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1、备战2018中考系列：破学2耳中考1耳演村第七篇 专题复习篇专题37 阅读理解问题矢 口 识 点名师点晴新定义问题新概念问题结合具体的问题情境，解决关于新定义的计算、猜想类问题阅读理解类问题图表问题结合统计、方程思想解决相关的图表问题材料阅读题根据所给的材料，解决相关的问题国=2年中老2017年题组】一、选择题1.（2 0 1 7 山东省潍坊市）定义表示不超过实数x 的最大整数，如 1.8 =1,-1.4 =-2,-3 =-3.函数 产 3 的图象如图所示，则方程限 =；/的 解 为（）.A.0或 五 B.0或2 C.1 或一行 D.6或-62.（2 0 1 7 浙江省湖州市）在每个小正方形的
2、边长为1 的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.从一个格点移动到与之相距逐的另一个格点的运动称为一次跳马变换.例如，在 4X4的正方形网格图形中（如图 1）,从点A经过一次跳马变换可以到达点8,C,D,E等 处.现 有 2 0 X 2 0 的正方形网格图形（如图2）,则从该正方形的顶点M 经过跳马变换到达与其相对的顶点N,最少需要跳马变换的次数是（)二、填空题3.（2017四川省乐山市）对于函数丁=/+,我 们 定 义 =依 7+皿 1 （加、”为常数）.例如 y=X4+/,则 y=4*3+2 x.已知：y=x3+（zu l）x2+m2x.（1）若方程y=0有两个相等实数根，则m的值为；（
3、2）若方程/=一：有两个正数根，则?的 取 值 范 围 为.4.（2017山东省威海市）阅读理解：如 图 1,。与直线“、b 都相切，不论。如何转动，直线。、匕之间的距离始终保持不变（等于。的直径），我们把具有这一特性的图形成为“等宽曲线”，图 2 是利用圆的这一特性的例子，将等直径的圆棍放在物体下面，通过圆棍滚动，用较小的力既可以推动物体前进，据说，古埃及人就是利用这样的方法将巨石推到金字塔顶的.拓展应用：如图3 所示的弧三角形（也称为莱洛三角形）也 是“等宽曲线”，如图4,夹在平行线c,d 之间的莱洛三角形无论怎么滚动，平行线间的距离始终不变，若直线c,d 之间的距离等于2 c m,则莱洛
4、三角形的周长为 cm.因此mi n-五，一行 =；若 m i n-x l）2,x 2 =l,则x =.6.（2 0 1 7 湖南省湘潭市）设Z=（%,y）,b=（x2,y2）,如果Z/B,则尤/乂 根据该材料填空:已知a =(2,3),b=(4,m),且 a/B,则*.7.(2 0 1 7 贵州省六盘水市)定义：A=b,c,a,B=c,4 U B=a,b,c,若 =-1 ,N=0,1,-1),则 MU N=.8.（2 0 1 7 黑龙江省齐齐哈尔市）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形,如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三
5、角形的“和谐分割线”.如 图，线 段 C O 是A A B C 的“和谐分割线”，4 CD 为等腰三角形，C8 O和 A8 C相似，ZA=4 6 ,则N A C B 的度数为.9.（2 0 1 7 内蒙古通辽市）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下的一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为”阶准菱形，如 图 1,幺B C D中，若 A8=l,BC 2 则。A B C D 为 I阶准菱形.（1）猜想与计算：邻边长分别为3 和 5的平行四边形是 阶准菱形；已 知%8 C O
6、 的邻边长分别为a,灰a 6）,满足折昉+，b=5 r,请写.出以8 c。是_ 阶准菱形.(2)操作与推理：小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2,把勿8 C D沿B E折 叠(点E在上)，使点4落在BC边上的点尸处，得至U四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.1 0.(2 0 1 7北京市)在平面直角坐标系x Oy中的点P和图形M,给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、。两点间的距离小于或等于1,则称尸为图形M的关联点.(1)当。O的半径为2时，在点P (,0),8(,3 ),2(3，0)中，。O的关联点是2 2 2 2 点P在直线广-x上，若P为。的关联点，求点。的横
7、坐标的取值范围.(2)OC的圆心在x轴上，半径为2,直线y=-x+l与x轴、)，轴交于点A、B.若线段A 8上的所有点都是OC的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围.1 1.(2 0 1 7吉林省长春市)定义：对于给定的两个函数，任取自变量x的一个值，当x V O时，它们对应的函数值互为相反数；当x 2 0时，它们对应的函数值相等，我们称这样的两个函数互为相关函数.例如：一一 x +l(x =(),(1)已知点A (-5,8)在一次函数产ox-3的相关函数的图象上，求 的值；(2)已知二次函数 =一 必+4 一.3当点2(，一)在这个函数的相关函数的图象上时，求?的值；2 当-30W3时，
8、求函数y =-X2+4X-1的相关函数的最大值和最小值；9(3)在平面直角坐标系中，点M,N的坐标分别为(-,1),(-,1),连结MN.直接写出线段M N2 2与二次函数y =f+4 x +的相关函数的图象有两个公共点时的取值范围.1 2.(2 0 1 7济宁)定义：点?是 A B C内部或边上的点(顶点除外)，在以B,P B C,P C 4中，若至少有一个三角形与A B C相似，则称点P是A A B C的自相似点.例如：如 图1,点尸在 A 8C的内部，ZPB C=ZA,Z P C B=Z A B C,则BCPSABC,故 点P是A B C的自相似点.请你运用所学知识，结合上述材料，解决下
9、列问题:在平面直角坐标系中，点 M 是曲线丁 =迪（x 0）上的任意一点，点 N 是 x 轴正半轴上的任意一点.X（1）如图2,点 尸 是 上 一点，N O N P=N M,试说明点P 是MON的自相似点：当点M 的坐标是（百,3）,点 N 的坐标是（百，0）时，求点尸的坐标;（2）如图3,当点M 的坐标是（3,G）,点 N 的坐标是（2,0）时，求MON的自相似点的坐标;（3）是否存在点M 和点M使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.13.（2017江苏省扬州市）我们规定：三角形任意两边的“极化值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差.如 图 1,在ABC
10、中，AO是 BC边上的中线，AB与 AC的“极化值”就等于AO2-8O2的值，可记为A B A C=A O1-B O2.（1）在图 1 中，若NB4C=90,AB=8,AC=6,AO 是 BC 边上的中线，贝 U ,O C/O A=；（2）如图 2,在ABC 中，AB=AC=4,ZBA01200,求 AB/XAC、的值；（3）如图3,在48C 中，A B=A C,4。是 BC边上的中线，点 N 在 A。上，K O N=-A O.已知ABZAC=14,3B N A B A=1 0,求ABC 的面积.14.（2017山东省烟台市）【操作发现】（1）如 图 1,ZXABC为等边三角形，现将三角板中的
11、6 0 角与NACB重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0 且小于30）,旋转后三角板的一直角边与A 8交于点。，在三角板斜边上取一点、F,使CF=C,线段AB上取点E,使/CE=30,连接4尸，EF.求/E A F的度数；。E与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2,ZVIBC为等腰直角三角形，/ACB=90,先将三角板的9 0 角与乙4cB重合，再将三角板绕 点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0 且小于45）,旋转后三角板的一直角边与AB交于点。，在三角板另一直角边上取一点F,使C F=C D,线段A B上取点E,使/OCE=45,连接AF,E F,请直接写出探究结
12、果：求N E 4F的度数；线段AE,ED,OB之间的数量关系.15.（2017山东省青岛市）数和形是数学的两个主要研究对象，我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形，以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.探究一：求不等式|x-1|2的解集（1）探究|x-1的几何意义如图，在 以。为原点的数轴上，设点A 对应的数是x-1,有绝对值的定义可知，点A 与点。的距离为lx-I I，可记为A O=x-.将线段A。向右平移1个单位得到线段A 8,此时点4对应的数是x,点8对应的数是1.因为AB=A O,所以A B=|x-l,因此，|x-1 I的几何意义可以理解为数轴
13、上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.（2）求方程|x-11=2的解因为数轴上3和-1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,-I.（3）求不等式|x-1|V 2的解集因为lx-1表示数轴上X所对应的点与1所对应的点之间的距离，所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数X的范围.请在图的数轴上表示lx -I I 0)的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标；(4)实际上，(3)中的固定点有无数对，一般地，当 犯，a”2与。，b,c之间满足怎样的关系时，点 尸(/|,1),Q Cm2,2)就是符合要求的一对固定点？2 0.(2 0 1 7湖北省咸宁市)定义：
14、数学活动课上，李老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“智慧三角形”.理解：(1)如 图 1,已知A、B是。上两点，请在圆上找出满足条件的点C,使 4 8 C为“智慧三角形”(画出点C 的位置，保留作图痕迹)；(2)如图2,在 正 方 形 中，E是 8c的中点，尸是C。上一点，且 C F=C ,试 判 断 是 否 为4“智慧三角形”，并说明理由；运用：(3)如图3,在平面直角坐标系尤。)，中，。的半径为1,点。是直线y=3 上的一点，若在。上存在一点尸，使得aOP。为“智慧三角形”，当其面积取得最小值时，直接写出此时点尸的坐标.a、tan(a +B
15、)与tan(Q-B )的值可以用下面的公式求得：tan(a P )tan a tan1 +tan a -tan 0例如：S”1 5 =tan(4 5 -3 0tan 45-tan 300 3 3-V 31 +tan 450-tan 30 73 3+G1 +lx 3e 4厂=25(3+V3)(3-V3)根据以上材料，解决下列问题:(1)求 3?75的值;(2)都匀文峰塔，原名文笔塔,始建于明代万历年间，系五层木塔，文峰塔的木塔年久倾毁，仅存塔基,1 9 8 3 年，人民政府拨款维修文峰塔，成为今天的七层六面实心石塔(图1),小华想用所学知识来测量该铁搭的高度，如图2,已知小华站在离塔底中心A处
16、5.7米的C 处，测得塔顶的仰角为乃。，小华的眼睛离地面的距离。C 为 1.72米，请帮助小华求出文峰塔AB的高度.(精确到1 米，参考数据6 1.732,J 5E.4 1 4)22.(2017重庆)对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数 为“相异数”，将 一 个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为尸().例如“=123,对调百位与十位上的数字得到2 1 3,对调百位与个位上的数字得到3 2 1,对调十位与个位上的数字得到1 3 2,这三个新三位数的和为213+321+132=666,6661
17、11=6,所以 F(123)=6.(1)计算：F(243),F(617)；(2)若 s,厂都是“相 异 数 ，其 中 s=100r+32,尸150+y(1WXW9,lWyW9,x,y 都是正整数)，规定：k/,当 F(s)+尸(f)=18时，求 k 的最大值.F(/)2016年题组】一、选择题I.(2016浙江省绍兴市)我国古代 易经一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”.如 图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，由图可知，孩子自出生后的天数是()A.8 4B.3 3 6C.5 1 0D.1 3 2 62.（2 0 1
18、6 山西省）宽与长的比是 由 二 1 （约 0.6 1 8）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价2值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形AB C。，分别取A。、B C的中点E、F,连接EF：以点F为圆心，以F D为半径画弧，交BC的延长线于点G；作G H 1 AD,交的延长线于点”，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）3.（2 0 1 6 广东省广州市）定义运算：a 5a（1 -b）.若 a,b 是方程dx +工机=0 （机0）的两根，则4b*b-aa的 值 为（）A.0 B.1 C.2 D.与 有 关4.（2 0 1 6 广东省梅州市）对于实数a、b,
19、定义一种新运算 ”为：於 岳 一,这 里 等 式 右 边 是 实 数 运1 1 2算.例 如：1 合 3 二 一 二 一 一.则 方 程“（-2）=-1 的 解 是（）1-32 8 x-4A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=75.（2 0 1 6 广东省深圳市）给出一种运算：对于函数=工，规 定 y .例 如：若函数 =/,则有=4/.已知函数），=/，则 方 程 旷=1 2 的 解 是（）A.玉=4,x2-4 B.玉=2,x2-2 C.-x2=0 D.xt=2 3 ,x2=-2 36.（2 0 1 6 浙江省杭州市）设 a,是实数，定义 的一种运算如下：a b =（a+b）2-（a-
20、b）2,则下列结论:若。/?=0 ,则 a=0 或 b=0；a （b+c）=a b a c；不存在实数a,b,满足4 /?=/+56；设m 8是矩形的长和宽，若矩形的周长固定，则当二h 时，。人 最大.其中正确的是（）A.B.C.D.7.（2 0 1 6 湖南省岳阳市）对于实数m b,我们定义符号/?的意义为：当8时，max a,b-a；当时，加依 m b=b 如：nuix4,-2 =4,max3,3 =3,若关于 x 的函数为3 3 c x+3,-x+1 ,则该函数的最小值是（）A.0 B.2 C.3 D.48.（2 0 1 6 湖南省永州市）我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种
21、运算对应关系的一组实例:指数运算2=222=423=831=332=933=27新运算l o g22=ll o g 24=2l o g 28=3l o g 33=ll o g39=2l o g327=3根据上表规律，某同学写出了三个式子：/216=4,1唯2 5=5,/o g 2 g=-L 其中正确的是（）A.B.C.D.二、填空题9.（2016四川省乐山市）高斯函数 x ,也称为取整函数，即b 表示不超过x的最大整数.例 如:2.3=2,-1.5=-2.则下列结论：-2.1 +=-2；田+-3=0;若 x+l =3,则 x的取值范围是2 W x 3；当-1WX 0,“W 1 ,b 0）表 示
22、 a,人之间的一种运算.c los M现 有 如 下 的 运 算 法 则：l o g?j na=a.logNM-（0,a W l,N 0,N W 1,M 0）.l o g,N例 如：logi23=3,log5=邑 贝 I log1001000=_.logio 2II.（2016四川省雅安市）P为正整数，现规定Pl=P（P-I）（P-2）-X2 X1.若ml=24,则正整数m=12.（2016山东省临沂市）一般地，当 a、B 为任意角时，s而（a +B）与$山（a -B）的值可以用下面的公式求得：a +B）=sin a *cos B+cos a *sin B；sinC a -B）=sin a 9
23、cos B-cos Q 9sin B.例如 sin900=sin(60+30)-sin60 cos300+cos60 si30百x-L i2 2 2 2类似地，可以求得s?15的值是213.(2016广西河池市)对于实数。，b,定义运算“*”：a*b=a C l b(*).例如：因为4 2,所以a-b a)=(-6 7,b)；。(a,b)-a,-b)；。(m 6)=(a,-6),按照以上变换例如：(0(1,2)=。，-2),则0(Q (3,4)等于.17.(2016湖 南 省 常 德 市)平 面 直 角 坐 标 系 中 有 两 点M (a,b),N Cc,d),规 定(a,b)(c,d)=(a
24、+c,b+d),则 称 点 Q(a+c,b+d)为 M,N 的“和 点”.若 以 坐 标 原 点。与任 意 两 点 及 它 们 的“和 点”为 顶 点 能 构 成 四 边 形，则 称 这 个 四 边 形 为“和 点 四 边 形”，现有 点 A(2,5),B(-1,3),若 以。，4,B,C 四 点 为 顶 点 的 四 边 形 是“和 点 四 边 形”，则 点 C 的坐标是.318.(2016湖南省益阳市)我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点.反比例函数 =-巳x的图象上有一些整点，请 写 出 其 中 一 个 整 点 的 坐 标.19.(2 016 甘肃省天水市)规定一种运算,a
25、*b=a-b,则方程x*2=l*x 的解为.3 4 2 0.(2 016 四川省广安市)我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称 之 为“杨辉三角”.这个三角形给出了他+勿 (=1,2,3,4-)的展开式的系数规律(按。的次数由大到小的顺序)：请依据上述规律，写出。-*严 16 展开式中含/。14 项的系数是.X1 1 (a+b)1=a+b1 2 1 (a+b)2=a2+2ab+b213 3 1 (a+b)3=a3+3a2b+3ab芯1 4 6 4 1 (a+b)1=aA B,M是 H f i C的中点，则从M 向 B C所作垂线的垂足。是折弦A B C 的中点，即 C D=A B+
26、B D 下面是运用“截长法”证明C Z X4 B+B。的部分证明过程.证明：如图2,在 C2 上截取C G=A B,连接M A,MB,MC和 M G.:仍 是 的 中 点，：.MA=MC.任务：(1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图3,已知等边 A B C 内接于。O,A B=2,。为且(7上一点，ZA B D=45 ,A E _ L 8 D 于点E,则 2D C 的周长是.M26.(2016广西桂林市)已知任意三角形的三边长，如何求三角形面积？古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在 他 的 著 作 度量论一书中给出了计算公式-海伦公式S=dp(p a)(p b)(
27、p c)(其中a,b,c是三角形的三边长，p=a+；c,$为三角形的面积)，并给出了证明例如：在ABC中，4=3,b=4,c=5,那么它的面积可以这样计算：.a=3,b=4,c=5,:.p=+：+，=6,/.S=y/p(p-a)(p-b)(p-c)=V6x3x2xl=6.事实上，对于已知三角形的三边长求三角形面积的问题，还可用我国南宋时期数学家秦九韶提出的秦九韶公式等方法解决.如图，在A8C 中，BC=5,AC=6,AB=9(1)用海伦公式求ABC的面积;(2)求ABC的内切圆半径八27.(2016四川省凉山州)阅读下列材料并回答问题：材 料1 ：如 果 一 个 三 角 形 的 三 边 长 分
28、 别 为a,b,c,记p=0+b+c,那 么 三 角 形 的 面 积 为2S=yjp(p-a)(p-b)(p-c).古希腊几何学家海伦(Heron,约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名.他在 度量一书中，给出了公式和它的证明，这一公式称海伦公式.我 国 南 宋 数 学 家 秦 九 韶(约1202-约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式：下面我们对公式进行变形：;(a2+b2-c2cTb-2*2cr+b2-c24a2+b2-c212ab+a+沙-L口 2。4-1 一+cV 4 4(a+b)2-c2 c2-(a-/?)24 4=1p(p-a)(p-b)(p-c)这说明
29、海伦公式与秦九韶公式实质上是同一公式，所以我们也称为海伦-秦九韶公式.问题：如图，在ABC中，AB=13,BC=12,A C=7,。内切于A 8 C,切点分别是。、E、F.(1)求48C 的面积；(2)求。的半径.教材中的问题，如 图 1,把 5 个边长为1的小正方形组成的十字形纸板剪开，使剪成的若干块能够拼成一个大正方形，小明的思考：因为剪拼前后的图形面积相等，且 5 个小正方形的总面积为5,所以拼成的大正方形边长为，故沿虚线AB剪开可拼成大正方形的一边，请在图1中用虚线补全剪拼示意图.(2)类比解决：如图2,已知边长为2 的正三角形纸板A B C,沿中位线D E剪 掉 请 把 纸 板 剩
30、下 的 部 分 O8CE剪开，使剪成的若干块能够拼成一个新的正三角形.拼成的正三角形边长为；在图2 中用虚线画出一种剪拼示意图.（3）灵活运用:如图3,把一边长为6 0 c m 的正方形彩纸剪开，用剪成的若干块拼成一个轴对称的风筝，其中/8 C D=9 0 ,延长。C、BC分别与A B、A。交于点E、F,点 E、F分别为A B、AO的中点，在线段AC和 E F处用轻质钢丝做成十字形风筝龙骨，在 图 3的正方形中画出一种剪拼示意图，并求出相应轻质钢丝的总长度.（说明：题中的拼接都是不重叠无缝隙无剩余）2 9.（2 0 1 6 浙江省台州市）（操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按厂”键求算术
31、平方根，运算结果越来越接近1 或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数匕再加上常数6”的运算，有什么规律？【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程（如图a）.也可用图象描述：如 图 1,在 x轴上表示出X”先在直线y=A x+力上确定点（x i，%）,再在直线y=x 上确定纵坐标为H的 点（乃，乃），然后再x轴上确定对应的数电，以此类推.【解决问题】研究输入实数用时，随着运算次数的不断增加，运算结果x,怎样变化.（I）若N 2,b=-4,得到什么结论？可以输入特殊的数如3,4,5进行观察研究：（2）若k l,又得到什么结论？请说明理由；2（3）若左=-,b=2,已在x轴上表示
32、出Xi （如图2所示），请在x轴上表示2，xy,x4,并写出研究结3论；若输入实数为时，运算结果x.互不相等，且越来越接近常数相，直接写出A的取值范围及加的值（用含k,匕的代数式表示）3 0.（2 0 1 6湖北省荆州市）阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”.例 如，点M（1,3）的特征线有：x=l,尸3,y=x+2,y=-问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形。A B C,点8在第一象限，4、C分别在x轴和y轴上，1 ,抛物线y =（X-?）-+经过8、C两点，顶点。在正方形内部.4（1）直接写出点。Cm,n）所
33、有的特征线；（2）若点。有一条特征线是），=户1,求此抛物线的解析式；（3）点尸是A 8边上除点A外的任意一点，连 接O P,将 O A P沿 着。尸折叠，点A落在点4的位置，当点A 在平行于坐标轴的。点的特征线上时，满 足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在O P上？31.（2016贵州省铜仁市）阅读材料：关于三角函数还有如下的公式:sin（a+0）=sin a cos B cos a sin Btan a tan/?tan（a p）=-1 +tanztan p利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值.例tanl5Q=tan(45+30)tan 45
34、+tan 301-tan 45 tan 301+必31-lx -=2+63根据以上阅读材料，请选择适当的公式解答下面问题：（1）计算：517115;（2）某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的红军战士.李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度.已知李三站在离纪念碑底7 米的C 处，在。点测得纪念碑碑顶的仰角为 75,D C 为6米,请你帮助李三求出纪念碑的高度.32.（2016辽宁省大连市）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如 图 1,/XABC中，AB=AC,点。在 BC边上，NDA B=NA B D,B E L AD,垂足为E,求证：BU2AE.小明经探究发
35、现，过点A 作 A E L B C,垂足为凡 得至Ij/A FB=N BE4,从而可证ABF丝BAE（如图2）,使问题得到解决.（1）根据阅读材料回答：AABF与BAE全等的条件是AAS（填“SSS”、“SAS”、“ASA、A A S或“H L”中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3,A B C中，AB=AC,N B A C=90 ,。为8 c的中点，E为。C的中点，点F在AC的延长线上，S.Z C D F=Z E A C,若 CF=2,求 A B 的长；（3）如图 4,A B C 中，AB=AC,ZBAC=20，点。、E 分别在 4 8、A C 边上，且（其中。无3 3
36、.（20 1 6黑龙江省绥化市）自主学习，请阅读下列解题过程.解一元二次不等式：x2-5 x 0.解：设%2-5%=0,解得：x=0,X2=5,则 抛 物 线-5 x与x轴的交点坐标为（0,0）和（5,0）.画出二次函数y=Y-5 x的大致图象（如图所示），由图象可知：当x V O,或x 5时函数图象位于x轴上方,此时y 0,即2-5%0,所以，一元二次不等式A7-5 x 0的解集为：x 5.通过对上述解题过程的学习，按其解题的思路和方法解答下列问题:（1）上述解题过程中，渗透了下列数学思想中的利.（只填序号）转化思想 分类讨论思想 数形结合思想（2）一元二次不等式x 2-5 x 0.34.(
37、20 1 6 四川省雅安市)我们规定：若加二(a,b),n=(c,J),则如2=(1,2),n=(3,5),贝 1&1=1 X 3+2X 5=1 3.(1)已知m=(2,4),n=(2,-3),求加几；(2)已知机=(x-a,1),n=Cx-a,x+1),求广2几，问产2几的函数图象与一次函数y=x-1的图象是否相交，请说明理由.35.(20 1 6 北京市)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线y =I N-2 加大+加一1 (m 0)与 x 轴的交点为4,B.(1)求抛物线的顶点坐标；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点.当?=1 时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A,8之间的部分与
38、线段A8所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，结合函数的图象,求m的取值范围.1 -O-1 36.(20 1 6 北京市)在平面直角坐标系x O y中，点P的坐标为(x,y),点Q的坐标为(x2，%)，且工产尢2，y w%，若 P，。为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点尸，。的“相关矩形”.下 图 为 点 P,Q的“相关矩形”的示意图.(1)已知点A的坐标为(1,0).若点8的坐标为(3,1)求点A,8的“相关矩形”的面积；点 C在直线后3 上，若点A,C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；(2)的半径为近,点 M 的坐标为(/,3).若在。上存在一点
39、N,使得点M,N的“相关矩形为正方形，求，”的取值范围.VA5-4321 537.(20 1 6 四川省巴中市)定义新运算：对于任意实数?、都有机 =，+，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算.例如：-3 2=(-3 X 2 +2=20.根据以上知识解决问题：若 2”的值小于0,请判断方程：2/一 次+。=0的根的情况.38.(20 1 6 江西省)如图，将正边形绕点A顺时针旋转60 后，发现旋转前后两图形有另一交点O,连接 AO,我们称AO为“叠弦”；再 将“叠弦”A。所在的直线绕点A逆时针旋转60 后，交旋转前的图形于点P,连接PO,我们称NOA8为“叠弦角”，A O P 为“叠弦三
40、角形”.【探究证明】(1)请在图1 和图2中选择其中一个证明：“叠弦三角 形 (A O P)是等边三角形；(2)如图 2,求证：Z O A B=Z O A E .【归纳猜想】(3)图 1、图 2中 的“叠弦角”的度数分别为,；(4)图 中，“叠 弦 三 角 形 等 边 三 角 形(填“是”或“不是”)(5)图 中，“叠弦角”的度数为(用含的式子表示)3 9.(2 0 1 6江苏省扬州市)A B=A C,D E=D F,乙4=/O.AB DE(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形A B C 中，当顶角NA的大小确定时，它的对边(即底边B C)与邻边(即 腰 AB 或 A C)的比值也就确定，我们
41、把这个比值记作7(A),即 7(A)/册 对边(底边)_ BC的 邻 边(腰)一丽如 T(60 )=1.理解巩固：T(9 0 )=,7(1 2 0 )=,若 a是等腰三角形的顶角，则 T (a )的取值范围是;学以致用：如图2,圆锥的母线长为9,底面直径尸。=8,一只蚂蚁从点尸沿着圆锥的侧面爬行到点。，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1).(参考数据：7(1 60 )g1.9 7,T(8 0 )1.2 9,T(4 0 )心0.68)4 0.(2 0 1 6江 苏 省 镇 江 市)(2 0 1 6镇 江)如 图 1,一次函数y=fc c-3 (A W 0)的图象与y轴交于点A,与反4、比例函数
42、y =(x 0)的图象交于点3 (4,b).x(1)；k=；（2）点C是线段A B上的动点（于点A、3不重合），过点C且平行于y轴的直线/交这个反比例函数的图象于点力，求O C。面积的最大值；（3）将（2）中面积取得最大值的0 C。沿射线4 8方向平移一定的距离，得到。C D,若点。的对应点0落在该反比例函数图象上（如图2）,则点。的坐标是.4 1.（2 0 1 6江苏省镇江市）如 图1,在菱形A 8 C。中，4 8=6 6，点E从点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线D A的方向匀速运动，设运动时间为f （秒），将线段C E绕点C顺时针旋转一个角a （a =Z B C D）,得到对应线段
43、CF.（I）求证：BE=DF；（2）当尸 秒时，。尸的长度有最小值，最小值等于;（3）如图2,连接B。、EF、B D交E C、E尸于点P、Q,当f为何值时，是直角三角形？（4）如图3,将 线 段 绕 点C顺时针旋转一个角a （a=/BC）,得到对应线段C G.在点E的运动过程中，当它的对应点尸位于直线4。上方时，直 接 写 出 点 尸 到 直 线 的 距 离y关于时间f的函数表达式.4 2.（2 0 1 6浙江省宁波市）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线于对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我
44、们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线.（1）如 图1,在 ABC中，C D为角平分线，Z A=4 0,Z B=60,求证：CD为 ABC的完美分割线.（2）在 ABC中，/A=4 8,C 是 ABC的完美分割线，且AC。为等腰三角形，求/A C 8的度数.(3)如图2,ABC中，A02,BC=、/5,CO是ABC的完美分割线，且AC。是以C C为底边的等腰三角形，求完美分割线8的长.43.(2016浙江省舟山市)我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如 图1,在等邻角四边形ABC。中，ZDA B=ZA
45、B C,A D,BC的中垂线恰好交于AB边上一点P,连结AC,BD,试探究A C与2。的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展;如图2,在&ZXABC与心AAB。中，ZC=ZZ90,B C=B D=3,A B=5,将Q A4BO绕着点4顺时针旋转角a(0 Z a 中，A B=A D,CB=C,问四边形A3CZ)是垂美四边形吗？请说明理由.(2)性质探究：试探索垂美四边形A8C。两组对边AB,C D 与 B C,4力之间的数量关系.猜想结论：(要求用文字语言叙述)写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证).(3)问题解决：如图3,分别以R t A A C B的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形A
46、 C F G和正方形A B DE,连接 CE,B G,G E,已知 AC=4,A B=5,与 GE 长.4 5.(2016湖北省咸宁市)阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形，如 图 1,一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为a,我们把 一 的 值叫做这个平行四边形的变形度.s i n a(1)若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120度，则 这 个 平 行 四 边 形 的 变 形 度 是.猜想证.明：(2)设矩形的面积为其变形后的平行四边形面积为&，试猜想S，S 2，一之间的数量关系，并说s i n a明理由；拓展探究：(3)如图2
47、,在矩形ABC。中，E是 A Q边上的一点，且 这 个 矩 形 发 生 变 形 后 为 平 行 四 边 形A/i C Q i，用 为 的对应点，连接Bi E i，BQ”若矩形A B C O 的面积为4 面(m0),平行四边形AIBJC QJ的面积为2日 (m 0),试求的度数.4 6.(2016湖北省荆州市)阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”.例 如，点 M(1,3)的特征线有：x=l,产3,y=x+2,y=-x+4.问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形O ABC,点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物
48、线y =(%-机)2 +经过8、C两点，顶点。在正方形内部.4(1)直接写出点。(，小)所有的特征线；(2)若点。有一条特征线是y=x H,求此抛物线的解析式；(3)点P是A B边上除点A外的任意一点，连 接0 P,将 O A P沿 着。尸折叠，点A落在点4的位置，当点A 在平行于坐标轴的。点的特征线上时，满 足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在0 P上？4 7.(20 1 6湖南省长沙市)若抛物线L：y a x2+bx+c(,，c是常数，abc中0)与直线/都经过y轴上的一点P,且抛物线乙的顶点。在直线/上，则称此直线/与该抛物线工具有 一带一路”关系.此时，直线/叫做抛物线心
49、的“带线”，抛物线L叫做直线/的“路线”.(1)若直线y=mx+l与抛物线y =V2 x+具有“一带一路”关系，求相，的值；(2)若 某“路线”工的顶点在反比例函数 =&的图象上，它 的“带线”/的解析式为y=2x-4,求 此“路X线”L的解析式；(3)当常数上满足g wkW 2时，求抛物线L：y =o?+(3/一 2 +l)x +左的“带线”/与x轴，y轴所围成的三角形面积的取值范围.4 8.(20 1 6重庆市)我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的分解：6pX q(p,q是正整数，且pWq),在的所有这种分解中，如果p,f/两因数之差的绝对值最小，我们就称p X q是的最佳分解.并规定
50、：F()=.例 如1 2可以分解成1 X 1 2,2 X 6或3 X 4,因 为1 2-1 6 -2 4 -3,所有3 X 4是1 2的最佳分q3解，所以尸(1 2)=-.4(1)如果一个正整数。是另外一个正整数匕的平方，我们称正整数。是完全平方数.求证：对任意一个完全平方数?，总有F(z n)=1 ；（2）如果一个两位正整数r,t=Ox+y（l Wx Wy W9,x,y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为1 8,那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（f）的最大值.4 9.（20 1 6重庆市）我们知道，任意一个正整数都可以进行这样的