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1、不定积分一、基 本要求1 .理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。2 .掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。3 .了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主 要 内 容I.原函数与不定积分概念*.、1 .原函数设在区间I上 日X）可导，且 户（x）=/（x）（或（x）=/（x）dx）就 称/（X）为/3）在I的一个原函数。2 .不定积分在区间I上函数/（X）的所有原函数的集合，成为/（X）在区间I上的不定积分，记作 7(xMx=F(x)+C其中F(x)为/(x)在I上的一个原函数，C为任意常数.I I.不定积分的性质1.d J 7(x)公=f(x)dx(或(=/(x)2.J (x
2、)=/(x)+C (或 J/(x)dx=/(x)+C)3.kf(x)dxkf(x)dx其中女为非零常数.4.J (x)+g(x)Mx=f(x)dx+g(x)dx.m.基本积分公式1.kdx-kx+C (k 为常数 2.=-jxu+l+C 3.jJ x=ln|+C4.Jfi+x2=arctan x+C 5.f.=arcsin x 4-C 6.fcosx=sinx+C7.jsin xdx=-cosx+C 8,jsec2 xdx=tan x+C 9.jcsc2 xdx=-cotx+C1 0.jsec x tan xdx=sec x+C 1 1.jcsc x cot xdx=-esc x+C1 2.e
3、-1 3.Ja&=b.+C W加 以=c/u+C1 5.chxdx=shx+C 1 6.J tan xdx=-ln|cos x|+C1 7.jcot xdx=ln|sin x|+C 1 8.jsecxdx=ln|sec x+tan x|+C1 9.fcsc xdx=I nlcsc x-cot x|+C 2 0.f 产 =L arctan +CJ2 a+x a ab人-d-x-c r-=1 Ii n-x-Q +C-2 2“.I-r.dx=arcsi.n xF C2a X+Q 一,a2 3.Jj:*,=ln(x+Jx=)+C 2 4.J,不=ln(x+J x2 一/)十.I V .换元积分法1 .
4、第一类换元法.(凑微分法)J/S(九)0(x)dx=f(u)du=F(w)+C =F (x)+C (u=0(x)2 .第二类换元法f(x)dx=fp(t)(p(t)dt=F(t)+C =F(p-(x)+C(x=9(f)(其中x=单调可导，且e)#0,尸 为 的 一 个 原 函 数)V.分部积分法 0)4丫(了)=(了)-卜0)力，0)(其中1，(犬)v(x)具有连续导数)V I .有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四种部分分式的积分.-dx -d
5、xix-a J(x-a)”-dx(4)-dxJ/+p x +q J(x +p jc +q)而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法.x三角函数有理式的积分，总可用万能代换=tan二将原不定积分化为为积分变量的2有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.四、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分五、例题解析I、选择题例 2设 J/(x)有原函数xlnx,贝 i Jx l n x d x=()91 1(A)厂(一+I n x+C)2 4z.1 1(C)x2(-lnx+C)4 2解 j f(
6、x)dx=(x)：=、/(x)-f x)dx(B)x(i I n x+C)4 2(D)%2(-I n x+C)2 4而/(x)=(xlnx)=lnx+1,/(x)=,故xxf(x)dx=yY(l n x +l)-2?2 2rx.x 八 八 x _ x x,dx=(lnx+1)-+C =+I nx+CJ2 2 4 4 2所以应选(B).例 3解下列各题，并比较其解法：(1)-dx(2)I,-(3)-dx(4)-rdx解 =-f1 J(2+x2)=-ln(2 +x2)+C.J2 +x2 2 J2 +x2 2(2 +/)22+x2公=1(1一告=x-V 2 arctan-=+C.V 2/f/r X
7、2 /2+厂 2 2(3)I-7 dx=一 I-dx=-I(-)dxJ2 +x2 2 J2 +x2 2 J 2 +x2=(1-)dx2=-(x2-2 1 n(2 +x2)+CJ 2+x2 2X3 LX=-2 x+2 v 2 arctan-+C3 V 2比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解；第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无
8、效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。例5讨论利用第一类换元法求积的几种类型(设=/(“)+C)(1)ax+b)dx=f(ax+b)d(ax-b)=(u=ax+h)=F(w)+Ca=F(ax-b)-Ca f(axn+b)xndx=一 +b)d(ax+b)a n=f(u)du(=axn+/?)an J=F(M)+Can-F(axn+/?)4-Can如求dx解 原 式,f-1-dx，=tan(x4)+C4 ，(cosx)4(3)|/(lnx)jf(lnx)dI nx=jf(u)du=F(u)+C =/(I nx)+C(w=I nx
9、),4 rv 2 +I nx,如求-dxJ x_ a 4解 原式二 JV2+I n xd(2 +I n x)=(2 +I nx)+C(4)j/(sinx)cos xdx=/(sinx)dsinx=F(sinx)+Csin xdx=f(cosx)d cosx=-F(cosx)+CJ/(tanx)J co:,_ p.f cosx,如求-d xJ 3+cos x解 原 式=f.-J3+l-sin二L 一小dx=J/(tan x)d tan x=F(tan x)+C Jsinx X1 ,.-a sinx-sin x-1 1 、.:+-；)a sin x2-sin x 2+sin x2+sin x其它一
10、些类型，例 如J7(arctanx)2 八 _ u.ex arctan x,例 6 求 1-dxJ 1 +x2分 析 此题先把被积函数写成2 *2 ix arctan x 1 +x-1-；=；arctan xl+x2 1 +x2拆成两项再进行积分较方便.2 小 -1dx,j f (arcsinx)dx,f(ex)exdx1=arctan x-arctan xl+x2解 J 1 +r Lj例7求V L d解 f,dx=f-J(/-I)?J()(1-)arctan xdxl+xf.r arctan x,=arctanxdx-dxJJ l+x2=x arctan x-%dx-arctan xd ar
11、ctarJ l+x2 J=x arctan x1 1l n(l+x 2)1 (arctan x)、2+C2 2”,de*=-xd 2)2 J er-lX-Fex-lX-4-1 cKe 1e.-.-d xex-lx rzl e x-+(1-)dx=-ex-1 exex一尤 +ln|A 1|+C例8 求(1 J dxJ x解=sinr,贝ijdx=cos/力VT77x2-dx-C cos tdt-fcot2 tdtJ sin 2 r Jj(csc2r-l)Jr=-cotr-r+C1-12 arcsinx+CX例9求 dxX3+ex-2解令/=t,即x=21nf,dx=dt1e +e,1 2 2dx
12、=-z-dt=-dt*产 t Jr2(l+02/IJ(*+占 辿2(-ln|/|+ln|l+/|)+CX X=21n(l+e2)-2 e 5-x +C例10求x arc tan x.-Tdx()5解 令1二 tanf,dx=sec2 tdtx arctan x3(l+X2)1,rtant-t,.dx=sec-tatJ sect=psintdt-tdcost-rcosr-jcosz rsinr-rcosr+C-arctan x+C例1 1求|C =0,f(u)=-u jcosxf(sinx)Jx=j/(sinx)Jsinx=-g|sin3 xdsin x=-sin。x+C.x x 0 J例 1 9 设 f(x)=0因此/(x)的原函数 定存在，设F(x)为/(x)的一个原函数.因 为/(x)可导，则为(x)必连续.F(x)=2-C 0 S X +ax 0lim F(x)=0,lim F(x)=-l+a.xf(r x-o*b(x)在x=0处连续，即有 0=l +a n a =l.1 2X2 x 0则/(x)的一个原函 数 为P(x)=01 2r X +C X 0