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1、2014年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（1）【2014年湖北，理1，5分】为虚数单位，则（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】因为，故选A【点评】本题考查复数的运算，容易题（2）【2014年湖北，理2，5分】若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）（A）2 （B） （C）1 （D）【答案】D【解析】因为，令，得，解得，故选D【点评】本题考查二项式定理的通项公式，容易题（3）【2014年湖北，理3，5分】设为全集，是集合，则“存在集合使得，是“”的（ ）（A
2、）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】依题意，若，则，可得；若，不能推出，故选A【点评】本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件判断，容易题（4）【2014年湖北，理4，5分】根据如下样本数据3456784.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回归方程为，则（ ）（A）， （B）， （C）， （D），【答案】B【解析】依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以，故选B【点评】本题考查根据已知样本数判断线性回归方程中的与的符号，容易题（5）【2014年湖北，理5，5分】在如图所示的空间直角坐标系中，一个四面体的顶点坐标分
3、别是，给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ）（A）和（B）和（C）和（D）和【答案】D【解析】在坐标系中标出已知的四个点，根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为与俯 视图为，故选D【点评】本题考查空间由已知条件，在空间坐标系中作出几何体的形状，再正视图与俯视图， 容易题（6）【2014年湖北，理6，5分】若函数，满足，则称，为区间 上的一组正交函数，给出三组函数：，；，；,，其中为区间的正交函数的组数是（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3【答案】C【解析】对，则，为区间上的正交函数； 对，则，不为区间上的正交函数； 对，则，为区间上的正交函数，所以满足条件的正交函
4、数有2组，故选C【点评】新定义题型，本题考查微积分基本定理的运用，容易题（7）【2014年湖北，理7，5分】由不等式确定的平面区域记为，不等式，确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】D【解析】依题意，不等式组表示的平面区域如图，由几何公式知，该点落在内的概率为： ，故选D【点评】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，中等题（8）【2014年湖北，理8，5分】算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一该术相当于给
5、出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，所以，即的近似值为，故选B【点评】本题考查算数书中的近似计算，容易题（9）【2014年湖北，理9，5分】已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）（A） （B） （C）3 （D）2【答案】B 【解析】设椭圆的短半轴为，双曲线的实半轴为，半焦距为，由椭圆、双曲线的定义得，所以，因为，由余弦定理得：，所以，即，利用基本
6、不等式可得椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为，故选B【点评】本题椭圆、双曲线的定义和性质，余弦定理及用基本不等式求最值，难度中等（10）【2014年湖北，理10，5分】已知函数是定义在上的奇函数，当时， ，若，则实数的取值范围为（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B【解析】依题意，当时，作图可知，的最小值为，因为函数为奇函数，所以当时，的最大值为，因为对任意实数都有，所以，解得，故实数的取值范围是，故选B【点评】本题考查函数的奇函数性质、分段函数、最值及恒成立，难度中等二、填空题：共6小题，考生需作答5小题，每小题5分，共25分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清
7、，模棱两可均不得分（一）必考题（11-14题）（11）【2014年湖北，理11，5分】设向量，若，则实数 【答案】【解析】因为，因为，所以，解得【点评】本题考查平面向量的坐标运算、数量积，容易题（12）【2014年湖北，理12，5分】直线和将单位圆分成长度相等的四段弧，则 【答案】2【解析】依题意，圆心到两条直线的距离相等，且每段弧的长度都是圆周的，即，所以，故【点评】本题考查直线与圆相交，点到直线的距离公式，容易题（13）【2014年湖北，理13，5分】设是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数将组成的3个数字按从小到大排成的三位数记为，按从大到小排成的三位数记为（例如，则，）阅读如图所
8、示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，输出的结果 【答案】495【解析】当，则，当，则；当，则，终止循环，故输出【点评】新定义题型，本题考查程序框图，当型循环结构，容易题（14）【2014年湖北，理14，5分】设是定义在上的函数，且，对任意,，若经过点,的直线与轴的交点为，则称为,关于函数的平均数，记为，例如，当时，可得，即为的算术平均数（1）当=_（）时，为的几何平均数；（2）当=_（）时，为的调和平均数；（以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可）【答案】（1）（2）（或填（1）（2），其中为正常数均可）【解析】设，则经过点，的直线方程为，令，所以，所以当，为的调和平均数【点评】本题
9、考查两个数的几何平均数与调和平均数，难度中等（一）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B铅笔涂黑，如果全选，则按第15题作答结果计分）（15）【2014年湖北，理15，5分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，为的两条切线，切点分别为，过的中点作割线交于两点，若，则_【答案】【解析】由切割线定理得，所以，【点评】本题考查圆的切线长定理，切割线定理，容易题（16）【2014年湖北，理16，5分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线的参数方程是（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是，则与交点的直
10、角坐标为【答案】【解析】由，消去得，由得，解方程组，得与的交点坐标为【点评】本题考查参数方程，极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，曲线的交点，容易题 三、解答题：共6题，共75分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程（17）【2014年湖北，理17，11分】某实验室一天的温度（单位：）随时间（单位：h）的变化近似满足函数关系；（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于，则在哪段时间实验室需要降温？解：（1）因为，又，所以，当时，；当时，于是在上取得最大值12，取得最小值8，故实验室这一天最高温度为12，最低温度为8，最大温差为4 （2）依题意，当时实验室需要降温，由（1）得，
11、故有，即，又，因此，即，在10时至18时实验室需要降温 （18）【2014年湖北，理18，12分】已知等差数列满足：，且成等比数列（1）求数列的通项公式；（2）记为数列的前n项和，是否存在正整数n，使得?若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由解：（1）设数列的公差为，依题意，成等比数列，故有，化简得，解得或，当时，；当时，从而得数列的通项公式为或（2）当时，显然，此时不存在正整数，使得成立，当时，令，即，解得或（舍去），此时存在正整数，使得成立，的最小值为41综上，当时，不存在满足题意的；当时，存在满足题意的，其最小值为41（19）【2014年湖北，理19，12分】如图，在棱长为2的正方体中
12、，分别是棱的中点，点分别在棱，上移动，且（1）当时，证明：直线平面；（2）是否存在，使平面与面所成的二面角？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：解法一：（1）如图1，连接，由是正方体，知，当时，是的中点，又是 的中点，所以，所以，而平面，且平面，故直线平面 （2）如图2，连接，因为，分别是，的中点， 所以，且，又，所以四边形是平行四边形，故，且，从而，且，在和中，因为，于是，所以四边形是等腰梯形同理可证四边形是等腰梯形分别取的中点为，连接，则，而，故是面与面所成的二面角的平面角若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，连接，则由，且，知四边形是平行四边形，连接，因为，是，的中点，所以，在
13、中，由，得，解得，故存在，使面与面所成的二面角为直二面角 解法二：以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系，由已知得，（1）当时，因为，所以，即，而平面，且平面，故直线平面 （2）设平面的一个法向量为，则由，可得，于是可取，同理可得平面的一个法向量为，若存在，使面与面所成的二面角为直二面角，则，即，解得故存在，使面与面所成的二面角为直二面角 （20）【2014年湖北，理20，12分】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和单位：亿立方米）都在40以上其中，不足80的年份有10年，不低于80且
14、不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立（1）求未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（2）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制，并有如下关系；若某台发电机运行，则该台年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？年入流量X40X120发电机最多可运行台数123解：（1）依题意，由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为（2）记水电站年总利润为（单位：万元）（1）安装1台发
15、电机的情形：由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润（2）安装2台发电机的情形：依题意，当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，（3）安装3台发电机的情形：当时，一台发电机运行，此时，因此；当时，两台发电机运行，此时，因此；当时，三台发电机运行，因此，由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台（21）【2014年湖北，理21，14分】在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为（1
16、）求轨迹为的方程；（2）设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹好有一个公共点，两个公共点，三个公共点时的相应取值范围解：（1）设点，依题意得，即，化简整理得，故点的轨迹的方程为（2）在点的轨迹中，记，依题意，可设直线的方程为，由方程组，可得 （1）当时，此时，把代入轨迹的方程，得，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（2）当时，方程的判别式为 设直线与轴的交点为，则由，令，得 （）若由解得，或，即当时，直线与没有公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有一个公共点（）若或，由解得，或，即当时，直线与 只有一个公共点，与有一个公共点，当时，直线与有两个公共点，与没有公共点，故当时，直线与轨迹恰好有两
17、个公共点（）若由解得，或，即当时，直线与有两个公共点，与有一个公共点，故此时直线与轨迹恰好有三个公共点综合（1）（2）可知，当时，直线与轨迹恰好有一个公共点；当时，直线与轨迹恰好有两个公共点；当时，直线与轨迹恰好有三个公共点（22）【2014年湖北，理22，14分】为圆周率，e =2.71828为自然对数的底数（1）求函数的单调区间；（2）求这6个数中的最大数与最小数；（3）将这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论解：（1）函数的定义域为，因为，所以，当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减故函数的单调递增区间为，单调递减区间为（2）因为，所以，即，于是根据函数，在定义域上单调递增，可得，故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中由及（1）的结论，得，即由，得，所以；由，得，所以综上，6个数中最大数是，最小数是（3）由（2）知，又由（2）知，得故只需比较与和 与的大小，由（1）知，当时，即，在上式中，令，又，则，从而，即得 由得，即，亦即，所以，又由得，即，所以综上可得，即6个数从小到大的顺序为