《2022年高等数学不定积分重点难点复习大纲例题讲解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高等数学不定积分重点难点复习大纲例题讲解.docx（26页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第四章 不定积分一、基本要求1. 懂得原函数概念,懂得不定积分的概念及性质；2. 把握不定积分的基本公式、换元法、分部积分；3. 明白有理函数及可化为有理函数的积分方法；二、主要内容原函数概念不定积分概念不定积分性质基本积分公式基本积分法无理函数的积分可化为有理函数的积分第一类换元法其次类换元法分部积分法. 原函数与不定积分概念1. 原函数设在区间上Fx可导,且Fxfx（或dFxfx dx）就称Fx为fx在的一个原函数； 2.不定积分x的全部原函数的集合,成为fx在区间上的不定积分,在区间上函数ff记作fx dx. 在上的一个
2、原函数,C 为任意常数 . x dxFx C其中Fx 为fx . 不定积分的性质名师归纳总结 1.dfx dxfxdxf 或fxdx ffx 第 1 页,共 14 页 2.dfx fx CC 或fx dxx 3.x dxkfx dxkf其中 k 为非零常数 . 4.fx gx dxx dxgx dx. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载. 基本积分公式名师归纳总结 1.kdxkxC k为常数 C第 2 页,共 14 页 2.xudxu11xu1C 3.1dxlnxCx 4.1dx2arctanxCx 5.dxx2arcsinxC1 6
3、.cosx dxsinxC 7.sinxdxcosxC 8.2 secxdxtanxC 9.2 cscxdxcotxC 10.sec xtanxdxsec xC 11.csc xcotxdxcscxC 12.x edxexC 13.axdx1aaxCln 14.shxdxchxC 15.chxdxshxC 16.tanxdxlncosxC 17.cotxdxlnsinxC 18.sec xdxlnsec xtanx 19.Ccsc xdxlncscxcotx 20.a2dxx21arctanxCaa 21.x2dx21lnxaCa2axa- - - - - - -精选学习资料 - - - -
4、- - - - - 22.adxx2arcsinxC学习必备欢迎下载2a 23.xdxa2lnxx2a2C2 24.xdxa2lnxx2a2C2. 换元积分法1. 第一类换元法 . 凑微分法 f x x dx f u du F u C F C u x 其中 x 可导,F u 为 f x 的一个原函数 . 2. 其次类换元法f x dx f t dt F t C F 1 C x t 其中 x t 单调可导,且 t 0,F t 为 f t t 的一个原函数 . 分部积分法ux dv xu x vx v x dux 其中uxv x具有连续导数 . 有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的
5、函数称为有理函数,有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和,而真分式总可以分解为部分分式的代数和,所以有理函数的积分可化为整式和以下四种部分分式的积分. x1andxqndx1 x1adx 2 3 x2bxcqdx 4 x2bxcpxpx而求这四种积分也可用凑微分法或其次类换元法. 三角函数有理式的积分,总可用万能代换有理函数的积分,但对有些三角有理式的积分,式或积分方法求解,可能更简便些 . 三、重点与难点 原函数与基本积分公式 换元法、分部积分法等基本积分方法 抽象函数的积分u tan x 将原不定积分化为 u 为积分变量的2有时用三角公式转化,再用前所述的基本公名师归纳总结 - - -
6、- - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载四、例题解析 、挑选题例 1 如fx 的导数是cosx,就fx有一个原函数为 1sinxx2lnxCA1cosx B1cosx C1sinx D解应选 B. 由于1cosx sinx,而sinx cosx例 2 设fx 有原函数xlnx,就xlnxdx（ ）CAx211lnxC B x211lnx2442x2Cx211lnxC Dx211lnxC4224解xfxdxfx dx2x2fxx2fxdx222而fx xlnx lnx1,fx1,故xxfx dxx2lnx1 xdxx2lnx1x2
7、C222442所以应选 B. 、填空题例3设fx 为 定 义 区 间 上 单 调 连 续 可 微 函 数 ,f1 x为 相 应 的 反 函 数 , 如解ffFxC,就f1x dx为x dx1x dxxf1x xdf1xxf1xff1x df1xxf1xFf1xC、争论题例 4 解以下各题,并比较其解法：名师归纳总结 12x2dx2 1x2dx 3x22x32dx 4x42dx第 4 页,共 14 页x2x2x2x解 12xdx212d 21ln2x2C. x22x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 22x2x2dx22x222学习必备1欢迎下载2dxd
8、x2x2xx2arctanxC. 2dx2留意观看被积函数的特232x32dx12x22dx2122x22x2x2x122x2dx21x22ln2x2C242x42dxx4424dxx2224x2dxx2xx32x22arctanxC32但解法却不尽相同；比较上述四题, 发觉各小题的被积函数很相像,点,第一题中分子的次数比分母低一次,正好可凑微分使变量一样；其次题中分子与分母同次,需要拆项, 使分子次数低于分母,即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次,凑微分后分子分母同次,再仿其次题求解；第四题中分子次数高于分母二次, 凑微分就无效, 只能依据分母情形拆项仿
9、其次题的方法求解；过程中需针对详细情形挑选适当方法求解；由此可见在不定积分的运算名师归纳总结 例 5 争论利用第一类换元法求积的几种类型 设f u duFuC 第 5 页,共 14 页1faxbdx1faxbdaxb ba1fudu uaxb a1Fu Caxnbdaxna1FaxbCa 2faxnbxn1dx1fan1fudu uaxnb an1FuCan1FaxnbCan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 如求x32dx学习必备欢迎下载cos4 x名师归纳总结 解 原式1142dx41tan4 x Cu1Cx2flnxfCx exdx等,第 6 页,
10、共 14 页4cosx4 3flnx 1 dxxx flnxdlnxfu duF uln如求32xlnxdx解 原式32lnxd2lnx 32lnx4C34 4fsinxcosxdxfsinx dsinxFsinxCf coxx sinxdxfcosx dcosxFcosxCftanx12xdxftanxdtanxcoxFtanxC如求3cosxxdxcos2解 原式3112xdsinxsin412xdsinxsin121x21xdsinx4sinsin1ln2sinxC42sinxx1dx, e其它一些类型, 例如farctanx 112dx,farcsinx请同学们自己加以总结. - -
11、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载V. 运算题例 6 求x2arctanxdx1x2分析 此题先把被积函数写成名师归纳总结 x2arctanx11x221arctanxarctanx112arctanxx1C第 7 页,共 14 页1x2xx拆成两项再进行积分较便利. 解x2arctanxdx1112arctanxdx1x2x e1exarctanxdxarctanxdx1x2xarctanxx112dxarctanxdarctanxxxarctanx1ln1x21arctanx 2C22例 7 求 ex xedxx1 2解ex xedxex
12、x1 2dexxdex11x21exx1ex1dx 1exx1dxex1exx1 1eex1 dxexx1xlnx ex例 8求1x2x2dx解令xsint,就dxcos tdt12x2dxcostcostdtcot2tdtxsin2t2 csct1 dtcotttC1xx2arcsinxC- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9 求ex1exdx学习必备欢迎下载2名师归纳总结 解令ext,即x2lnt,dx2dtdtxC第 8 页,共 14 页2tex1exdxt122dtt22tdttt 12212t2tt2dt212t11tt 1t21lntln
13、1tCtxx2ln1e22e2xC例 10 求xarctanxdx31x22解令xtan ,dx2 sectdtxarctanxdxtantt2 sect dt 1x233 sectcos tdt2t sintdttd cos ttcos tsinttcos tC1xx211x2arctan例 11 求1x 2 x2exdx1解1x 2x2exdx12x2x2x edx1 1x2ex2C1x e2dx12x xe2dxxx21ex2dxexd112xx1ex2dx1ex21ex2dx1xxxx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 注：最终一步等号成立是由于
14、可设1ex学习必备欢迎下载Fx ,于是x2的一个原函数为1ex2dx1ex21ex2dxsin12xdxxxxFxC 11ex2FxC21ex2Cxx例 12 求1xdx的递推公式sinm解记m当1x 2dx,就1lncscxcotxC. sin mm时,mdxxsin12x1xdxsin12xdcotxsinmmsin2mcotxxm2cotxcosxxdxsinm2sinm1cosxxm2 cos2xdxsinm1sinmxcosxxm21sin2xdxsinm1sinmxcosxm21xdxm2sinm1xsinmmcosxxm2 mm2m2sinm1即m1cosxm1xm2m2m si
15、nm1例 13 求x x2 212x1 dxx解x x2 212x1 AxB 12B22CxxD1xx2 xx2去分母后,再比较两边同次幂的系数得名师归纳总结 A1,B 121 14,B217,C8,D3第 9 页,共 14 页41964949于是xx1x1 dx2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - =1dx14x1学习必备欢迎下载2dx8x31 dx2 2dx174x196x49 x2x例 14 求而x8xx31dx82 x21 x38dx213C3arctan2x31C222x14dx2x1 dx2x2x1x14lnx2x1242 3arctan
16、2x13从而xx2212x1dx4lnx2x1 2x1lnx1x1217lnx241419649491x725dxx分析 被积函数为有理函数,但如直接将被积函数转化为部分分式,运算较繁,因此可考虑采纳名师归纳总结 较敏捷的基本积分方法. 此题利用换元法运算较简便. ” 之外,往往可考虑用前面第 10 页,共 14 页解令xsint,dxcos tdtt2 sectdt 1x725dxsin7t cos ttdt7 tanx10 costan7td tant1tan8tCutan x 288 1x824C. x例 15 求sinx13xdxcos分析对于三角函数有理式的积分,除了用“ 万能代换令
17、的基本积分方法. 解sinx13xdx = sin2xcos2xdxsinxcos3xcos = sinxdx + sin1xdxcos3xxcos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - = -sinxx学习必备欢迎下载x1xdcosx + 1xdtancos3tan = 212x + lntanx + C . cos例 16 求2dxsin2解2sinx2xdx=1sinxcosxsinxcosxdxsin22sin2x=1 2dsinxcosxdsinxcosxx= 3sinxcoxs 21sinxcosx 2=1 2dsinxcosxdsinxcos3
18、sinxcosx3sinxcosx1sinxcosx2=1213lnsinxcosx3arctansinxcosx + C . 2sinxcosx3例 17 求I1sinxsinxdx , I22coscosxsinxdx . 2cosx3x3解3 I12I2dxx+C12I13I22sinx3cosxdxln2cosx3sinxC 22cosx3sinx由此得I113x2ln2cosx3sinxC . 2t31 dt. 13I212x3ln2cosx3sinxC13例 18 求311xdx1 2,就dx6 t解令3 1xt,xt3311xdx16 t2t31 dt6 t t31 dtt6t5
19、3 t2Cx2C . 556 1x33135例 19 运算以下各题名师归纳总结 1 fxf2xfxdx. 第 11 页,共 14 页fxfx3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2 设fcosx2 sin2tan2x学习必备x欢迎下载,求f. 名师归纳总结 3 设flnxln1x,求fx dx. 第 12 页,共 14 页x4 已知fsinxcos2 x1且f0 0,求cosxfsinx dx. 解 1 原式 =fx fx 2f2xfxdxfx 3=fxfx 2ffx fx dxfxx2=fxdfx =1fx2C. 2 fxfx2fx设cosx2t,就s
20、in2xtan2x12 cosx1cos2xcos2x=1x cos2x=t12t2 2fxcos22即ftt122t2 2. fx dxx12x2 2dx,23 即fxx121x23C. 3flnxln1lne ln , 即有fxln1xex. exefxdxln1xexdxln1exdexexexln1ex1dxxe 1exln1exC. 4 fsinx 2 cosx1sin2x,即fuu2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fu1u3C. 学习必备欢迎下载3名师归纳总结 由f00C0,fu1u3. . Fx的可导第 13 页,共 14 页3cos
21、xfsinx dxfsinx dsinx1sin3xd sinx1sin4xC312例 20 设fx xxx0,求fx dx. sinx0解由于lim x 0fx f0 0,可知fx在, 上连续 . 因此f x 的原函数肯定存在,设Fx为f x 的一个原函数 . 由于Fx可导,就Fx必连续 . Fx1x2x02cosxx0lim x 0Fx 0,lim x 0Fx 1. Fx在x0处连续,即有011. 就fx 的一个原函数为Fx 1x2x0. 2cosx1x0故fx dxFx C1x2Cx0. 2cosx1Cx0注：求连续分段函数fx的原函数Fx 时,肯定要保证Fx 的连续性,而这时性就可以得
22、到满意. 0的fx. 例 21 设yfx在x0处满意ye2xxyxx ,求满意条件f1 解由微分定义可得ye2xxy,即xyye2x,xye2x,xy1e2xC,y11e2xC. 2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由条件f1 0C12 e,学习必备欢迎下载2名师归纳总结 就fx 11e2x12 e. cos 22x. 第 14 页,共 14 页x22例 22 设Fx为fx的原函数,且当x0时,fxFxC. 已知F01,Fx0. 试求fx. 解由Fxfx得2FxFx2cos22x,即F2x2cos22x. F2x 2cos22xdx1cos4xdxx1sin4x4由F01C1,于是F2xx1sin4x1 . 4又Fx0,从而Fxx1sin4x1,4所以fx 2 cos2x x2 cos2 x 1. Fx1sinx4- - - - - - -