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1、2022年中考数学专题复习：二次函数综合题(角度问题)1.如图，抛物线产 加+灰-3 与x轴交于A(-1,0),8(3,0)两点，与 轴交于点C,(1)求抛物线的解析式.(2)点 N是 y 轴负半轴上的一点，且。7 =血，点。在对称轴右侧的抛物线上运动，连接 Q。，Q。与抛物线的对称轴交于点，连接MN,当MN平分N O M Z)时，求点的坐标.(3)直线BC交对称轴于点E,尸 是坐标平面内一点，请直接写出APCE与全等时点P 的坐标.2.如图1,已知抛物线丫 =以 2+法+36,与x 轴交于点A(-2,0),点 8(6,0)与 y 轴交于点C,抛物线的顶点为M,其对称轴与x 轴交于。点.(1)
2、抛 物 线 解 析 式 为，顶点M 的坐标为(2)判断AMAB的形状，并说明理曲;(3)如图2,点尸是线段MQ上的一个动点(点尸与点、点。不重合)，连结B 4、P B,过点B作 8 D L A P,射线8Z)交射线AP于点。，交抛物线于点E;过点E作E F L A B,垂足为点F,EF交射线3P于点G.当经尸时，请求出此时点P的坐标；BF当NAP3=135。时，请你直接写出 的值.3.如图，已知抛物线工 浸+灯+c经过4-1,0),5(2,0)8(0,2)三点，点。在该抛物线的对称轴/上.(1)求抛物线的表达式；(2)若 D 4=D C,求/A O C 的度数及点。的坐标；(3)若 在(2)的
3、条件下，点尸在该抛物线上，当NP3C=NZMB时，请直接给出点P 的坐标.4.如 图 1,二次函数y=ax2+/jx+c的图象交x 轴于点A(-1,0),B(3,0),交)，轴于点C(0,-3),直线/经过点8.图3 图4(1)求二次函数的表达式和顶点。的坐标;(2)如图2,当直线/过点力时，求A B C。的面积；(3)如图3,直线/与抛物线有另一个交点E,且点E使得N B A C-N C B E 4 5。，求点E的横坐标机的取值范围；(4)如图4,动点F 在直线/上，作/C F G=4 5。，F G 与线段A 8交于点G,连接C G,当 A 8 C 与 C F G 相似，且 LCF G 最小
4、时，在直线/上是否存在一点”，使得N F/7 G=4 5。存在，请求出点”的坐标；若不存在，请说明理由.5.如图，抛 物 线 尸 漏+(苏+3 卜-(6 7 +9)与 x 轴交于点4、B,与 y 轴交于点C,己知 8(3,0).(1)求?的值和直线BC对应的函数表达式；(2)P 为抛物线上一点，若 S g B C=S A c，请直接写出点尸的坐标；(3)。为抛物线上一点，若 Z A C Q =4 5。，求点。的坐标.6.抛物线y =-；x 2+b x +c 交x 轴于A,B两 点(A 在B的左边)，交 V 轴于C,直线y =-x +4 经过B,C两点.(1)求抛物线的解析式；(2)如图1,P
5、为直线B C 上方的抛物线上一点尸。轴交8 c 于。点，过点。作。_ 1 4(7 于 点.设 机=尸。+冬。,求加的最大值及此时户点坐标；(3)如图2,点 N在旷轴负半轴上，点A绕点N顺时针旋转，恰好落在第四象限的抛物 线 上 点 处，且 N A M W +N A C N =1 8 0。，求 N点坐标.图1图2A7 .已知直线丁=一 4 3+交x 轴于点4,交 y 轴于点C (0,4),抛物线y =工/+笈+。经过点A,交 y 轴于点8 (0,-2),点尸为抛物线上一个动点，设尸的横坐标为0),过点P 作 x 轴的垂线P D,过点B作于点。，联结P艮(1)求抛物线的解析式；(2)当A B O
6、P 为等腰直角三角形时，求线段P。的长；(3)将A B O P 绕点B旋转得到 B 0 P,且旋转角N P 8 =/0 A C,当点P 对应点P 落在 y 轴上时，求点P 的坐标.8 .如 图 1,已知直线y=-gx+l与 x 轴交于点8,与 y 轴交于点A,将直线48向下平移，分别与x 轴、y 轴交于。、C两点，且 OC=Q4,以点B为顶点的抛物线经过点A,点 M是线段A B (不含端点)上的一个动点.(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1,Mi,M 2分别是点M关于直线C A,C 8的对称点，连接C M i,C M 2,M 1 M 2,求证：A C M i M 2 s C D B；(3
7、)如图2,作 分 别 交 抛 物 线 和 直 线C O于P,E两 点.点。是Q E上一动点，当线段PE长最小且N E PQ=/C 。时，求点。的坐标.9.如 图1,已知抛物线y =x 2-l与x轴交于A,B两 点,与y轴交于点 .(1)求 直 线 的 解 析 式；(2)尸为抛物线上一点，当点P到直线2。的距离为20时，求点P的坐标；(3)如图2,直线 =，交抛物线与M,N两点，C为抛物线上一点，当N M C N =90。时，请探究点C到MN的距离是否为定值.图1图21 0 .在平面直角坐标系中，抛物线 =：/+云+。经过点4-4,0),点 为 抛 物线的顶点，点B在y轴上，且。4 =03,直线
8、A B与抛物线在第一象限交于点c(2,6),如图.(1)求抛物线的解析式；(2)求直线A B的函数解析式、点拉的坐标和N A 8。的余弦值.(3)连接OC,若过点0的直线交线段A C于点P,将 A O C的面积分成1:2的两部分，求点P的坐标为.1 1 .如 图1,抛物线)=依2+乐+6与X轴交于点A (2,0)B(6,0),与y轴交于点C,连接A C,B C.(1)求抛物线的表达式；(2)求N 4 C B的正切值；(3)如图2,过点C的直线交抛物线于点。，若4 4 8 =4 5。，求点。的坐标.1 2.已知：抛物线丫=4 f+2交x轴于A(-1,0),8两点(1)如 图1,求抛物线的解析式；
9、(2)如图2,点C是第二象限抛物线上的一个动点，连接A C,B C,设点C的横坐标为1,AA8C的面积为S,求S与r之间的函数关系式(不要求写出自变量f的取值范围)；(3)如图3,在(2)的条件下，点O在第一象限，连接A D,B D,且A T =A f i,在A )的 上 方 作 =A E分别交B O的延长线，y轴于点E,F ,连接)尸，且Z A FO =3 FE,8 c交A O F点G,若点G是A 的中点，求S的值.1 3.综合与探究如图，抛物线)，=-/+区+,经过A(T O),。(3,4)两点，直线A O与丁轴交于点。.点 尸(加,)是 直 线A 上方抛物线上的一个动点，过点P作P F
10、_ L x轴，垂足为F,并且交直线A D于 点E.(1)请直接写出抛物线与直线A Z)的函数关系表达式；(2)当C P/A D时，求出点P的坐标；(3)是否存在点尸，Z C P E =N Q F E?若存在，求出加的值；若不存在，请说明理由.1 4.如图，己知点A（-1,O）,8（3,0）,。（0,1）在抛物线、=办 2+法+0上.（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点尸，使APBC的面积为1；（3）若点是抛物线对称轴上一动点，当|A M-Q 0|的值最大时，求 M 点的坐标;（4）在x 轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q,使N80C=NB4C?若存在，求出。点坐标；
11、若不存在，说明理由.15.如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1,4）,且经过点N（2,3）,与工 轴交于A、B 两 点（点 A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C.抛物线的对称轴与x 轴交于点E,点 P在对称轴上.（1）求抛物线的解析式；（2）直线CM 与x 轴交于点D,若 ZDME=，A P E,求点P 的坐标；（3）请探索：是否存在这样的点P,使NANB=2-A P E?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.16.抛物线y=/+云+c与 x 轴交于点A 和 B（点 A 在点B 的左侧），与 y 轴负半轴交于点C,08=O C,点。（2,3）在抛物线上.(1)求抛物线的解析式;(2)
12、点 打!加,如7 +1)(n 为任意实数)，当 m 变化时，点 P 在直线1上运动，若点A,D 到直线1的距离相等，求 k 的值；(3)M 为抛物线在第二象限内一动点，若 NAA45。，求点M 的横坐标与的取值范围.1 7.已知，如图，在平面直角坐标系中，直线y=3 x+2 与 x 轴交于点A,与 y 轴交于点B,抛物线y=-gx2+bx+c经过A、B 两点，与 x 轴的另一个交点为C.(1)直接写出点A 和点B 的坐标(2)求抛物线的解析式(3)D 为直线AB上方抛物线上一动点连接DO交 A B 于点E,若 DE：0E=3：4,求点D 的坐标是否存在点D,使得NDBA的度数恰好是NBAC的
13、2 倍，如果存在，求点D 的坐标，如果不存在，请说明理由.缶用图1 8.如图，抛物线 =-2 奴+与 x 轴交于点A(-2,0)和 B 两点，点C(6,4)在抛物线上.(1)直接写出B 点坐标：,抛物线解析式为(一般式);(2)如 图 1,。为 y 轴左侧抛物线上一点，且 NDC4=2N C 4B,求点。的坐标；(3)如图2,直线N=a+与抛物线交于点E、F,连接CE、CT分别交y 轴于点M.N,若O M-O N =3,求证：直线EF经过定点，并求出这个定点的坐标.19.综合与探究如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，抛物线y=x2+fer+c(c/5,CD=7(0-l)2+(-3+4)2
14、=V2，直线 B C 经过 8(3,0),C(0,-3),二直线B C 解析式为y =x 3,抛物线对称轴为x =l,而直线8c交对称轴于点E,；.坐标为(1,-2)；CE=7(0-1)2+(-2+3)2=V2,设尸点坐标为(x,y),则 C产=(x-0 f+(y +3)2,贝 IJE产=(x-l)2+(y+2,.CE=C D,若 A P C E 与A A C D 全等，有两种情况，当尸C =A C,PE=AD,B|j A P C E s A A C D.答案第2 页，共 5 6 页.j(x-0)2+(y +3)2=10|(x-l)2+(y +2)2=20*解得:A j=-3 1=_ 4 x,
15、=-1 2=-6即尸点坐标为6(-3,-4),(-1,-6).当 PC=AD,PE=AC,g|J APCEsAACD.f(x-0)2+(y+3)2=20 (x-l)2+(y +2)2=10，即P点坐标为1(2,1),学4-1).故若APCE与AACD全等，P点有四个，坐标为率-3,T),鸟(-1,-6),6(2,1),乙(4,-1).【点睛】本题主要考查了二次函数与几何图形的综合.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系.2.y =-乎/+也%+3 /,倒，46)；(2)A MAB为等边三角形，理由详见解析；【解析】【分析】(1)
16、把A、B坐标代入二次函数表达式，即可求解；求解顶点坐标直接代入顶点坐标公式即可.(2)点M在函数对称轴上，故t a n/M 4 Q=丝&=迪=6,即/M4Q=60。，即A Q 4可得到 MA5的形状.(3)A 3。名WEB尸时，B F=B D,即点E在点M重合，即可求解：如下图，设答案第3页，共5 6页_aPD=a,则 8D=a,PB=J“=A P,在四 A3。中，ta n a=厂=应-1,分别计算 GF、a+j2aE尸的长度即可求解.(1)把点A、B 坐标代入二次函数表达式得,0=40-26+3石0=36 +6b+3 石解得4b=5/3二次函数表达式为：y=-f +G x +36.4顶点 M
17、 坐标：X=-=2,y=4 a Cb=4/32a 4a MAB为等边三角形.理由如下：在对称轴上，：.MA=MB,tanZMAg=-=：-JiAQ 4ZMAQ=60.M 48为等边三角形.(3)AB。丝CEBF时，BF=BD,即点E 在点”重合,止 匕 时，AP在 MB的中垂线上，则/%。=30。，贝|JPQ=AQ“an3(r =(2+2)*=,即 点 心,明设 4 4 Q=a,则 NPBQ=a,ZFEB=aV ZAPB=135,贝 lJ/OPB=45,设尸。=。，则 BD=a,PB=0 =AP，答案第4 页，共 56页S RtA ABD,ta n a=厂=啦-1a+J2a在 RtA GBF
18、中，GF=BF.tan aBF在 中，EF=-,tanaEG=EF-G F=BF(tan a)=2,tananiIBF 1即=-.EG 2【点睛】本题考查了二次函数的综合知识，涉及到三角形全等、解直角三角形等知识点，综合程度较高.3.(1)y=-x2+x+2乙MC=90。，点。的坐标为点尸的坐标为(1,2)或 ;【解析】【分析】(1)由A、B、C 的坐标，待定系数法求函数解析式即可；(2)根据抛物线的对称轴x=；,设点。的坐标为(；,，)，由D4=D C,利用两点距离公式列方程求得m,再由 D 4 c的三边关系计算NCD4即可；(3)点尸的位置有两种情形，分别在直线8 c 的上方和下方：当点P
19、 在直线BC的上方时，由N BA=N C 4 B,根据抛物线的对称性片和C 关于对称轴/对称，即可解答；当点P 在直线BC的下方时，根据BC_Ly轴，得 CE8丝CP/8(A S A),则 CE=C P/,求得E点坐标，再与B 点坐标得出直线8 E 的表达式；进而与抛物线联立求得P2坐标；(1)解：抛物线y=a%2+bx+c 经过A(-LO),8(2,0),C(0,2)三点,。一 +c=0 4。+25+c=0,c=2a=-解得：b=T ,c=2答案第5 页，共 56页.抛物线的表达式为y=-丁+X+2.(2)解：抛物线的对称轴/为x=g,设点。的坐标为V A(-l,0),3(2,0),C(0,
20、2),由两点距离公式可得：DA2=-+m2,DC2=-+(m-22,AC2=5,4 4V DA=DC,则 Z)A2 =OC2,T+/221-mz(+1-4=解得：即 o (g,|),，DAr=,DC2=-,2 2,?DA2+DC2=AC-,：.ZADC=90；解：如图：点尸在直线BC的上方时，记为，点 P 在直线3 c 的下方时，记为鸟，抛物线对称轴为/,与 x 轴交于点E,连接AC,当点P 在直线8 c 的上方时，V ZP,BC=ZD AB,又 NC4D=ZABC=45。，N8A=NCAB,：A和 B 关于对称轴/对称，.直线B 和 C4关于对称轴/对称，又P,和C均在抛物线上，.A和C关于
21、对称轴I对称，答案第6 页，共 56页v c(o,2),对称轴/为X=的坐标为(1,2)；当点P在直线B C的下方时，,/P/C_Ly 轴，则 NECB=NPiCB=45。,：ZEBC=ZPiBC,BC=BC,：.CEB/CP,B(ASA),：.CE=CPi,R 的坐标为(1,2),.：=C6=l,又 0C =2,的坐标为(0,1),8(2,0),.直线26 的表达式为y=-g x+l,则 由,y =2X+i,解得鸟 的 坐 标 为 ;(另一点为8),y=-x2+x+2 J综上所述点P 的坐标为(1,2)或(-；,：).【点睛】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，勾股定理及其逆定理，一次函
22、数与二次函数的综合，此题综合性强难度大，结合对称的性质求二次函数与直线的交点是解题关键.4.(1)二次函数的表达式为y=/-2 x-3,顶点。的坐 标 为(1,-4)(2)2-|m 4 5,即可得出答案；(4)过G作6/?_1 _直线/于R,过，作 T J _x轴于T,过尸作F W _Lx轴 于W,如图4,分两种情况：当 A B C s/GFC时，当 A S C s a C F G时，分别利用相似三角形的判定和性质以及解直角三角形即可求得点H的坐标.(1)解：看，.二次函数y=o x 2+f er+c的图象交工轴于点A (-1,0),8(3,0),设y=。(x+1)(x-3),把 C (0,-
23、3)代入,得：-3=(0+1)(0-3),解得：。=1,.y=(x+1)(x -3)=x2-2x-3=(x -1)2-4,二次函数的表达式为y=N-2 x-3,顶点。的坐标为(1,-4)；(2)解：设直线/交)，轴于点M,如图2,设直线/的解析式为y=H+d,把8(3,0),。(1,-4)代入，3女+d =0得：7 ,一k+d=-4图2工直线/的解析式为y=2 x -6,令 x=0,得 =-6,：.M(0,-6),C M=3,O M=6,O C=3,0 3=3,答案第8页，共5 6页:.SABCD=SAOBM-SAOBC-SACDM=；X3X6-；x3x3-|x3xl=2；(3)解:：B(3,
24、0),C(0,-3),NBOC=90,；.OB=OC=3,：.NOBC=NBCO=45。,如图3,连接A C,在y轴上取点N(0,-9),连接BN交抛物线于点E,过点C作C乙 x轴交8N于点L,在线段OC上截取C K=C 3连接BK交抛物线于点E,.OA OB 3 1 OC3，ON93,.OA OBOCON,/NAOC=NBON=90,：.AOCSBON,：./Q 4C=N O BN,即 NBAC=NOBN,：.ABAC-NCBN=NOBC=45,设直线8N的解析式为 把8(3,0),N(0,-9)代入，得:J3e+f=0I f =-9 解得:e=3/=-9直线BN的解析式为y=3x-9,联立
25、方程组，得:y=3x-9y=x2-2x-3答案第9页，共56页解得:I或广 产一3 y=Q (2,-3)；TCL 工轴，点L 的纵坐标为-3,A 3 x-9=-3,解 得:x=2,：.L(2,-3),CL=2,CK=2：.K(0,-1),设直线3K 的解析式为把3(3,0),K(0,-1)代入，得:3m+n=0n=-1,m=一解得：3,2x=3，直线BK的解析式为y=g x-1,1 ,联立方程组，得：y=3 x 1y=X2-2 x-3fx=3解得：八或y=0尸，(二 _ u3 9.CLx 轴，ZBCL=ZOBC=450=ZBCK,在BCL和BCK中，CL=CK45,2.点E 的横坐标m的 取
26、值 范 围 为 机 AB=4,BC=3五,ZABC45,NCFG=45。，CFG 相似，A ZA B C=ZC FG,点尸对应点8,边 AC对应边CG,；SaC尸 G 最小，且 CFG与 ABC相似，形状不变，边 CG最小，即 CGLx轴,分两种情况：AQ当 ABCS/XGFC时，CG.V10 4 3/2 -=-f3 FG CF：.F G=-,C F=越，5 5设厂(”，)，而 G(0,0),机 2+2=(缙)2m2+(+3)2=(-)2|18m=解得：:，6n=5令,o w=M，5W=0W-0 8=|,G 与。重合，CG=CO=3,AB BCFGCFC(0,-3),FW=g,答案第I I 页
27、，共 56页6FW 7为8尸 W 中，tan/F 8W=-fBW 35RSGRB 中，tan/G 3R=tan/FB W=2,B P GR=2BR,：.cosZGBR=苴,sinNGBR=巫,5 5又 BG=3,.*.BR=述，G/?=5 5NFHG=45,GR_L 直线/于凡：.H R=G R=-,5:.BH=H R+BR=,5R S B”T 中，tan/G BR=2,cos/G B R=叵,sinZGB/?=,55；.BT=BH,=2,HT=BH=,5 5 5 5：.GT=GB-B T=-,5.,6 18.n k,）,5 5当 A B C s/c尸G时，一=AB BC AC.CF FG 3
28、*V-372 To.C F=述，F G=述，55i o设/（s,r）,方法同可得/（,-1）,39：.B W=-f F W=-f55tanNFBW=3,o is同 方 法 可 得 y）,综上所述，点 H 的坐标为：（，y）或（，y）.答案第12页，共 56页图4【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积，三角函数等综合知识，题目难度大，解题的关键是画出图形，确定坐标，熟练运用三角函数求线段长5.(1)，I,y =x-3,(2 )，尸(三 普，士普)，,乎,三叵|；(3)Q【解
29、析】【分析】(1)求出A,8 的坐标，用待定系数法计算即可;(2)做点A关于BC的 平 行 线 联 立 直 线 A 与抛物线的表达式可求出的坐标，设出直线4 片与y 轴的交点为G,将直线8 C向下平移，平移的距离为G C的长度，可得到直线 AH，联立方程组即可求出P；(3)取点Q,连接CQ,过点A作 ACCQ 于点。，过点。作 OF J_x 轴于点尸，过点C作C EJ用 于 点 E,得 直 线 对 应 的 表 达 式 为 y=g x-3,即可求出结果；【详解】(1)将 5(3,0)代入 丁 =如 2 +(+3)x-(6/H+9),化简得加2 +6=0 ,则机=0 (舍)或 m=-1,/.m=,
30、得：=-/+4 了-3,则 C(0,-3).设直线B C 对应的函数表达式为了=丘+力，答案第1 3 页，共 5 6 页将 8(3,0)、。(0,-3)代入可得 7 ,解得=1,j =b则 直 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y =x-3.(2)如图，过点A作 A BC,设 直 线 与 y轴的交点为G,将直线BC向下平移GC个单位，得到直线A2，.直线AG的表达式为y =x-l,联立U一 3，解得：X=(舍)，或1 =；,y =0 y=i：.4(2,1),由直线AG的表达式可得G(-1,0),A GC=2,CH=2,直线3的表达式为y =x 5,答案第14页，共 56页联立y=x-5y
31、=-12+4X-3 解得:不3+历x,=-2-7+7 1 7,x=-2(3+717-7，巴3-V 172-7-7 1 7 3-V 1 7 -7-VnI 22/.P(2,l),3+而-7+V 17P,P3-V 1 7 -7-Vn22I 22(3)如图,取点Q,连接c。，过点A 作 AO_LC。于点。,过点。作 D F，x 轴于点尸，过点C 作 CEL D F于点E,.,ZACQ=45,:,AD=CD,又NADC=90。，ZADF+ZCDE=90,:ZCDE+ZDCE=90fZDCE=ZADF,又 Z=ZAf7)=90,/.CD ED AF,则 AF=石，CE=DF.设。E=Ab=a,VOA=1,
32、OF=CE,答案第15页，共 56页CE=DF=a+.由 OC=3,则OF=3-a,即 a+l=3-a,解之得，a=l.所以 3(2,-2),又 C(0,-3),可得直线CD对应的表达式为y=；x-3,设小-3)代入y=_x2+4x 3,1 7得一机-3=一m2+4加-3,m=nr+4m,nr m=0,2 2 2又2H 0,则，7?=g.所以【点睛】本题主要考查了二次函数综合题，结合一元二次方程求解是解题的关键.6.(1)y=x2+4(2)加最大值是3,此时尸(3,2)(3)N(0,一【解析】【分析】(1)由直线y=-x+4经过B,C两点，先求出点8,C的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的解
33、析式；(2)根据表达式”?=P。+与。,设 出。点的坐标和P点的坐标，用含f的代数式分别表达出线段P、D E,转化成m关于，的二次函数，再求出加的最大值及P点坐标；(3)根据条件N/WM+NACM=180。，且AN=MN,利用三角形的全等去确定满足条件的M、N点，再根据函数解析式求出坐标即可.【详解】解：(1).直线 y=r +4 经过 B,C 两点，当 x=0 时，y=4；当 y=0,x=4；.B(4,0),C(0,4),:点、B,C 在抛物线 y=-gx2+/?x+c上,16 八-+4/7+c=0.,.(f,T+4),+PD=-r2+-z+4-(-/+4)=-r2+r,3 3 3 3S&A
34、BC=AADC+/ADB，且 A(3,0),8(4,0),C(0,4),2x7x4=AC.+|x7x(-z+4),2VAC=V32+42=5:.DE=-t,-.m=PD+DE,21.+25+3,3 3 21 5 3 3V).当t=3时，有最大值是3,此时P(3,2)；(3)如图2,过N作N FLU C,交MC于点P,过N点作NG_LAC,交C4的延长线于点G,答案第17页，共56页图2则 ZAGN=NCBV=NM/W=90。,.ZACF+ZGNF=180,由旋转得:AN=M N,NAMW+NACW=18（）。，.NGNF=ZANM,:.ZANG=ZMNF,;ZAGN=4MFN=哪,:./AGN
35、=/MFN（AAS）,:.NG=NF,二.NC 平分 ZACM设直线CM交x 轴于点K,.COABf,OK=OA=3f.K（3,0）,4.tC K 的解析式为：y=-x +4,x+4=-x2-F-X+4,33 3解得：X=0,x2=5 f M（5 圄，答案第18页，共 5 6 页设 N(O,y),/A N =M N,由勾股定理得，(-3)2+/=52+f y +|13解得y =-，【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图像与性质、等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，数形结合、熟练掌握相关性质及定理是解题的关键.7.（I）y =3-1 x-2；（
36、2）；或3；P（F，r 或（J 一 桨）【解析】【分析】（1）用点C，求一次函数解析式，再求点4 的坐标，利用待定系数法求抛物线的解析式即可；2 4（2）设点尸的横坐标为，小 可得P （机，D Cm,-2）,根据 B P。为等腰2 4直角三角形，则 P D=B D；分两种情况：当 点 尸 在 直 线 的 上 方 时，P D=-m2-m,2 4列方程求解即可；当点P在直线8。的下方时，m0,B D=m,P D=-n r+-m,列方3 3程求解即可；4（3）由 N P 3户=N O A C,04=3,0C=4；可得 AO5,继而可得s i n/P 3P =不，3cosZ PB Pf=-f然后根据顺
37、时针与逆时针旋转使点P，落在y 轴上，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解即可.【详解】4解：（1）由直线y =与 x+过点C （0,4）,得 72=4,4 直线广一铲+4,答案第19页，共 56页4当尸0 时，0=-铲+4,解得户3,A(3,0),2 抛物线 =+法+，经过点A(3,0),B(0,-2),.6+3+c=0c=2解得 3,（2）由题意设 P（帆，gm2-gm-2）,D（加，-2）,若 为 等 腰 直 角 三 角 形，贝 l PZ8D,当点P 在直线8。的上方时，P D=m2-mf 加 0,点尸在y 轴的右侧，B D=m,.2 2 4 ,一m m -m,3 37解 得m尸。(舍去
38、)，加2=5,2 4当点P 在直线8。的下方时，m0,B D=m,PD=-/n2,.2 m 2+一4二 机,3 3解得加尸0（舍去），机 2=g,答案第20页，共 56页当ABPO为等腰直角三角形时，尸。的长为|或；(3):NPBP=NOAC,0A=3,0C=4,43：.AC=5,sin ZPBP=sin ZOAC=-,cosNPBP=,5 5当点落在y轴上时，如图，过点0作Z/V L x轴交BZ)于点M,过点P 作轴，交 的 延 长 线 于 点N,逆时针旋转，:.ADBD=B P ,PD=PD,BD=BD,；NBDM+NPDN=180-NBDP=90,ZDBM+ZBDM90,：.ZPDN=Z
39、DBM,：.ZDBD=ZNDP1=ZPBP,2.4,/.PD=PD=-m2 m,BD=BD=xP=m 93 3在 RtAPND 中，PN=PD.sin N N 0尸=*|/-g 机)，3在 RtABMD，中，BM=BD-cosZDBDm,：PN=BM,4 2 4 3即：一x(-iT?-in)-m,5 3 3 525解得：m=m =O(舍去)，o将，=2=5 代入抛物线得：y=1E1，o 32答案第2 1页，共5 6页当点P 落在y 轴上时，如图，过点屏作DM _Lx轴交3。于点M,过点P 作 pR _L y轴,交M D 的延长线于点M:顺时针旋转:.ADBD=APBP,P U =PD,BD=B
40、D,NBDM+NPDN=1800-NBDP=90。,/D B M+/B D，M=9。,：.4PDN=/DBM,：.ADBD=Z/VDP=/P B P ,4 2/.PD=PD-m rrT,BD=BD=xp=m,3 3在用PM7 中，PN=PO sinNNP=1(g m-|m 2),3在 Rt/BM D中，BM=BD-cos ZDBD=m,：PN=BM,即：5(3 3)57解得：根=d 或%=0(舍去)，o将机=/7代 入抛物线得：y=-25会5，X 96答案第22页，共 56页，当点尸对应点P 落在y 轴上时，点 尸 的 坐 标(2二5，三11)或(7(，-冬255).【点睛】本题考查了二次函数
41、综合题，涉及了二次函数的性质，图形旋转，解直角三角形的应用等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键，注意数形结合思想的运用.8.(1)尸1 一x+1；(2)证明见解析；(113 ,2 5 )或(35，2 3【解析】【分析】(1)利用直线与坐标轴的交点，确定48的坐标，根据点8为抛物线的顶点，设出解析式求解即可;(2)利用对称的性质，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可；(3)设点p 的坐标，用点P的横坐标表示P E,转化为二次函数的最值，后根据等角的正切值相等，分。在点E的上方和下方两种情形计算.【详解】(1),直线y=gx+1与 x 轴交于点8,与 y 轴交于点4,，点
42、 8(2,0),点A (0,1),抛物线的顶点为8,且过点A,设抛物线的解析式为产a (x-2)2,：,l=4a,解得a=，抛物线的解析式为尸!(x-2)2 =J*2 x+1;4 4答案第2 3 页，共 5 6 页(2)如图2,连接CM,：,M2分别是点M 关于直线CA,CB的对称点,：.CMCM,CM2,NMCO=NMCO,NMCB=N M2cB,直线A B 向下平移，分别与x轴、y 轴交于。、C两点，且0 c=。4,.,.点C的坐标为(0,-1),直线CD的解析式为产一 x-l,.点。的坐标为(-2,0),:点3的坐标为(2,0),直线CO是线段BD的垂直平分线，.CD=CB,ZDCO=Z
43、BCO,：.NDCO-/M、CO=ZBCO-ZMCO,：.ZDCM=NBCM,：.ZDCM,=ZM2CB,Z M,CB+Z M2 CB=Z M CB+ZDCMt,：.Z MtC M2=ZDCB,.CM、CM2,CD CB.C M,M?s/CDB；答案第2 4 页，共 5 6 页（3）设点P 的坐标为（4,!2一。+1）,MELO8分别交抛物线和直线CO于 尸，E两点,点E 的坐标为（m*.PE=a2 a+1-（ga-1）=a2 ra+2942 4 213当折一一彳二 1时，PE最小，此时尸（1,E（1,2x1 4 24 ：NEPQ=/CDO,tan N EPQ=tan N CDO=,当点。在点
44、E 的右下方时，如图3,设2 的 坐 标（小过点。作0G，P E,垂足为 G,则 G（1,Q G-n-1，PG=卜!几+J=I，14 2 4 2 ；依 几 NEPQ=；,QC 1=一，PG 2.5 n E Z O 13 =2 n-2,解得二二，4 2 613 25*a 的 坐 标（三，-）；6 12当点。在点E 的左上方时，如图3,设0 的 坐 标（?，-y w-1），过点Q 作R F L P E,垂足 为 凡 则 尸（1,FQ2-m,PF=；+；m+/=；+,tan ZEPQ=,.FQ,1-=，PF 2*4+=2-2机，解得 tn=,答案第25页，共 56页 。2 的坐标端3 ,啧2)3:综
45、上所述，点 Q的坐标为(1?3 ，2 5 或 端3 ，噎2 3).【点睛】本题考查了二次函数的解析式的确定，三角形的相似，构造二次函数求最值，等角的三角函数值相等，分类的思想，熟练掌握三角形相似的判定方法，分类思想是解题的关键.9.(1),y =x-l；(2)P匕，亘，上 普 或 P 匕 普，上 普 ;(3)C到 M N 的距离为定值1.【解析】【分析】(1)先利用抛物线的解析式求解仇。坐标，再利用待定系数法求解3。的解析式即可；(2)如图，连接D4,延长D 4至 F,使 A O =AF,可得。尸=2 血，证明N A O B =9 0。，可得下到20的距离为：2 夜，过尸作8。的平行线，交抛物
46、线于P,求 解 用 为：y =x+3,联立y=x+3一，解方程组可得答案;(3)如图，过C作CTLM N 于T,证明AMTCS AC T N,可得=M TWT,联立:2y=x-可得皿-/77,。”(71 77,4 设则T(a,r),可得答案第2 6 页，共 5 6 页CT2=M T N T =+t-a5 LCT=t-a2+,可得。尸=。7,解方程并检验可得结论.【详解】解：(1)令x=0,则 y=T,令 y=0,x2-l=O,：.JC=1,x=1,二 4(-1,0),3(1,0),设8 0为卜=丘+尻b+6=0,%=一1，k=解得：,直线 B D 为：y=*1 -(2)如图，连接D A延长D4
47、至 使AO=AF,由 A(T,0),(0,-l),A D =Vl2+12=V2,Z A D O =45,D F=2V2,同理：ZB。=45。，答案第27页，共56页尸到8 0 的距离为：2五，过尸作3。的平行线，交抛物线于P,AD=AF,A(-l,0),D(0,-l),由中点坐标公式可得：F(-2,1),设 73为丫=*+，.-2 +n=i,:.n=3,:.FP 为:y=x+3,y=x+3y=x2-f。+如72(3)如图，过 C 作CTLM N 于T,/C TM =/C TN =90。,/M CN=90。,/M C T+ANCT=90=NNCT+NTNC,/.ZMCT=ZTNC,:AMTCS
48、ACTN,MT TCCT TNCT2=MT.NT,O/B联立：y=t答案第28页，共 56页解 得：卜=-g 1=g,y=tM (-+设 C(adT，则 T(a j),M T =a+/+t,N T =J +t-a,C T2=MT.NT =+t-a2,v CT =t-cr+,C T2=CT,.-.C T(C T-1)=0,.C T =1,C T =O,检 验：C 7 =0不合题意舍去，取C T =1为定值.所 以 点C到M N的距离为定值1.【点 睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数的解析式，一次函数与二次函数的交点坐标问题，相似三角形的判定与性质，一元二次方程的解法，掌握以上知识是解题的
49、关键.1 0.(1)y=x2+2 x;(2)y =x+4,(-2,-2),co s NA8 O =当；(3)尸(2,2)或(0,4)【解 析】【分析】(1)将 点A、C的坐标代入抛物线表达式，求 出b、c的值，即可求解抛物线的解析式；(2)点A (-4,0),OB=OA=4,故 点B(0,4),利用待定系数法求出A B的表达式，并根据二次函数关系式，可 求 得 点 用 的 坐 标，并由函数关系式得N A 8 0的度数，即可求出Z AB。的余弦值：(3)OP将aA OC的 面 积 分 成1：2的两部分，则可利用高相等时.，面积比等于底之比得AP =2A C或%C,得 出 上=?或=,即可求解.3
50、 3 ”3 yc 3【详 解】答 案 第2 9页，共5 6页解：(1)将点A、C 的坐标代入抛物线表达式得：-x l6-4/?+c=021 ,x4+20+c=62b=2解得 八，c=0故抛物线的解析式为：y=x2+2x.(2)点 A(-4,0),OB=OA=4,故点 B(0,4),设直线A B的解析式为y=kx+4,将点A 坐标代入得，-4k+4=0,/.k=l.直线A B 的表达式为：y=x+4.对于y=g v +2 x,函数的对称轴为x=-2,故点例(一 2,-2),贝 ij ZABO=45。，故 cos ZABO=.2(3)尸将4 0 C 的面积分成1:2的两部分，S/O AP=J.甫