+(-1)“，利用分组求和，含有(-1)”需讨论“为偶数与奇数，然后n按照等差数列求和.【解答】解：(1)根据等比数列的定义和表格中数据，得到a =2,a=4,a=8,I
29、 2 3即数列 a是首项为2,公比为2的等比数列，故a =2 x 2，i=2”.n n(2)因为匕=a+(1)l o g a=2+(l)k)g 2 =2+(，n n 2 n 2当 为 偶 数 时，2 2+1 n nS=(2 i +2 2 H-F 2 )+1 +2 3 +4-(/?1)+H =-+=2”+i +2 ,1-2 2 2当 为 奇 数 时，2 2 +i /I-1 1 5S=(2 i +2 2 H F 2)+1 +2 3 +4-F(w 1)n -F -=2 +1+n 2=2+i 1-2 2 2 2 2综上所述,2,为偶数Q 为奇数【点评】本题考查了等比数列的通项公式以及分组求和问题，属于
30、中档题.1 8.A B C的内角A ,B ,C的对边分别为a,h,c,已知A A B C的 面 积 为-4)s i n C .(1)证明：s i n A=2 s i n B；H3 、(2)右 a c o s f =b,求 c o s A.2【考点】正弦定理；余弦定理；解三角形【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算【分析】(1)根据三角形面积公式及三角形内角性质可得1灿=1心-拉，再由正弦定理的2 2功角关系即可证结论.(2)方法一：由(1)及题设可得COSC=：(，),进而求得sinC=，应用余弦定理及正弦定理边角关系求sin 8,即可求cos 8,注意根据3 的范围判断符号，最
31、后利用cos A=-cos(B+C)及和角余弦公式求值即可；方法二：由己知条件得cosC=3,再根据余弦定理即可求解.4【解答】(1)证明：由题设，1absinC=(；。2-/?2)sinC,又 sin C w 0,所以=a2 一枚,2 2由正弦定理可得 sin A sin 5=sin2 A-2sin2 B,所以 sin B(sin A+sin B)=sin2 A-sin2 B=(sin A+sin 5)(sin A-sin B),又 sin 4+sin 8 w 0,所以 sin 8=sin A sin B,即 sin A=2sin B.3解：(2)方 法 一:由(1)及题设，sin Acos
32、C=2sin BcosC=sin B 且 sin8 0,23所以 cosC=二 w4则三 C 三，故 sin C=644ai+/?2-C 2sin2A+4s in,2B.力-s imC._厂 5sinzB-_-3olab2sin Asin B 4sinzB 4可得sin B=,8若 cosB=/0 _ W,则 竺 3兀，而 生 A+B(土，故不合题设;8 2 6 3 4所以cos8=叵，8所以cos A=cos7i 一(5+C)=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos 6cos C=x-=8 4 8 4 4方法二：由，a=2h-33=cos C=,a-cosC=b 42“2+枕 一
33、C2由余弦定理cos。2ab则3=3）2+/-,有0=伤，4 2 2 b/由余弦定理cos A=-=二改=-也.2hc 2b.也b 4【点评】本题考查了正余弦定理，两角和与差的公式，三角形面积等知识，属于中档题.1 9.如图，在五面体 ABC 中，45_L 平面/WC,A D/B E,AD =2B E,AB =B C .（1）求证：平面COE _L平面AC。；（2）若 AB =6 ,AC =2,五面体A B C D E的体积为五,求直线CE与平面A B E D所成角的正弦值.B【考点】平面与平面垂直；直线与平面所成的角【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算【分析】（1）
34、若。是 4 c 中点，连接O B,作 Q/M T ,根据题设可得Oz，OB ,AC两两垂直，构建空间直角坐标系，令 AD =2B E=2a,O B=c,=%=h 并确定点坐标，求面CCE、面 ACD的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论.（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出4）,B E,进而求面 E C 的法向量、直线 CE的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【解答】证明：（1）解法一：若。是 AC 中点，连接0 B，作Q 4），由A8=8C 知：OB 1 AC ,因为 4。_ 1面 4?。，贝 iJOz_L 面 4 S C,又 OB,AC u 面 43C,所
35、以 Q _L08,OzA.AC ,综上，0z,OB ,AC两两垂直，故可构建如图所示的空间直角坐标系。-孙z，n令 AD=2BE=2a,OB=c,OA=OC=b,则。(0 ,-b,2a),C(0,b,0),E(c,0,a)，所以 C j =(0,-2 b,2 a),C =(c,-b,a),若而=(x,y,z)是面C D E的一个法向量，即 收 竺=-2 b+2 a z=0，令名”，则历=(,/力 CE=cx-by+az.=0a,b),X n=(1,0,0)是面A C 的一个法向量，则机4=0,所以面C E _L面A C .(1)解法二：分别取A C ,CD中点，F,连接EF、BH、HF,则 H
36、F HAD HBE,AD=2HF=2BE,n四边形BEFH为平行四边形，BH/EF,又 8 J.平面 AS,.E F _L 平面 A C D,EF u 平面C D E，二 平面CDE垂直平面A C C .解：（2）由4），面A B C,4。匚面4加，则面面ABC,故C到 面 的 距离，即为A 4 8 C中 上 的 高，因为A B =B C =3，A C =2,则COS8=毛 一4厂=1,故$布8 =也，2 x 73 x 3 3所以他 上的高 =BC-sinB=_.3又 ABu 面 A B C,则 而 AD/B E,有 庞 _LAB,AD =2B E,所 以 为 直 角 梯 形，令AD =2B
37、E=2 a,则 S=L x 3 a x =巨二AB ED 2 2综上，V=1 x x 3 =yfla=V?,故。=1ABCDE 3 3 2由(1)知：A(0,-1,0),D(0,-1,2),C(0,l,0),(/0,l),所以 A。二 (0,0,2),DE=(&,1,-1),若，=(见,“是 面 4 皿的 一 个 法 向 量，即：A一,令加=7,则I -D E=y/2m+n-k=0l =(-1,72,0),而 CE=(x/2,-1,1),则 I cos 1=1-1=4 -=，1/IICI V3x2 3所以直线C E与平面A B E D所成角的正弦值为.3【点评】本题考查利用向量法解决立体几何的
38、问题，考查学生的运算能力，属于中档题.2 0.人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策.某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1 月至5 月的销售量如表：月份12345销售量y(万件)4.95.86.88.310.2该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了 y 关于x 的回归模型：y=H x2+v.(1)根据所给数据与回归模型，求 y 关于x 的回归方程(日的值精确到0.1)；(2)已知该公司的月利润z(单位：万 元)与 x，y 的关系为z=24点-笃/，根 据(1)的结果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据(x,y),(x
39、,y),(x,y),其回归直线 =米+力的斜II 2 2 n nZ(x -T)(y-y)率和截距的最小二乘估计公式分别为B=-:-a=y-bx.-X)21=1【考点】线性回归方程【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算【分析】(1)根据已知条件，结合最小二乘法和线性回归方程的公式，即可求解.(2)由(1)可知，y =0.2 x2 +5,z =2 46-=2 4 g 5(。2=(5)+2=2 4y _ _ 2a V%y/x再利用导数研究函数的单调性，即可求解.【解答】解：(1)令卬=X2,则 R=1x(l+4+9+16+2 5)=11,y =1 x(4.9+5.8+6.8+8.3+10.2
40、)=7.2,E(w w)(y -y)0=j-:-=0.2,f =y-浙=7.2-0.2 x11 =5,Y,_、374f=l故 y关于x 的回归方程为y =0.2 x2 +5.(2)由(1)可知，y =0.2 m+5,.24 向宰=2 4忘-空 生 芸 聚=2 4忘 一；-与yJX yJX yjX令 gO O =X 2-尸/xmI f 12 3 l 2 7 a 3x2 +2 4x 4-2 7 3(x 9)(x+1)z 小贝 I g(x)=-4X+X-2=-=%-(X0),Jx 2 2 2x、x 2xyJx令 g(x)0,解得0 x 9,令 g a)9,令 g G)=0,解得x=9,故 g(x)在
41、x=9 处取得极大值，也为最大值，故 g(x)=g(9)=72 -2 7-9=36,m ax故第9 个月的月利润预报值最大.【点评】本题主要考查线性回归方程的求解，以及利用导数研究函数的单调性，属于中档题.2 1.在平面直角坐标系x O y中，已知点A(-2,0),B(2,0),点M满足直线A M与直线BM的斜率之积为-3,点M 的轨迹为曲线C.4(1)求C 的方程；(2)已知点尸(1,0),直线/:x=4 与x 轴交于点O,直线A M与/交于点N,是否存在常数入，使得田中？若存在，求九的值；若不存在，说明理由.【考点】轨迹方程【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑
42、推理；数学运算分析】(1)利用斜率两点式,结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C,注意x w 2(2)设N(4,n)、直线A M为y=2(x+2),联立曲线C,应用韦达定理求M坐标，进而应6用n表示tan 4M F D、tan NNFD,结合二倍角正切公式判断tan 2M F D与tan Z N F D的数量关系，即可得解.【解答】解：(1)设则k k=乙=-之 且 2,A M B M x+2 x-2 4所以M的轨迹为曲线C方 程 为 三+二=1且X H2.4 3(2)设N(4,“)，则直线AM 为y=?(x+2),6y=/(x +2)联立曲线 C 得：，整理得：(2+27)x2
43、+42冗 +42 -108=0,单 产14 3由题设知：x+x=-,则 x=52/；：,A M 刁2 +27”2 +27m n 108 18nx y=-x-=-，M 6 几2 +27 2 +27又 tan Z.MFD=一 6-,la n/N FD =，x 1 9一 2 3M2所以 2 t收/N F D-=3=6 n =ta n M FD,即 ZMFD=2ZNFD，l-tan2Z7VFD m 9 一 九21 -9很明显直线斜率不存在的时候也满足上述条件.所以存在九=2,使 NMFD=2/N FD .【点评】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题.
44、2 2.己知函数/(x)=e*+sinx-cosx,尸(x)为/(x)的导数.(1)证明：当6 0时，f(x)2；(2)设g(x)=f(x)-2 x-l,证明：g(x)有且仅有2个零点.【考点】利用导数研究函数的最值【专题】证明题；分类讨论；转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理【分析】(1)令/7(x)=e，+cosx+s in x,利用导数判断(x)的单调性，并求出其最小值即可证明；(2)由(1)可知，g(x)在 0,+8)上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数，即可证明g(x)在(F,0)上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点
45、.【解答】证明：(1)由 f(x)=e*+sinx-cosx,得/(x)=e*+cosx+sinx,设/(x)=ex+cos x+sin x,贝！I h(x)=-sin x+cos x,当 x20时，设 p(x)=e*-x-/,q(x)=x-sin x,因为 p(x)=e*珍0,qx)=1 cos x20,所以p(x)和 q(x)在 0,m)上单调递增，P(x)p(0)=0,q(x)g(0)=0,所以当 x20时，e x +1 xsinx,贝 lj h(x)=ex-sin x+cos+1 -sin x+cos x=(x-sin x)+(1+cos x)0,所以/7()=6+8$*+$曲 在 0
46、,+8)上单调递增，所以(x)与 (0)=2,即当x20口 寸，;(x)22.(2)由已知得g(x)=e*+sin x-c o sx-2 x-l,当珍。时，因为g(x)=e*+cosx+sinx-2=,所以g(x)在 0,+oo)上单调递增，又因为g(0)=-l 0,所以由零点存在性定理可知g(X)在 0,40)上仅有一个零点，当 x 。时，设皿 x)=2 sinx cosx(x m(0)=1 ,所以幻+cos x+sin x-2 0,所以 g(x)=ex+cosx+sin-20,所以g(x)在(-oo,0)上单调递减,又因为g(0)=-l0,所以由零点存在性定理可知g(x)在(F,0)上仅有一个零点，综上所述，g(x)有且仅有2个零点.【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明以及函数零点存在性定理的应用，考查分类讨论思想与逻辑推理能力，属于难题.