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1、6.2.2 排列数 一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).1.排列的定义：2.排列问题的判断方法：(1)元素的无重复性(2)元素的有序性判断的关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是有序，无变化就是无序.复 习 引 入排列数：我们把从n 个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号 表示.排列的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足的条件是：(1)m N*，n N*；(2)mn.例如，前面问题1是从3个不同元素中任取2
2、个元素的排列为326，可记作：问题2是从4个不同元素中任取3个元素的排列数为43224，可记作：符号 中的A 是英文arrangement(排列)的第一个字母问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?问题2.从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？思考排列与排列数相同吗？如：问 题 1 中 从 4 个 不 同 的 元 素 a,b,c,d 中任取 2 个 元 素 的 排 列 有 ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc 共 12 个，每 一
3、个 都 叫 做一个排列；共 12 个，12 叫 做从 4 个不同元素任取 2 个元素的 排列数.答案“一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.第1位第2位n 种(n-1)种追问1:如何求排列数？第1位 第2位n 种(n-1)种第3位(n-2)种追问2:如何求排列数？可以按依次填2个空位得到：可以按依次填3个空位得到：探究 从n个不同元素中取出m个元素的排列数(mn)是多少?那么排列数 就可以按依次填m个空位得到：?排列数公式的特点：1.公式中是m 个连续正整数的连乘积；2.连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(nm1).全排列数：1.全排列：从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为
4、n个不同 元素的一个全排列.全排列数为:排列数公式：2.阶乘：正整数1到n的连乘积 12n称为n的阶乘，用 表示,即解：例1 计算：典 例 分 析 思考 由例1可以看到，观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？证明：排列数公式的阶乘形式排列数公式的连乘形式排列数公式的应用：连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明.练习1156练习2 12排列数公式的两种形式1.排列数公式的连乘形式：2.排列数公式的阶乘形式：归 纳 公 式排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.(2)排 列 数 公 式 的 阶 乘 形 式 主 要 用 于 与 排 列 数 有 关 的 证 明、解 方
5、程 和 不 等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.例4 用09这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数?解1：由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为 分两步完成：(特殊位置法)(1)从1到9这九个数中任选一个占据百位，有 种方法.(2)从余下的9个数(包括数字0)中任选2个占据十位,个位，有 种方法.解2：(1)每一位数字都不是0的三位数有 个；(2)个位数字是0的三位数有 个；(3)十位数字是0的三位数有 个.解3：（间接法）例析l例4.用09这10个数字，可以组成多少个没有
6、重复数字的三位数？变式1 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?解：00变式2 用0到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?0(1)0 在个位的有 个；(2)0 在十位的有 个；(3)没有0的有 个.共有解：(1)0 在十位的有 个；(2)没有0的有 个.共有带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数方 法 归 纳分步先分类后分步练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不
7、站排头有几种不同的站法？解法一:(特殊元素法)第一类:不选甲，则从剩下的4人中选3人排列，有 种;第二类:选甲,先排甲有 种，然后从剩下的4人中选2人排列有 种，则共有 种;所以共有 种不同的排列方法.巩 固 练 习解法二:(特殊位置法)第一步:从其余4位同学中找1人站排头,有 种;第二步:剩下的4人(含甲)中找2人排列,有 种;所以共有 种不同的排列方法.练习4.从5人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？巩 固 练 习解法三:(间接法)所以共有 种不同的排列方法.先从5人中选3人排列,有 种 然后计算甲站排头有 种变式 5个人站成一排：(l)共有多少种不同的排法？(2)其中甲必
8、须站在中间有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解：(1)由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有(2)由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有解：变式 5个人站成一排：(l)共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？(3)共有 种排法.(4)共有 种排法；(5)共有 种排法(6)可将问题分为两类：甲站在排尾，其余的人可全排列，甲既不站在排尾也不站排头，乙不站排尾，其余的人可全排列，不同的排法共有解1：变式 5个人站成一排：(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解2：甲站排头有 种排法，乙站排尾有 种排法.但两种情况都包含了“甲站排头,且乙站排尾”的情况，有 种排法.不同的排法有 种排法 例题 证明：证明：小结：2.全排列数:1.排列数公式：3.阶乘：正整数1到n 的连乘积 12n 称为n 的阶乘，用 表示,即排列数公式的阶乘形式：