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1、椭圆的几何性质椭圆的几何性质连州市第二中学 刘望2.1.2椭圆的简单几何性质(一)1.1.椭圆定义椭圆定义:平面内到两定点平面内到两定点F F1 1、F F2 2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F F1 1F F2 2|）的动点的轨迹叫做椭圆。的动点的轨迹叫做椭圆。2.2.椭圆的标准方程：椭圆的标准方程：3.3.椭圆中椭圆中a,b,ca,b,c的关系的关系:当焦点在当焦点在X X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y Y轴上时轴上时复习引入复习引入a2=b2+c2 oyB2B1A1A2F1F2cab观察椭圆的图像，以焦点在观察椭圆的图像，以焦点在x x轴上为例轴上为例你能从它的图像上看出
2、它的范围吗？你能从它的图像上看出它的范围吗？它具有怎样的对称性？它具有怎样的对称性？椭圆上哪些点比较特殊？椭圆上哪些点比较特殊？xyO椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质1、椭圆的顶点椭圆与椭圆与 y y轴的交点是什么？令轴的交点是什么？令 x=0，得，得y=b*顶点：椭圆与它的对称轴的顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。四个交点，叫做椭圆的顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A A1 1A A2 2、B B1 1B B2 2分别叫做椭圆的长轴和短轴。分别叫做椭圆的长轴和短轴。a a、b b、c c分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距。轴长、短半轴长、半
3、焦距。oyB2B1A1A2F1F2cab四个顶点坐标分别为四个顶点坐标分别为(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)(-a,0)(a,0)(0,-b)(0,b)x椭圆与椭圆与 x x轴的交点是什么？令轴的交点是什么？令 y=0，得，得 x=a你能标出图中椭圆的焦点位置？依据是你能标出图中椭圆的焦点位置？依据是什么？什么？oyB2B1A1A2abc2.椭圆的对称性YXOP（x，y）P1（-x，y）P3（-x，-y）从图形上看：从图形上看：椭圆关于椭圆关于x x轴、轴、y y轴、轴、原点对称，既是轴原点对称，既是轴对称图形，又是中对称图形，又是中心对称图形。心对称图形。从方程上看：从方程上看：
4、（1 1）椭圆上任意一点）椭圆上任意一点P(x,y)P(x,y)关于关于y y轴的对称点是轴的对称点是即即 在椭圆上在椭圆上,则椭圆关于则椭圆关于y y轴对称轴对称以形助数，以数解形，数形结合以形助数，以数解形，数形结合结论结论:椭圆关于椭圆关于x x轴、轴、y y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1 1）椭圆上任意一点）椭圆上任意一点P(x,y)P(x,y)关于关于y y轴的对称点是轴的对称点是（2 2）椭圆上任意一点）椭圆上任意一点P(x,y)P(x,y)关于关于x x轴的对称点是轴的对称点是即即 在椭圆上在椭圆上,则椭圆关于则椭圆关于y y轴对称轴对称（3 3）椭圆上
5、任意一点）椭圆上任意一点P(x,y)P(x,y)关于原点的对称点是关于原点的对称点是即即 在椭圆上在椭圆上,则椭圆关于则椭圆关于x x轴对称轴对称即即 在椭圆上在椭圆上,则椭圆关于则椭圆关于原点原点对称对称3 3.范围范围说明：椭圆落在说明：椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cabx从方程来看同理可得同理可得123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形（1）（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1
6、 A1 哪个椭圆更圆或更扁哪个椭圆更圆或更扁？椭圆的扁平程度更什椭圆的扁平程度更什么量有关？么量有关？4.椭圆的离心率椭圆的焦距与长轴长的比：椭圆的焦距与长轴长的比：(2)(2)离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：(1)(1)离心率离心率 的取值范围：的取值范围：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。因为因为 a c 0，所以，所以0e 11.e 越接近越接近 1 1，c就越接近就越接近a，从而从而b就越小，椭圆就越扁；就越小，椭圆就越扁；2.e 越接近越接近 0 0，c就越接近就越接近0 0，从而从而 b就越大，椭圆就越圆；就越大，椭圆就越圆；特例：特例：e=0=0，则，则 a=b
7、，则，则 c=0=0，两个焦点重合，椭圆变为圆，两个焦点重合，椭圆变为圆，方程变为方程变为(2)(2)离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：xyx它的长轴长：它的长轴长：；短轴长：；短轴长：；焦距：焦距：；离心率：；离心率：；焦点坐标：焦点坐标：；顶点坐标：；顶点坐标：；1086典例分析典例分析分析：椭圆方程转化为标准方程为：分析：椭圆方程转化为标准方程为：于是a=5，b=4，c=3.例例1 1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为16x16x2 2+25y+25y2 2=400,=400,练习练习1.1.已知椭圆方程为已知椭圆方程为6x6x2 2+y+y2 2=6=6它的长轴长：它的长轴长
8、：。短轴：。短轴：。焦距：焦距：。离心率：。离心率：。焦点坐标：焦点坐标：。顶点坐标：。顶点坐标：。外切矩形的面积：外切矩形的面积：。22.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程 (1)(1)焦点在焦点在x x轴上轴上，a a=3=3,e=；(2)(2)焦点在焦点在y y轴上轴上c=3c=3，e=e=3 3求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：（1 1）经过点）经过点 、；（2 2）长轴长等于）长轴长等于 ,离心率等于离心率等于 4.4.比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，比较下列每组中椭圆的形状，哪一个更圆，哪一个更扁？哪一个更扁？或或标
9、准方程标准方程图象图象范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长焦距焦距a,b,ca,b,c关系关系离心率离心率|x|a,|y|b|x|b,|y|a关于关于x轴、轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称轴成轴对称；关于原点成中心对称长半轴长为长半轴长为a,短半轴长为短半轴长为b.b.焦距为焦距为2 2c;c;a2=b2+c2(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b)(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(c,0)、(-c,0)(0,c)、(0,-c)oxyB1(0,b)B2(0,-b)A1A2（1）基本量：）基本量：a、b、c、e（共四个量）（共四个量）（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）基本线：对称轴（共两条线）作业作业：书书42页页 习题习题2.1A组组4、5谢谢！