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1、6.2.3 组合与组合数公式1 1理解组合与组合数的概念理解组合与组合数的概念2 2会推导组合数公式，并会应用公式求值会推导组合数公式，并会应用公式求值3 3会用组合数公式解决简单的组合问题会用组合数公式解决简单的组合问题问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天的一项活动，其中名去参加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天一项活动，有多少种名
2、去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3从已知的从已知的3 3个不个不同元素中每次取同元素中每次取出出2 2个元素，按个元素，按照一定的顺序排照一定的顺序排成一列成一列.问题问题1 1从已知的从已知的3 3个个不同元素中每不同元素中每次取出次取出2 2个元个元素，并成一组素，并成一组问题问题2 2有有顺顺序序无无顺顺序序排列排列组合组合 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫做从个元素并成一组，叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合组合的概念组合的概念
3、 排列与组合排列与组合的概念有什么共的概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？共同点共同点:都要都要“从从 n 个不同元素中任取个不同元素中任取 m 个元素个元素”不同点不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.例如，在上述探究问题中，例如，在上述探究问题中，“甲乙甲乙”和和“乙甲乙甲”的元素完全相同，但元素的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列.组合与排列的区别组合与排列的区别:组合组合排列排列甲乙甲乙甲甲丙丙，丙丙甲甲甲丙甲丙甲乙，乙甲甲乙，乙甲乙丙乙
4、丙乙乙丙丙，丙丙乙乙例例1 1 判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设集合A=A=a，b，c，d，e，则集合，则集合A A的含有的含有3 3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次?(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览，
5、有多少种不同的方法个游览，有多少种不同的方法?组合数组合数例如例如:从从3 3个不同的元素中取出个不同的元素中取出2 2个元素的组合数个元素的组合数表示为表示为 ，从，从4 4个不同个不同元素中取出元素中取出3 3个元素的组合数表示为个元素的组合数表示为 .从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从个元素的所有组合的个数，叫做从n个不个不同元素中取出同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.思考：思考：从从 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的组合数个元素的组合数 是多少呢？是多少呢？一般地，求从一般地，求从 n 个
6、不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的排列数，可以分为以下个元素的排列数，可以分为以下2 2步：步：前面已经提到，组合与排列相互联系，我们可以利用这种联系，求出前面已经提到，组合与排列相互联系，我们可以利用这种联系，求出组合数组合数 .第第1 1步，先求出从这步，先求出从这 n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m 个元素的组合数个元素的组合数 第第2 2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 m 个元素的全排列数个元素的全排列数 根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：.因此：因此：这里这里 ，且，且 ，这个公式叫做，这个公式叫做组合数公式组合数公式 所以，上面的组合数公式还可以
7、写成所以，上面的组合数公式还可以写成因为因为另外，我们规定：另外，我们规定：.例例2.2.计算计算(1)(1)(2)(2)(3)(4)(3)(4)解：解：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)1.1.计算计算(1)(1)(2)(2)2.2.已知已知 ，求，求n.3.3.求证求证:(1)(2)(1)(2)简单的组合问题简单的组合问题例例3.3.现有现有1010名教师，其中名教师，其中6 6名男教师，名男教师，4 4名女教师名女教师(1)(1)现要从中选现要从中选2 2名去参加会议，有多少种不同的选法？名去参加会议，有多少种不同的选法？(2)(2)现要从中选出男、女教师各现要从中选出男、
8、女教师各2 2名去参加会议，有多少种不同的选法？名去参加会议，有多少种不同的选法？解：解：(1)(1)从从1010名教师中选名教师中选2 2名去参加会议的选法数，就是从名去参加会议的选法数，就是从1010个不同元素中个不同元素中取出取出2 2个元素的组合数，即有个元素的组合数，即有 (种种)(2)(2)从从6 6名男教师中选名男教师中选2 2名的选法有名的选法有 种，从种，从4 4名女教师中选名女教师中选2 2名的选法有名的选法有 种根据分步乘法计数原理，得共有不同的选法种根据分步乘法计数原理，得共有不同的选法 (种种)2.2.在一次物理竞赛中，某学校有在一次物理竞赛中，某学校有1010人通过了初试，学校要从中选出人通过了初试，学校要从中选出4 4人参人参加县级培训加县级培训(1)(1)甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？甲、乙二人必须参加，有多少种不同的选法？(2)(2)甲、乙二人不能参加，有多少种不同的选法？甲、乙二人不能参加，有多少种不同的选法？(3)(3)甲、乙二人只能有甲、乙二人只能有1 1人参加，有多少种不同的选法？人参加，有多少种不同的选法？排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系