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1、2023年高考全真模拟卷（一）数 学（北京卷）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答第I 卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第H卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一、选择题：本题共10小题，每小题4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合4=-2,1,
2、0,B=pliJA B=（）A.-1 B.-1,0 C.-2,-1 D.-2,0【答案】C【详解】QA=2,1,0,B=x 3 x 4 1,Al B=-2,-l,故选：C.2.若复数z满足（l-i）-z=i,则复数z 的共轨复数对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】Ci i（l+i）1 1【详解】因为（l-i）-z=i,所以z=；=+1-1+2 2所以2=-工-上，对应的点为（-4,一 4 ,位于第三象限.2 2 2”是“2 -。-1 0”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【详解】设函数f(
3、x)=2-x-l,(x 2),贝 iJ r(x)=ln2x2，-l ln 2 x 2 2-l=ln l6-l 0,(x 2),即/(x)=2*-X-1,(x 2)为单调增函数,则 f(x)/(2)=10,即得 2-x-l 0,(x 2),所以当a 2 时，2 -”-1 0 成立，当。=-1时，2-4-1=2-+1-1=工 0,但推不出a 2 成立，2故“a 2”是“2的充分而不必要条件，故选：A5.“空气质量指数(AQI)”是定量描述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于200时，表示空气重度污染,不宜开展户外活动.某地某天024时的空气质量指数y 随时间r变化的-10r+290,0?12趋势
4、由函数y=描述，则该天适宜开展户外活动的时长至多为()56V/-24,12/24A.5 小时 B.6 小时 C.7 小时 D.8 小时【答案】C【详解】解:由题知，当AQI大于200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活动，即当AQI小于等于200时,适宜开展户外活动，即”200,f-10f+290,0?12因为5 6 -2 4,1 2。424，所以当0 4/4 1 2 时，只需一10r+2904 200.解得:94f412,当 12 0 力 0)的一条渐近线的倾斜角为6 0。，则双曲线的离心率为()A.B.C.后 D.22 3【答案】D【详解】由题意得：双曲线的一条渐近线方程的斜率2 =t a
5、 n 6(r =6,a所以双曲线离心率e =J 1 +与=4 7 5 =2.a a2故选：D7 .已知。=l o g 2 1 4 1,6 =1.7 3,c =cosg,则()A.b a c B.b c aC.c b a D.c a b【答案】B【详解】因为。=1.7 3 l,c =c o s g =c o s =g =l o g 2&a =l o g 2 1.4 1 ,所以故选：B.8.已知函数f(x)=s i n(s+T(x e R,0 O)的最小正周期为兀，将 y =/(x)的图像向左平移*3 0)个单位长度，所得图像关于丁轴对称，则夕的一个值是()A.上 B.包 C.三 D.三2 8 4
6、 8【答案】D【详解】因为一(X)最小正周期为兀，所 以 等=n，解得0 =2,所以 x)=s i n(2 x +()；将 y =/(x)图像向左平移9个单位长度得了(x +S)=s i n(2 x+2 g+),因为/(x +8)图像关于 轴对称，所以2*+：=5 +E(k e Z),r r K1T/TT解得*=g+笠 伏 wZ),则当氏=0 时，9 =三，其他选项不满足题意,8 2 8故选：D.9.正方体A8CO-ABGA棱长为2,E是棱。G的中点，S是正方形A B 8及其内部的点构成的集合.设集合T=PeS|PA A E,则 集 合 表 示 的 区 域 面 积 是（）A.4-B.4 4C.
7、兀D.27t【答案】A【详解】以点A为坐标原点，AB.AD.AA所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则 4（0,0,2）、E（l,2,2）,设点 P（x,y,0）,其中 0Wx42,0y2,由卜A卜,同 可得次 +/+仅 _2）2 J（1 一0）,（2-0），（2-2）2 ,可得 V+丁 0.1 1.已知函数x)=,若/()；,则实数”的取值范围是_.2,x 0，4)二 即1呜“不，解得0 g即2 g,解得IcaM O.故实数a的取值范围是故答案为：(-L)1 2 .数学中有许多美丽的错误，法国数学家费马通过观察计算曾提出猜想：形如招=2*+1(=0,1,2,)的数都是质
8、数，这就是费马素数猜想.半个世纪后善于发现的欧拉算出第5个费马数不是质数，从而否定了这一种猜想.现设：。“=水烟2(丹-1)(=1,2,3,.),机为常数，S,表示数列 lo g?。,的前项和，若$5=20,则%=.【答案】6 4【详解】：Fn=r+,则为=加 现2优-1)=仙2 ,显然,”*0/.lo g2t z/=lo g2 m 2 =lo g 2m +lo g2 2 =lo g 2m +nlog2an+i-lo g2a=(lo g 2 z n+/?+1)-(lo g 2 z n+r t)=1数列 lo g必,以首项为lo go m+l,公差为1的等差数列乂 S5=5 0 o g +；lo
9、 g“+5)=5 (lo g 2 加+3)=2 0,即 lo g 2 机=1 贝J m=2a5=m-25=2 x 3 2 =6 4故答案为：6 4.1 3 .己知a为第二象限角，tan a=-g,则s i n(a-的值为.【答案】述#11 0 1 04【详解】解：因为a为第二象限角，tan a=-4 3所以，s i n ci f=,co s a=-,cr r l.(吟.n加 以,s i n .兀 4 6 (3、6 l Oa-=s i n co s-co s cr s i n =x-x=-I 4)4 4 5 2 1 5)2 1 0故答案为：述1 01 4.对于平面上的两个点M(a,b),N(c,
10、d),若满足a Nc,bzd,前面两个不等式中至少有一个=”不成立，则称M是相对于N的一个优先点，记作“用 N”.已知点集Q =1(x,y)|0 x n,0 y N”的 有:（0,1）和（0,0）,（0,2）和（0,0）,（0,2）和（0,1）,（1,0）和（0,0）,（1,1）和（0,0）,（1,1）和（0,1）,（1,1）和（1,0）,（1,2）和（0,0）,（1,2）和（0,1）,（1,2）和（1,0）,（1,2）和（1,1）,（1,2）和（0,2）,（2,0）和（0,0）,（2,0）和（0,1）,（2,0）和（1,0）,（2,1）和（0,0）,（2,1）和（0,1）,（2,1）和（1,
11、0）,（2,1）和（1,1）,（2,2）和（0,0）,（2,2）和（0,1）,（2,2）和（1,0）,（2,2）和（0,2）,（2,2）和（2,0）,（2,2）和（1,1）,（2,2）和（1,2）,（2,2）和（2,1）,共 27 组;（II）集合r 中的任意两个点都不能构成一组优先点，集合r 中的任意两个点都不满足M N 和 N M ；若q c 且b d,此时中元素只能成对出现，,若”（“力），N（cM）,M（c，4）,此时。4 4，则M 和N-乂 均不构成一组优先点，但 M 和 M 构成一组优先点，不合题意；此时r 中仅有两个元素；若4 d,则与a c,匕 d 或b N 或 N M,不合题
12、意，:.b=d-,此时中有且仅有一个元素，不具备两个点，不合题意：，若集合中的元素最多有2 个.故答案为：27：2.1 5.已知函数/（x）=（.ax,x l当a=l 时，x）的极值点个数为；若f（x）恰有两个极值点，则。的取值范围是.【答案】2（0,2）【详解】当0=1时，力x,x 1 1）=1，/（X）为连续函数；“X）在1-8,3（1，+8）上单调递增，在加上单调递减，X=；和x=l 是/（x）的极值点，即/（%）的极值点个数为2；/（1）=/（X）为连续函数，/（x）=a r（x l）为单调函数，/（X）在 上 无 极 值 点；乂/(*)=-炉+依+1在(Y,1)上至多有-一个极值点,
13、.”=1和X.必为“X)的两个极值点，W =1,BD=2,AB=3,cosZBDC=-.8(1)求AO的长；求45c的面积.9x/7【答案】2(2)8【详解】(1)因为c o s NBOC=J,O则cos N A D B =cos(兀-N B D C)=-cos Z B D C =-8BD=2,AB=3,A BD 中，A B2=A D2+B D2-2A D -B D-c o s Z A D B.Q J9=AD2+4-2X2XADX，解得：A Z)=2或 A O =(舍),2所以4)=2；，八 A A B2+A D2-B D2 9+4 4 3(2)c o s A=-=-=,2-A B A D 2
14、 x 3 x 2 4因为0 A 为矩形,4B_LA),平面 Elc平面 A8CD=Ar,48u平面 ABC，所以AB2 平面PAD.%u 平面24。.所以 AB_LP4,又因为A)_LMV，由(1)可知BEMN,B E u 平面所以 A D J_8E,又因为 A工 AB,A 8 c8 E=3,A 8,8Eu 平面 RIB,所以4?_L平面PAB.PA u平面上 4B,所以Q4 _L ADAB 4=4,4 及4 轴、z轴建立坐标系,则A（0,0,0）,M（2,2,0）,N（0,2,2）,P（0,0,4）,则 AM=（2,2,0）,A N=（0,2,2）,设平面4W7V 的法向量”=（x,y,z）
15、,r i-A M=2x+2y=0则n-A N=2y+2z=0令y=i,则=（T,1,-1）,因为AP上平面A B C D,故AP=(0,0,4)可作为平面ABC。的法向量,则平面A M N与平面A B C D夹角的余弦值ko s A P)卜-=#.选择条件：A M =AN.因为平面ABCD1平面PAD,ABC。为矩形,AB_L4)平面 皿*C 平面A B C D =AD,AB u平面ABCD,所以4 5 上平面B4D,所以AB_LR4,又因为AM=4 V，取 AD中点为G,连接MG,NG,则有MG=AG=2,N G/PA,所以 取;也ZVIMG,所以 ZAGM=ZAGN=9 0，则 NG _L
16、 4).所以 P 4_L A).AB 4=4,4 及4 轴、z轴建立空间直角坐标系,则 A(0,0,0),M(ZZO),N(o,2,2),P(0,0,4),则A =(2,2,0),A7V=(0,2,2),设平面AMN的法向量。=(x,y,z),n-AM=2x+2y=0则n AN=2y+2z=0令 y=l,则 =因为A尸工平面A B C D,故AP=(0,0,4)可作为平面A8C 的法向量,则平面4M N与平面ABCD夹角的余弦值kos(,=是一 31 8.为调查A,B 两种同类药物在临床应用中的疗效，药品监管部门收集了只服用药物A和只服用药物B 的患者的康复时间，经整理得到如下数据：康复时间只
17、服用药物A只服用药物87 天内康复360人160人8 至 14天康复228人200人14天内未康复12人40人假设用频率估计概率，且只服用药物4 和只服用药物B 的患者是否康复相互独立.(1)若一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率；(2)从样本中只服用药物A 和只服用药物B 的患者中各随机抽取1 人，以X表示这2 人中能在 7 天内康复的人数，求 X 的分布列和数学期望：(3)从只服用药物A 的患者中随机抽取100人，用“加 ”表示这100人中恰有女人在14天内未康复的概率，其中Z=0,1,2,1 0 0.当几。伏)最大时，写出k 的值.(只需写出结论)【答案】(喘49(
18、2)分布列见解析，数学期望为1(3)2【详解】(1)只服用药物A 的人数为360+228+12=600人，且能在14天内康复的人数有360+228=588 人，故一名患者只服用药物A 治疗，估计此人能在14天内康复的概率 为 关=/;600 50（2）只服用药物A 的患者7 天内康复的概率 为 翌=,25只服用药物B 的患者7 天内康复的概率为160160+200+40其中X 的可能取值为。L2,_/3 2 6P(X=2)=x=,7 5 5 25则分布列为：数学期望 为 破=。4小导2*=X012P625132562512 1（3）只服用药物4 的患者中，14天内未康复的概率为义=3600 5
19、0L=c；4950100-A,%=0,1,2,100pm(k)pm(k+l)fw(k)plQ0(k-l)100-it4950Ai竺5099 Tt1解得：；j ,因为&e N,所以&=2.k o,r.公 ；，即 出 g 或&;，所以得 k =l，即出=1,经检验符合题意，此时直线/4Q-8Z+3 2 2k-3为 y=x+2综上所述，直线/的方程为？=+2 或x=0.2 0.已知函数/（x）=（x-2）e，支 一 1）2M e R.（1）当a=2 时，求曲线y=/（x）在点（）,/（）处的切线方程:（2）求函数X）的单调区间.【答案】y=x-3(2)答案见解析【详解】(1)当。=2时，/(x)=(
20、x-2)e -(x-l)2,所以尸(x)=(x-l)e -2(x-l)又因为/(0)=(0-2)e -(0-lf =3,k=/,(0)=(0-l)e -2(0-1)=1,所以f(x)在(0,7(0)处的切线方程为y+3 =x-0,即y=x-3(2)由题意知,/(x)的定义域为Rfx)=(x-l)ev-(x-l)=(x-l)(eA-a)当 a WO时，e-a0,则当 x v l时/(x)l 时/(x)0,所以/(x)在(-8,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递增；当。0时，由/(外=0得x=l或x=ln a,(i)若a =e,则/(x)=(x-l)(e，-e)2 0,所以/(*)在R上单调递
21、增,(i i)若0 a e,则ln a l,所以当x l时 fx0 ,当 I n a c x c l 时 f(x)e,则ln a l,所以当 x I n a 时/(x)0 ,当 1 v x v I n a 时，/(x)0 ,所以/(x)在(1,I n a)上单调递减，在(-8,1)和(I n a,+8)I二单调递增，综上所述，当aWO时，X)的单调递减区间是(TO,1),单调递增区间是(1,+8)；当0 a e时，/(x)的单调递减区间是(1,I n a),单调递增区间是(-8,1)和(i n a,+s).2 1.已知A:q g,L,q为正整数数列，满足q 2生2.2”“.记S =q+g+.定
22、义A的伴随数列低(1 4 +1)如下:4=0；其中 4=1,7；0(%=1,2,).(1)若数列4 4,3,2,1,直接写出相应的伴随数列 (1 4 4 4 5)；当*2时，若S =2“2,求证：a,i=a“=l；(3)当2 2时，若S =2 -2,求证：Tn+l=0 .【答案】0,4,1,1,0 ；(2)见解析；(3)见解析.【详解】(1)因为数列4 4,3,2,1,a a2 an,所以 q =4,2=3,4 =2,4 =1.因为At=F3r。c（k =l,2,），-1,/*U所以工=0,4=7 J+4 q =0 +q =4 ,T3=T2+a2=4-a2=1,T4=T3+=1 -a,=-1
23、,4=n+4%=-l+q=0.故数列A的伴随数列为 0,4,1,1,0 .（2）当=2 时，S =2 2=2,显然有a,i=a“=l；当“2 3 时，只要证明4,t+4,=2.用反证法，假 设%_ 1+可 23,贝 i J q N/N a-2-2-从而5 =4+0 2+a 2（n-2）+3 =2n-l,矛盾.所以 4-1+4,=2.再根据4，%，4 为正整数,可知4 i=%=l.故当 2 2时，=1.(3)当”=2 时，S =2“2 =2,有4 T=。“=1,此时(=0 +17=0,命题成立；当”2 3 时，由(2)的结论，4 M 2，4 中至少有两个1，现假设4，%a 中共有利(加2 2)个 1,即1：一:一 一 E+L，则 am.因为若62？+1,则 S =q+/+L +a“，+l +2(-，-l)+，n =2，?-l ,矛盾.所以4 m.根据Z(1 W，4+D 的定义可知，T2=at m,0 7；=,-a2/,|7；|m a xa,/n,以此类推可知一直有|-M1 4m a xa,r“,7；i“M/?i,再由后面%=4_|=4 一=1,可知爆 ；另一方面北”与S 奇偶性相同，所以7；田=0.