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1、第四章不定积分一、基本要求1.理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2 .掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3 .了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容I.原函数与不定积分概念1.原函数设在区间I上 歹(乃可导，且 尸(x)=/(x)(或dF(x)=/(x)dx)就称F(x)为/(x)在I的一个原函数。2.不定积分在区间I上函数/(x)的所有原函数的集合，成为/(x)在区间I上的不定积分，记作 j f(x)dx.J f(x)dx=F(x)+C其中尸(x)为/(x)在I上的一个原函数，C为任意常数.I I.不定积分的性质1.dj f(x)dx=f(x)dx(或(J/(尤
2、)公)=/(%)2.jdf(x)-f(x)+C(或(x)=/(x)+C)3.可dx=.f(x)dx其中k为非零常数.4.J (x)+g(x)3 =J/(x)公+g(x)公.m.基本积分公式.k d x=k x +C（&为常数）xu+l+C +13.dx=ln|x|+Cr dx-4.-=arctan x+CJ 1 +x2cf dx5.=arcsinx+CJ6.j cos xdx=sinx+C7.J sin xdx=-cos x+C8.j sec2 xdx=tan x+C9.j esc2 xdx=-cot x+C10.j sec x tan xdx=sec x+C11.j esc xcot xdx
3、=-esc x+C12.J exdx=ex+Cr113.16/A dx=-cix 4-CJ Ina14.slvcdx=clvc+C15.J clvcdx-shx+C16.J tan xdx=-ln|cos +C17.|cot xdx=ln|sin+C18.J sec xdx=ln|sec x+tan+C19.J esc xdx=ln|csc x-cot x|+C20.I-=arctan +Cx-a+Cx +a22.dx/a2-x2-arcsin +C23.-7 公=ln(x+x?+.2)+cJ 4+/24.*.=ln(x +，*2-4 2)+。I V.换元积分法i.第一类换元法.(凑微分法)J
4、 /。(%)”xdx=J f(u)du=F(w)+C =F 0(x)+C (=0(x)(其中。(x)可导，尸()为J/(x)的一个原函数).2.第二类换元法J /(x)1=J /0。力 +C=F(p-(x)+C(X=0)(其中X=单调可导，且。(。0,尸 为/。心 的一个原函数)V.分部积分法J M(x)j v(x)=i/(x)v(x)-J v(x)血(x)(其中(x)v(x)具有连续导数)V I.有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的
5、积分.(1)f-dxJ x-a f-dxJ (x a).r bx+c,.r bx+c,-d x-dxJ x+px+q J(x +px+qS而求这四种枳分也可用凑微分法或第二类换元法.X三角函数有理式的积分，总可用万能代换=tan将原不定积分化为为积分变量的2有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.三、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分四、例题解析I、选择题例1若/(X)的导数是COSX,则/(X)有一个原函数为()(A)1 +co s x (B)1 -co s x (C)1 +si
6、n x(D)1 -sin x解 应选(B).因为(l-co sx)=sin x ,而(sin x)=co sx例 2 设 有原函数x ln x ,则()91 1(A)x(i I n x +C)2 4z.1 1(C)x(-I n x +C)4 291 1(B)x2(-+-ln x+C)4 2)1 1(D)x2(-I n x +C)2 4解 j xf(x)dx=j f(x)d 与 二 与 /(X)(x)dxW/(x)=(x ln x)=ln x +l,/(x)=,故x.2 2 2 2 2j 心=(I n x 4-1)-j J x =(ln x +1)-+C =+I n x+C2 2 2 4,4 2
7、所以应选(B).n、填空题例3设/(x)为 定 义 区 间 上 单 调 连 续 可 微 函 数，/t (x)为 相 应 的 反 函 数，若f(x)dx=F(x)+C,则7T(x)也为解7T x d x=x/-(x)-xdf-(x)=#-1(x)-J/-(x)#-1(x)=V-(x)-F /-|(x)+C|m、讨论题I例4解下列各题，并比较其解法：(1)-dx(2)-X-dx(3)-X-dx(4)A dxJ 2+x2 J 2+x2 J 2+x2 J 2+x2解 =(2+x2)=-ln(2 +x2)+C.J 2+x2 2J 2+x2 22(2)j-dx=fJ 2+/J(2+X2)-22+x22dx
8、=(1-)dxJ 2+x2=x-V 2 arctan-=7+C.V21x22J 2+x2f(l-)dx2=-(x2-21n(2+x2)+CJ 2+x2 2x-4+42+x,2Qx=J(x2-2+2，,jdx-2x+2V2 arctan-+C3 V2比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特息,第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致：第二题中分子与分母同次,需要拆项，使分了次数低于分母,即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分：第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，
9、只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设=F(M)+C)(1)J f(ax+b)dx=J/(ax+b)d(ax+b)=J f(u)du u=ax+b)=-F(u)+Ca=-F(a x+b)+Ca(2)j f(ax+b)xndx=J faxn+b)d(axn+6)=f f(u)dn(u=axn+h)an JF(w)+Can=F(axn+b)-Can如求J J(c o s x4)2解 原式,I 二 rdf=-t a n(x4)+C4J(c o s x4)2 4 j/(Inx)dx=/(Inx)d
10、l n x =j/(u)du=F(w)+C =/(l n x)4-C(M=In x).p.r 2 +l n x姐求 J-dx解 原式=J W 2 +l n (2 +l n x)=3(2 +l n x)3+C(4)j /(s i n x)c o s xdx=J/(s i n x)d s i n x=F(s i n x)+Cj /(c v x v)s i n xdx=J/(c o s x)dCOS X=-F(c o s x)+Cf /(t a n x)-丁 dx=f /(t a n x)d t a n xJ J,=F(t a n x)+C如求r COS%J 3+c o s2 xdx解 原式=f-d
11、 s i n xJ 3+l-s i n2x=f-二 一 t/s i n xJ 4-s i n2x1 1 1 、/=7l(o 一 +o ：)d s i n x4,2 -s i n x 2 +s i n x1,2 +s i n x -In-+C4 2 -s i n x其它一些类型，例如 J.f(a r c t a n x)1 12dx,j/(a r c s i n x)dx,fex)exdx 等,请同学们自己加以总结.V.计算题2i 八4 f x arctaar,例 g 求 J-dx1 +X分 析 此题先把被积函数写成x2 arctanx 1 +x2-1 1-=-arctaar=arctan x
12、-arctan x1 +X-14-X-1+X拆成两项再进行积分较方便.f x2 arctanx.r 1、,解-v-ax=(1-7)arctan xdxJ l+x2 1 +x2r,r arctan x,=arctan xdx-a xJJ l+x2=xarctan x-x-rd x-arctan xd arctan xJ l+x2 J121 2=x arctan x ln(l+x)(arctan x)+C2 2例7求f x,山-J(ex-l)2解 j r dx=(7de=-x d J(er-l)2 J(e-J ex-lx f 1 .x r e _ _ e 7=-F-dx=-b-axex-l -I
13、ex-l J ex-I-1-(1-)dx=-x+Ink-1 1 +Ce-l ex-l e-l 1 1例8 求J J dx解 令 x=sin f,则 公=cos tdtf v 1 X2,f C O S t.C 2 i-dx=cos=cot tdtj/J sin 2 f J=J(esc 21 _ l)dt-cot Z-Z+C=-arcsinx+Cx1例9求J-；/+exdx2解 令 e?=f,即x=21nf,dx=dt1,f 1 2,f 2,dx=-dt=-dtJ r+r2 t 3 r2(l+r)2二2十一)df1 +t=2(-y-ln|?|+ln|l+r|)+CX21n(l+e2)-2 e 2
14、x +C例1 0求Jxarctarir3(l+x2ydx解 令 尤=t a n，dx=sec2 tdtxarctanx,r tan r r 2,-dx=-sec tdt71 J sec r(l+/)2=，sin tdt=_J tdcos t=-|7cos f-Jcos tdtX=sin t 一，cos，+C=/7 1 7 7.arctanx+C例1 1求f(上 二)2公J +x解卜1 +x2)2exdx=1 2x+x,-dx(1+x2)21-x-d x-+x2“：,dx(1+厂)XX -Xf6 e e e=5 dx H dx +CJ 1 +X 1+X J 1 +X 1+x注：最后一步等号成立是
15、因为可设7的一个原函数为尸（九），于是1 +Xe.e-亍d x+-1 +x 1 +厂J 1 +/dx 3+G+j例1 2求1 1 的递推公式J sinw x解 记1相=-7 一孤,则L=ln|cscxco t+C.sm x当机2 2时，Tf dx r 1 1 ,r 1 ,I.=I I z cbc I cl cot xJ sin/n x J s W-x s in r sin xcot x-sin,n-2xcot X-7siniCOS X dxxcosxsinx-)/ffCOS-X.一(加2)JJ sin x=-c-o-s：x(zm -2-)、广-1-s-i-n-2-%d x,sin x sin,
16、w x=-(L 2)j dx+(m-2)j-公sin x J sin x J sin x=COS X(z/-J ,-JM-2)I,+(AH-2)Im_2sin xcosx+机-2(1-m)sinm-1 x m-m2例13求f-上-dxJ X(X-2)2(X2+X+1)解。+J+DA B、B2 CX+D=i-i-x(x-2)2 x-2 x2+x+l去分母后，再比较两边同次幕的系数得4于是1x(x 2)(x+x+1)dx1 T 17 仆(8：+3)14(x-2)2 J 196(x-2)J 49(x2+x+l)dxQ O.力(2x+l)+(3 C)而 -dx=f -j-(J x+x+1 x+x +l
17、dxd(厂+x+1)rx2+X+1 J4d(x+；)1、2 3U+-)+72 4.z 7 、2 2x+l _41n(x+x+l)arctan-=-CV3 V3从 而 -dxJ x(x 2)2(X2+X+1)1.I I 1 1 17.I _i 4 ,2 1、2 2x+l _In x-Inx-2|-ln(x-+x+1)H-尸 arctan F C4 1 1 1 4 x-2 196 1 1 49 4973 V3r，例 14 求 ,、dxJ(l-x2)5分 析 被积函数为有理函数，但若直接将被积函数转化为部分分式，计算较繁，因此可考虑采用较灵活的基本积分方法.此题利用换元法计算较简便.解 令 x=si
18、n，dx-cos tdtr x7.r sin7 t 7 r 7 2,J(1-x2)5 dx=J-c-o-s1-01 costdt=Jtan t sec tdt=J tan7rJ tan/=(tan +C=+C8(1-x2)4例 15 求 fr-1-d xJ sin xcos xx分析对于三角函数有理式的积分，除 了用“万能代换令=tan土”之外，往往可考虑用前面2的基本积分方法.解f-公J sin xcos、x 2 2sin x+cos x,-:-3-dxsin xcos*xI粤。+公J cos x J sin xcos x-d cos x+f-d tan xJ cos x J tan x+l
19、n|tanx|+C.sin x 例16求-dxJ 2-sin 2xsin x.1 r(sin x-cos x)+(sin x+cos x).-dx=-ax2-sin 2x 2 2-sin 2x2-d(sinx+cosx)+,J(sinx-cosx)3-(sinx+coxs)2 l+(sinx-cosx)21 r-t/(sinx+cosx)+/J(sinx-cosx)2(V3+sin%+cosx)(V3-sin x-c o s x)1 +(sin x-cosx)21 1,sinx+cosx-V 3/.、-=In-j=+arctan(sinr-cosx)+C.2243 sinx+cosx+V3例z
20、 17 求q /,j =r-s-i-n-x-；dx,Ir r cos x,2 -：dx.J 2cos x+3sin x J 2cos x+3sin x解 3/j+2I2=J tZx=X+C-r cr r-2 sin x +3cos x.1 -27,+3/2=-；-dx-In 2 cos x+3 sin x+C2J 2 cos x+3 sin x由此得乙=-3x-21n|2cos x+3sinx|+C/2=-2x4-31n|2cos x+3sin x|+C.例1 8求解 令#1+4=t,x=(r3-l)2,则 公=6/(/一1)山.J力=6/(-1)力=-t5-3 t2+C5r 5 2=-(l+
21、Vx)3-3(1+Vx)3+C.例19计算下列各题尸(无)(x)F J设 ff(cosx+2)=s i n2+t a n2 x，求/(x).设/(l n x)=0 3,求7(x)公.(4)已 知/(s i n x)=c o s2 x-1 且，(0)=0,求 J c o s (s i n x 世.解 原 式 二J/(x)(x)2 /2(x)/(x)d x (X)F,f f(x)J 尸(x)-f W(X)(切 2dxJ f M ff(x)2 /(x)+C.(2)设 c o s x +2 =r,则 s i n2 x +t a n2 x=11 -c o s 2x +1-c o s2 Xc o s2 x
22、1 o 1,_.7-c o s x=-(r-2)c o s (x)2 即 3 =二一。一2）2.（2）2/(x)=J/,(x)d x =J(x,f 一(%-2)2 心，即+c,、，八n x)、=l nF(l +el n A,)即加上有 小人、)l n=(l +:e.v)J/(x)d x =jlnQ：e dx=-Jl n(l +ex)de=1111(1+/)+r dxJ 1 +e”=x-(l +e-A)l n(l +ev)+C.(4)ff(sinx)=c o s2 x-1=-s i n2 x,即 f(u)=一 1 ,+c1 .由 /(0)=0=C =0,f(u)=-u j c o s (s i
23、n x)dx=J/(s i n x)d s i n x=j s i n3 AZ/s i n x =-s i n4 x+C.例 2 0 设/(x)=x x 0 J解 由 于l i m/(x)=/(0)=0,可知 x)在(一8,w)上连续.x-0因此fQc)的原函数一定存在，设F(x)为/(x)的一个原函数.因为尸(x)可导，则F(x)必连续.F(x)=.2-co sx+ax 0l i m F(x)=0 ,l i m F(尤)=-+a.so-z(rZ7。)在 =0处连续，即有 0 =-l +a=a =l.1 2 n则/(x)的一个原函数为F(x)=01 2故 J /(x)d x=.)+C =2*+
24、C*0注：求连续分段函数/(x)的原函数尸(尢)时，一定要保证厂(阳的连续性，而这时尸(X)的可导性就可以得到满足.e2x y例2 1设y=/(x)在V x w O处满足A y=-A r+o(A r),求满足条件J(l)=0的/(%).x2x解 由微分定义可得y =y,X即 孙+y=e2 x,(孙)=e2 x,x y=e2 x+C,y(k+C).2x 21 ,由条件/(l)=0=C=-e2则 f(x)=(-e2 x-e2).x 2 2例22设/(无)为/(无)的原函数，且当X 20时，/(X)F(X)=COS2(2X).已 知/(0)=1,F(x)0.试求/(无).解 由 尸(x)=/(x)得 2F(x)F(x)=2COS2(2X),即 2(%)丫 =2 cos2(2X).F2(x)=J 2 cos2(2x)dx=j(1+cos 4x/=x+sin4x+C.由)=1 n C =l,1于是 F2(x)=x+-sin4x+l.4又 F(x)0,从而/(%)=Jx+；sin4x+l,所 以/(x)COS2(2X)COS2(2X)F(x)x+sinx+14