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1、2021年普通高等学校招生全国统一考试上海卷数学理科第一卷选择题 共50分一、填空题本大题共14小题，共56分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否那么一律得零分1【2021年上海，理1，4分】函数的最小正周期是 【答案】【解析】原式，2【2021年上海，理2，4分】假设复数，其中是虚数单位，那么 【答案】【解析】原式3【2021年上海，理3，4分】假设抛物线的焦点及椭圆的右焦点重合，那么该抛物线的准线方程为 【答案】【解析】椭圆右焦点为，即抛物线焦点，所以准线方程4【2021年上海，理4，4分】设，假设，那么的取值范围为 【答案】【解析】根据题意，5【2021年上
2、海，理5，4分】假设实数，满足，那么的最小值为 【答案】【解析】6【2021年上海，理6，4分】假设圆锥的侧面积是底面积的倍，那么其母线及底面夹角的大小为 结果用反三角函数值表示【答案】【解析】设圆锥母线长为，底面圆半径为，即，即母线及底面夹角大小为7【2021年上海，理7，4分】曲线的极坐标方程为，那么及极轴的交点到极点的距离是 【答案】【解析】曲线的直角坐标方程为，及轴的交点为，到原点距离为8【2021年上海，理8，4分】设无穷等比数列的公比为，假设，那么 【答案】【解析】，9【2021年上海，理9，4分】假设，那么满足的的取值范围是 【答案】【解析】，结合幂函数图像，如以下图，可得的取值
3、范围是10【2021年上海，理10，4分】为强化平安意识，某商场拟在未来的连续天中随机选择天进展紧急疏散演练，那么选择的天恰好为连续天的概率是 结果用最简分数表示【答案】【解析】11【2021年上海，理11，4分】互异的复数满足，集合，那么 【答案】【解析】第一种情况：，及条件矛盾，不符；第二种情况：，即12【2021年上海，理12，4分】设常数使方程在闭区间上恰有三个解，那么 【答案】【解析】化简得，根据以下图，当且仅当时，恰有三个交点，即13【2021年上海，理13，4分】某游戏的得分为，随机变量表示小白玩该游戏的得分假设，那么小白得分的概率至少为 【答案】【解析】设得分的概率为，且，及前
4、式相减得：，即14【2021年上海，理14，4分】曲线，直线 假设对于点，存在上的点和上的使得，那么的取值范围为 【答案】【解析】根据题意，是中点，即，二、选择题本大题共有4题，总分值20分考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否那么一律得零分15【2021年上海，理15，5分】设，那么“是“且的 A充分条件 B必要条件 C充要条件 D既非充分也非必要条件【答案】B【解析】充分性不成立，如，；必要性成立，应选B16【2021年上海，理16，5分】如图，四个棱长为的正方体排成一个正四棱柱，是一条侧棱， 是上底面上其余的八个点，那么的不同值的个数为 A1 B2 C4 D
5、8【答案】A【解析】根据向量数量积的几何意义，等于乘以在方向上的投影，而在方向上的投影是定值，也是定值，为定值，应选A17【2021年上海，理17，5分】及是直线为常数上两个不同的点，那么关于和的方程组的解的情况是 A无论如何，总是无解 B无论如何，总有唯一解 C存在，使之恰有两解 D存在，使之有无穷多解【答案】B【解析】由条件，有唯一解，应选B18【2021年上海，理18，5分】设 假设是的最小值，那么的取值范围为 A B C D【答案】D【解析】先分析的情况，是一个对称轴为的二次函数，当时，不符合题意，排除AB选项；当时，根据图像，即符合题意，排除C选项，应选D三、解答题此题共5题，总分值
6、74分解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19【2021年上海，理19，12分】底面边长为的正三棱锥，其外表展开图是三角形，如图求的各边长及此三棱锥的体积解：根据题意可得共线，同理，是等 边三角形，是正四面体，所以边长为4；20【2021年上海，理20，14分】设常数，函数1假设，求函数的反函数；2根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由解：1， ， 6分2假设为偶函数，那么，整理得，此时为偶函，假设为奇函数，那么，整理得，此时为奇函数，当时，此时既非奇函数也非偶函数 14分21【2021年上海，理21，14分】如图，某公司要在两地连线上的定点处建造广告牌，其中为顶端
7、，长米，长米 设点在同一水平面上，从和看的仰角分别为和1设计中是铅垂方向 假设要求，问的长至多为多少结果准确到米？2施工完成后，及铅垂方向有偏差现在实测得，求的长结果准确 到米解：1设的长为米，那么， ，解得，的长至多为米 6分 2设，那么，解得的长为米 14分22【2021年上海，理22，16分】在平面直角坐标系中，对于直线和点，记 假设，那么称点被直线分割 假设曲线及直线没有公共点，且曲线上存在点被直线分割，那么称直线为曲线的一条分割线1求证：点被直线分割；2假设直线是曲线的分割线，求实数的取值范围；3动点到点的距离及到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直
8、线是的分割线解：1将分别代入，得， 点被直线分割 3分2联立，得，依题意，方程无解，或8分3设，那么，曲线的方程为 当斜率不存在时，直线，显然及方程联立无解，又为上两点，且代入，有，是一条分割线；当斜率存在时，设直线为，代入方程得：，令，那么，当时，即在之间存在实根，及曲线有公共点当时，即在之间存在实根，及曲线有公共点，直线及曲线始终有公共点，不是分割线，综上，所有通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分割线 16分23【2021年上海，理23，18分】数列满足，1假设，求的取值范围；2设是公比为的等比数列， 假设，求的取值范围；3假设成等差数列，且，求正整数的最大值，以及取最大值时相应数列的公差解：1依题意，又，综上可得3分2由得，又， 当时，即，成立； 当时，即， ，此不等式即， 对于不等式，令，得，解得，又当时，成立，当时，即，即，时，不等式恒成立，综上，的取值范围为 10分3设公差为，显然，当时，是一组符合题意的解，那么由得，当时，不等式即，时，解得，的最大值为，此时公差 18分第 5 页