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1、6.6.2.42.4组合数组合数人教A版2019必修第三册组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m（mnmn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m m个元素的一个个元素的一个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个元素，个元素，按照一定的顺序按照一定的顺序排成一列排成一列，叫做从，叫做从 n n 个不同元素中取出个不同元素中取出 m m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取m
2、 m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.复习引入排列数的概念与公式：我们把从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.其公式为：问题：能否通过类比得出组合数的概念呢？复习引入组合数：组合数：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同个元素的所有不同组合的个数组合的个数，叫做，叫做从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.组合的第一个字母元素总数取出元素数m，n所满足
3、的条件是：(1)mN*，nN*；(2)mn.例如，从例如，从3个不同元素中任取个不同元素中任取2个元素的组合数为个元素的组合数为从从4个不同元素中任取个不同元素中任取3个元素的组合数为个元素的组合数为符号符号 中的中的C是英文是英文combination(组组合合)的第一个字母的第一个字母.组组合数合数还还可以用符号可以用符号 表示表示.组合数是一个正整数 “一个组合”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素合成一组”，它不是一个数；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个非零自然数.组合与组合数的区别：思考：思考：探究探究 前面已经提到，组合和排
4、列有关系，我们能否利用这种关系，由前面已经提到，组合和排列有关系，我们能否利用这种关系，由排列数排列数 来求组合数来求组合数 呢呢?3个不同元素a,b,c中取出2个共有ab,ac,bc 3个不同的组合，4个不同元素a,b,c,d中取出3个共有abc,abd,acd,bcd 4个不同的组合，4个不同元素a,b,c,d中取出3个元素的排列数为3个不同元素a,b,c中取出2个元素的排列数为下面我们就来探究下面我们就来探究 环节二：问题探究，导出公式组合元素相同，顺序不同，两组合相同排列元素相同，顺序也相同，两排列才相同问题1：组合数 等于多少呢？从甲、乙、丙3个元素中取出2个元素环节二：问题探究，导
5、出公式问题2：从4个不同元素中取出3个元素的组合数 分析：类比求 的过程，假设这4个元素分别为 ，从中取出3个元素的排列数为 ，分别为以下情况：第一步（取出）有种不同的组合第二步（排序）有 种不同的排列每一种组合组内根据分步乘法的计数原理，有 ,环节二：问题探究，导出公式问题3：如何将结论从特殊推广到一般的情况呢？求“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”，可以看作由以下两个步骤得到：第1步：从n个不同元素中取出m个元素作为一组，有 种不同的组合；第2步：将取出的m个元素作全排列，有 种不同的排列；最后，根据分布乘法计数原理有 .这里的n,mN*，并且mn，这个公式叫做组合数公式.组合数公式：
6、组合数公式：另外，我们规定所以上面的公式还可以写成环节三：应用举例，解决问题解：根据组合数计算公式可得：例1 计算：（1）；（2）；（3）；（4）思考：观察这两组结果，你有什么发现？拓展内容1：在例题中，我们发现 与 ，与 都是相同的数.与 与 与它们的上标之和等于下标组合数的性质1：取出m个元素剩下的n-m个元素表示从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示从n个不同元素中取出n-m个元素的组合数拓展内容1：等式左边等式右边所以左边=右边，证毕.证明组合数性质1：性质性质1性质性质2组合数的性质：组合数的性质：例例7 在在100件产品中件产品中,有有98件合格品件合格品,2件次品件次品.从这从
7、这100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件件.(1)有多少种不同的抽法有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?解：解：(1)所有的不同抽法种数，就是从所有的不同抽法种数，就是从100件件产产品中抽出品中抽出3件的件的组组合数，所以合数，所以抽法种数抽法种数为为(2)从2件次品中抽出1件的抽法有 种，从98件合格品中抽出2件的抽法有 种，因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法种数为 从从100件件产产品抽出的品抽出的3件中至少有件中至少有1件
8、是次品，包括有件是次品，包括有1件次品件次品和有和有2件次品两种情况，因此根据分件次品两种情况，因此根据分类类加法加法计计数原理，抽出的数原理，抽出的3件中至少件中至少有有1件是次品的抽法种数件是次品的抽法种数为为（3）解）解1(直接法直接法)：解解2(间间接法接法)：抽出的抽出的3 件中至少有件中至少有1件是次品的抽法种数，就是从件是次品的抽法种数，就是从100件件产产品中抽出品中抽出3件的抽法种数减去件的抽法种数减去3件都是合格品的抽法种数，即件都是合格品的抽法种数，即 课堂小结1.组合数的定义和表示 把从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个
9、元素的组合数，并用符号 表示.2.组合数的公式3.组合数的性质课堂练习（课本课堂练习（课本P25P25）解：解：1.计算：计算：证证明：明：2.求证：求证：3.有政治、历史、地理、物理、化学、生物这有政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门学科的学业水平考试成门学科的学业水平考试成绩，现要从中选绩，现要从中选3门考试成绩门考试成绩.(1)共有多少种不同的选法共有多少种不同的选法?(2)如果物理和化学恰有如果物理和化学恰有1门被选，那么共有多少种不同的选法门被选，那么共有多少种不同的选法?(3)如果物理和化学至少有如果物理和化学至少有1门被选，那么共有多少种不同的选法门被选，那么共有多少种不同的
10、选法?解：解：THANKS“”创新设计习题讲解创新设计习题讲解9.5n10.5.nN*，n10，3305因此因此x12x2或或x12x216，x3(舍舍)或或x5.训训练练2 现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？题型三与几何有关的组合问题例例3 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4.(1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中
11、含C1点的有多少个？(2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？训训练练4 大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的10个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时填报，则该考生有_种不同的填报专业志愿的方法(用数字作答).672创新设计习题讲解创新设计习题讲解分层精练分层精练索引12345678910 11 12 13 147创新设计习题讲解创新设计习题讲解每日一刻钟每日一刻钟1237 3151233.在MON的边OM上有5个异于O的点，ON上有4个异于O的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？123ON上的上的5个点个点(含含O)中任取三点也不能得到三角形中任取三点也不能得到三角形.