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1、1专题专题 21不等式选讲不等式选讲预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。知识点一、含有绝对值不等式的解法知识点一、含有绝对值不等式的解法1.|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)若 c0，则|axb|c 等价于caxbc，|axb|c 等价于 axbc 或 axbc，然后根据 a，b 的值解出即可.(2)若 c0)，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；
2、将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(x)f(x)g(x)或 f(x)g(x).(2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x).知识点二、不等式的证明知识点二、不等式的证明1.证明不
3、等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理 1：若 a，b 为实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0，等号成立。2定理 2：设 a，b，c 为实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立。推论 1：|a|b|ab|.推论 2：|a|b|ab|.(2)三个正数的算术几何平均不等式：如果 a，b，cR，那么abc33abc，当且仅当 abc 时等号成立。(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，an，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a1a2annna1a2an，并且仅当 a1a2an时等号成立。(4)一般形式的柯西不等式设 a1，a
4、2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，并且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2，n)时，等号成立。2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差变形判断结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负。(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法。(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析
5、使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法。(4)反证法和放缩法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法。证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法。3高频考点一高频考点一解绝对值不等式解绝对值不等式例 1【201
6、9 年高考全国卷理数】已知()|2|().f xxa xxxa（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0f x，求a的取值范围【变式探究】已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.【变式探究】已知函数 123f xxx.（I）在答题卡第（24）题图中画出 yf x的图像；（II）求不等式 1fx 的解集【变式探究】不等式|x1|x2|5 的解集为_高频考点二高频考点二不等式的证明不等式的证明例 2【2019 年高考全
7、国卷理数】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca【变式探究】已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x 的解集（）求M；4（）证明：当,a bM时，|1|abab【变式探究】设 a、b、c、d 均为正数，且 abcd，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd|的充要条件【变式探究】已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数设集合 M0，1，2，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当 q2，n3 时，用列举法表示集合 A；(
8、2)设 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中 ai，biM，i1，2，n.证明：若 anbn，则 s2xx 1.（2018 年全国 I 卷理数）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求 的取值范围.2.（2018 年全国卷理数）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求 的取值范围53.（2018 年全国卷理数）设函数（1）画出的图像；（2）当，求的最小值4.（2018 年江苏卷）选修 45：不等式选讲若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求的最小值1.【2017 课标 II，理 23】已知330,0,2abab。证明：（1）55()(
9、)4ab ab；（2）2ab。2.【2017 课标 1，理】已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.1.【2016 高考新课标 1 卷】已知函数 123f xxx.（I）在答题卡第（24）题图中画出 yf x的图像；（II）求不等式 1fx 的解集62.【2016 高考新课标 2 理数】已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x 的解集（）求M；（）证明：当,a bM时，|1|abab 3.【2016 高考新课标 3 理数】已知函数()
10、|2|f xxaa（I）当2a 时，求不等式()6f x 的解集；（II）设函数()|21|g xx当xR时，()()3f xg x，求a的取值范围7专题专题 21不等式选讲不等式选讲预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。知识点一、含有绝对值不等式的解法知识点一、含有绝对值不等式的解法1.|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法(1)若 c0，则|axb|c 等价于caxbc，|axb|c 等价于 axbc 或 axbc，然后根据 a，b 的值解出即可.(2)若 c0)，|xa|xb|
11、c(c0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由于|xa|xb|与|xa|xb|分别表示数轴上与x对应的点到a，b对应的点的距离之和与距离之差，因此对形如|xa|xb|0)或|xa|xb|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3.|f(x)|g(x)，|f(x)|0)型不等式的解法(1)|f(x)|g(
12、x)f(x)g(x)或 f(x)g(x).(2)|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x).知识点二、不等式的证明知识点二、不等式的证明1.证明不等式的常用结论(1)绝对值的三角不等式定理 1：若 a，b 为实数，则|ab|a|b|，当且仅当 ab0，等号成立。8定理 2：设 a，b，c 为实数，则|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0 时，等号成立。推论 1：|a|b|ab|.推论 2：|a|b|ab|.(2)三个正数的算术几何平均不等式：如果 a，b，cR，那么abc33abc，当且仅当 abc 时等号成立。(3)基本不等式(基本不等式的推广)：对于 n 个正数 a1，a2，a
13、n，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即a1a2annna1a2an，并且仅当 a1a2an时等号成立。(4)一般形式的柯西不等式设 a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(a21a22a2n)(b21b22b2n)(a1b1a2b2anbn)2，并且仅当 bi0(i1，2，n)或存在一个数 k，使得 aikbi(i1，2，n)时，等号成立。2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差变形判断结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负。(2)综合法利用某些已经证明
14、过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果”的方法。(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法。(4)反证法和放缩法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法。证明不等式时，通过把不
15、等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法。9高频考点一高频考点一解绝对值不等式解绝对值不等式例 1【2019 年高考全国卷理数】已知()|2|().f xxa xxxa（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0f x，求a的取值范围【答案】（1）(,1)；（2）1,)【解析】（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f xxxxx当1x 时，2()2(1)0f xx；当1x 时，()0f x 所以，不等式()0f x 的解集为(,1)（2）因为()=0f a，所以1a 当1a，(,1)x 时，()=()+(2)
16、()=2()(1)0f xax xx xaax x所以，a的取值范围是1,)【变式探究】已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.【答案】（1）117|12xx ；（2）1,1.【解析】（1）当1a 时，不等式 f xg x等价于21140 xxxx.当1x 时，式化为2340 xx，无解；当11x 时，式化为220 xx，从而11x；当1x 时，式化为240 xx，从而11712x.所以 f xg x的解集为117|12xx .（2）当1,1x 时，
17、2g x.所以 f xg x的解集包含1,1，等价于当1,1x 时 2f x.10又 f x在1,1的最小值必为1f 与 1f之一，所以12f 且 12f，得11a.所以a的取值范围为1,1.【变式探究】已知函数 123f xxx.（I）在答题卡第（24）题图中画出 yf x的图像；（II）求不等式 1fx 的解集【答案】（I）见解析（II）11353，【解析】如图所示：4133212342xxf xxxxx ，11 1fx,当1x,41x,解得5x 或3x,1x 当312x,321x,解得1x 或13x113x 或312x当32x,41x,解得5x 或3x,332x 或5x 综上,13x或1
18、3x或5x,1f x,解集为11353，【变式探究】不等式|x1|x2|5 的解集为_解析原不等式等价于x1，（x1）（x2）5或2x1，（x1）（x2）5或x2，（x1）（x2）5，解得 x2 或 x3.故原不等式的解集为x|x3 或 x2答案x|x3 或 x2高频考点二高频考点二不等式的证明不等式的证明例 2【2019 年高考全国卷理数】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()24abbcca【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有222111a
19、bbccaabcabbccaabcabc所以222111abcabc（2）因为,a b c为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)abbcac 12=24所以333()()()24abbcca【变式探究】已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x 的解集（）求M；（）证明：当,a bM时，|1|abab【答案】（）|11Mxx；（）详见解析.【解析】（I）12,211()1,2212,.2x xf xxx x 当12x 时，由()2f x 得22,x解得1x ；当1122
20、x时，()2f x；当12x 时，由()2f x 得22,x 解得1x.所以()2f x 的解集|11Mxx.（II）由（I）知，当,a bM时，11,11ab ，从而22222222()(1)1(1)(1)0abababa bab，因此|1|.abab【变式探究】设 a、b、c、d 均为正数，且 abcd，证明：(1)若 abcd，则 a b c d；(2)a b c d是|ab|cd|的充要条件【证明】(1)因为(a b)2ab2 ab，(c d)2cd2 cd，由题设 abcd，abcd 得(a b)2(c d)2.因此 a b c d.(2)若|ab|cd|，则(ab)2(cd)2，1
21、3即(ab)24ab(cd)24cd.因为 abcd，所以 abcd.由(1)得 a b c d.若 a b c d，则(a b)2(c d)2，即 ab2 abcd2 cd.因为 abcd，所以 abcd，于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|cd|.综上，a b c d是|ab|cd|的充要条件【变式探究】已知 q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数设集合 M0，1，2，q1，集合 Ax|xx1x2qxnqn1，xiM，i1，2，n(1)当 q2，n3 时，用列举法表示集合 A；(2)设 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，其中 ai
22、，biM，i1，2，n.证明：若 anbn，则 st.(1)【解析】当 q2，n3 时，M0，1，Ax|xx1x22x322，xiM，i1，2，3可得，A0，1，2，3，4，5，6，7(2)【证明】由 s，tA，sa1a2qanqn1，tb1b2qbnqn1，ai，biM，i1，2，n及 anbn，可得 st(a1b1)(a2b2)q(an1bn1)qn2(anbn)qn1(q1)(q1)q(q1)qn2qn1（q1）（1qn1）1qqn110.所以，st.1【2019 年高考全国卷理数】已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1证明：（1）222111abcabc；（2）333()()()
23、24abbcca【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）因为2222222,2,2abab bcbc caac，又1abc，故有222111abbccaabcabbccaabcabc14所以222111abcabc（2）因为,a b c为正数且1abc，故有3333333()()()3()()()abbccaabbcac=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)abbcac=24所以333()()()24abbcca2【2019 年高考全国卷理数】已知()|2|().f xxa xxxa（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若(,1)x 时，()0
24、f x，求a的取值范围【答案】（1）(,1)；（2）1,)【解析】（1）当 a=1 时，()=|1|+|2|(1)f xxxxx当1x 时，2()2(1)0f xx；当1x 时，()0f x 所以，不等式()0f x 的解集为(,1)（2）因为()=0f a，所以1a 当1a，(,1)x 时，()=()+(2)()=2()(1)2xx【答案】1|13x xx 或【解析】当x0时，原不等式可化为122xx ，解得x2，即x12时，原不等式可化为x+2x12，解得x1综上，原不等式的解集为1|13x xx 或1.（2018 年全国 I 卷理数）已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立
25、，求 的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】16（1）当时，即故不等式的解集为（2）当时成立等价于当时成立若，则当时；若，的解集为，所以，故综上，的取值范围为2.（2018 年全国卷理数）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求 的取值范围【答案】（1）,(2)【解析】（1）当时，可得的解集为（2）等价于而，且当时等号成立故等价于由可得或，所以 的取值范围是3.（2018 年全国卷理数）设函数（1）画出的图像；（2）当，求的最小值17【答案】（1）见解析（2）5【解析】（1）的图像如图所示（2）由（1）知，的图像与 y 轴交点的纵坐标为 2，且各部分所在直线斜率的最大值为 3，故当且仅
26、当且时，在成立，因此的最小值为 5。4.（2018 年江苏卷）选修 45：不等式选讲若 x，y，z 为实数，且 x+2y+2z=6，求的最小值【答案】4【解析】证明：由柯西不等式，得因为，所以，18当且仅当时，不等式取等号，此时，所以的最小值为 41.【2017 课标 II，理 23】已知330,0,2abab。证明：（1）55()()4ab ab；（2）2ab。【答案】(1)证明略；(2)证明略。【解析】（1）（2）因为所以，因此 a+b2.2.【2017 课标 1，理】已知函数 f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1.（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2）
27、若不等式 f（x）g（x）的解集包含1，1，求 a 的取值范围.【答案】（1）117|12xx ；（2）1,1.【解析】（1）当1a 时，不等式 f xg x等价于21140 xxxx.当1x 时，式化为2340 xx，无解；当11x 时，式化为220 xx，从而11x；当1x 时，式化为240 xx，从而11712x.19所以 f xg x的解集为117|12xx .（2）当1,1x 时，2g x.所以 f xg x的解集包含1,1，等价于当1,1x 时 2f x.又 f x在1,1的学科&网最小值必为1f 与 1f之一，所以12f 且 12f，得11a.所以a的取值范围为1,1.1.【20
28、16 高考新课标 1 卷】已知函数 123f xxx.（I）在答题卡第（24）题图中画出 yf x的图像；（II）求不等式 1fx 的解集【答案】（I）见解析（II）11353，【解析】如图所示：20 4133212342xxf xxxxx ，1fx,当1x,41x,解得5x 或3x,1x 当312x,321x,解得1x 或13x113x 或312x当32x,41x,解得5x 或3x,332x 或5x 综上,13x或13x或5x,1f x,解集为11353，2.【2016 高考新课标 2 理数】已知函数11()|22f xxx，M为不等式()2f x 的解集（）求M；（）证明：当,a bM时，
29、|1|abab【答案】（）|11Mxx；（）详见解析.【解析】（I）12,211()1,2212,.2x xf xxx x 当12x 时，由()2f x 得22,x解得1x ；当1122x时，()2f x；当12x 时，由()2f x 得22,x 解得1x.所以()2f x 的解集|11Mxx.（II）由（I）知，当,a bM时，11,11ab ，从而22222222()(1)1(1)(1)0abababa bab，因此|1|.abab 213.【2016 高考新课标 3 理数】已知函数()|2|f xxaa（I）当2a 时，求不等式()6f x 的解集；（II）设函数()|21|g xx当xR时，()()3f xg x，求a的取值范围【答案】（）|13xx；（）2,)【解析】（）当2a 时，()|22|2f xx.解不等式|22|26x 得13x.因此()6f x 的解集为|13xx.（）当xR时，()()|2|12|f xg xxaax|212|xaxa|1|aa，当12x 时等号成立，所以当xR时，()()3f xg x等价于|1|3aa.当1a 时，等价于13aa，无解.当1a 时，等价于13aa，解得2a.所以a的取值范围是2,).