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1、第五章定积分一、基本要求：1.理解定积分的概念、几何意义、物理意义及定积分的性质.2.理解积分上限的函数，并掌握其求导法则.3.掌握牛顿一一莱布尼兹公式.4.掌握定积分的换元法和分布积分法.5.理解反常积分（广义积分）的概念，会计算反常积分，了解反常积分的审敛法.6.了解定积分的近似计算方法.二、主要内容I .定积分概念：1.定积分定义：设/(X)在区间口,切上有界，在值句中任意插入若干个分点a xuxix2 xn_ ,0 T T 1/。时,J /(%)公=fxdx2.性质：(1)1 (X)+g(x)a=/(x)公+，g(x)dxJ a -J a -J a(2)f kf(x)dx=k/(x)办
2、,(左 为 常 数)J a J a(3)f(x)dx+C f(x)dx(4)J dx=h-a(5)若在 a刈上，f(x)0,贝l j J：/(x心2 0,(加推论 1:若在。向上，/(x)W g(x),则/J a f(x)dxJ a gx dx.(ab).推论2：/(x心卜/.(6 )若在 a,切上，m f(x)M ,P l!j m(h-a)J a f(x)dxM(h-a)X b)(7)(定积分中值定理)：若/(x)在 a向上连续，则在 a,句上至少存在 小 使 J：心=f0(b-a),(a b).3 .连续函数/(x)在 a,句上的平均值，y=-hf(xylxb-aJaI V.积分上限函数及
3、其导数1 .若对任意j y(/功存在，则称(x)=J：/(r汕为积分上限的函数.2 .若/(尤)在出,句上可积，则/(x)在 a,切上有界.且积分上限函数(X)=/W在 a,b上连续.3 .设/(%)在 a向 上 连 续，则(x)=J a f Wt在出刈上可 导，且(x)=fW t=f(x),(axb).cbcJa4.设f(x)连续，0(x)可导，则(尤)=&,.=0(尤)”(幻.dxJa5 .设/(x)连续，0 ，e(x)可导，则力=/S(x)”(x)/。(*)夕(x).ax J)V.牛顿一一莱布尼兹公式.(微积分基本定理)设/(x)在 a,句上连续，F(x)为/(x)在 a,句上的一个原函
4、数，则JJ a f(x)dx=F(h)-F(a).V I .定积分的换元法设/(x)在 a 上连续，x =0 满足：。(a)=a,0(0 =。.(2)0在 a,0(或*a )上具有连续导数，且尤=西)的值域不越出 a向的范围，则有 h fx)dx=1./IOQ)。(t)d t.J a Ja注：当。的值域4=AB 越出 a,b 的范围，但满足其余条件时，只要/(x)在 A切上连续，则换元法的结论仍然成立.v n.定积分的分部积分法设“(X)与u(x)在 a向上具有连续导数，则有J u(x)dv(x)=H(X)V(%)|*-J v(x)du(x)v m.几类特殊的积分公式1.设/V)在 Hz,a
5、上连续，则有 J j(x H=J：(x)+/(-x).V4 2 f(x)dx 当/(x)为-4,0上连续的偶函数时fx)ax=Jo一 0 当/X x)为-a,a 上连续的奇函数时2 .设/(x)是以/为周期的连续函数，则对任意实数”，有+，/(X a=J；/(%心3.设/(X)在 0,1上连续，则n n/(s i n x)dx=j j/(c o s x)dxJ；叭s i n xybc=/(s i n x dxn /(s i n x)dx=2/(s i n x)dxn-n-2 3 1 7Cn n-3 4 2 24.f2s i nHAz Zr f二2 c o sZTx t r 一1 一2 4-2-
6、1J o J。n n-3 5 31为正偶数为大于1的正奇整数 =1I X.反常积分(广义积分)1.无穷限的反常积分(1)设/(X)在出,+8)上连续,/(幻心=l i m/(X心(2)设/(x)在(-00,封上连续,，f(x)dx=l i m b f(x)dxJ -o o J a(3)设/(X)在(-o o,+c o)上连续，广 8 fO 8 0 pbf f(x)dx=/(尤 世 +f(x)dx=l i m|f(x)dx+l i m|f(x)dxJ e J J y J /J o )+o o J o ,若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独
7、立的极限，只有当两个极限都存在使，才有 八幻办收敛.只要有一个极限不存在，心就发散.J-OOJ-0 02.无界函数的反常积分 设/(%)在(a向 上 连 续，点、a为/(%)的 瑕 点，(*b(*bJ f(x)dx=l i m j f(x)dx(2)设/(x)在a,h)上 连 续，点、b为f(x)的 瑕 点，f(x)dx=l i mf(x)dxJ iTtr J a(3)设/(x)在a向上除点c (a c c J a 1 c J，若上述各式右端的极限存在，则对应的反常积分收敛，否则称该反常积分发散.注：(3)的右端是两个独立的极限，只有当两个极限都存在使，才有 小心收敛.只要有一个极限不存在，/
8、(x心就发散.JaJ a3.反常积分的审敛法(1)(比较审敛法1)设/(X)在a,+o o)(a 0)上连续，且F(x)20.若存在常数M ()及”1,使得/(x)4号(a x+o o),则反常积分X1 (x心收敛；若存在常数N()，使得(aWx 1，使得l i m x (x)存在，则反常积分 心收敛；若XTO OJahxnxf(x)=d 0 9XTOO(或l i m V(x)=+8)则反常积分(x)公发散.X T 8Ja(3)(比较审敛法2)设f(x)在(a上连续,且x)N O.x =a为了的瑕点.若存在常数M0及q l ,使得/(x)V 竺7(a0,使得f(x)(axb),则 反 常 积
9、分 右 发 散.X-a Ja(4)(极限审敛法2)设/(九)在(a向上连续，且/(X)2 0.x =a为/(x)的瑕点.若存在常数0 a+积分厂/(X)心收敛；若 l i m(x-a)/(x)=d 0,(或 l i m(x-)/(x)=+o o)J x-a+X T Q+则反常积分J：f(x)dx发散.三、重点与难点1.积分上限的函数及其导数.2.牛顿一一莱布尼兹公式.3.定积分的换元法和分部积分法.四、例题1.求+,)力”+1 +2 n+n分析：由定积分定义知J f(x)dx=J i m f(,)-可见求右端5 T 8)i=l的极限也可通过求左端的定积分值而得到.解决此类问题的关键是把和式归结
10、为某个函数在某区间上的积分和式.i解：原式=l i m Y=l i m y =l i m Y,Ax,.广 f+(与2 f 8 i +q-n-dx-r/(l +x2)=l n(l +x2)|=l n 2J o i +f 2J(H +x2 2%22.下列解法是否正确(1).邙 s e c2 x.|-dx=0 2+t an-x=0工急 斗 T 占此即=-1 1 1+x2dx=0解：这两题的解法都不正确.被积函数八MW公在积分区间。列内”残处不满足，牛顿 莱布尼兹，公式的条件，故不能直接应用公式.代 换X 在 上 不 连 续，故 在 上 不 可 导，不符合换元t法的条件.3.求下列定积分(1)v s
11、i n x-s i n3 xdx d濯丁(2)m i n|x|,X2 dx J：角 牟:Vs i nx-s i n3 xdx=Vs i nxc o s2xdx式 Vs i nx|c o sdxn _ _=J s m x c o s xdx-仁 Js i n x c o s xdx 23卫 2-2 2-s i n2 x s i n2 x3 3 工22 2 4 i=注：带绝对值符号的函数的积分，需先脱掉绝对值符号，如在积分区间上脱掉绝对值符号后为分段函数,则转化为分段函数的积分.m i n Md =2XX-1X11 x 0 *JC-O xf(x=l i m f(x)+=/(0)+l i m =2/
12、(0)x-0 x X TO I注：此题没有/(x)可导的条件，故“对(1)式两边在对X求导.得g (x)=/(x)+xf(x)+/(x)=2/(x)+V (x)=g.(0)=2/(0)这种解法是错误的.5 .计算下列极限(l)l i mj l n(l +f)力()_,sinxs i n 2tdtJo(2)l i mx3ex解:(l)l i mr2xl n(l +r)力J 0_/sinxs i n 2tdtJo.l n(l +2 x)-2 .4xl i m-=l i m-2。s i n(2 s i nx)c o sx s i n 2x telf(u)dudt xex f 7 f(u)du f f
13、(u)du(2)l i m-=l i m-=l i m Jo*-a。x ex(3 x +x )e*3 x +d=i m /K 2x=力2X=A-03 +2 x36.设/(x)为连续函数，且 ar c t a底，1)=1,求1/(X)心.解：2 x j /(t)dt-j tfit)dt=ar c t an x2两边对x求导，得f2xX2+2 x 2/(2 x)-/(x)-4 V(2 x)-xf(x)=-rL 1 +X整理后，有/力=：+山 切Jx 2 l +x令尤=1,即得 j (x M v =gg+/=7.设/(x)在(f+o o)内连续，且 R(x)=(；)/)力JO 2证明：(1)若/(X
14、)为偶函数，则F(x)也是偶函数.(2)若/(x)为 单 减 函 数，则F(x)也 是 单 增 函数.证明：/(一幻=(一力=-；(-1+“)/(-“)=-)rx X=o(-u)f(u)du=F(x)即尸(x)为偶函数/(x)=蒜 人)山，力F(x)=1 力+|/(x)-W)=1 /(t)dt-xf(x)由/(x)单减，当0 f 0n k(x)=1 /(/)-f(x)dt0(x 0时)当 x f 0 时，/(/)-/(%)0 =1 /-f)dt(x 0)(1)解：0cos2%为奇函数,sin2 xcos2 x为偶函数.原式=J J cos2 xdx+sin2 xcos2 xdx=jsin2 x
15、cos2 xdx2 2 2n 7 t_ =2,sin2 x(l-sin2 x)dx=2 jjsin2 sin4 xdx 1 兀 3 1 万、7 1=2(x-x)=2 2 42 2 8(2)分析：此题的积分区间是对称区间，而对称区间上的定积分有公式J：/(x)dx=：(x)+/(-幻心，若/(x)+/(-X)在0,0上容易积分，该公式就可利用了.解：xln(l+ex)2dx=xln(1+e)2-xln(l+i 1 +ex,.ex(1+ex).=2xln-dx=2xln-dxJo 1 +/Jo ev+l=a3o 39.计算71-sin2xdx(k为正整数)角 军：原式=J；J(sinx-cosx)
16、2 dx=卜in x-cosxjdxJsin x-cos +1s siinx-c：osRdx+广 Isi1J(i smx一。OSApX同|sinx-cosx|Jx(cosx-sin x)dx+J(sinx-cosx)dx*47 C=Z(sinx+cosx)H-(cosx+sin x)|4=2 a注：|s i nx-c o s 是周期为乃的周期函数.1 0.求 皿1 +；)山J 1 +x2解：令 x =t an Z,原式=p I n，+产叫 sec?td，=Pl n(l +t anz)6?rJ s e c2r J n设 I =l n(l +t an t)dtI =4l n(l +竟m=4 l n
17、(c o s +s i n I ncostdt“K=j l n V2 c o s(-r)Jr-j l nc o s (1)n n=j l n 叵 du+I n c o s udu 代入(1)式得 I =P I n 41du+4 I n c o s udu-卜 I n c o s tdtJo Jo Jo=pn42du=I n 2Jo 8所 以 g*=；n2U1 1 ,求小 -J o g S i n x +&COSX兀,sin x解：I =P -Jo e，nx+e 0于 是2 1=p-Jo ,n cWnx=I=1一-d x -Jo es i nx+ec o s x 4d xC QCOS/兀 cos
18、x dx=-7-d x-户-：dxOSX cosr,sin/Jo cosx.sin.r2匕 十&十&-S i 而.c oxs R -d x=2dx=-洲0 4+6$5 Jo 21 2,求 1)er dtdx.解：二 为x的函数，令/(%)=一公2原式=xf(x)dx=f(x)d%*-1(x)dxo-与ex4 2xdx-x 4 dx=ex4 d(-x4)-1)41 3.设函数(%)=j Js i n/依(1)当为正整数，且叫K x (+1)万时,证明2 0,JL%(n+1)n 卜i n tdt (x)“口s i n tdt有由卜i n|是周期为%的周期函数.J)|s i n tdt|s i n
19、tdt=s i n tdt=2n同理)s i nW=2(+l)因 止 匕，当 Y171%(+1)乃 时.，有 2 (X)2(+1)(2)由(1)知当 n7V X (+1)7T 即-一(+1)%x n7i后 2n(x)2(+1)A 后有-o o(+1)%x 几兀而lim-=2,加 迎 生=2 f 0 (n+1)乃 71 n7t 7i=-lri m-=2 X 7T1 4.设/(x)在四上连续，且单调递减，证明对Vaw(O,l),有 fxdxa f(x)dx证法一 f(x)dx=f(xdx+J f(x)dx于是 f(x)dx-a f(x)dx=f(x)dx-a /(x)r f x+j f(x)dx=
20、(1 -c r)/(x)x-aj f(x)dx由积分中值定理rf(x)dx=af()O aJO/(xM x=(l-W2)a 2 l因此/(x)d x-f(x)d x=(1 -a)af()-a(l-)f&)=(l-)/(,)-/()(0 ,f(x)dx.证法二：设 F(a)=,/(x)公-：/(x)d r (0 a 1)f(a)a-f(x)dx af(a-af(尸(a)=-萼-=了 0 F(l)=0,即有f (x)d x N a fxdx.注：此题还可以用积分换元法加以证明.1 5.设/(幻在 0,1 上连续，(0,1)内可导，且满足/=2 ；尤2/(回 公.证明在(0,1)内至少有一点J使/钻
21、)=-4/).证：设F(x)=，/(x),由积分中值定理，x2f(x)dx=F(x)dx(04卷 r Jo+1)l n(l +x)+2x +(1-x)l n(l -x)j/-r=l im-(Z+1)l n(l +t)+2t+(l-t)In(l-f)一=2(1-In 2)17 .已知 re-xld x=4，r c e-xdx=.求c 的值.J-0 018.设 y(x)=x 0 x 0 x 0求函数h(t)=f(x)g(t-x)dx的表达式.J-0 0解：因为/(x)在(0,1)上为/(x)=x,在(0,1)之外都为零.故/?(/)=J/(x)g(r x)dx=J xgt x)dx而 g(f-x)
22、=00 其它当/()时，由于积分变量xw 0,1,故总有从而 g(，x)=。，h(t)=f xg(t-x)dx=0.当 0 f 1 时、h(t)=xg(t-x)dx=xex dx=e xexdx=e.0 当f 1时注：本题是含参变量的反常积分，这是一类重要的积分，它在概率统计以及积分变换中都会用到.定积分自测题(A)一.选择题(每小题3 分，共 15 分).L)dxJx(A)e/(B)J (C)J2./=/xyll-x2dx,则()(A)化为/=(马 5 4(1_ 工 2)后计算2 Jo(B)进行代换=s in t 后计算(D)2x e/(O 进行代换l-x2=r,/=-1L f 后计算2J(
23、)2(D)进行代换=35 7 后计算3.设/(x)连续且/(0)=2,F(x)=J-3 0,若尸(x)在 x =0 处c x=0连续，则c=()(A)c =0(B)c=1 (C)c 不存在(D)c =-14.设/(尤)在-a,a 上连续，则/(x)dx 等于()J-a(A)2(x)dx (B)0(C)/(%)+f(-x)dx(D)/(%)-f(-x)dx5.设/(x)是连续的奇函数，则/(x)的任一原函数()(A)是偶函数(B)是奇函数(C)可能是奇函数，也可能是偶函数(D)非奇非偶函数二.(7 分)求 l im /1H7 -I=2 ，4 2 力 2三.计算下列各题(每题6分，共12分).1.
24、l imx-0(卜”)2(,e 2 r M 22.设/(x)=1 a r c t a n l +r W/,求./()四.计算下列定积分(每题8分，共5 6分).72.12|s in x-c os3.J：4X+lx2(x-1)dxMT56.x2y l 4-x2dx五.(10分)设/=1-x 0),则()(A)对一切x w e,有/I?(B)仅当x e时，有/心右(C)对一切x w e,有(D)仅当x 8 +2 2 -3.若 与 天 与 公=/(项我，贝！JQ=.Jo2 Jo-4.设/(x)=rY XW1,而 以 =/力(0 x 2),则1 l x 2 Jl 幻=.5.J|x-l|rfx=.三.计
25、算下列各题(每题8分，共5 6分).2.2 dx1 x(l+x4)3.(cos4 +sin3)sin2 OdO24.J0 3+sin-x5.r,n27 i-2 Jog p l n(l +%).J。(l +x)2dx7.已知/(O)=1 J =3 J(2)=5,求M”(x)dx.四.(8分)设 八 右 胃30),试 求 小)+今五.(6 分)设/(x)在 0,1上连续，(0,1)内可导，且3j；/(x)d x=/(0).3证明：在(0,1)内至少存在一点八 使f c)=o.定积分自测题(C)一.选择题(每小题3分，共1 8分).1.设/(X)为连续函数，那么函数/(x)=(严 明 为()(A)奇
26、函数(B)偶函数(C)非奇非偶函数(D)单调增加函数2J a.(2力4=()(A)2/(%)-/()(B)f(2x)-f(2a)(C)2f(2x)-f(2a)(D)1/(2x)-/(2)3.函数/(%)在闭区间a向上连续是定积分/(工心存在的()(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)无关条件4.设 型,J-l+x4则()r 2 =1r 1/s in x4 +e)dx,/,r i ,s inx _xi3=1(&e)dx,*1+X*1+X(A)II2 I3(B)/,/3 I2(A)I3It I2(A)I.I2+o o JQ a J-五.(1 0分)已知l im-f 2dt=,求a,。的值
27、.bx-s in xJo yla+t六.(1 0分)设f(x)在 0,a上 连 续,且)=0.证明：P f(x)dx 9 其中 M=m ax|/(x).J()2 0 xa 定积分自测题答案自测题(A).1.D 2.A 3.B 4.C 5.A一 7 1 .一.6三.1.1 2.-2四.1.2(7 3-1)2.2(V 2-1)3.41 n-14.I n 5.2V 2-1 6.-K-1 +e 3 2五.7.I n 27 13 e自测题(B)-*1.B2.B3.C 4.D5.B二.1.02.I n 23.a=44.F(x)=A-)0 x l5.1x-1x2三.1.arct an e9 1.3 2 24
28、 1 7n A 1.14.I n-1 6 4 35.-l n(2+V 3)26.17.2四五.提示：利用积分中值定理及罗尔定理.自测题(C).1.B 2.D 3.B 4.C 5.A 6.C二.1.ex l n(l +x2)2xex l n(l +x4)2./(2)=43.-4.2e三.1._ L +n亚)2.-3.-2 4 2 6 24/i.-2 5r-.万 一 4A8四.a=7：2五.a 4,b 1/、V x e(O,a,由拉格朗日中值定理,/(x)/(O)=C)x,占 e(O,x).又因/(0)=0,故/(x)=f e)x,xeO,a,于是：/（幻 =1）蕨 f（d x M x d x =a2.