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1、焦点在焦点在x 轴上轴上12yoFFMx椭圆的标准方程椭圆的标准方程焦点在焦点在y 轴上轴上yo1FF2x.F F1 1(-c(-c，0)0)F F2 2(c(c，0)0)F F1 1(0(0，c)c)F F2 2(0(0，-c)-c)第1页/共134页AxAx2 2ByBy2 21 1（A A0 0，B B0 0，ABAB）椭圆的一般方程椭圆的一般方程第2页/共134页一、椭圆的范围一、椭圆的范围即即-axa -b yb结论：椭圆位于直线结论：椭圆位于直线x xaa和和y ybb围成围成的矩形里的矩形里 oxy-aab-b第3页/共134页yOF1F2x二、椭圆的对称性结论：椭圆既是轴对称图
2、形，结论：椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形又是中心对称图形对称轴是对称轴是x轴轴和和y轴，轴，对称中心是对称中心是原点原点中心中心：椭圆的对称中心叫做：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心椭圆的中心第4页/共134页小试身手：小试身手：1.已知点已知点P(3，6)在在 上上,则则()(A)点点(-3,-6)不在椭圆上不在椭圆上 (B)点点(3,-6)不在椭圆上不在椭圆上(C)点点(-3,6)在椭圆上在椭圆上(D)无法判断点无法判断点(-3,-6),(3,-6),(-3,6)是否在椭圆上是否在椭圆上第5页/共134页三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点顶点顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭：椭圆与它的
3、对称轴的四个交点，叫做椭圆的圆的顶点顶点。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1(-a,0)A2(a,0)令令x=0,x=0,得得y=y=？说明椭圆？说明椭圆与与y y轴轴的交点为的交点为(0,b)(0,b)、(0,-b)(0,-b)令令y=0,y=0,得得x=x=？说明椭圆？说明椭圆与与x x轴轴的交点为的交点为(a,0)(a,0)、(-a,0)(-a,0)第6页/共134页三、椭圆的顶点三、椭圆的顶点长轴、短轴：长轴、短轴：线段线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长长轴轴和和短轴短轴。oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2a a、b b
4、分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长长半轴长和和短半轴长短半轴长。思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？思考：椭圆的焦点与椭圆的长轴、短轴有什么关系？焦点落在椭圆的长轴上焦点落在椭圆的长轴上第7页/共134页长轴：线段长轴：线段A1A2；长轴长长轴长|A1A2|=2a短轴：线段短轴：线段B1B2；短轴长短轴长|B1B2|=2b焦焦 距距|F1F2|=2ca a和和b b分别叫做椭圆的分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；长半轴长和短半轴长；焦点必在长轴上；焦点必在长轴上；a a2 2=b=b2 2+c+c2 2，oxyB2(0,b)B1(0,-b)A2(a,0)A1(-a,0)bac椭圆的
5、简单几何性质aF2F1|B2F2|=a；注意注意注意注意第8页/共134页 由椭圆的由椭圆的范围范围、对称性对称性和和顶点顶点，再进行描点画图，只须描出较少的再进行描点画图，只须描出较少的点，就可以得到较正确的图形点，就可以得到较正确的图形.小 结：第9页/共134页离心率：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的焦距与长轴长的比椭圆的离心率椭圆的离心率 ,叫做四、椭圆的离心率1离心率的取值范围离心率的取值范围：因为：因为 a c 0，所以，所以0e0 ac0第15页/共134页 xyA2(a,0)A1(-a,0)B2(0,b)B1(0,-b)一个框，四个点，注意光滑和圆扁,莫忘对称要体现课堂小结
6、用曲线的图形和方程来研究椭圆的简单几何性质第16页/共134页小试身手：小试身手：2.说出椭圆说出椭圆 的范围的范围,长轴长轴长长,短轴长短轴长,焦点坐标焦点坐标,顶点坐标顶点坐标:第17页/共134页例求椭圆例求椭圆16x16x2 2+25y+25y2 2=400=400的长轴和短轴的长、的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标并画出简图离心率、焦点和顶点坐标并画出简图解：把已知方程化成标准方程解：把已知方程化成标准方程这里，这里，椭圆的长轴长和短轴长分别是椭圆的长轴长和短轴长分别是离心率离心率四个顶点坐标分别为四个顶点坐标分别为焦点坐标分别为焦点坐标分别为基本量：基本量：a a、b b、c
7、 c、e e、（共四个量）、（共四个量）基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）基本点：四个顶点、两个焦点（共六个点）第18页/共134页练习 求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.解：第19页/共134页练习 求经过点P(4,1)，且长轴长是短轴长的2倍的椭圆的标准方程.解：第20页/共134页复习练习：复习练习：1.1.椭圆的长短轴之和为椭圆的长短轴之和为1818，焦距为，焦距为6 6，则椭圆的，则椭圆的标准方程为（标准方程为（）2、下列方程所表示的曲线中，关于、下列方程所表示的曲线中，关于x轴和轴和y 轴轴都对称的是（都对称的是（）A、X2=4Y B、X2+2XY+
8、Y=0 C、X2-4Y2=X D、9X2+Y2=4CD第21页/共134页例2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：1.经过点P（3,0）、Q（0，2）；2.长轴的长等于20，离心率等于 .注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：焦点落在椭圆的长轴上注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，注意：不知道焦点落在哪个坐标轴上，必须讨论两种情况必须讨论两种情况第22页/共134页练习练习 2.离心率为离心率为 ,且过点且过点(2,0)的椭圆的标准的椭圆的标准方程为方程为 多少多少?第23页/共134页第24页/共134页25第25页/共134页1椭圆标准方程椭圆标准方程所表示的椭圆的存在范围是什么？所表示的椭圆的存在
9、范围是什么？2上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？上述方程表示的椭圆有几个对称轴？几个对称中心？3椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？椭圆有几个顶点？顶点是谁与谁的交点？4对称轴与长轴、短轴是什么关系？对称轴与长轴、短轴是什么关系？52a 和和 2b是什么量？是什么量？a和和 b是什么量？是什么量？6关于离心率讲了几点？关于离心率讲了几点？回回 顾顾第26页/共134页5.已知椭圆的一个焦点为F（6，0）点B，C是短轴的两端点，FBC是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。6、已知椭圆、已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在轴的中心在坐标原点，长轴在轴上，离心率为，且上，离心率为，且G上一点
10、到上一点到G的两个焦点的两个焦点的距离之和为的距离之和为12，求椭圆，求椭圆G的方程。的方程。7、课本例、课本例5变式：变式：已知椭圆的左右焦点分别为已知椭圆的左右焦点分别为F1、F2，点，点P在椭圆上，若在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角是一个直角三角形的三个顶点，求点形的三个顶点，求点P到轴的距离。到轴的距离。第27页/共134页直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系：yoF1F2x yoF1F2x yoF1F2x第28页/共134页一、直线和椭圆的位置关系一、直线和椭圆的位置关系通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交
11、点坐标。解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标。第29页/共134页2、弦长公式：、弦长公式：第30页/共134页第31页/共134页第32页/共134页.AxyOMB第33页/共134页.AxyOMB第34页/共134页差分法差分法第35页/共134页AxyOB第36页/共134页直线与椭圆直线与椭圆：（2 2）弦长问题）弦长问题（3 3）弦中点问题）弦中点问题（4 4）与垂直有关的问题）与垂直有关的问题（1 1）直线与椭圆位置关系）直线与椭圆位置关系第37页/共134页第38页/共134页第39页/共134页第40页/共134页通过直线方程和椭圆方程联立成方程组，通过直线方程和椭圆方程联立成
12、方程组，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标，解方程组可以得到直线和椭圆的交点坐标，然后利用两点间的距离公式求线段长度。然后利用两点间的距离公式求线段长度。第41页/共134页第42页/共134页第43页/共134页第二种方法是处理直线和椭圆位置关系第二种方法是处理直线和椭圆位置关系的常用方法，利用根与系数的关系，的常用方法，利用根与系数的关系，设出交点坐标，但是不求出，设出交点坐标，但是不求出，从而求出弦长。从而求出弦长。这种方法称为设而不求，这个公式叫做弦长公式。第44页/共134页第45页/共134页46第46页/共134页47第47页/共134页三、求轨迹方程的问题三、求轨迹方程的问题
13、第48页/共134页第49页/共134页第50页/共134页51第51页/共134页52第52页/共134页53yo左Fx右F第53页/共134页54第54页/共134页55第55页/共134页56yo左Fx右F第56页/共134页571oFyx2FM第57页/共134页1.1.对于椭圆的原始方程对于椭圆的原始方程,变形后得到变形后得到 ,再变形为再变形为 .这个方程的几何意义如何？这个方程的几何意义如何？新知探究新知探究第58页/共134页O Ox xy yF FH HM Ml椭圆上的点椭圆上的点M(xM(x，y)y)到焦点到焦点F(cF(c，0)0)的距的距离与它到直线离与它到直线 的距离
14、之比等于离心率的距离之比等于离心率.新知探究新知探究第59页/共134页若点若点F F是定直线是定直线l l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于常等于常数数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆.M MF FH Hl新知探究新知探究第60页/共134页 直线直线 叫做椭圆相应于焦点叫做椭圆相应于焦点F F2 2(c(c，0)0)的的准线准线，相，相应于焦点应于焦点F F1 1(c c，0)0)的准线方程是的准线方程是O Ox xy yF F2 2F F1 1新知探究新知探究第61页/共13
15、4页椭圆椭圆 的准线方程是的准线方程是x xF F1 1F F2 2y yO O新知探究新知探究第62页/共134页M MO Ox xy yF Fl椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是椭圆的一个焦点到它相应准线的距离是新知探究新知探究第63页/共134页对于椭圆对于椭圆 椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是椭圆上的点到椭圆中心的距离的最大值和最小值分别是O OM Mx xy y最大值为最大值为a a，最小值为，最小值为b.b.新知探究新知探究第64页/共134页椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？椭圆上的点到椭圆焦点的距离的最大值和最小值分别是什么？O OM Mx
16、xy yF F新知探究新知探究第65页/共134页 点点M M在椭圆上运动，当点在椭圆上运动，当点M M在什么位置时，在什么位置时，F F1 1MFMF2 2为最大？为最大？F F1 1O OF F2 2x xy yM M 点点M M为短轴的端点为短轴的端点.新知探究新知探究第66页/共134页 椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫椭圆上的点到椭圆一个焦点的距离叫做椭圆的做椭圆的焦半径焦半径，上述结果就是椭圆的焦，上述结果就是椭圆的焦半径公式半径公式.|MF|MF1 1|a aexex0 0|MF2|aex0新知探究新知探究第67页/共134页 椭圆椭圆 的焦半径公式是的焦半径公式是|MF|MF|
17、aeyaey0 0 x xF F1 1F F2 2y yO OM M新知探究新知探究第68页/共134页 例例1 1 若椭圆若椭圆 上一点上一点P P到到椭圆左准线的距离为椭圆左准线的距离为1010，求点，求点P P到椭到椭圆右焦点的距离圆右焦点的距离.12 12 典型例题典型例题第69页/共134页 例例2 2 已知椭圆的两条准线方程为已知椭圆的两条准线方程为 y y99，离心率为，离心率为 ，求此椭圆的标准方程，求此椭圆的标准方程.典型例题典型例题第70页/共134页 例例3 3 已知椭圆中心在原点，焦点在已知椭圆中心在原点，焦点在x x轴上，点轴上，点P P为直线为直线x x3 3与椭圆
18、的一个与椭圆的一个交点，若点交点，若点P P到椭圆两焦点的距离分别是到椭圆两焦点的距离分别是6.56.5和和3.53.5，求椭圆的方程，求椭圆的方程.F F1 1O OF F2 2x xy yP P典型例题典型例题第71页/共134页例例4 4 已知点已知点M M与点与点F(4F(4，0)0)的距离和它的距离和它到直线到直线l l：的距离之比等于的距离之比等于 ，求点求点M M的轨迹方程的轨迹方程.M MO Ox xy yF FH Hl典型例题典型例题第72页/共134页课堂小结课堂小结 1.1.椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线的距离之比等于椭圆椭圆上的点到一个焦点的距离与它到相应准线
19、的距离之比等于椭圆的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义的离心率，这是椭圆的一个重要性质，通常将它称为椭圆的第二定义.第73页/共134页Hd1925610 ,1925 ,225 259 ,.54425)4(,54 ,425:22222222=+=+=+=-+-=yxxMyxyxxyxdMFMPMxlMd的椭圆，其轨迹方程是、为轴，长轴、短轴长分别的轨迹是焦点在点所以即并化简得将上式两边平方由此得迹就是集合的轨点根据题意的距离到直线是点设解第74页/共134页(a,0)a(0,b)b(-a,0)a+c(a,0)a-c第75页/共134页76第76页/共134页课前练习1第
20、77页/共134页例例5 如图如图.一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆一种电影放映灯泡的放射镜面是旋转椭圆面面(椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面)的一部分的一部分.过对称轴的截口过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分是椭圆的一部分,灯丝位于椭圆灯丝位于椭圆的一个焦点的一个焦点F1上上,片门位于另一个焦点片门位于另一个焦点F2上上.由椭圆由椭圆一个焦点一个焦点F1发出的光线发出的光线,经过旋转椭圆面反射后集中经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点到另一个焦点F2,已知已知 求截求截口口BAC所在椭圆的方程所在椭圆的方程.xyolFFABC第78页/共134页xyo例2
21、.如图，我国发射的第一颗人造卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面 439km。远地点B（离地面最远的点）距地面 2384km,并且F2、A、B在同一直线上，地球 半径约为6371km.求卫星运行的轨道方程(精确 到1km).F2F1BA第79页/共134页80第80页/共134页81第81页/共134页82第82页/共134页课堂新授课堂新授课堂新授课堂新授例3.点M（x,y）与定点F（c,0）的距离和它到 定直线l:x=的距离的比是常数 ,求点 M的轨迹.xyolFl FM第83页/共134页例2.点M（x,y）与定点F（4,0
22、）的距离和它到 定直线l:x=的距离的比是常数 ,求点 M的轨迹.xyolFMd第84页/共134页变式1、点P与定点F（2,0）的距离和它到定直线 x=8的距离的比是1:2,求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形。xyoX=8FP第85页/共134页xyo-44P(2,1)第86页/共134页练习练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(2)(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，OO为坐标原点，为坐标原点，F F是一个焦点，是一个焦点，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6且且coscosOFAOFA=2/3;=2
23、/3;(1)(1)椭圆过椭圆过(3,0),(3,0),离心率离心率e=;e=;第87页/共134页练习练习 求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)(1)在在 x x轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相轴上的一个焦点与短轴两端点得连线互相 垂直垂直,且焦距为且焦距为6 6；(2)(2)已知椭圆的对称轴是坐标轴，已知椭圆的对称轴是坐标轴，OO为坐标原点，为坐标原点，F F是一个焦点，是一个焦点，A A是一个顶点，若椭圆的长轴是一个顶点，若椭圆的长轴 长是长是6 6且且coscosOFAOFA=2/3;=2/3;(3)(3)椭圆过椭圆过(3,0),(3,0),离心率离心率
24、e=;e=;第88页/共134页第89页/共134页90第90页/共134页912答案答案3答案答案第91页/共134页92第92页/共134页93第93页/共134页94一般地一般地思考思考3第94页/共134页95法二法二第95页/共134页96第96页/共134页97第97页/共134页98第98页/共134页993答案答案第99页/共134页100本课小结本课小结第100页/共134页101第101页/共134页第102页/共134页二、焦点三角形的面积问题二、焦点三角形的面积问题第103页/共134页第104页/共134页推广：推广：第105页/共134页第106页/共134页第10
25、7页/共134页第108页/共134页第109页/共134页四、椭圆上的点到焦点距离的最值四、椭圆上的点到焦点距离的最值第110页/共134页第111页/共134页第112页/共134页第113页/共134页三、求椭圆的离心率三、求椭圆的离心率第114页/共134页第115页/共134页第116页/共134页第117页/共134页第118页/共134页第119页/共134页第120页/共134页第121页/共134页第122页/共134页1.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是 .知识巩固知识巩固第12
26、3页/共134页A1MB2OF2yx2.如图如图F2是椭圆的右焦点，是椭圆的右焦点，MF2垂垂直于直于x轴，且轴，且B2A1MO,求其离心率求其离心率.第124页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-新课探究新课探究问题1:与圆类似,把方程(1)叫做椭圆的参数方程.第125页/共134页椭圆简单几何性质椭圆简单几何性质(4)-(4)-探求新知探求新知问题2:椭圆的参数方程中a,b,的含义是什么?例5 如图,以原点为圆心,分别以a、b(ab0)为半径作两个大圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作ANOx，垂足为N，过点B作BMAN，垂足为M，求当半径OA绕点O旋转
27、时，点M的轨迹的参数方程。分析：本题是给定条件求轨迹问题，请同学们观察动画并思考下列各问题：（1）动点A、B、N、M分别是如何人运动的？相互关系如何？其中最主要的动点是哪个点？（2）动点M是如何产生的？M的坐标与点A、B的坐标的关系如何？（3）什么是参数方程？如何设出恰当的参数？动画演示动画演示第126页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-新课探究新课探究解:第127页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-新课探究新课探究问题3:椭圆的参数方程和圆的参数方程有何异同?名称名称方程方程各元素的几何意义各元素的几何意义圆圆椭圆椭圆第128页/共
28、134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-知识应用知识应用变式练习1将下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程:第129页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-知识应用知识应用补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.解1:把直线l平移至首次与椭圆相切,切点就是所求的点P,即:设l1的方程为x-y+m=0 ,整理得9y2-2my+m2-8=0,=4m2-49(m2-8)=0,解得m=3.由图形可知m=3,l1首先与椭圆相切,此时 ,即9y2-6y+1=0.XYlOx-y+m=0X2+8y2=8x-y
29、+3=0X2+8y2=8第130页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-知识应用知识应用补充例题:如图在椭圆x2+8y2=8上求一点P,使P到直线l:x-y+4=0的距离最小.XYlOP第131页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-知识应用知识应用1、第132页/共134页椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质(4)-(4)-课堂小结课堂小结本节课学习了椭圆的参数方程及 的几何意义。通过学习我们对椭圆有了更深入的了解，椭圆的两种定义，两种方程都是等价的，可以互相转化。椭圆的参数方程应用广泛，特别是求有关最值问题，常比普通方程更简洁。第133页/共134页感谢您的观看。第134页/共134页