《数学（理）知识清单-专题21 不等式选讲（原卷+解析版）.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学（理）知识清单-专题21 不等式选讲（原卷+解析版）.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1专练专练1已知函数 f(x)|2x1|x2a|.(1)当 a1 时，求 f(x)3 的解集；(2)当 x1，2时，f(x)3 恒成立，求实数 a 的取值范围2已知函数 f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式 f(x)6 的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)|a1|的解集不是空集，求实数 a 的取值范围3已知函数 f(x)|x3|x2|.(1)求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|a4|有解，求 a 的取值范围4设不等式2|x1|x2|0 的解集为 M，a，bM.(1)证明：|13a16b|14；(2)比较|14ab|与 2|ab|的大小，并说明理由5设函数 f(x)|
2、x3|x1|，xR.(1)解不等式 f(x)0，b0，ab1，求证：(1)1a1b1ab8；(2)11a11b 9.7已知关于 x 的不等式 m|x2|1，其解集为0，4(1)求 m 的值；(2)若 a，b 均为正实数，且满足 abm，求 a2b2的最小值8已知 a，b 均为正数，且 ab1，证明：(1)(axby)2ax2by2；(2)a1a2b1b2252.9已知二次函数 f(x)x2axb(a，bR)的定义域为1，1，且|f(x)|的最大值为 M.2(1)证明：|1b|M；(2)证明：M12.10已知 a，b，c 为非零实数，且 a2b2c21m0，1a24b29c212m0.(1)求证
3、：1a24b29c236a2b2c2；(2)求实数 m 的取值范围11已知函数 f(x)m|x1|x2|，mR，且 f(x1)0 的解集为0，1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c，x，y，zR，且 x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.12已知函数 f(x)k|x3|，kR，且 f(x3)0 的解集为1，1(导学号 55460156)(1)求 k 的值；(2)若 a，b，c 是正实数，且1ka12kb13kc1.求证：a2b3c9.13已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值
4、范围14已知正实 数 a，b 满足：a2b22 ab.(1)求1a1b的最小值 m；(2)设函数 f(x)|xt|x1t|(t0)，对于(1)中求得的实数 m 是否存在实数 x，使得 f(x)m2成立，说明理由15已知函数 f(x)|x|x1|.(1)若 f(x)|m1|恒成立，求实数 m 的最大值 M；(2)在(1)成立的条件下，正实数 a，b 满足 a2b2M，证明：ab2ab.16已知函数 f(x)|x1|.(1)求不等式 f(x)f(a)f(b)17已知函数 f(x)|x1|mx|(其中 mR)3(1)当 m2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若不等式 f(x)6 对任意实数
5、x 恒成立，求 m 的取值范围18已知 a0，b0，函数 f(x)|xa|xb|的最小值为 4.(1)求 ab 的值；(2)求14a219b2的最小值19设函数 f(x)|x1|2|xa|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 在 x2,3上恒成立，求 a 的取值范围20已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围21已知函数 f(x)|x2|2xa|，aR.(1)当 a1 时，解不等式 f(x)5；(2)若存在 x0
6、满足 f(x0)|x02|3，求实数 a 的取值范围22已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)设 a1，且当 xa2，12 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围23已知|x2|6x|k 恒成立(1)求实数 k 的最大值；(2)若实数 k 的最大值为 n，正数 a，b 满足85ab22a3bn.求 7a4b 的最小值24设 a，b，cR，且 abc1.求证：(1)2abbccac2212；(2)a2c2bb2a2cc2b2a2.4高考押题专练高考押题专练1已知函数 f(x)|2x1|x2a|.(1)当 a1 时，求 f
7、(x)3 的解集；(2)当 x1，2时，f(x)3 恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)当 a1 时，由 f(x)3，可得|2x1|x2|3，x12，12x2x3或12x2，2x12x3或x2，2x1x23.解得 0 x12，解得12x2，解得 x2.综上可得，0 x2，即不等式的解集为0，2(2)当 x1，2时，f(x)3 恒成立，即|x2a|3|2x1|42x，故 2x42ax42x，即 3x42a4x.再根据 3x4 在 x1，2上的最大值为 642，4x 的最小值为 422，2a2，a1，即 a 的取值范围为12已知函数 f(x)|2x1|2x3|.(1)求不等式 f(x)6
8、的解集；(2)若关于 x 的不等式 f(x)32，（2x1）（2x3）6或12x32，（2x1）（2x3）6或x12，（2x1）（2x3）6，解得32x2 或12x32或1x4，a5，5实数 a 的取值范围为(，3)(5，)3已知函数 f(x)|x3|x2|.(1)求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|a4|有解，求 a 的取值范围【解析】(1)f(x)|x3|x2|3，当 x2 时，有 x3(x2)3，解得 x2；当 x3 时，x3(x2)3，解得 x；当3x2 时，有 2x13，解得 1x2.综上，f(x)3 的解集为x|x1(2)由绝对值不等式的性质可得，|x3|x2|(x3
9、)(x2)|5，则有5|x3|x2|5.若 f(x)|a4|有解，则|a4|5，解得1a9.所以 a 的取值范围是1，94设不等式2|x1|x2|0 的解集为 M，a，bM.(1)证明：|13a16b|14；(2)比较|14ab|与 2|ab|的大小，并说明理由【解析】(1)证明：记 f(x)|x1|x2|3，x2，2x1，2x1，3，x1.由22x10，解得12x12，则 M12，12.所以|13a16b|13|a|16|b|1312161214.(2)由(1)得 a214，b214.因为|14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)6(4a21)(4b21)0，所以
10、|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.5设函数 f(x)|x3|x1|，xR.(1)解不等式 f(x)1；(2)设函数 g(x)|xa|4，且 g(x)f(x)在 x2，2上恒成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)函数 f(x)|x3|x1|4，x3，故由不等式 f(x)3 或22x32.(2)函数 g(x)f(x)在 x2，2上恒成立，即|xa|4|x3|x1|在 x2，2上恒成立，在同一个坐标系中画出函数 f(x)和 g(x)的图象，如图所示故当 x2，2时，若 0a4，则函数 g(x)的图象在函数 f(x)的图象的下方，g(x)f(x)在 x2，2上恒成立，求得4a0
11、，故所求的实数 a 的取值范围为4，06已知 a0，b0，ab1，求证：(1)1a1b1ab8；(2)11a11b 9.【解析】证明：(1)ab1，a0，b0，1a1b1ab1a1babab721a1b 2abaabb2baab 44baab48(当且仅当 ab12时，等号成立)，1a1b1ab8.(2)11a11b1a1b1ab1，由(1)知1a1b1ab8.11a11b 9.7已知关于 x 的不等式 m|x2|1，其解集为0，4(1)求 m 的值；(2)若 a，b 均为正实数，且满足 abm，求 a2b2的最小值【解析】(1)不等式 m|x2|1 可化为|x2|m1，1mx2m1，即 3m
12、xm1.其解集为0，4，3m0，m14，m3.(2)由(1)知 ab3，(a2b2)(1212)(a1b1)2(ab)29，a2b292，a2b2的最小值为92.8已知 a，b 均为正数，且 ab1，证明：(1)(axby)2ax2by2；(2)a1a2b1b2252.【解析】证明：(1)(axby)2(ax2by2)a(a1)x2b(b1)y22abxy，因为 ab1，所以 a1b，b1a.8又 a，b 均为正数，所以 a(a1)x2b(b1)y22abxyab(x2y22xy)ab(xy)20，当且仅当 xy 时等号成立所以(axby)2ax2by2.(2)a1a2b1b24a2b21a2
13、1b24a2b2（ab）2a2（ab）2b24a2b212bab2a2a2b22ab14(a2b2)22baab b2a2a2b24（ab）22242252.当且仅当 ab 时等号成立9已知二次函数 f(x)x2axb(a，bR)的定义域为1，1，且|f(x)|的最大值为 M.(1)证明：|1b|M；(2)证明：M12.【解析】证明：(1)M|f(1)|1ab|，M|f(1)|1ab|，2M|1ab|1ab|(1ab)(1ab)|2|1b|，M|1b|.(2)依题意，M|f(1)|，M|f(0)|，M|f(1)|.又|f(1)|1ab|，|f(1)|1ab|，|f(0)|b|.4M|f(1)|
14、2|f(0)|f(1)|1ab|2|b|1ab|(1ab)2b(1ab)|2.M12.10已知 a，b，c 为非零实数，且 a2b2c21m0，1a24b29c212m0.(1)求证：1a24b29c236a2b2c2；(2)求实数 m 的取值范围【解析】(1)证明：由柯西不等式得1a22b23c2(a2b2c2)1aa2bb3cc2，9即1a22b23c2(a2b2c2)36.1a24b29c236a2b2c2.(2)由已知得 a2b2c2m1，1a24b29c22m1，(m1)(2m1)36，即 2m23m350，解得 m72或 m5.又 a2b2c2m10，1a24b29c22m10，m
15、5.即实数 m 的取值范围是5，)11已知函数 f(x)m|x1|x2|，mR，且 f(x1)0 的解集为0，1(1)求 m 的值；(2)若 a，b，c，x，y，zR，且 x2y2z2a2b2c2m，求证：axbycz1.【解析】(1)由 f(x1)0 得|x|x1|m.|x|x1|1 恒成立，若 m1，不等式|x|x1|m 的解集为，不合题意若 m1，当 x0 时，得 x1m2，则1m2x1 时，得 xm12，则 1xm12.综上可知，不等式|x|x1|m 的解集为1m2，m12.由题意知，原不等式的解集为0，1，1m20，m121，解得 m1.(2)证明：x2a22ax，y2b22by，z
16、2c22cz，三式相加，得 x2y2z2a2b2c22ax2by2cz.由题设及(1)，知 x2y2z2a2b2c2m1，1022(axbycz)，即 axbycz1，得证12已知函数 f(x)k|x3|，kR，且 f(x3)0 的解集为1，1(导学号 55460156)(1)求 k 的值；(2)若 a，b，c 是正实数，且1ka12kb13kc1.求证：a2b3c9.(1)【解析】f(x)k|x3|，f(x3)0 等价于|x|k，由|x|k 有解，得 k0，且解集为k，kf(x3)0 的解集为1，1因此 k1.(2)证明：由(1)知1a12b13c1，a，b，c 为正实数a2b3c(a2b3
17、c)1a12b13c 3a2b2ba a3c3ca 2b3c3c2b 32a2b2ba2a3c3ca22b3c3c2b9.当且仅当 a2b3c 时，等号成立因此 a2b3c9.13已知函数 f(x)|xa|x2|.(1)当 a3 时，求不等式 f(x)3 的解集；(2)若 f(x)|x4|的解集包含1，2，求 a 的取值范围【解析】(1)当 a3 时，不等式 f(x)3 化为|x3|x2|3.若 x2 时，由式，得 52x3，x1.若 2x0，b0)，则 ab1，又1a1b2ab2，当且仅当 ab 时取等号，1a1b的最小值 m2.(2)函数 f(x)|xt|x1t|x1t（xt）|1tt|t
18、|1t|2，对于(1)中的 m2，m212.满足条件的实数 x 不存在15已知函数 f(x)|x|x1|.(1)若 f(x)|m1|恒成立，求实数 m 的最大值 M；(2)在(1)成立的条件下，正实数 a，b 满足 a2b2M，证明：ab2ab.(1)【解析】f(x)|x|x1|x(x1)|1，当且仅当 0 x1 时，取等号，f(x)|x|x1|的最小值为 1.要使 f(x)|m1|恒成立，只需|m1|1，0m2，则 m 的最大值 M2.(2)证明：由(1)知，a2b22，由 a2b22ab，知 ab1，12又 ab2 ab，则(ab)ab2ab，由知，ab1，故 ab2ab.16已知函数 f
19、(x)|x1|.(1)求不等式 f(x)f(a)f(b)(1)【解析】当 x1 时，原不等式可化为x12x2，解得 x1；当1x12时，原不等式可化为 x12x2，解得 x1，此时原不等式无解；当 x12时，原不等式可化为 x11.综上，Mx|x1(2)证明：f(a)f(b)|a1|b1|a1(b1)|ab|，要证 f(ab)f(a)f(b)，只需证|ab1|ab|，即证|ab1|2|ab|2，即证 a2b22ab1a22abb2，即证 a2b2a2b210，即证(a21)(b21)0a，bM，a21，b21.(a21)(b21)0 成立，原不等式成立17已知函数 f(x)|x1|mx|(其中
20、 mR)(1)当 m2 时，求不等式 f(x)6 的解集；(2)若不等式 f(x)6 对任意实数 x 恒成立，求 m 的取值范围【解析】(1)当 m2 时，f(x)|x1|2x|，当 x2 时，f(x)6 可化为 x1x26，解得 x72.综上，不等式 f(x)6 的解集为x|x52或 x72.(2)法一：因为|x1|mx|x1mx|m1|，由题意得|m1|6，即 m16 或 m16，解得 m5 或 m7，即 m 的取值范围是(，75，13)法二：当 m1 时，f(x)2xm1，x1，此时，f(x)minm1，由题意知，m16，解得 m7，所以 m 的取值范围是 m7.当 m1 时，f(x)|
21、x1|1x|2|x1|，此时 f(x)min0，不满足题意当 m1 时，f(x)2xm1，xm，此时，f(x)minm1，由题意知，m16，解得 m5，所以 m 的取值范围是 m5.综上所述，m 的取值范围是(，75，)18已知 a0，b0，函数 f(x)|xa|xb|的最小值为 4.(1)求 ab 的值；(2)求14a219b2的最小值【解析】(1)因为|xa|xb|ab|，所以 f(x)|ab|，当且仅当(xa)(xb)0，b0，所以|ab|ab，所以 f(x)的最小值为 ab，所以 ab4.(2)由(1)知 ab4，b4a，14a219b214a219(4a)21336a289a1691
22、336a161321613，故当且仅当a1613，b3613时，14a219b2取最小值为1613.19设函数 f(x)|x1|2|xa|.(1)当 a1 时，求不等式 f(x)1 的解集；(2)若不等式 f(x)0 在 x2,3上恒成立，求 a 的取值范围【解析】(1)a1，f(x)1|x1|2|x1|1x1，x12x11或11或x1，x12x112x1或1x23或x2x1的解集为2，23.(2)f(x)0 在 x2,3上恒成立|x1|2|xa|0 在 x2,3上恒成立|2x2a|x11x2x2ax14113x2ax1 在 x2,3上恒成立(13x)max2a(x1)min52a452a2.
23、故 a 的取值范围为52，2.20已知函数 f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式|g(x)|5；(2)若对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，求实数 a 的取值范围【解析】(1)由|x1|2|5 得5|x1|25，所以7|x1|3，解得2x4，则不等式|g(x)|5 的解集为x|2x4(2)因为对任意 x1R，都存在 x2R，使得 f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又 f(x)|2xa|2x3|(2xa)(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得 a1 或 a5，所以实数 a 的取值范围为a|a1
24、 或 a521已知函数 f(x)|x2|2xa|，aR.(1)当 a1 时，解不等式 f(x)5；(2)若存在 x0满足 f(x0)|x02|3，求实数 a 的取值范围【解析】(1)当 a1 时，f(x)|x2|2x1|.由 f(x)5 得|x2|2x1|5.当 x2 时，不等式等价于 x22x15，解得 x2，所以 x2；当12x2 时，不等式等价于 2x2x15，即 x2，所以解集为空集；当 x12时，不等式等价于 2x2x15，解得 x43，所以 x43.故原不等式的解集为x|x43或 x2.(2)f(x)|x2|2|x2|2xa|2x4|2xa|2xa(2x4)|a4|，原命题等价于(
25、f(x)|x2|)min3，即|a4|3，7a1.即实数 a 的取值范围为(7，1)22已知函数 f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x)g(x)的解集；(2)设 a1，且当 xa2，12 时，f(x)g(x)，求 a 的取值范围【解析】(1)当 a2 时，不等式 f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.15设函数 y|2x1|2x2|x3，则 y5x，x12，x2，12x1，3x6，x1.其图象如图所示从图象可知，当且仅当 x(0,2)时，y0.所以原不等式的解集是x|0 x2(2)当 xa2，12 时，f(x)1a.不等式 f(x)g(x)化为
26、 1ax3.所以 xa2 对 xa2，12 都成立 故a2a2，即 a43.从而 a 的取值范围是1，43.23已知|x2|6x|k 恒成立(1)求实数 k 的最大值；(2)若实数 k 的最大值为 n，正数 a，b 满足85ab22a3bn.求 7a4b 的最小值【解析】(1)因为|x2|6x|k 恒成立，设 g(x)|x2|6x|，则 g(x)mink.又|x2|6x|(x2)(6x)|8，当且仅当2x6 时，g(x)min8，所以 k8，即实数 k 的最大值为 8.(2)由(1)知，n8，所以85ab22a3b8，即45ab12a3b4，又 a，b 均为正数，所以 7a4b14(7a4b)
27、45ab12a3b14(5ab)(2a3b)45ab12a3b14414(2a3b)5ab5ab2a3b 14(54)94，16当且仅当4(2a3b)5ab5ab2a3b，即 a5b1552时，等号成立，所以 7a4b 的最小值是94.24设 a，b，cR，且 abc1.求证：(1)2abbccac2212；(2)a2c2bb2a2cc2b2a2.证明：(1)因为 1(abc)2a2b2c22ab2bc2ca4ab2bc2cac2，当且仅当 ab 时等号成立所以 2abbccac2212(4ab2bc2cac2)12.(2)因为a2c2b2acb，b2a2c2abc，c2b2a2bca，所以a2c2bb2a2cc2b2aacbabc abcbca acbbcaacbbc bacca cabba 2a2b2c2，当且仅当 abc13时等号成立.