《2022年高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学定积分重点难点复习大纲例题讲解.docx（44页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第五章 定积分一、基本要求：1. 懂得定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质 . 2. 懂得积分上限的函数,并把握其求导法就 . 3. 把握牛顿莱布尼兹公式 . 4. 把握定积分的换元法和分布积分法 . 5. 懂得反常积分 广义积分 的概念,会运算反常积分,明白反常积分的审敛法 . 6. 明白定积分的近似运算方法. 定积分的几何二、主要内容定积分概念定积分的性质 意义物理意义 定积分的近似运算方法反常积分 广义积分 积分上限的函牛顿莱无穷限的反无界函数的数及其导数布尼兹公式定积分的换元法常积分运算反常积分计定积分的分部
2、积分法名师归纳总结 利用对称区间的积利用周期性反常积分的审敛性第 1 页,共 23 页分性质运算定积分运算定积分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载.定积分概念：1. 定积分定义：设f x 在区间 , a b 上有界,在 , a b 中任意插入如干个分点 a x 0 x 1 x 2 L x n 1 x n b .把 , a b 分成 n 个小区间 x i 1 , x i , i 1,2, L , ,小区间的长度记为 x i x i x i 1, i 1,2, L , ,n在 x i 1 , x i 上 任 意 取 一 点 i, 作 f
3、i x i, 如i 1nlim0 i 1 f i x i max1 i n x i 存在. 就称该极限为 f x 在 , a b 上的b n定积分 .记为 a f x dx lim0 i 1 f i x i当上述极限存在时,称f x 在 , a b 上可积 . 2. 如f x 在 , a b 上连续,就f x 在 , a b 上可积；f x 在 , a b 上f x 在 , a b 上有界,且只有有限个间断点,就3. 如可积. .定积分的几何意义定积分b af x dx 在几何上表示：由曲线yf x ,直线 xa 和 xb 以及 x 轴所围图形面积的代数和 取负 x 轴上方的面积取正, x轴下
4、方的面积名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载.定积分的性质1. 补充规定： 1当 ab时,b af x dxa0 x dx2当 ab时,bf x dxfab2. 性质：1bf g x dxbf x dxbg x dxabb . abaaa2bkf x dxkbf x dx,k为常数aa3bf x dxcf x dxbf x dxaac4b adxba5 如在 , a b 上,f x 0,就b af x dx0,bg x dx ,a推论 1：如在 , a b 上,f x g x ,就bf x dxaa
5、推论 2：bf x dxbf x dx ab . aabf x dxM ba,6 如在 , a b 上,mf x M ,就m baa7 定积分中值定理 ：如f x 在 , a b 上连续,就在 , a b 上至少存在,使b af x dxf ba,ab . b1abf x dx3. 连续函数f x 在 , a b 上的平均值,ya. 积分上限函数及其导数1. 如对任意x , a b ,x af t dt 存在,就称 xf t dt 为积分上限a的函数 . 名师归纳总结 2. 如f x 在 , a b 上可积,就f x 在 , a b 上有界 . 且积分上限函数第 3 页,共 23 页 xf t
6、 dt 在 , a b 上连续 . a3. 设f x 在 , a b 上 连 续 , 就 xf t dt 在 , a b 上 可 导 , 且a dxf t dtf x ,axb . dxa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 设f x 连续,学习必备欢迎下载a f t dtf . x 可导,就 d dx5. 设f x 连续, x , x 可导,就 . d f t dtf f dx . 牛顿莱布尼兹公式 .微积分基本定理 设f x 在 , a b 上连续,F x 为f x 在 , a b 上的一个原函数,就b af x dxF b F a . . 定积
7、分的换元法设 f x 在 , a b 上连续,x t 满意：1 a , b . 2 t 在 , 或 , 上具有连续导数,且 x t 的值域不越出 , a b 的范畴,就有 af x dx bf t dt . 注：当 t 的值域 R A B 越出 , a b 的范畴,但满意其余条件时,只要 f x 在 A B 上连续,就换元法的结论仍旧成立 . . 定积分的分部积分法b a设u x 与 v x 在 , a b 上具有连续导数,就有u x dv x u x v x bbv x du x aa. 几类特别的积分公式名师归纳总结 1. 设f x 在 a a 上连续,就有a af x dxaf x fx
8、 dx . 第 4 页,共 23 页0af x dx2af x dx当f x 为 a a , 上连续的偶函数时0a0当f x 为 a a , 上连续的奇函数时2. 设f x 是以 l 为周期的连续函数,就对任意实数a ,有a lf x dxlf x dx . a03. 设f x 在 0,1 上连续,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2fsin x dx2fcos x dx学习必备欢迎下载000xfsin x dx20fsin x dx1n2L3 1n 为正偶数0fsin x dx22fsin x dx0nnn34 2 24.2n sinxdx2n c
9、osxdxnn1n2L4 2 5 3g 1n 为大于 1的正奇整数00n3n11. 反常积分 广义积分 1. 无穷限的反常积分1 设f x 在 ,上连续 ,af x dxb limb af x dxbf x dx2 设f x 在 , b 上连续 ,bf x dxa limb af x dx3 设f x 在 , 上连续 , f x dxlim b0f x dx0f x dxlim a0f x dxa0如上述各式右端的极限存在, 就对应的反常积分收敛, 否就称该 反常积分发散 . 注： 3的右端是两个独立的极限,只有当两个极限都存在使,才有f x dx 收敛. 只要有一个极限不存在,f x dx
10、就发散 . 2. 无界函数的反常积分名师归纳总结 1 设f x 在 , 上 连 续 , 点a 为f x 的 瑕 点 ,第 5 页,共 23 页f x dxlim t atbf x dx的 瑕 点 ,ba2 设f x 在 , 上 连 续 , 点b 为f x f x dxlim t btf x dxf x 的瑕点,baa3 设f x 在 , a b 上除点 c acb 外连续,点 c 为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bf x dxcf x dxb学习必备欢迎下载f x dxlim t cbf x dxf x dxlim t ct aaact如上述各式右
11、端的极限存在, 就对应的反常积分收敛, 否就称该反常积分发散 . 注： 3的右端是两个独立的极限,只有当两个极限都存在使,才有b af x dx收敛. 只要有一个极限不存在,b af x dx就发散 . 3. 反常积分的审敛法名师归纳总结 1比较审敛法 1设f x 在 ,a0上连续,且f x 0. 如存第 6 页,共 23 页在常数M0及p1,使得f x Max,就反常积分xpaf x dx 收敛；如存在常数N0,使得f x Nax,x就反常积分af x dx 发散. 2极限审敛法 1 设f x 在 ,上连续,且f x 0. 如存在常数p1,使得 lim xx f x 存在,就反常积分af x
12、 dx 收敛；如lim xxf x d0,或 lim xxf x 就反常积分af x dx 发散. 3 比较审敛法 2设f x 在 , a b 上连续,且f x 0. xa 为f x 的瑕点 .如存在常数M0及q1,使得f x xMqaxb,a 就 反 常 积 分b af x dx 收 敛 ； 如 存 在 常 数N0, 使 得f x xNaaxb ,就反常积分b af x dx发散. 4极限审敛法 2 设f x 在 , a b 上连续,且f x 0. xa 为f x 的瑕点 . 如存在常数 0q1,使得 lim x axa qf x 存在,就反常积分b af x dx收敛；如 lim x ax
13、a f x d0,或 lim x axa f x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就反常积分学习必备欢迎下载b af x dx 发散. 三、重点与难点1. 积分上限的函数及其导数 . 2. 牛顿莱布尼兹公式 . 3. 定积分的换元法和分部积分法. lim 0ninf ix ,可见求右端 i四、例题1. 求lim n2 n11n222 2L2 nn2 n分析：由定积分定义知bf x dxa1的极限也可通过求左端的定积分值而得到. 解决此类问题的关键是把和式归结为某个函数在某区间上的积分和式i2. 解：原式lim nin12 nii2lim nin1i2
14、1lim nin1in i n11x in11xdx11112d1x21ln1x211ln 202 x20x2022. 以下解法是否正确1. 022 secxxdx1arctantanx00211dx21112dx0tan2222.11dx2令x11t211dt1112dx,即t1x11x1x1x解：这两题的解法都不正确. 名师归纳总结 1 被积函数f x 022 secxxdx在积分区间0, 内x2处不满第 7 页,共 23 页tan2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载足“ 牛顿莱布尼兹” 公式的条件,故不能直接应用公式 . 2 代
15、换x1 t在 1,1上不连续, 故在 1,1上不行导, 不符合换元法的条件 . 3. 求以下定积分10sinxsin3xdx0xsinxcos2xdx22 1minx,x2dx322xdx1dx42x2x2 x dxx21解：0sinxsin3xdx0sinxcosx dx2sinxcosxdx2sincosxdx022sin3x22sin3x220233224333注：带肯定值符号的函数的积分,需先脱掉肯定值符号, 如在积名师归纳总结 分区间上脱掉肯定值符号后为分段函数,就转化为分段函数的积分. 第 8 页,共 23 页2minx x22 x11x1xx22min2 x xdx12 x dx
16、2xdx131116322xdx1dx22x2dx122d112xx211x2xarcsin1224612x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 42x2x2 x dx2x1学习必备欢迎下载x2 1dx11令 x 1 sin , t 就 dx cos tdt原式 2 sin t 1cos 2 tdt 2 cos 2 td cos t 2 cos 2 tdt0 0 01 32 1 1cos t3 0 2 2 3 44. 设 f x 连续,g x x 0 f t dt ,求 g 0 x解：g x xf 0 xf t dt 1 g 0 0xg 0 lim x 0
17、 g x x g 0lim x 0 xf x x 0 f t dtxlim f x 0 f t dtf 0 lim f x 2 0x 0 x x 0 1注：此题没有 f x 可导的条件,故“ 对 1式两边在对 x 求导. 得g f x xf f x 2 f x xf g 0 2 0“ 这种解法是错误的 . 5. 运算以下极限名师归纳总结 1lim x 02xln1t dt2lim x 0xtett0 2f u du dt第 9 页,共 23 页00sinxsin 2 tdt3 xx e0解：1lim x 02xln1t dtlim x 0ln12 2xlim x 04xx0sinxsin 2
18、tdtsin2sinxcossin 202lim x 0xt tet0 2f u du dtlim x 0x xe0f u dulim x 0x2f u du0x 203 xx e3x23 xx e2 3 x3 xlim x 0f2 x 2xf0 0032x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6.设f x 为连续函数,且学习必备2x欢迎下载1arctanx ,f11,求2xt f t dtx22 1f x dx . xf t dt2xtf t dt1arctanx 2解：2x2xx2两边对 x 求导,得名师归纳总结 22xf t dt2 2f2 f x
19、 4xf2 xf x x1 xx4 xf x x4第 10 页,共 23 页x整理后,有2xf t dt1 2 1x7.设令x1,即得2f x dx1 1 2 2f3 1 40 x x 2t f t dt1f x 在 , 内连续,且F x 证明： 1如f x 为偶函数,就F x 也是偶函数 . 2 如f x 为 单 减 函 数 , 就F x 也 是 单 增 函数. x x 0 2证明：1Fx 0xxt f t dtxxu f u dutu202u f u duF x 即F x 为偶函数2F x xxf t dtxtf t dt200 F x 1xf t dtxf x xf x 1xf t dt
20、xf x 202201xf t dtxf x dt1xf t f x dt20020由f x 单减,当 0tx时,f t f x 0F 1xf t f x dt0x0 时20当xt0时,f t f x 0. F 1xf t f x dt010f t f x dt202xx0 时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即在 ,学习必备欢迎下载 上,F x 为单增函数 . 8.运算以下各题：12x 5sin2x cos2xdx2a axln1x e2dxa02xdx1 解：x52 cosx 为奇函数,sin2xcos2x 为偶函数 . 原式2x 5cos 2xd
21、x2sin2xcos 2xdx2sin2xcos 222222sin2x 1 sin 2x dx22sin 2xdx2sin4xdx000=2123 12824 22分析：此题的积分区间是对称区间,而对称区间上的定积分有公式afxdxafxfxdx,如fxfx在0,a 上简单积分, 该a0公式就可利用了 . 名师归纳总结 解：axln1ex2dxaxln1ex2xln1ex2dx第 11 页,共 23 页a0a2xln1exdxa2xlnex 1exdx01ex0ex1cosxdxa22 xdx23 xa2a300339.运算k1sin2xdx k 为正整数 0解：原式ksinxcosx2dx
22、ksinx000sinxcosxdx2sinxcosxdxk1 sinxcosxdxkk0sinxcosxdxk 04cosxsinx dx4sinxcosx dxk sinxcosx4 0cosxsinx4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22k学习必备欢迎下载名师归纳总结 注：sinxcosx是周期为的周期函数 . tant dtx4t第 12 页,共 23 页10.求1ln 1xx dx012解：令xtan ,原式4ln1tant2 sectdt4ln102 sect0设4ln 1tant dt04ln1sint dt4lncostsintdt0
23、4lncostdt0cost02cos u duu04ln2cos4tdt4lncostdt1 0而4ln2cos4t dt0ln2cos u du4ln040cos t dt04ln2 du4lncos u du代入 1式0得4ln2du4lncos u du4ln000dx4ln2du8ln20所以1ln 1xx 2dx8ln202cos ecos ex111.求2esinesinxcosxdxex0解：02sin esin exxdx0cos ettdxxcos e2cos etsin e0xsin e于是22sin execosxdx2dx20cos exesinx02sin esin
24、 excosxdx40xe- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12.求1x x2et2dtdx. 学习必备欢迎下载01名师归纳总结 解：x2et dt为 x 的函数,令fxx2et dt1x2fx dx第 13 页,共 23 页11原式1xfx dx1fxdx2x2fx10022002x2x2et2dt11x2ex42xdx21002x2n1 1x3ex4dx11ex 4d4 x0401 e11 413. 设函数xx 0sintdt1 当 n 为正整数,且nxn1 时,证明2n2 求x limx x解：1由sin t0,且nxn1 nsintdtxn1
25、sintdt00x 2n1 有由sin 是周期为的周期函数 . nsintdtn0sintdtn0sintdt2n0同理n1 sintdt2n1 0因此,当nxn1时,有2n2由1知当nxn1即n1111 xn01, ,有有n2nx 2n1 ,令 x,有 n. 1 xn而lim nn2n2,lim n2n1 21 nx limx 2x14.设fx 在0 1,上 连 续 , 且 单 调 递 减 , 证 明 对- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0fxdx1fx dx学习必备欢迎下载0名师归纳总结 证法一：1fxdx0fx dx1fx dx2f21 第 14
26、 页,共 23 页0于是0fxdx1fxdx=0fx dx0fxdx1fxdx0 =10fxdx1fx dx由积分中值定理0fx dxf1011fxdx1f221因此0fxdx1fxdx=1f1 1f20=1f1f2 01因fx单减,就有f1f2,即0fxdx1fxdx. x dx. 0证法二：设F10fx dx1fx dx 01 0F1f0fxdxf2f02ff0即F在0 1, 上单调不增,即FF 1 0,即有0fxdx1fxdx. 0注：此题仍可以用积分换元法加以证明. 15. 设f x 在01,上连续,1,0 内可导,且满意f 121x20证明在1,0 内至少有一点使f2f. 证：设Fxx2fx ,由积分中值定理,1x2fxdx1FxdxF11 011 2200220即F121 2 0x2fx dx,而F1 2 1f121x2fx dx20即F1F 1 ,由罗尔定理,存在11,0 1, ,使F- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 而Fx2xfxx2fx学习必备欢迎下载2f0,即有F2f也即2f