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1、2022年 中 考 数 学 压 轴 题 1.已 知 直 线 y=Ax-2与 抛 物 线 y=，-bx+c（%,c 为 常 数，b0）的 一 个 交 点 为 N（-1,0）,点/（?，0）是 x轴 正 半 轴 上 的 动 点.（1）当 直 线/=丘-2 与 抛 物 线 y=x2-fec+c（6,c为 常 数，b0）的 另 一 个 交 点 为 该 抛 物 线 的 顶 点 E 时，求 k,b,c 的 值 及 抛 物 线 顶 点 E 的 坐 标；（2）在（1）的 条 件 下，设 该 抛 物 线 与 了 轴 的 交 点 为 C,若 点。在 抛 物 线 上，且 点。的 横 坐 标 为 b,当 S&EQM=
2、$A A C E时，求？的 值；-I 厂 27V2（3）点。在 抛 物 线 上，且 点。的 横 坐 标 为 b+亍 当 何 M+2。”的 最 小 值 为 一 时，求 人 的 值.解：（1）.直 线 y=fcr-2与 抛 物 线 y=f-bx+c（b,c为 常 数，b0）的 一 个 交 点 为/（-I,0）,-%-2=0,l+b+c=0,:k=-2,c=-b-1-，直 线 y=Ax-2 的 解 析 式 为 y=-2x-2,_ _ b 4c 抛 物 线 y=7-bx+c的 顶 点 坐 标 为 E（-,-）,b 4b 4 力 2：.E（-,-）,2 4,直 线 丁=-2r-2与 抛 物 线-云+（b
3、,c为 常 数，b0）的 另 一 个 交 点 为 该 抛 物 线 的 顶 点 区 4b 4-b24=-2x?-2,解 得，b=2,或 b=-2（舍）,当 6=2 时，c=-3,：.E(1,-4),故=-2,b=2,c=-3,E(1,-4)；(2)由(1)知，直 线 的 解 析 式 为 y=-2x-2,抛 物 线 的 解 析 式 为=$-2%-3,：.C(0,-3),Q(2,-3),如 图 1,设 直 线 y=-2x-2与 y 轴 交 点 为 N,则 N(0,-2),第 1 页 共 1 2 页图 1:.CN=1,SACE S&A C N+S&E C N=2*1*1+2、1*1=1,-e _ 1,
4、%EQM 2，设 直 线 E。与 x 轴 的 交 点 为。，显 然 点 A/不 能 与 点。重 合，设 直 线 E 0的 解 析 式 为 y=dx+(dWO),则 q t+n=Z 3,解 得，F=im=5，直 线 E Q的 解 析 式 为 y=R-5,：.D(5,0),SEQM=SEDM-SQDM=聂 M x|-4|-D M x|-3|=*DM=i|5-m=p解 得，加=4,或 2=6；(3)点。y o)在 抛 物 线-1上，y。=(b+I-b(b+)-6-1=-&-率 可 知 点 Q(6+1 T-)在 第 四 象 限，且 在 直 线 x=b 的 右 侧，z 乙。:五 AM+2DM=2(孝 力
5、 例+DM),，可 取 点 N(0,1),则 NO4N=45,如 图 2,过 作 直 线 Z N的 垂 线，垂 足 为 G,0 G 与 x 轴 相 交 于 点”，第 2 页 共 1 2 页则 此 时 点 满 足 题 意，过。作。”_Lx轴 于 点，则 点 0),在 中，可 知/M=N M D，=45,：.DH=MH,DM=y/2MH,.点 M(加，0),0-()(b+卞-m,解 得，m=1,:AM+2DM=q/.V 2(1-1)-(-1)+2V2(fa+1)-(1-1)=解 得，b=3,此 时，/H=0,符 合 题 意，：.b=3.2.已 知，抛 物 线、=。/+。工+力（a WO）与 直 线
6、 y=2x+加 有 一 个 公 共 点（1,0）,且 aVb.（1）求 b 与 的 关 系 式 和 抛 物 线 的 顶 点。坐 标（用。的 代 数 式 表 示）；（2）直 线 与 抛 物 线 的 另 外 一 个 交 点 记 为 M 求 的 面 积 与。的 关 系 式；（3）。=-1时，直 线 y=-2 x 与 抛 物 线 在 第 二 象 限 交 于 点 G,点 G、关 于 原 点 对 称，现 将 线 段 G 4 沿 歹 轴 向 上 平 移 个 单 位（/0）,若 线 段 G H 与 抛 物 线 有 两 个 不 同 的 公 共 第 3 页 共 1 2 页点，试 求，的 取 值 范 围.解：(1)
7、.抛 物 线 卜=*+办+6有 一 个 公 共 点 M(1,0),.,.a+a+b=0,即 b=-2a,？9 1 7 9a/y=ax+ax+b=ax+ax-2a=a(x+)2不，.抛 物 线 顶 点。的 坐 标 为(一 5 一 半)；(2).直 线 夕=2什 加 经 过 点 加(1,0),O=2 X l+7,解 得 加=-2,y=2x-2,n.(y=2x 2则,(y=axL 4-ax-2a得 ax2+(a-2)x-2Q+2=0,:.(x-1)(OX+2 4-2)=0,解 得 x=l或 冗=，-2,一 2 4.N点 坐 标 为(2,6),a a:a b,即 a-2a,A a0,如 图 1,设 抛
8、 物 线 对 称 轴 交 直 线 于 点 E,V 抛 物 线 对 称 轴 为 X=-为=-i1:.E(一 天-3),2 4，：M(1,0),N(一 一 2,一 6),a a设 的 面 积 为 S,第 4 页 共 1 2 页 S=SaOv+S4oM=W(2)-1|*|(-3)|=ga，(3)当=-1 时，抛 物 线 的 解 析 式 为：=-，-无+2=-(1+分 斗/七(y=-%2-%+2 y=-2 x 9-x2-x+2=-2x,解 得：xi=2,x i=-1,：.G(-1,2),点 G、关 于 原 点 对 称，：.H(1,-2),设 线 段 平 移 后 的 解 析 式 为：=-2x+t,-x2
9、-x+2=-2x+t,x2-x-2+，=0,=1-4(Z-2)=0,9t=4f当 点 平 移 后 落 在 抛 物 线 上 时，坐 标 为(1,0),把(1,0)代 入 歹=-2x4-/,:.t=2,当 线 段 G H与 抛 物 线 有 两 个 不 同 的 公 共 点，1的 取 值 范 围 是 2W/V*.第 5 页 共 1 2 页3.如 图，在 R tZ 43C中，ZACB=90（,以 斜 边 上 的 中 线 C Q为 直 径 作 O。，与 BC交 于 点 与 4 8 的 另 一 个 交 点 为 瓦 过 区 作 M N _L 48,垂 足 为 M（1）求 证：M N是 O O 的 切 线;OC
10、=OM,：.ZOCM=ZOMC,在 R tZ4BC中，C D是 斜 边 4 5 上 的 中 线,:.CD=：AB=BD,：/DCB=/DBC,：/OMC=/DBC,第 6 页 共 1 2 页：.OM BD,:MNLBD,OM 过 O,M N是 O O 的 切 线;图 2(2)解：连 接 DM,CE,c。是。的 直 径,：.ZCED=90,NQM C=90,H P DMLBC,CEVAB,由(1)知：BD=CD=5,为 8 C 的 中 点，3/sin=耳，4/.cosB=百，在 RtZ8M。中，BM=BD cosB=4,:BC=2BM=8,在 RtACAB 中，BE=BC cosB=考，32 7
11、：.ED=BE-B D=苦-5=g.4.已 知 N M PN的 两 边 分 别 与。相 切 于 点 4,B,。0 的 半 径 为 八（1）如 图 1,点 C 在 点 Z,8 之 间 的 优 弧 上，NMPN=80,求/C 8 的 度 数；（2）如 图 2,点 C 在 圆 上 运 动，当 P C最 大 时，要 使 四 边 形/P 8 C 为 菱 形，N 4 P B 的 度 数 应 为 多 少？请 说 明 理 由；（3）若 P C交。于 点。，求 第（2）问 中 对 应 的 阴 影 部 分 的 周 长（用 含，的 式 子 表 示）.第 7 页 共 1 2 页图 1 图 2（备 用 图）【解 答】解
12、：（1）如 图 1,连 接 0 4 OB,图 1：PA,P 8 为。的 切 线，弘 O=/P 8 O=9 0,V ZAPB+ZPAO+ZPBO+ZAOB=360,A ZAPB+ZAOB=1SO,：N 8=8 0,.N/0 8=1 0 0,A Z J C B=50；(2)如 图 2,当 N/P 8=6 0 时，四 边 形 4 P 8 C是 菱 形,连 接 0 4,OB,由(1)可 知，N4O B+N4P B=18。,V ZAP B=60,：.ZAO B=120,Z A C B=60=/A P B,第 8 页 共 1 2 页.点 C 运 动 到 P C距 离 最 大，.P C经 过 圆 心，：PA
13、,P 5 为。的 切 线，：.PA=PB,Z A P C=Z B P C=30,又,：PC=PC,:.A P C Q AB PC(SAS),，N/C P=/8 C P=3 0,AC=BC,：.Z A P C=Z A C P=30,：.AP=AC,:.A P=A C=P B=B C,四 边 形/P 8 C 是 菱 形；(3):。的 半 径 为 r,：.O A=r,OP=2r,：.AP=V3r,PD=r,V ZAOP=9Q-4 尸 0=6 0,前 的 长 度=618；0r=-r,.阴 影 部 分 的 周 长=R(+P D+丽=每+厂+货=(V 3+1+J)r.5.如 图，以 为 O O 的 切 线
14、，P 8 C为。的 割 线，4 D L O P于 点,/O C 的 外 接 圆 与 8 c：O A LAP,AD LO P,二 由 射 影 定 理 可 得：PA2P D P O,4D 2=PD O D.（5 分）又 由 切 割 线 定 理 可 得 PA1=P B P C,第 9 页 共 1 2 页:.PB P C=p a p o,:D、B、C、。四 点 共 圆，(10分)A ZPDB=ZPCO=ZOBC=ZODC,/P B D=/C O D,:P B D scO D,PD BD、(1 5)BD CD=PD OD=AD2,.BD AD布 二 CD又 NBDA=/BDP+90=ZOZ)C+90=Z
15、ADC,:./XBDAsAADC,:.NBAD=NACD,：.A B是/O C 的 外 接 圆 的 切 线,6.如 图，点 4 为 y 轴 正 半 轴 上 一 点,4 8 两 点 关 于 x轴 对 称，过 点 N 任 作 直 线 交 抛 物 线 y=|%2于 P,。两 点.(1)求 证：NABP=NABQ；(2)若 点/的 坐 标 为(0,1),且 NP8Q=60,试 求 所 有 满 足 条 件 的 直 线 尸。的 函 数 解 析 式.第 1 0 页 共 1 2页【解 答】（1）证 明：如 图，分 别 过 点 P,。作 y 轴 的 垂 线，垂 足 分 别 为 C,D.设 点 力 的 坐 标 为
16、（0,力，则 点 8 的 坐 标 为（0,-t）.设 直 线 的 函 数 解 析 式 为 了=履+。并 设 P,。的 坐 标 分 别 为（X P,yP C XQ,yQy 由 y=kx+ty=1x22 7得 石 fcx t=0,于 是=一 方 3 即 t=-1xp%Q.BC于 是=BDyp+t一?%+/?2+t|%p2+t 京 p2-1%p%Q|xp(Xp-XQ)e i PC Xp BC又 因 为 777；=-，所 以 三；=QD XQ BD因 为 N B C P=NBDQ=90,lxQ2-lxPxQ 声 Q(x 0,由（1）可 知 ZAB P=ZABQ=30,BC=Wa,BD=V3b,所 以/
17、C=d5a-2,AD=2-V3b.因 为 PC 0Q,所 以 4CPs44DQ.干 信 空 一 些 即 逊 工 f Q-加 以-2 同 所 以 a+b=y/3ab.由（1）中 XpXq=-,3 即-a b=-,所 以 ab=,a+。=3 r,于 是 可 求 得 a=2fe=V3.F5 Q J?1将 力=方-代 入 丫=aX2,得 到 点。的 坐 标（?，-）.,J L L再 将 点。的 坐 标 代 入 y=fcc+l,求 得 k=一 堂.所 以 直 线 P Q 的 函 数 解 析 式 为 y=-+1.根 据 对 称 性 知，所 求 直 线 P Q 的 函 数 解 析 式 为 y=塔 久+1 或 y=字+1.第 1 1 页 共 1 2 页第 1 2 页 共 1 2页