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1、6.6.2.2 2.2 排列数排列数 一般地，从一般地，从n n个不同元素中个不同元素中取出取出m m(m mn n)个元素个元素，并，并按照一定按照一定的顺序的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个排列个元素的一个排列(arrangementarrangement).1.排列的定义：排列的定义：2 2.排列问题的判断方法：排列问题的判断方法：(1)元素的元素的无重复性无重复性(2)元素的元素的有序性有序性判断的判断的关键关键：变换元素的位置，看结果是否发生变化变换元素的位置，看结果是否发生变化，有变化是，有变化是有序，无变化就是无序有序，
2、无变化就是无序.复习引入排列数：排列数：我们把从我们把从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同排列的个数排列的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的排列数排列数，用符号，用符号 表示表示.排列的第一个字母排列的第一个字母元素总数元素总数取出元素数取出元素数m，n所满足的条件是：所满足的条件是：(1)mN*，nN*；(2)mn.例如，前面问题例如，前面问题1是从是从3个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的排列为个元素的排列为326，可记作：可记作：问题问题2是从是从4个不同元素中任取个不同元素中任取3个元素的排列数为个元素
3、的排列数为43224，可记作：可记作：符号符号 中的中的A是英文是英文arrangement(排列排列)的第一个字母的第一个字母问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有几种不同的选法?问题2.从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？思考排列与排列数相同吗？排列与排列数相同吗？如：问题1中从4个不同的元素a,b,c,d中任任取取2个元素的排列有ab、ac、ad、ba、bc、bd、ca、cb、cd、da、db、dc共12个，每一个都叫做一个排列；共12个，12叫做从4个不同元素任取2个元
4、素的排列数.答案“一个排列”不是数；“排列数”是一个自然数.第1位第2位n 种(n-1)种追问1:如何求排列数？第1位第2位n 种(n-1)种第3位(n-2)种追问2:如何求排列数？可以按依次填可以按依次填2个空位得到：个空位得到：可以按依次填可以按依次填3个空位得到：个空位得到：探究探究 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的排列数个元素的排列数 (mn)是多少是多少?那么排列数那么排列数 就可以按依次填就可以按依次填m个空位得到：个空位得到：?排列数公式的特点：排列数公式的特点：1.公式中是公式中是m个个连续连续正整数正整数的的连连乘乘积积；2.连乘积中最大因数为连乘积中最大因数
5、为n，后面依次减，后面依次减1，最小因数是，最小因数是(nm1).全排列数：全排列数：1.全排列：全排列：从从n个不同素中取出个不同素中取出n个元素个元素的一个排列称为的一个排列称为n个不同个不同 元素的元素的一个全排列一个全排列.全排列数为全排列数为:排列数公式：排列数公式：2.阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 12n称为称为n的阶乘的阶乘，用，用 表示表示,即即解：解：例例1 计算：计算：典例分析 思考思考 由例由例1可以看到，可以看到，观察这观察这两个结果，从中你发现它们的共性了吗？两个结果，从中你发现它们的共性了吗？证明：证明：排列数公式排列数公式的阶乘形式的阶乘形式排
6、列数公式排列数公式的连乘形式的连乘形式排列数公式的应用：排列数公式的应用：连乘形式一般用于的计算，连乘形式一般用于的计算，阶乘形式用于化简或证明阶乘形式用于化简或证明.练习练习1156练习练习212排列数公式的两种形式排列数公式的两种形式1.排列数公式的连乘形式：2.排列数公式的阶乘形式：归纳公式排列数公式的选择排列数公式的选择(1)排列数公式的乘积形式适用于计算排列数.(2)排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算.例例4 用用09这这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数个数字，可以组成多少个没有重复数
7、字的三位数?解解1：由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为由分步计数原理可得，所求的三位数的个数为符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）符合条件的三位数可以分三类：（特殊元素法）由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为由分类计数原理可得，所求的三位数的个数为 分两步完成：分两步完成：(特殊位置法特殊位置法)(1)从从1到到9这这九个数中任九个数中任选选一个占据百位，有一个占据百位，有 种方法种方法.(2)从余下的从余下的9个数个数(包括数字包括数字0)中任选中任选2个占据十位个占据十位,个位，有个位，有 种方法种方法.解解2：(1)每一位数字都不是每一位数字都不是0的三位数有的三位数有
8、个；个；(2)个位数字是个位数字是0的三位数有的三位数有 个；个；(3)十位数字是十位数字是0的三位数有的三位数有 个个.解解3：（间间接法）接法）例析l例例4 4.用用0909这这1010个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？变式变式1 用用0到到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是偶数?解：解：00变式变式2 用用0到到9这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数且是奇数?0(1)0在个位的有在个位的有 个；个；(
9、2)0在十位的有在十位的有 个；个；(3)没有没有0的有的有 个个.共有共有解：解：(1)0在十位的有在十位的有 个；个；(2)没有没有0的有的有 个个.共有共有带有限制条件的排列问题：“特殊”优先原则直接法间接法位置分析法元素分析法以位置为主，优先考虑特殊位置以元素为主，优先考虑特殊元素先不考虑限制条件，计算出来所有排列数，再从中减去全部不符合条件的排列数，从而得出符合条件的排列数方法归纳分步先分类后分步练习练习4.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？解法一解法一:(特殊元素法特殊元素法)第一类第一类:不选甲，则从剩下的
10、不选甲，则从剩下的4人中选人中选3人排列，有人排列，有 种种;第二类第二类:选甲选甲,先排甲有先排甲有 种，然后从剩下的种，然后从剩下的4人中选人中选2人人排列排列有有 种，则共有种，则共有 种种;所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.巩固练习解法二解法二:(特殊位置法特殊位置法)第一步第一步:从其余从其余4位同学中找位同学中找1人站排头人站排头,有有 种种;第二步第二步:剩下的剩下的4人人(含甲含甲)中找中找2人排列人排列,有有 种种;所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.练习练习4.从从5人中选人中选3人站成一排照相，甲不站排头有几种不同的站法？人站成一排照相，
11、甲不站排头有几种不同的站法？巩固练习解法三解法三:(间接法间接法)所以共有所以共有 种不同的排列方法种不同的排列方法.先从先从5人中选人中选3人排列人排列,有有 种种 然后计算甲站排头有然后计算甲站排头有 种种变式变式 5个人站成一排：个人站成一排：(l)共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法？其中甲必须站在中间有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同
12、的排法其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解解：(1)由于没有条件限制，由于没有条件限制，5个人可作全排列，所以不同的排法共有个人可作全排列，所以不同的排法共有(2)由于甲的位置已确定，其余由于甲的位置已确定，其余4人可任意排列，所以不同的排法有人可任意排列，所以不同的排法有解：解：变式变式 5个人站成一排：个人站成一排：(l)共有多少种不同的排法？共有多少种不同的排法？(2)其中甲必须站在中间有多少种不同排法？其中甲必须站在中间有多少种不同排法？(3)其中甲、乙两人必须相邻有多少种不
13、同的排法？其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法？(4)其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法？(5)其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法?(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？(3)共有共有 种排法种排法.(4)共有共有 种排法种排法；(5)共有共有 种排法种排法(6)可将可将问题问题分分为为两两类类：甲站在排尾，其余的人可全排列，甲站在排尾，其余的人可全排列，甲既不站在排尾也不站排甲既不站在排尾也不站排头头，乙不站排尾，其余的人可全排
14、列，乙不站排尾，其余的人可全排列，不同的排法共有不同的排法共有解解1：变式变式 5个人站成一排：个人站成一排：(6)其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？其中甲不站排头，乙不站排尾有多少种不同的排法？解解2：甲站排甲站排头头有有 种排法，种排法，乙站排尾有乙站排尾有 种排法种排法.但两种情况都包含了但两种情况都包含了“甲站排甲站排头头,且乙站排尾且乙站排尾”的情况，有的情况，有 种排法种排法.不同的排法有不同的排法有 种排法种排法 例题例题 证明：证明：证明证明：小结：小结：2.全排列数全排列数:1.排列数公式：排列数公式：3.阶乘：阶乘：正整数正整数1到到n的连乘积的连乘积 12n称为称为n的阶乘，用的阶乘，用 表示表示,即即排列数公式的阶乘形式：排列数公式的阶乘形式：