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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数学（理科）第卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2014年福建，理1，5分】复数的共轭复数等于（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】由复数，得复数的共轭复数，故选C【点评】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题（2）【2014年福建，理2，5分】某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是（ ）（A）圆柱 （B）圆锥 （C）四面体 （D）三棱柱【答案】A【解析】由空间几何体的三视图可知，圆柱的正视图、侧视图、
2、俯视图都不可能是三角形，故选A【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查逻辑推理能力和空间想象力，是基础题（3）【2014年福建，理3，5分】等差数列的前项和，若，则（ ）（A）8 （B）10 （C）12 （D）14【答案】C【解析】设等差数列的公差为，由等差数列的前项和公式，得，解得，则，故选C【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题（4）【2014年福建，理4，5分】若函数的图像如右图所示，则下列函数图象正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】由函数的图像过点，得选项A中的函数为，则其函数图像不正确；选项B中的函数为，则其函数图像正确；选项C中的函数为，
3、则其函数图像不正确；选项D中的函数为，则其函数图像不正确，故选B【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及幂函数的图象，属基础题（5）【2014年福建，理5，5分】阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的得值等于（ ）（A）18 （B）20 （C）21 （D）40【答案】B【解析】输入，第一次循环，；第二次循环， ；第三次循环，满足，结束循环，故选B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键（6）【2014年福建，理6，5分】直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充分必要条件 （D）既不
4、充分又不必要条件【答案】A【解析】由直线与圆相交，得圆心到直线l的距离，解得当时，则的面积为；当时，同理可得的面积为，则“”是“的面积为”的充分不必要条件，故选A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角形的面积公式，以及半径半弦之间的关系是解决本题的关键（7）【2014年福建，理7，5分】已知函数，则下列结论正确的是（ ）（A）是偶函数 （B）是增函数 （C）是周期函数 （D）的值域为【答案】D【解析】由函数的解析式知，则不是偶函数；当时，令，则在区间上是增函数，且函数值；当时，则在区间上不是单调函数，且函数值；函数不是单调函数，也不是周期函数，其值域为，故选D【点评】本题考查分
5、段函数的性质，涉及三角函数的性质，属基础题（8）【2014年福建，理8，5分】在下列向量组中，可以把向量表示出来的是（ ）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由向量共线定理，选项A，C，D中的向量组是共线向量，不能作为基底；而选项B中的向量组不共线，可以作为基底，故选B 【点评】本题主要考查了向量的坐标运算，根据列出方程解方程是关键，属于基础题（9）【2014年福建，理9，5分】设分别为和椭圆上的点，则两点间的最大距离是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】设圆心为点，则圆的圆心为，半径设点是椭圆上任意一点，则，即，当时，有最大值，则，两点间的最大距离为，故选D【点评】本
6、题考查椭圆、圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题（10）【2014年福建，理10，5分】用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和篮球都取出来依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球5个无区别的蓝球5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】从5个无区别的红球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况
7、，则其所有取法为；从5个无区别的蓝球中取出若干个球，由所有的蓝球都取出或都不取出，得其所有取法为；从5个有区别的黑球中取出若干个球，可以1个球都不取、或取1个、2个、3个、4个、5个球，共6种情况，则其所有取法为，根据分步乘法计数原理得，适合要求的取法是，故选A【点评】本题主要考查了分步计数原理和归纳推理，合理的利用题目中所给的实例，要遵循其规律，属于中档题第卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分把答案填在答题卡的相应位置（11）【2014年福建，理11，4分】若变量满足约束条件则的最小值为 【答案】1【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，把变形为
8、，则当直线经过点时，最小，将点代入，得，即的最小值为1【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法（12）【2014年福建，理12，4分】在中，则的面积等于 【答案】【解析】由，得，则，即的面积等于【点评】本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角，求它的面积正余弦定理、解直角三角形、三角形的面积公式等知识，属于基础题（13）【2014年福建，理13，4分】要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是 （单位：元）【答案】160【解析】设底面矩形的一边长为，由容器的容积为4m
9、3，高为1m得，另一边长为m记容器的总造价为元，则(元)，当且仅当，即时，等号成立因此，当时，y取得最小值160元，即容器的最低总造价为160元【点评】本题以棱柱的体积为载体，考查了基本不等式，难度不大，属于基础题（14）【2014年福建，理14，4分】如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为 【答案】【解析】因为函数的图像与函数的图像关于正方形的对角线所在直线对称， 则图中的两块阴影部分的面积为，故根据几何概型的概率公式得，该粒黄豆落到阴影部分的概率【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到（15）【2014年福
10、建，理15，4分】若集合，且下列四个关系：；有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组的个数是 _【答案】6【解析】若正确，则不正确，可得b1不正确，即b1，与a1矛盾，故不正确；若正确，则不正确，由不正确，得；由，得满足条件的有序数组为，或，若正确，则不正确，由不正确，得；由不正确，得，则满足条件的有序数组为，；若正确，则不正确，由不正确，得，由，得满足条件的有序数组为，或，或，；综上所述，满足条件的有序数组的个数为6【点评】本题考查集合的相等关系，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键三、解答题：本大题共6题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 （16）【2014年福建，理16
11、，13分】已知函数（1）若，且，求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间解：解法一：（1）因为， ，所以所以（2），由，得所以的单调递增区间为解法二：，（1）因为，所以，从而（2），由得所以的单调递增区间为【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用考查了学生对基础知识的综合运用（17）【2014年福建，理17，13分】在平行四边形中，将沿折起，使得平面平面，如图（1）求证：；（2）若为中点，求直线与平面所成角的正弦值解：（1）因为平面，平面平面平面，所以平面 又平面，所以（2）过点在平面内作，如图由（1）知平面平面 平面，所以以为坐标原点,分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐
12、标系依题意,得则设平面的法向量则，即取，得平面的一个法向量设直线与平面所成角为，则，即直线与平面所成角的正弦值为【点评】本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题（18）【2014年福建，理18，13分】为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 顾客所获的奖励额为60元的概率； 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；（2）商场对奖励总额的预算是6
13、0000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由解：（1）设顾客所获的奖励为 依题意,得即顾客所获得的奖励额为60元的概率为依题意,得X的所有可能取值为20，60即的分布列为20600.50.5所以顾客所获得的奖励额的期望为（元） （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元所以先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的
14、最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以数学期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励为，则的分布列为：2060100的期望为，的方差为对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励为，则的分布列为：406080的期望为，的方差为由于
15、两种方案的奖励额都符合要求，但方案2奖励的方差比方案1的小，所以应该选择方案2【点评】本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查了数据处理能力，运算求解能力，应用意识，考查了必然与或然思想与整合思想（19）【2014年福建，理19，13分】已知双曲线的两条渐近线分别为（1）求双曲线的离心率；（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，四象限），且的面积恒为8，试探究：是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线？若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由解：（1）因为双曲线E的渐近线分别为和所以,从而双曲线E的离心率（2）由（1）知，双曲线E
16、的方程为设直线与轴相交于点当轴时，若直线与双曲线有且只有一个公共点，则，又因为的面积为8，所以此时双曲线的方程为若存在满足条件的双曲线，则的方程只能为以下证明:当直线不与轴垂直时，双曲线：也满足条件设直线的方程为，依题意,得或则，记由，得，同理得由得： 即由得，因为，所以，又因为所以，即与双曲线有且只有一个公共点因此，存在总与有且只有一个公共点的双曲线，且的方程为【点评】本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类讨论思想、函数与方程思想（20）【2014年福建，理20，14分】已知函数（为
17、常数）的图像与轴交于点，曲线在点处的切线斜率为（1）求的值及函数的极值；（2）证明：当时，；（3）证明：对任意给定的正数，总存在，使得当，恒有解：解法一：（1）由，得又,得所以令，得当时, 单调递减；当时，单调递增所以当时，取得极小值,且极小值为无极大值（2）令，则由（1）得，故在R上单调递增，因此，当时，即（3）若，则又由（2）知，当时，所以当时，取，当时，恒有若，令，要使不等式成立，只要成立而要使成立，则只 要，只要成立令，则所以当时, 在内单调递增取，所以在内单调递增又易知所以即存在，当时，恒有综上，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有解法二：（1）同解法一（2）同解法一（3）对任意给定
18、的正数，取，由（2）知，当时，所以，当时，因此，对任意给定的正数，总存在，当时，恒有【点评】本题主要考查基本初等函数的导数、导数的运算及导数的应用、全称量词、存在量词等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力，考查函数与方程思想、有限与无限思想、划归与转化思想、分类与整合思想、特殊与一般思想属难题本题设有三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，作答时，先用2B铅笔在答题卡上所选题目对应题号右边的方框涂黑，并将所选题号填入括号中（21）【2014年福建，理21（1），7分】（选修4-2：矩阵与变换）已知矩阵的逆矩阵（1）求矩阵；（2）求矩
19、阵的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量解：（1）因为矩阵是矩阵的逆矩阵,且，所以（2）矩阵的特征多项式为，令，得矩阵的特征值为或，所以是矩阵的属于特征值的一个特征向量是矩阵的属于特征值的一个特征向量【点评】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识，属于基础题（21）【2014年福建，理21（2），7分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知直线的参数方程为，（为参数），圆的参数方程为，（为参数）（1）求直线和圆的普通方程；（2）若直线与圆有公共点，求实数的取值范围解：（1）直线的普通方程为圆的普通方程为（2）因为直线与圆有公共点，故圆的圆心到直线的距离，解得【点评】熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键（21）【2014年福建，理21（3），7分】（选修4-5：不等式选讲）已知定义在R上的函数的最小值为（1）求的值；（2）若为正实数，且，求证：解：（1）因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值等于3，即（2）由（1）知，又因为是正数，所以，即【点评】本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想8