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1、1专题专题 5不等式与线性规划不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力1(1)若 ax2bxc0 有两个不等实根 x1和 x2(x10(a0)的解为x|xx2，或 xx1，ax2bxc0)的解为x|x1x0(a0)恒成立的条件是a0，0.(3)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0，b0)；(3)不等关系的倒数性质ab
2、ab01a1b；(4)真分数的变化性质若 0n0，则nm0，b0)，x(0，)取最小值时，axbxxba，即“对号函数”单调变化的分界点；(6)a0，b0，若 abP，当且仅当 ab 时，ab 的最大值为P22；若 abS，当且仅当 ab 时，ab 的最小值为 2 S.3不等式 ykxb 表示直线 ykxb 上方的区域；yb，则()Aln(ab)0B3a0D|a|b|【举一反三】(2019高考全国卷)设集合 Ax|x25x60，Bx|x1b，则()Aln(ab)0B3a0 D|a|b|2、(2019高考全国卷)设集合 Ax|x25x60，Bx|x10，则 AB()A(，1)B(2,1)C(3，
3、1)D(3，)3、(2019高考全国卷)若变量 x，y 满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_54【2019 年高考天津卷文数】设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy，则目标函数4zxy 的最大值为A2B3C5D65【2019 年高考浙江卷】若实数,x y满足约束条件3403400 xyxyxy，则32zxy的最大值是A1B 1C 10D 126【2019 年高考北京卷文数】若 x，y 满足2,1,4310,xyxy 则yx的最小值为_，最大值为_7【2019 年高考天津卷文数】设0,0,24xyxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_.1
4、.（2018 年全国 I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A.6B.19C.21D.452.（2018 年北京卷）设集合则A.对任意实数 a，B.对任意实数 a，（2,1）C.当且仅当 a0 时,（2,1）D.当且仅当时,（2,1）3.（2018 年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是_，最大值是_64.（2018 年天津卷）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+的最小值为_5.（2018 年北京卷）若?,y 满足，则 2y?的最小值是_.6.（2018 年江苏卷）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点 D，且，则的最小值为_7.（2018 年全国 III 卷）若变量满足约束条
5、件则的最大值是_1.【2017 课标 1，文 7】设 x，y 满足约束条件33,1,0,xyxyy则 z=x+y 的最大值为A0B1C2D32.【2017 课标 II，文 7】设,x y满足约束条件2+330233030 xyxyy,则2zxy的最小值是A.15B.9C.1D93.【2017 课标 3，文 5】设 x，y 满足约束条件326000 xyxy，则zxy的取值范围是（）A3,0B3,2C0,2D0,34.【2017 北京，文 4】若,x y满足3,2,xxyyx则2xy的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）95.【2017 山东，文 3】已知 x,y 满足约束条件250302xy
6、xy,则 z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.36.【2017 浙江，4】若x，y满足约束条件03020 xxyxy，则yxz2的取值范围是A0，6B0，4C6，)D4，)77.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是.8专题专题 5不等式与线性规划不等式与线性规划与区域有关的面积、距离、参数范围问题及线性规划问题；利用基本不等式求函数最值、运用不等式性质求参数范围、证明不等式是高考热点备考时，应切实文解与线性规划有关的概念，要熟练掌握基本不等式求最值的
7、方法，特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧方法要特别加强综合能力的培养，提升运用不等式性质分析、解决问题的能力1(1)若 ax2bxc0 有两个不等实根 x1和 x2(x10(a0)的解为x|xx2，或 xx1，ax2bxc0)的解为x|x1x0(a0)恒成立的条件是a0，0.(3)ax2bxc0(a0)恒成立的条件是a0，0，b0)；(3)不等关系的倒数性质abab01a1b；(4)真分数的变化性质若 0n0，则nm0，b0)，x(0，)取最小值时，axbxxba，即“对号函数”单调变化的分界点；(6)a0，b0，若 abP，当且仅当 ab 时，ab 的最大值为P22；若 abS，当且仅当 ab
8、 时，ab 的最小值为 2 S.3不等式 ykxb 表示直线 ykxb 上方的区域；yb，则()Aln(ab)0B3a0D|a|b|【解析】法一：不妨设 a1，b2，则 ab，可验证 A，B，D 错误，只有 C 正确法二：由 ab，得 ab0.但 ab1 不一定成立，则 ln(ab)0 不一定成立，故 A 不一定成立因为 y3x在 R 上是增函数，当 ab 时，3a3b，故 B 不成立因为 yx3在 R 上是增函数，当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 成立因为当 a3，b6 时，ab，但|a|b|，所以 D 不一定成立故选 C.【答案】C【举一反三】(2019高考全国卷)设集合 A
9、x|x25x60，Bx|x1x，即得不等式的解集设 x0，于是 f(x)(x)24(x)x24x，由于 f(x)是 R 上的奇函数，所以f(x)x24x，即 f(x)x24x，且 f(0)0，于是 f(x)x24x，x0，0，x0，x24x，x0 时，由 x24xx 得 x5；当 xx 得5x0)令 y1y2，x24xx，x0 或 x5.作 y1f(x)及 y2x 的图象，则 A(5,5)，由于 y1f(x)及 y2x 都是奇函数，作它们关于(0,0)的对称图象，则 B(5，5)，由图象可看出当 f(x)x 时，x(5，)及(5,0)【答案】(5,0)(5，)高频考点二高频考点二基本不等式及应
10、用基本不等式及应用例 2、（2018 年天津卷）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+的最小值为_【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意 x，恒成立，结合均值不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.【变式探究】【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一11年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是.【答案】30【解析】总费用600900464()42 900240 xxxx，当且仅当900 xx，即30 x 时等号成立.【变式探究】(1)设a0，b0.若关于x，y的方程组ax
11、y1，xby1无解，则ab的取值范围是_【解析】通解：依题意，由 axy1 得 y1ax，代入 xby1 得 xb(1ax)1，即(1ab)x1b.由原方程组无解得，关于 x 的方程(1ab)x1b 无解，因此 1ab0 且 1b0，即 ab1 且 b1.又 a0，b0，ab，ab1，因此 ab2 ab2，即 ab 的取值范围是(2，)优解：由题意，关于 x，y 的方程组axy1，xby1无解，则直线 axy1 与 xby1 平行且不重合，从而可得 ab1，且 ab.又 a0，b0，故 ab2 ab2，即 ab 的取值范围是(2，)【答案】(2，)(2)若直线xayb1(a0，b0)过点(1,
12、1)，则 ab 的最小值等于()A2B3C4D5【解析】通解：因为直线xayb1(a0，b0)过点(1,1)，所以1a1b1.所以 ab(ab)1a1b 2abba22abba4，当且仅当 ab2 时取“”，故选 C.优解：如图 a，b 分别是直线xayb1 在 x，y 轴上的截距，A(a,0)，B(0，b)，当 a1 时，b，当b1 时，a，只有点(1,1)为 AB 的中点时，ab 最小，此时 a2，b2，ab4.【答案】C【方法技巧】1常数代换法求最值的关键在于常数的变形，利用此方法求最值应注意以下三个方面：(1)注意条件的灵活变形，确定或分离出常数，这是解题的基础；(2)将常数化成“1”
13、，这是代数式等价变形的基础；(3)利用12基本不等式求解最值时要满足“一正、二定、三相等”，否则容易出现错解2拼凑法就是将代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法此方法适用于已知关于变量的等式，求解相关代数式的最值问题，或已知函数解析式，求函数的最值问题【变式探究】已知函数 f(x)xax2 的值域为(，04，)，则 a 的值是()A.12B.32C1D2【解析】选 C.由题意可得 a0，当 x0 时，f(x)xax22 a2，当且仅当 x a时取等号；当 x0 时，f(x)xax22 a2，当且仅当 x a时取等号所以22 a0
14、，2 a24，解得 a1，故选C.高频考点三高频考点三求线性规划中线性目标函数的最值求线性规划中线性目标函数的最值例3、(2019高考全国卷)若变量x，y满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则z3xy的最大值是_【解析】作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z最小，即 z 最大由xy30，2x3y60，解得x3，y0，即 C 点坐标为(3,0)，故 zmax3309.【答案】9【举一反三】（2018 年北京卷）若?,y 满足，则 2y?的最小值是_.【答案】3【解析】不等式可转化为，即13满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图令，由
15、图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.【变式探究】【2017 山东，文 3】已知 x,y 满足约束条件250302xyxy,则 z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.3【答案】D【解析】画出约束条件25030 2xyxy表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20 xy,可知当其经过直线250 xy与2y 的交点1,2时,2zxy取得最大值，为max1 2 23z ,故选 D.【变式探究】(1)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 k
16、g，乙材料 0.3 kg，用 3 个工时 生产一件产品 A 的利润为 2 100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元 该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为_元14【解析】由题意，设产品 A 生产 x 件，产品 B 生产 y 件，利润 z2 100 x900y，线性约束条件为1.5x0.5y150 x0.3y905x3y600 x0，xN*y0，yN*，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由 xN*，yN*，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以 zmax2 100609
17、00100216 000(元)【答案】216 000(2)若 x，y 满足约束条件xy10，xy30，x30，则 zx2y 的最小值为_【解析】通解：作出可行域如图中阴影部分所示，由 zx2y 得 y12x12z，作直线 y12x 并平移，观察可知，当直线经过点 A(3,4)时，zmin3245.优解：因为可行域为封闭区域，所以线性目标函数的最值只可能在边界点处取得，易求得边界点分别为(3,4)，(1,2)，(3,0)，依次代入目标函数可求得 zmin5.【答案】5【方法技巧】求目标函数的最值的方法1几何意义法(1)常见的目标函数15截距型：形如 zaxby，求这类目标函数的最值常将函数 za
18、xby 转化为 yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值距离型：形如 z(xa)2(yb)2，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 z|PM|2.斜率型：形如 zybxa，设动点 P(x，y)，定点 M(a，b)，则 zkPM.(2)目标函数 zxy 的几何意义由已知得 yzx，故可理解为反比例函数 yzx的图象，最值需根据该函数图象与可行域有公共点时进行判断设 P(x，y)，则|xy|表示以线段 OP(O 为坐标原点)为对角线的矩形面积2界点定值法，利用可行域所对应图形的边界顶点求最值【变式探究】设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay 的最小值为 7
19、，则 a()A5B3C5 或 3D5 或3【解析】通解：选 B.二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中 Aa12，a12.平移直线 xay0，可知在点 Aa12，a12处，z 取得最小值，因此a12aa127，化简得 a22a150，解得 a3 或 a5，但 a5 时，z 取得最大值，故舍去，答案为 a3，故选 B.优解：由 zxay 得 y1axza当 a0 时，由可行域知，当 y1axza过 A 点时za最小，z 有最大值，不合题意当 a0 时，y1axza过 A 点时，za最小，z 也最小，故只能选 B.1、(2019高考全国卷)若 ab，则()16Aln(ab)0B3a0 D|a
20、|b|【解析】法一：不妨设 a1，b2，则 ab，可验证 A，B，D 错误，只有 C 正确法二：由 ab，得 ab0.但 ab1 不一定成立，则 ln(ab)0 不一定成立，故 A 不一定成立因为 y3x在 R 上是增函数，当 ab 时，3a3b，故 B 不成立因为 yx3在 R 上是增函数，当 ab 时，a3b3，即 a3b30，故 C 成立因为当 a3，b6 时，ab，但|a|b|，所以 D 不一定成立故选 C.【答案】C2、(2019高考全国卷)设集合 Ax|x25x60，Bx|x10，则 AB()A(，1)B(2,1)C(3，1)D(3，)【解析】ABx|x25x60 x|x10 x|
21、x2 或 x3x|x1x|x1故选 A.【答案】A3、(2019高考全国卷)若变量 x，y 满足约束条件2x3y60，xy30，y20，则 z3xy 的最大值是_【解析】作出已知约束条件对应的可行域(图中阴影部分)，由图易知，当直线 y3xz 过点 C 时，z最小，即 z 最大由xy30，2x3y60，解得x3，y0，即 C 点坐标为(3,0)，故 zmax3309.【答案】9174【2019 年高考天津卷文数】设变量,x y满足约束条件20,20,1,1,xyxyxy，则目标函数4zxy 的最大值为A2B3C5D6【答案】D【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分.目标函数的几何意
22、义是直线4yxz在y轴上的截距，故目标函数在点A处取得最大值.由20,1xyx，得(1,1)A，所以max4(1)15z .故选 C.5【2019 年高考浙江卷】若实数,x y满足约束条件3403400 xyxyxy，则32zxy的最大值是A1B 1C 10D 1218【答案】C【解析】画出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示.因为32zxy，所以3122yxz.平移直线3122yxz 可知，当该直线经过点 A 时，z 取得最大值.联立两直线方程可得340340 xyxy，解得22xy.即点 A 坐标为(2,2)A，所以max3 22 210z .故选 C.6【2019 年高考北京卷文数】若
23、 x，y 满足2,1,4310,xyxy 则yx的最小值为_，最大值为_【答案】3；1【解析】根据题中所给约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示.设zyx，则=+y x z，求出满足在可行域范围内 z 的最大值、最小值即可，即在可行域内，当直线=+y x z的纵截距最大时，z 有最大值，当直线=+y x z的纵截距最小时，z 有最小值.19由图可知，当直线=+y x z过点 A 时,z 有最大值，联立24310 xxy，可得23xy，即(2,3)A，所以max321z；当直线=+y x z过点(2,1)B时，z 有最小值，所以min1 23z .7【2019 年高考天津卷文数】设0,0,24x
24、yxy，则(1)(21)xyxy的最小值为_.【答案】92【解析】(1)(21)2212525xyxyyxxyxyxyxyxy.因为0,0,24xyxy，所以2422xyxy，即22,02xyxy，当且仅当22xy时取等号成立.又因为192255=22xy，20所以(1)(21)xyxy的最小值为92.1.（2018 年全国 I 卷）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为A.6B.19C.21D.45【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最大值，联立直线方程：，可得点 A 的坐标为：，据此可知目标函数的最大值为：，本题选择 C
25、选项。2.（2018 年北京卷）设集合则A.对任意实数 a，B.对任意实数 a，（2,1）C.当且仅当 a0 时,（2,1）D.当且仅当时,（2,1）【答案】D【解析】若，则且，即若，则，此命题的逆否命题为：若，则有，故选 D.213.（2018 年浙江卷）若满足约束条件则的最小值是_，最大值是_【答案】(1).-2(2).8【解析】作可行域，如图中阴影部分所示，则直线过点 A(2,2)时 取最大值 8，过点 B(4,-2)时 取最小值-2.4.（2018 年天津卷）已知 a，bR，且 a3b+6=0，则 2a+的最小值为_【答案】【解析】由可知，且：，因为对于任意 x，恒成立，结合均值不等式
26、的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.5.（2018 年北京卷）若?,y 满足，则 2y?的最小值是_.【答案】3【解析】不等式可转化为，即满足条件的在平面直角坐标系中的可行域如下图22令，由图象可知，当过点时，取最小值，此时，的最小值为.6.（2018 年江苏卷）在中，角所对的边分别为，的平分线交于点 D，且，则的最小值为_【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.7.（2018 年全国 III 卷）若变量满足约束条件则的最大值是_【答案】3【解析】作出可行域1.【2017 课标 1，文 7】设 x，y
27、满足约束条件33,1,0,xyxyy则 z=x+y 的最大值为A0B1C2D3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数zxy经过3,0A时 z 取得最大值，故max303z，故选 D232.【2017 课标 II，文 7】设,x y满足约束条件2+330233030 xyxyy,则2zxy的最小值是A.15B.9C.1D9【答案】A【解析】x、y 满足约束条件2+3302330 30 xyxyy的可行域如图：z=2x+y 经过可行域的 A 时，目标函数取得最小值，由32330yxy 解得 A(6,3)，则 z=2x+y 的最小值是：15.故选：A.3.【2017 课标 3，
28、文 5】设 x，y 满足约束条件326000 xyxy，则zxy的取值范围是（）A3,0B3,2C0,2D0,3【答案】B【解析】作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分所示.24目标函数即yxz，易知直线yxz在y轴上的截距最大时，目标函数zxy取得最小值；在y轴上的截距最小时，目标函数zxy取得最大值，即在点0,3A处取得最小值，为min033z ；在点2,0B处取得最大值，为max202z.故zxy的取值范围是3,2.4.【2017 北京，文 4】若,x y满足3,2,xxyyx则2xy的最大值为（A）1（B）3（C）5（D）9【答案】D【解析】如图，画出可行域，2zxy表示斜率为12的
29、一组平行线，当2zxy过点3,3C时，目标函数取得最大值max32 39z ，故选 D.5.【2017 山东，文 3】已知 x,y 满足约束条件250302xyxy,则 z=x+2y 的最大值是A.-3B.-1C.1D.325【答案】D【解析】画出约束条件25030 2xyxy表示的可行域,如图中阴影部分所示，平移直线20 xy,可知当其经过直线250 xy与2y 的交点1,2时,2zxy取得最大值，为max1 2 23z ,故选 D.6.【2017 浙江，4】若x，y满足约束条件03020 xxyxy，则yxz2的取值范围是A0，6B0，4C6，)D4，)【答案】D【解析】如图，可行域为一开放区域，所以直线过点(2,1)时取最小值 4，无最大值，选 D26xoy2xy02 yx03 yx7.【2017 江苏，10】某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买x吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则x的值是.【答案】30【解析】总费用600900464()42 900240 xxxx，当且仅当900 xx，即30 x 时等号成立.