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1、2021-2022学年天津市南开区高二（下）期末数学试卷1.已知全集=123,4,5,6 ,集合4=1,2,5 ,CyB=4,5,6),则集合4 n B =()A.1,2 B.5 C.1,2,3 D.3,4,6 2.已知命题p：V x 0,总有(x +l)e*1,则-10 为()A.3x0 0,使得(X。+l)ex 0,使得(与+l)ex0 0,总有(x +1)1D.V x WO,总有(+1)峭 W 13.若 a,6为实数，则 0abl”是“b b c B.a c b C.c b a D.c a b6 .在(l-x)5 +(i -X)6+Q 一 7 +(i 一乃8的展开式中，含炉的项的系数是(
2、)A.74 B.121 C.-74 D.-1217.某化工厂生产中需依次投放2 种化工原料，现已知有5 种原料可用，但甲、乙两种原料不能同时使用，且依次投料时，若使用甲原料，则甲必须先投放，则不同的投放方案有（）A.10 种 B.12 种 C.15 种 D.16 种8.已知变量x 和 y的统计数据如表：.V34 5 6 72.5 34 4.5 6根据上表可得回归直线方程？=Bx-0.25,据此可以预测当x =8时，y=（）A.6.4 B.6.25 C.6.5 5 D.6.459.某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度（支持与不支持）的关系，运用2 x 2列联表进行独立性检验，经计算K2=6
3、.70 5,则所得到的统计学结论是：有的把握认 为“学生性别与支持该活动没有关系”.()附:P(K2 k)0.100 0.050 0.025 0.010 0.001k2.706 3.841 5.024 6.635 10.828A.99.9%C.1%B.99%D.0.1%1 0.已知函数/(x)=%2+(/?-V4-a2)x+2 a-b是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是()A.-4 B.2 C.3 D.411.二项 式 弓-总 产 的展开式的中间一项为12.从一副不含大小王的52张扑克牌中，每次从中随机抽出1张扑克牌，抽出的牌不再放回.已知第一次抽到A牌，则第二次抽到A 牌 的
4、概 率 为.13.计算：2(log43+log83)(log32+log92)=.14.已知随机向量X服从正态分布N(3,l),且P(X 2 c-l)=P(X 0,y 0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.16.一个袋中装有10个大小相同的黑球、白球和红球，已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是右从袋中任意摸出2 个球，至少得到1个白球的概率是，(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3 个球，记得到白球的个数为。求随机变量f 的数学期望Ef.17.已知函数/(x)=+%-16.(团)求曲线y=f (x)在点(2,-6)处的切线的方程；(回)已知函数g(x)=/(%)-3ax2+(
5、2b-l)x+16在点x=1处有极小值-1,试确定 m 6 的值，并求出g(x)的单调区间.18.已知函数f(x)=In言.(1)求函数/(x)的定义域，并判断函数/(%)的奇偶性；(2)对于 G 2,6,/(%)恒成立 求实数m的取值范围.19.如图，A地到火车站共有两条路径人和乙2,据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：火车站所用时间(分钟)10 20 20 30 30 40 40 50 50 60G 的频率0.10.20.30.20.2功的频率00.10.40.40.1第2页，共12页现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站.（回）为了
6、尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（回）用 X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（团）的选择方案，求 X 的分布列和数学期望.2 0.已知函数f（x）=（x2-3x+3）-e*定义域为-2）,设/（一 2）=m,/（t）=n.（回）试确定f 的取值范围，使得函数/Q）在-2,t 上为单调函数；（团）求证：n m；（团）求证：对于任意的t 2,总存x 0 （-2,t）,满 足 誓 =|-1）2,并确定这样的工。的个数.答案和解析1.【答案】A【解析】解：全 集 =1,2,3,4,5,6,又Q B =4,5,6,B=1,2,3,力=1,2,5,
7、-.ACB=1,2,故选：A.由题意全集U=1,2,3,456,CyB=4,5,6),可以求出集合B,然后根据交集的定义和运算法则进行计算.此题主要考查集合和交集的定义及其运算法则，是一道比较基础的题.2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了全称量词命题的否定的写法，全称量词命题的否定是存在量词命题，属于基础题.据全称量词命题的否定为存在量词命题可写出命题p 的否定.【解答】解：根据全称量词命题的否定为存在量词命题可知，-ip为 0,使得Qo+l)ex 1.故选B.3.【答案】D【解析】【分析】本题考查的知识点是必要条件，充分条件与充要条件的判断，及不等式的性质，属于基础题.根据不等式的性
8、质，我们先判断0 n b i 与 b =0 ab Ta a的真假，然后结合充分条件、必要条件的定义即可得到答案.【解答】解：若“0 a b ,a即 0 a b r =ab i 为假命题，第4页，共12页若 b?当 Q 1即 b 、=uO a b 1”为假命题，a综 上“0 a b l”是“b 的既不充分也不必要条件，故选：D.4 .【答案】C【解析】解：根据题意，由函数的图象可知：函数y =/。)的定义域为 x|x*0 ,既不是奇函数又不是偶函数，当X +8时，/(X)T +8,由此分析选项：对于A,/(%)=exnx,其定义域为(0,+8),不符合题意，对于 5,/(%)=e-xl n|x|
9、=当t +8时，f(x)t 0,不符合题意，对于。，/(x)=e|x|l n|x|,其定义域为 x|x H 0,/(-x)=/(x),是偶函数，不符合题意，故选：C.根据题意，由函数的图象分析函数的定义域和周期性，据此分析选项可得答案.本题考查函数的图象分析，注意用排除法分析，属于基础题.5 .【答案】D1【解析】解：0 a=2 3 2 =1,b=l o g2|l o g22 =1,2 Jc a b.故选：D.利用指数式的运算性质得到0 a 1,由对数的运算性质得到b l,则答案可求.本题考查指数的运算性质和对数的运算性质，在涉及比较两个数的大小关系时.，有时借助于0、1 这样的特殊值能起到事
10、半功倍的效果，是基础题.6.【答案】D【解析】解：(1 一%)5 +(1-乃6 +(1-乃7 +(1-乃8 的展开式中，含 的 项 的 系 数底(-1)3 +/(-1)3 +C六一 1 尸+C式-1?=-1 0+(-2 0)+(-3 5)+(-5 6)-1 2 1.故选。.利用二项展开式的通项公式，分别求出的四部分中含二的项的系数，再求出它们的和.本题考查利用二项展开式的通项公式解决展开式的特定项问题，属于基础题.7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了分类和分步计数原理的综合应用，属于基础题.分三类，第一类选甲，先投甲，再投除甲乙之外的三种的任一种；第二类，选乙，乙有两种投法，再投除甲乙之外
11、的三种的任一种；第三类，不选甲乙，除甲乙之外的三种的任二种进行投放，再对各类情况种数进行求和，即可得到答案.【解答】解：分三类，第一类选甲，先投甲，再投除甲乙之外的三种的任一种，有3种方法，第二类，选乙，乙有两种投法，再选择除甲乙之外的三种的任一种，有3种方法，共有2 x 3 =6种，第三类，不选甲乙，除甲乙之外的三种的任二种依次进行投放，有3 X 2 =6种，根据分类计数原理，共有3+6+6=15种，故选：C.8.【答案】C【解析】解：样本平均数元=式3+4+5+6+7)=5,9=，(2.5+3+6+4+4.5)=4,即4=-0.25,b=0.85 回归直线方程9=0.85%-0.25,当x
12、=8时-，y=0.85 x 8-0.2 5 =6.55,故选：C.根据数据求解平均数元，歹，代入求解丸可得回归直线方程，将x=8代入计算可得y的预测值.本题考查线性回归方程的求法，属于基础题.9.【答案】C【解析】【分析】本题考查独立性检验知识，难度不大，属于基础题.把观测值同临界值进行比较.得到有99%的把握说学生性别与支持该活动有关系.【解答】解：K2=6.705 6.635,对照表格：第6页，共12页 有 9 9%的把握说学生性别与支持该活动有关系，P g ko)0.1 00 0.05 0 0.02 50.01 0 0.001ko2.7 06 3.8 4 15.02 4 6.6 3 51
13、 0.8 2 8 .有1%的把握说学生性别与支持该活动没有关系,故选：C.而 图 象 与 y 轴交点的纵坐标是f（0）=2a-b,数形结合求最值即可.本题考查函数奇偶性的应用、数形结合求最值，有一定的综合性，能力要求较高.1 1 .【答案】1 1 5 5【解析】解：因为n =1 2,所以展开式共有1 3 项，中间一项为七=C 昱 仔）6 （一套）6 =匿=1 1 5 5.故答案为：1 1 5 5.中间一项为七，再由展开式的通项公式，得解.本题考查二项式定理，熟练掌握展开式的通项公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题.1 2 .【答案】专【解析】解：第一次是A时，还剩下3 张 4,所以第
14、二次也是A的概率为。=故答案为：号.在 5 2 张牌中，每种牌都有4 张 A,在第一次是A的情况下，还剩下3 张 A,据此即可求出第二次是A的概率.本题考查条件概率，考查学生的计算能力，确定基本事件的个数是关键，属基础题.13.【答案】|【解析】解:2(log43+log83)(log32+log92)1 1 1=2(-log23+-log23)(log32+-log32)5 3=2 -log23-log326 z5=一，2故答案为：|.根据对数的运算性质计算即可.本题考查了对数的运算性质，是基础题.14.【答案W【解析】解：.随机变量X服从正态分布N(3,l),P(X 2c 1)=P(X 0
15、,y 0,%+3y 4-xy=9,则9 (x+3y)=xy=1 x%x 3y,；x x x 3 y W：x 丝 迎，当且仅当x=3y时，取 =，3 3 4即 9-(x+3y)6或x+3y 0,y 0,解得故答案为6.1 6.【答案】解：(1)记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A,设袋中白球的个数为x,则P(4)=l-警=：,C1 0 9得到x =5,故白球有5个.(2)随机变量 的取值为0,1,2,3,PG=。：，P(f =D=管建，P-2)=管=2,P(f =3)=导=专分布列是f的数学期望以=x 0 +x1+x 2+x 3 =|.0123P11 251 251 211 2【
16、解析】(1)根据从中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是彳写出从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球的对立事件的概率，列出关于白球个数的方程，解方程即可.(2)从袋中任意摸出3个球，白球的个数为根据题意得到变量可能的取值，结合对应的事件，写出分布列和期望.本题主要考查排列组合、概率等基础知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力，考查对立事件的概率，考查古典概型问题，是一个综合题.1 7.【答案】解：(团)(乃=+1,将x =2代入可得:广(2)=1 3,故由点斜式可得：y -(-6)=1 3。-2),化简得：y =1 3 x 3 2；(团)由已知有：g(x)=x3-3ax2+2 bx,g(
17、x)=3 x2 6ax+2 b,由 已 知 有 然)=；代入 汽*解 得:a =Q =Wg(1)=0 (3 6 a +2 b =0 3 2经检验g(x)在x=1处取得极小值满足题意，此时。(%)=%3%2%,g(x)=3x2-2%-1,令g(%)0,解得 1 或者 0,X-1解得：X 1或X 1或 0,v-0,可得：(x-l)(7-x)B|J：I n l n 9 x-l(x-l)(7-x)m 0.恒成立,整理:化简:可得:1 X+1 m、八l n T-，n(x-l)(7-x)0,n(x+D(7-x)0,m(x+l)(7-x),m(x+1)(7 x)m 0,即：X2+6x+7 m,(x e 2,
18、6 )恒成立，只需 m 小于一/+6 x+7的最小值.令：y x2+6 x+7=(%3)2+16开口向下，X G 2,6 ,当 =6 时，y 取得最小值，即ym i n =-(6 -3)2 +16 =7,所以：实数，的取值范围(0,7).【解析】(1)对数函数的指数大于0,从而求解定义域.根据函数的奇偶性进行判断即可.(2)利用对数函数的性质化简不等式，转化为二次函数的问题求解m的取值范围.本题考查了对数函数的性质的运用能力和化简计算能力.属于基础题.19.【答案】解：(回)4 表示事件“甲选择路径匕时，4 0分钟内赶到火车站表示事件“乙选择路径 时，5 0分钟内赶到火车站”，i =l.2.用
19、频率估计相应的概率可得P(A i)=0.1+0.2 +0.3=0.6,(4)=0.1+0.4 =0.5,PQ4 1)(4)，甲应选择及，P(BJ=0.1+0.2 +0.3+0.2 =0.8,第10页，共12页P(B2)=0.14-0.4 +0.4 =0.9,P(%)P(B J，.乙应选择L 2.国)4 B分别表示针对(回)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站,由(团)知P(A)=0.6,P(B)=0.9,又由题意知，A,B独立，P(X=0)=P(而)=P(A)P(B)=0.4 x 0.1=0.04,P(x=1)=P(AB+AB)=P(1)P(B)+P(4)P=0.4 x 0.9 +0
20、.6 x 0.1=0.4 2,P(X =2)=P(/B)=P(4)(B)=0.6 x 0.9 =0.5 4,X的分布列：X012p0.040.4 20.5 4E X =O x 0.04 +1 x 0.4 2 +2 X 0.5 4 =1.5.【解析】本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解,离散型随机变量的数学期望与分布列的求解，属于基本知识在实际问题中的应用.(团)4表示事件“甲选择路径&时，4 0分钟内赶到火车站”，B j表示事件“乙选择路径4时，5 0分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P(&),2(4)比较两者的大小，及P(B i),P(殳)的从而进行判断
21、甲与乙路径的选择；(团)4 8分别表示针对(团)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由(团)知P(4)=0.6,P(B)=0.9,且甲、乙相互独立，X可能取值为0,1,2,分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可2 0.【答案】(回)解：因为/(%)=(2 x-3)/+(x2-3 x +3)ex,由/(久)0 =x 1 或 0,由1(x)0%1,二函数f(x)在(一8,0),(1,+8)上单调递增，在(0,1)上单调递减，函数f(x)在-2,t 上为单调函数，-2V tM 0,(日)证：因为函数/(%)在(8,0)U(l,+8)上单调递增，在(0,1)上单调
22、递减，所以f(%)在 =1处取得极小值e,又/(-2)=13 e-2 2时，/(2)f(t),即m 4或一2 t 1时，g(-2)-g(t)0,所以g(x)=0在(-2,t)上有解，且只有一解，当1 t 0且g(t)0,但由于g(0)=-孤 -I)?一 2,总存在xe(2,t),满 足 誓 =|(t-l)2,且当t 2 4或一2 t S 1时，有唯一的沏适合题意，当l t 4 时，有两个沏适合题意.【解析】(团)首先求出函数的导数，然后根据导数与函数单调区间的关系确定/的取值范围，(团)运用函数的极小值进行证明，(团)首先对关系式进行化简，然后利用根与系数的关系进行判定.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数单调性的方法及推理和运算能力.第12页，共12页