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1、第六章计数原理第六章计数原理 6.2.1 排列排列上午下午相应的排法甲乙丙乙甲丙丙甲乙甲丙甲乙乙甲乙丙丙甲丙乙问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？解：第一步：确定参加上午活动的同学即从3名中任选1名，有3种选法.第二步：确定参加下午活动的同学，有2种方法根据分步计数原理：32=6 即共6种方法。把上面问题中被取出的对象叫做元素,于是问题就可以叙述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个
2、，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题2：从1，2，3，4这4个数中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。百十个从4个不同的元素a,b,c,d 中任取3个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;
3、cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？（一）排（一）排 列列一般地，从n个不同元素中取出m(m n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：说明：（1）、元素不能重复.n个中不能重复，m个中也不能重复（2）、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。（3）、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。（4）、mn时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。（5）、为了使写出的所有排列
4、情况既不重复也不遗漏，最好采用“树形图”例例1.1.某省中学生足球赛每组有某省中学生足球赛每组有6 6支队，每支队都支队，每支队都要与同组的其他各队在主、客场分别比赛要与同组的其他各队在主、客场分别比赛1 1场，场，那么每组共进行多少场比赛？那么每组共进行多少场比赛？（有多少种排列方式）（有多少种排列方式）分析：每组任意分析：每组任意2 2支队之间进行的支队之间进行的1 1场比赛，可以看作场比赛，可以看作是从该组是从该组6 6支队中选支队中选2 2支，按支，按“主队、客队主队、客队”的顺序排的顺序排成一个排列成一个排列.解：解：可以先从可以先从6 6支队选支队选1 1支队为主队，然后从剩支队为
5、主队，然后从剩下的下的5 5支队中选支队中选1 1支队为客队，按分步乘法计数支队为客队，按分步乘法计数原理，每组进行的比赛场数为原理，每组进行的比赛场数为:65=30.:65=30.11例例2 2.(1)(1)一张餐桌上有一张餐桌上有5 5盘不同的菜，甲、乙、丙盘不同的菜，甲、乙、丙3 3名同名同学每人从中各取学每人从中各取1 1盘菜，共有多少种不同的取法？盘菜，共有多少种不同的取法？(2)(2)学校食堂的一个窗口共卖学校食堂的一个窗口共卖5 5种菜，甲、乙、丙种菜，甲、乙、丙3 3名同名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？分析分析:3 3名同学每
6、人从名同学每人从5 5盘不同菜中取盘不同菜中取1 1盘菜，可看作从盘菜，可看作从5 5盘菜中任盘菜中任取取3 3盘放在盘放在3 3个位置个位置(给给3 3名同学名同学)的一个排列；的一个排列；解：解：(1)(1)可以先从这可以先从这5 5盘菜中取盘菜中取1 1盘给同学甲盘给同学甲,然后从剩下然后从剩下4 4盘菜中取盘菜中取1 1盘给同学乙盘给同学乙,最后从剩下的最后从剩下的3 3盘菜中取盘菜中取1 1盘给盘给同学丙同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为按分步乘法计数原理，不同的取法种数为:543=60.:543=60.12(2)2)可以先让同学甲从可以先让同学甲从5 5种菜中选种菜中选1
7、 1种，有种，有5 5种选法种选法;再让再让同学乙从同学乙从5 5种菜中选种菜中选1 1种，有种，有5 5种选法；最后让同学丙从种选法；最后让同学丙从5 5种菜中选种菜中选1 1种，同样有种，同样有5 5种选法种选法.按分步乘法计数原理，按分步乘法计数原理，不同的取法种数为不同的取法种数为:555=125.:555=125.例例2 2.(1)(1)一张餐桌上有一张餐桌上有5 5盘不同的菜，甲、乙、丙盘不同的菜，甲、乙、丙3 3名同名同学每人从中各取学每人从中各取1 1盘菜，共有多少种不同的取法？盘菜，共有多少种不同的取法？(2)(2)学校食堂的一个窗口共卖学校食堂的一个窗口共卖5 5种菜，甲、
8、乙、丙种菜，甲、乙、丙3 3名同名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？学每人从中选一种，共有多少种不同的选法？例3.(1)8个人排成一排,共有多少种不同的排法?(2)8个人排成两排,前后两排各4人共有多少种不同的排法?(3)8个人排成两排,前排3人,后排5人,共有多少种不同的排法?(二)排 列 数从n个不同的元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数,用符号 表示问题1中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为 ,已经算得问题2中是求从4个不同元素中取出3个元素的排列数，记为，已经算出探究：从n个不同元素中取出2个元素的排列数 是多少？呢？（
9、1）右边第一个因数是n，后面依次减1；（2）最后一个因数是n-m+1；（3）共有m个连续正整数相乘.排列数公式：当mn时，我们把我们把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元个元素的一个素的一个全排列全排列.我们规定，我们规定，0 0！=1=11 1！=1=1；2 2！=2=21=21=23 3！=3=32 21=61=64 4！=4=43 32 21=241=24正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用 表示n个不同元素的全排列公式：例例4 4：计算：计算：解：解：根据排列数公式，可得：根据排列数公式，可得：例例4.4.计算：计算：思考：思考：由例由例3
10、 3可以看到可以看到观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？观察这两个结果，从中你发现它们的共性吗？解：解：根据排列数公式，可得：根据排列数公式，可得：排列数公式二说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明或解方程。2、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。(三)典 例 解 析例1、某年全国足球甲级A组联赛共有14个队参 加，每队要与其余各队在主、客场分别比 赛一次，共进行多少场比赛？解：14个队中任意两队进行1次主场比赛与1次客场比赛，对应于从14个元素中任取2个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是例2：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？百位十
11、位个位解法一：对排列方法分步思考从位置出发解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：百位 十位 个位0百位 十位 个位0百位 十位 个位根据加法原理从元素出发分析解法三：间接法.从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，所求的三位数的个数是其中以0为排头的排列数为 .逆向思维法百位十位个位千位万位例3：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？百位十位个位千位万位例4：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？例5：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.
12、30种 B.360种 C.720种 D.1440种 C例6、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少种不同的排法？女生必须全排在一起女生必须全分开相离问题插空法相邻问题捆绑法例6、三个女生和五个男生排成一排，以下各有多少种不同的排法？两端都不能排女生两端不能都排男生特殊元素和特殊位置优先法例7：有3个男生和4个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）甲只能排在正中间或两端；（2）甲、乙必须在两端；（3）甲不在最左端，乙不在最右端；（4）男、女各排在一起；（5）男生必须排在一起.例7：有3个男生和4个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（6）男生不能排在一起；（7）男、女生各不相邻；（8）甲、乙中间必须有2人；（9）甲必须在乙的左边（不一定相邻）；（10）甲、乙、丙三人自左向右的顺序不变（不一定相邻）课堂小结1.排列2.排列数公式3.排列问题常用解题思路：间接法、插空法、捆绑法1、优化第6页做一做2-2课后作业