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1、第六章计数原理6.26.2排列与组合（排列与组合（1 1）第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理1.排列一般地,从n个不同元素中取出m(mn)个元素,并按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.2.排列数(1)排列数的概念:从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示.特别地,把n个不同的元素全部取出的一个排列,叫做n个元素的一个全排列,记作.6.2排列与组合|排列与排列数知识点必备知识清单破6.2.1排列6.2.2排列数第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理
2、(2)排列数公式:=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=(m,nN*,且mn).=n(n-1)(n-2)321=n!(nN*).规定:0!=1.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理知识辨析1.若组成两个排列的元素相同,则这两个排列是相同的吗?2.“某商场有四个门口,某人从一个门口进入,购买物品后,从一个门口出去,求不同的进出方式有多少种”是排列问题吗?3.排列数和排列是同一个概念吗?第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理一语破的一语破的1.不一定.若组成两个排列的元素相同,但元素的排列顺序不相同,则这两个排列是不相同的.2.不是.判断一个问题是不
3、是排列问题的要点有两个:一是被取元素互不相同,二是取出的元素是有顺序的.而此人进出的门口可以是同一个门口,所以不是排列问题.3.不是.排列是元素的一种具体排法,它不是数值.而排列数是指排列的个数,它是一个数值.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理1|排列数及其运算定点关键能力定点破应用排列数公式时的注意点(1)准确展开:求排列数一般用乘积式展开,要注意展开式的项数要准确.(2)合理约分:若运算式是分式形式且分子与分母中有相同的因式或因数,则要先约分再计算.(3)合理组合:化简、证明时一般运用阶乘式,应用排列数、阶乘的性质,进而提高运算的速度和准确性.常用性质如下:=n=
4、m+;nn!=(n+1)!-n!;=-.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例1(1)用排列数表示(55-n)(56-n)(69-n)(nN*且n55)为;(2)计算=;(3)满足3=2+6的x的值为.35第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析(1)55-n,56-n,69-n中最大的数为69-n,且共有(69-n)-(55-n)+1=15个正整数,(55-n)(56-n)(69-n)=.(2)=3.(3)由3=2+6,得3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1).易知x3,3(x-1)(x-2)=2(x+1)+6(x-1),即
5、3x2-17x+10=0,解得x=5或x=(舍去),x=5.易错警示解含参数的排列数问题时要注意中的隐含条件nm,n,mN*,防止遗漏导致解题错误.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例2(1)化简:1!+22!+33!+nn!(nN*);+(n2且nN*);(2)证明:-=m.思路点拨(1)利用nn!=(n+1)!-n!裂项求和;利用=-裂项求和.(2)等号左、右两边排列数的上、下标均为字母,宜用阶乘式进行证明,也可用排列的定义进行证明.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析(1)nn!=(n+1)!-n!,原式=(2!-1)+(3!-2!
6、)+(4!-3!)+(n+1)!-n!=(n+1)!-1.=-,+=+-=1-.(2)证法一:-=-=第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理=m=m,-=m.证法二:表示从(n+1)个元素中取出m个元素的所有不同排列的个数,设其中一个元素为a1,则不含元素a1的排列有个,含有元素a1的排列可这样进行:先排a1,有m种排法,再从另外n个元素中取出(m-1)个元素排在剩下的(m-1)个位置上,有种排法,故含有a1的排列有m个.-=m.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理1.先特殊后一般解决“在”与“不在”问题解决“在”与“不在”的问题,常用的方法是特殊
7、位置分析法、特殊元素分析法,即谁“特殊”谁优先.如果有两个及以上的约束条件,那么常见的思路是先肯定(在)再否定(不在),在考虑一个约束条件的同时要兼顾其他条件,必要时按第一个条件对第二个条件的影响进行分类.当直接求解较为困难时,可考虑用间接法求解,即先不考虑限制条件,计算出排列总数,再减去不符合要求的排列数.2.“捆绑法”解决相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k(kn)个元素排在相邻的位置上,求不同排法的种数的方法如下:将这k个元素“捆绑”在一起,看成一个整体,然后与其他元素一起排列,有种排法;“松绑”,注意捆绑元素本身的内部排列,有种排法;由分步乘法计数原理知,符合2|有限制条件的排列问
8、题定点第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理条件的排法有种.3.“插空法”解决不相邻问题将n个不同的元素排成一列,其中k当n为奇数时,k;当n为偶数时,k个元素互不相邻,求不同排法的种数的方法如下:将没有不相邻要求的(n-k)个元素进行全排列,有种排法;将要求两两不相邻的k个元素插入(n-k+1)个空隙中,相当于从(n-k+1)个空隙中选出k个分别分配给两两不相邻的k个元素,有种排法;由分步乘法计数原理知,符合条件的排法有种.4.“定序”问题在排列问题中,某些元素在题意中已排定了顺序,对这些元素进行排列时,不再考虑其顺序.在具体的计算过程中,可采用“除序法”解决,即n个元
9、素的全排列中有m(mn)个元素的顺序固定,应除以这m个元素的一个全排列,则满足题意的排法有种.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例13名男生和4名女生站成一排照相,求满足下列情况的不同排法种数.(1)甲、乙均不在两端;(2)男生站在一起、女生站在一起;(3)男生彼此不相邻;(4)甲、乙中间有2个人;(5)若4名女生身高都不等,按从高到低的顺序站;(6)甲不在最左端,乙不在最右端.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析(1)先排两端,在除甲、乙外的5人中任选2人排在两端,有种排法,再将剩余的5人进行全排列,有种排法,所以满足题意的不同排法种数
10、为=2400.(2)3名男生站在一起,有种排法,4名女生站在一起,有种排法,将这两个整体进行全排列,有种排法,所以满足题意的不同排法种数为 =288.(3)先排女生,有种排法,再在女生站位的空(含两端)中插入男生,每空1人,有种排法,所以满足题意的不同排法种数为=1440.(4)在除甲、乙外的5人中任选2人排在甲、乙中间,有 种排法,将上述4人看成一个整体,与余下的3人进行全排列,有种排法,所以满足题意的不同排法种数为 =960.(5)7人全排列,有种排法,4名女生不考虑身高顺序的排法有种,而从高到低顺序站有从左到右和从右到左2种,所以满足题意的不同排法种数为2=420.(6)解法一:若甲在最
11、右端,将剩余的6人进行全排列,有种排法;若甲不在最右端,则甲有第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理种排法,乙有种排法,剩余的5人全排列,有种排法,所以有 种排法.所以满足题意的不同排法种数为+=3720.解法二(间接法):易知甲在最左端或乙在最右端的排法均有种,甲在最左端且乙在最右端的排法有种,将7人进行全排列,有种排法,所以满足题意的不同排法种数为-2+=3720.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理典例2用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个:(1)无重复数字的五位奇数?(2)无重复数字且比1325大的四位数?(3)无重复数字的六位
12、数?若这些六位数按从小到大的顺序排成一列,则240135是该列数的第几项?第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理解析(1)先排个位,有种,再排万位,不能是0和个位所选数字,有种,最后从剩余的4个数字中选3个分别排在十位、百位、千位,有种,所以无重复数字的五位奇数的个数为=288.(2)当千位上的数字大于1时,有 个无重复数字且比1325大的四位数;当千位上的数字是1、百位上的数字大于3时,有 个无重复数字且比1325大的四位数;当千位上的数字是1、百位上的数字是3、十位上的数字大于2时,有 个无重复数字且比1325大的四位数.所以无重复数字且比1325大的四位数的个数为+
13、=270.(3)因为0不能在十万位上,所以无重复数字的六位数的个数为=600.当十万位上的数字为1时,无重复数字的六位数的个数为;当十万位上的数字为2且万位上的数字为0或1或3时,无重复数字的六位数的个数为.第第1讲描述运动的基本概念讲描述运动的基本概念第六章计数原理因为+1=193,所以240135是该列数的第193项.解后反思数字排列问题的本质是“元素”占“位置”问题,因为位置具有唯一性,所以数字排列问题一般逐位思考.含有数字“0”的排列问题中,一般情况下,隐含条件为数字“0”不能在首位,应将数字“0”视为有限制条件的元素优先进行排列.若在一个题目中,除了数字“0”以外还有其他有限制条件的数字,则应考虑该有限制条件的数字对位置的选择会不会影响数字“0”对位置的选择,若有影响,则应分类讨论.