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1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2 .答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2 B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2 B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每
2、小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数/(x)=x 3+s i n x +l n,若/（2。-1）/（0）,则a的取值范围为（,+oo2B.(0,1)2 .“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2 0 0个点，己知恰有8 0个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是（）2 23 .已知椭圆C：3 +=1（。0）的左，右焦点分别为K，F2,过K的直线交椭圆。于A,B 两 点,若Z A B F2=9 0 ,且“B F 2的三边长忸周，|你|成等差数列，
3、则。的离心率为（）c百 a4 .一个圆锥的底面和一个半球底面完全重合，如果圆锥的表面积与半球的表面积相等，那么这个圆锥轴截面底角的大小 是（A.1 5 B.3 0 C.4 5 D.605.如图，A B =2是圆。的一条直径，C,。为半圆弧的两个三等分点，则 方（恁+而）=（）cDLA.-B.4 C.2 D.1 +百6.若 +9。/11）与互为共扼复数，则尤+y=（）i-iA.0 B.3 C.-1 D.47.若x 0,y 0,贝!|“工+2丁 =2而 的 一个充分不必要条件是A.x=y B.x=2yc.x=2 且 y=l D.x=y 或 y=l8.集合=丁 及=4 6 2的真子集的个数为（）A.
4、7 B.8 C.31 D.329.已知AA3C的内角A,氏C的对边分别是。力,c,且4+04：c)=2c2,若c为最大边，则”2的取值范围a2+b2 c是()t 2甲1，_B.（1,5/3）xlnx-2x,x010.已知函数/(x)=2 3 n的图像上有且仅有四个不同的关于直线y=-i对称的点在g(x)=-i的图X H-X,X 0像上，则左的取值范围是()A.(,)B.(/，；)C.(；/)D.(,1)11.某歌手大赛进行电视直播，比赛现场有6名特约嘉宾给每位参赛选手评分，场内外的观众可以通过网络平台给每位参赛选手评分.某选手参加比赛后，现场嘉宾的评分情况如下表，场内外共有数万名观众参与了评分
5、，组织方将观众评分按照70,80),80,90),90,100分组，绘成频率分布直方图如下：嘉宾ABCDEF评分969596899798嘉宾评分的平均数为三，场 内 外 的 观 众 评 分 的 平 均 数 为 所 有 嘉宾与场内外的观众评分的平均数为最，则下列选项正确的是()3+B X|+-C.2 2 2-X+占D.xi x2 x 2-12.已知i为虚数单位，复数z=(l +i)(2+i),则其共匏复数1=()A.l +3 z B.1-3 Z C.一l+3 i D.-1-3/二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13 .已知函数/(x)=a r +3 +|2x 2+(4-1 的最小值
6、为 2,贝！|。=14.已知点(1,2)是双曲线 一 工=1(。0)渐近线上的一点，则双曲线的离心率为a 44 3 215.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为二和二；乙笔试、面试通过的概率分别为彳和5 4 3g.若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试只有一人被录取的概率是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.216.已知多项式(x+l)3(x+2)2=x5+aix4+a2x3+a3x2+a4x+a$,则 a4=,as=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图，。的直径A B的延长线与弦C D的延长线相
7、交于点P,E为。上一点，AE=AC,DE交AB于 点 尸.求 证：PDFPOC.18.(12分)对于很多人来说，提前消费的认识首先是源于信用卡，在那个工资不高的年代，信用卡绝对是神器，稍微大件的东西都是可以选择用信用卡来买，甚至于分期买，然后慢慢还！现在银行贷款也是很风靡的，从房贷到车贷到一般的现金贷.信用卡“忽如一夜春风来”，遍布了各大小城市的大街小巷.为了解信用卡在A市的使用情况，某调查机构借助网络进行了问卷调查，并从参与调查的网友中随机抽取了 100人进行抽样分析，得到如下2 x 2 列联表(单位：人)经常使用信用卡偶尔或不用信用卡合计40岁及以下15355040岁以上203050合计3
8、565100(1)根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A 市使用信用卡情况与年龄有关？(2)现从所抽取的40岁及以下的网民中，按“经常使用”与“偶尔或不用”这两种类型进行分层抽样抽取10人，然后,再从这10人中随机选出4 人赠送积分，求选出的4 人中至少有3 人偶尔或不用信用卡的概率；将频率视为概率，从 A 市所有参与调查的40岁以上的网民中随机抽取3 人赠送礼品，记其中经常使用信用卡的人数为X,求随机变量X 的分布列、数学期望和方差.参考公式：K2n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)其中 n=a+h+c+d.参考数据:P(烂 石)0.150.100
9、.050.0250.010攵02.0722.7063.8415.0246.63519.(12分)在直角坐标系中，直线/过点P(l,2),且倾斜角为a,a 以直角坐标系的原点。为极点，*轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为夕2(3+s in/)=12.(1)求直线I的参数方程和曲线C 的直角坐标方程，并判断曲线C 是什么曲线；(2)设直线，与曲线C 相交与M,N 两点，当|PM HPN|=2,求 a 的值.20.(12 分)设函数=+(1)当。=4 时，求不等式/(x)3 5 的解集；(2)若/(x)2 4 对 x w R 恒成立，求。的取值范围.21.（12分）已知椭圆C：=1
10、（。力 0）过 点（0,夜），且满足。+=3 夜.（1）求椭圆C 的方程；（2）若斜率为1 的直线与椭圆C 交于两个不同点A,B,点 坐 标 为（2,1）,设直线肌4 与 的 斜 率 分 别 为 心,2ki,试问心+生是否为定值？并说明理由.22.（10 分）如图，在四面体 D 48C 中，A B L B C,D A =D C =DB.(1)求证:平面A8C_L平面AC；(2)若 AD=2,A B =2BC,Z C A D 3 O 0,求四面体 ABC。的体积.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】求出函
11、数定义域，在定义域内确定函数的单调性，利用单调性解不等式.【详解】由 二 0 得1-x1 +x 2在 x e（-1,1）时，y=V 是增函数，y=sinx是增函数，y=ln =ln（-l +）是增函数，1-x-x:./（x）=x3+sin x+ln（F 是增函数，.由/（2。-1）/（0）得（）2。1 1,解得g a 0,y 0,：.x+2y 2y ,当且仅当x=2 y时取等号.故 x=2,且y=1 ”是“x+2y=2 J而”的充分不必要条件.选C.8.A【解析】计算M=2,6,0,再计算真子集个数得到答案.【详解】M=yy=j4 r2,x w z=2,6,0 ,故真子集个数为：23 1 =7
12、.故选：A.【点睛】本题考查了集合的真子集个数，意在考查学生的计算能力.9.C【解析】/J4 _i_ 4-64 _i_”?卜?由巴 十 ：_：2.=202,化简得到cosC的值，根据余弦定理和基本不等式，即可求解.a2+b2【详解】,a4+b4+c4+a2b2,2(a2+b2)2+c4-a2b2.2由-z-=2c-,可得-3 3-=2 c-,a2+b2 a2+b2可 得/+/一。2c2(a2+b2-c2)+a2b2a2+h2通分得(a2+b2-c2)(c2-a2a2+h2-h2)+a2b2=0,整理得(a2+b2-c2)2=a2ba,所以(“一+一、2 =，2ab 4因为C为三角形的最大角，所
13、以cosC=L,2又由余弦定理/=a2+/-2abcosC=a2+Z?2-vab=(a-i-b)2-ab(a+b)2=-(a +b)2,当且仅当。=。时，等号成立，2 4所以c立(a+勿，即空迪，2 c 3又由a+b c,所以巴了的取值范围是(1,竽.故选：C【点睛】本题主要考查了代数式的化简，余弦定理，以及基本不等式的综合应用，试题难度较大，属于中档试题，着重考查了推理与运算能力.10.D【解析】根据对称关系可将问题转化为“X)与y=-1有且仅有四个不同的交点；利用导数研究/(x)的单调性从而得到/(%)的图象；由直线y=h-1恒过定点A(0,T),通过数形结合的方式可确定-我代c，L)；利
14、用过某一点曲线切线斜率的求解方法可求得kA C和kAB,进而得到结果.【详解】g(x)=1关于直线y=-l对称的直线方程为：y=-kx-原题等价于/(x)与y=-辰-1有且仅有四个不同的交点由y=-一 1可知，直线恒过点A(O,-1)当x 0时，/，(x)=lnx+l-2=lnx-l二/(x)在(0,e)上单调递减；在(e,+8)上单调递增由此可得/(%)图象如下图所示：其 中A3、AC为 过A点的曲线的两条切线，切 点 分 别 为 民C由图象可知，当 Z e（砥c，%）时，X）与丁=一日一1有且仅有四个不同的交点设C（wv ln/n 2 2）,m0,则左女=n/n-=，访 7_ 也以，解 得
15、：加=1m-0 A C=-1设B川+3 +1毓俎.2 解 得：n=-ln-0C 32 42本题正确选项：D【点 睛】本题考查根据直线与曲线交点个数确定参数范围的问题;涉及到过某一点的曲线切线斜率的求解问题；解题关键是能够通过对称性将问题转化为直线与曲线交点个数的问题,通过确定直线恒过的定点，采用数形结合的方式来进行求解.11.C【解 析】计 算 出 为、占,进而可得出结论.【详 解】由表格中的数据可知，%=96+95+96+89+97+98 95.17,6由频率分布直方图可知，=75x0.2+85x0.3+95x0.5=8 8,则1兀,由于场外有数万名观众，所 以，兀 嚏 苫2 V z.故选：
16、B.【点 睛】本题考查平均数的大小比较，涉及平均数公式以及频率分布直方图中平均数的计算，考查计算能力，属于基础题.12.B【解 析】先根据复数的乘法计算出z,然后再根据共轨复数的概念直接写出即可.【详 解】由z=(l+i)(2+i)=l+3 i,所以其共匏复数三=1一3八故选：B.【点 睛】本题考查复数的乘法运算以及共扼复数的概念，难度较易.二、填空 题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共20分。I13.一2【解 析】首先利用绝对值的意义去掉绝对值符号，之后再结合后边的函数解析式，对 照 函 数 值 等 于2的时候对应的自变量的值,从而得到分段函数的分界点，从而得到相应的等量关系式，求得参
17、数的值.【详 解】根 据 题 意 可 知.f(x)h2x+4x+2,2x?+(4-1 0-2x?+(2a-4)x+4,2x?+(4-aj x-1(X)=5 25【解析】计算K-再对照表格分析即可.(2)根据分层抽样的方法可得经常使用信用卡的有3人，偶尔或不用信用卡的有7人，再根据超几何分布的方法计算3人或4人偶尔或不用信用卡的概率即可.利用二项分布的特点求解变量X的分布列、数学期望和方差即可.【详解】(1)由列联表可知,K2=l0 x(20 x35-15x30)-2 Q 9 9 因为 j 0 9 9 2.706,35x 65x 50 x 50所以不能在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为A市
18、使用信用卡情况与年龄有关.(2)依题意,可知所抽取的10名40岁及以下网民中,经常使用信用卡的有10 x II=3(人)，偶尔或不用信用卡的有3510 x =7(人).50C3cl r4则 选 出 的4人 中 至 少 有3人 偶 尔 或 不 用 信 用 卡 的 概 率P =3+才2320 2 由2x2列联表，可 知40岁以上的网民中，抽 到 经 常 使 用 信 用 卡 的 频 率 为 孟=,2将频率视为概率，即 从A市 市 民 中 任 意 抽 取1人，恰好抽到经常使用信用卡的市民的概率为二.由题意得X d 3,|,则 P(X=0)=C；x上甚3P(X=D=C；2 54X =-5 125P(X=
19、2)=C；故 随 机 变 量X的分布列为:X0123P27法54125361258125故 随 机 变 量X的 数 学 期 望 为(X)=3X2=9,方 差 为Z)(X)=3X2X3=.5 5 5 5 25【点 睛】本题主要考查了独立性检验以及超几何分布与二项分布的知识点，包括分类讨论以及二项分布的数学期望与方差公式等.属于中档题.TT19.曲 线c是 焦 点 在*轴上的椭圆；屋【解 析】X=1+/COS6Z（冗、试题分析：（1）由 题 易 知 直 线I的 参 数 方 程 为y=2+.n，为 参 数）。,力；曲线0的直角坐标方程为2 2亍+1_=1,椭 圆；（2）将直线代入椭圆得到（3cos2
20、(7+4sin2a r+(6cosa+16sina)/+7=0,所以7n1 PM1-1 PN1=1 ty2-t2=3c o s-；一+丁4s i n丁2 =2,解得a =4.试题解析：(I)直线I的参数方程为12+血0、2J曲线。的直角坐标方程为3d+4/=1 2,即+=1，4 3所以曲线C是焦点在x 轴上的椭圆.(II)将I的参数方程加险o e ja fl代入曲线C的直角坐标方程为3d+4/=12ly2+siiia I 2J得(3c-a+4血2 a+(6cosa+16sin a*+7=Q，7：.PM-P N|=；-=2,-3COS2+4SIIT 2得 s i n%=,2万)兀,：a&0,:.
21、a-I 2j 420.(1)x|x 4 0或x N 5 ；(2)aW-3或。25.【解析】试题分析：(D根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集(2)根据绝对值三角不等式得/(力 最 小 值，再解含绝对值不等式可得。的取值范围.I I I .f x 1试题解析：(1)x-l+X-4 2 5等价于 c u =或5解得：x W O或x N 5.故 不 等 式 的 解 集 为 x|x 42x-55,l x 5【解析】（1）利用已知条件直接求解。力，得到椭圆的方程；（2）设直线在轴上的截距为?，推出直线方程，然后将直线与椭圆联立，设A（玉,y）,3（七,%），利用韦达定理求 出
22、勺+/2,然后化简求解即可.【详解】（1）由椭圆过点（0,0）,则=又a+b=3叵,所以4=2近，V2 V2故 椭 圆 的 方 程 为 工+匕=1；8 2（2）6+%2=0,证明如下：设直线在 轴上的截距为机，所以直线的方程为：y =g x +/，-1y =x +m2由 1 2 2 得：d+2m x+2m2-4=0，X y 18 2由=4/n2-8/?2+160得-2相2,设 A（x，y）,j2）,则%+=-2，xtx2=2 m2-4,Sep,“_ X T a V 2 T _（X -1）（工2-2）+（%-1）（%-2）所以K+&一 时 十 一 （愕2漱何，1 1又Y=耳%+如%=/+加，所以
23、（K -1）（-2）+（%-1）（5-2）F/+（加一2）（西 +x2）4（m1）2 nr-4+（/n-2）（-2m）-4（/n-l）=0,故占+&=0.【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程的求解，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查了方程的思想，转化与化归的思想,考查了学生的运算求解能力.422.（1）证明见解析；（2）【解析】(1)取AC中点尸，连接F D,F B,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 得 到A C,利用全等三角形证得Ob 由此证得R_L平面A B C,进而证得平面ABC，平面ACO.(2)由(1)知。R_L平面ABC,即DE是四面体ABC。的面ABC上的高，结合锥体体积
24、公式，求得四面体A8Q9的体积.【详解】(1)证明:如图，取AC中点尸，连接FD,FB,由 DA=DC,则_ L AC,v A B 1 B C,则 E4=FB=/C,故 AD F BADF哙 ADFC71故乙D F B =Z D F A =-,2D F A C,D F FB,A C c F B =F，。产，平面ABC.又D E u平面A C D,故平面ABC _L平面AC。(2)由(1)知，平面ABC,即。尸是四面体A8C。的面ABC上的高，且 OF=ADsin300=,AF=ADcos30=石.在 R t A B C 中，A C =2 A F =2 6,A B =2 B C，由勾股定理易知B C=冬 叵,AB=勺 叵5 5故四面体ABC。的体积V =-3 S rAlB CC“J L里 巫id3 2 555【点睛】本小题主要考查面面垂直的证明，考查锥体体积计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.