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1、专题2 1不等式选讲考 情 解 读预测高考对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查。重 点 知 识 梳 理知识点一、含有绝对值不等式的解法l.|a r+Z?|0)型不等式的解法 若 c0,则|办+堆c等价于一区 a+/c,g+6 月 等 价 于 a x+以 或a x+后一c,然后根据小 b的值解出即可.若 c0),|x a|+|x 一例W c(c0)型不等式的解法可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解.(1)零点分区间法的一般步骤令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；将这些根按从小到大排
2、列，把实数集分为若干个区间；由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集.(2)利用绝对值的几何意义由 于 年 一|+仅一 与|1 4|一印一切分别表示数轴上与犬对应的点到4,/对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x 例 0)或|x-b|c(c0)的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.3 欣x)l g(x),|/(x)|Vg(x)(g(x)0)型不等式的解法(1)l/U)l g(x)旬 U)g(x)或 j(x)g(x).(2)|/(x)l g(x)=-g(x)勺(x)g(x).知识点二、不等式的证明1.证明不等式
3、的常用结论(1)绝对值的三角不等式定 理 1：若 a,6 为实数，贝！1|。+6凶。|+|臼,当且仅当而K),等号成立。定 理 定 设 m b,c 为实数，则|ac凶ab|+|bc|,当且仅当(ab)(bc)K)时,等号成立。推论 1：aba+b.推论 2：a-hHai-ar.an,并且仅当。|=2=4时等号成立。(4)一般形式的柯西不等式设a,。2,的，,a”，b,bi,by,.bn是实数，则(出+a分(兄+历+嫡之(。必1+。协2+.+anhn)2,并且仅当加=O(i=l,2,，)或存在一个数k,使得3=kbi(i=l,2,)时，等号成立。2.证明不等式的常用方法(1)比较法一般步骤：作差
4、一变形一判断一结论.为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负。(2)综合法利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“由因导果 的方法。(3)分析法证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法。(4)反证法和放缩法先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理
5、、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或己证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法。证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法。高 频 考 点 突 破高频考点一解绝对值不等式例 1.【2 0 1 9 年高考全国n卷理数】已知/(x)=|x-a|x+|x -2|(x-a).(1)当。=1 时，求不等式/(幻 0的解集；(2)若 x e(8,1)时，/(x)0,求。的取值范围.【答案】(1)(fl)；(2)1,+c o)【解析】(l)j a=l 时，/(x
6、)=|x-l|x+|x-2|(%-l).当x l 时，/(x)=-2(x-l)2 0.所以，不等式/(x)0 的解集为(一 8,1).(2)因为/(a)=0,所以a N l.当 a 2 ,x e (-0 0,1)时，/(%)=(-x)x+(2 -x)(x-a)=2(a -x)(x-l)g (x)的解集；(2)若不等式/C O g(x)的解集包含-1,1 ,求 a的取值范围.【答案】(1)x|-l x -1+：(2)-1,1 .【解析】(1)当a =l 时，不等式/(x)i g(x)等价于 2 7+卜+归一1 卜 4 0 当x l时，式化为/+%-4.?(%)的解集为 x|-l x-1+V17,
7、(2)当XW 1,1 时,g(x)=2.所以/(x)2 g(x)的 解 集 包 含,等价于当x-1 时/(x)22.又/(x)在 一 1 的最小值必为-1)与/之一，所以“一1)2 2 且/(1)2 2,得TWaWl.所以a的取值范围为-1,1 .【变式探究】已知函数x)=|x+l|2 x-3 .(I)在答题卡第(2 4)题图中画出y =/(x)的图像;100,3【答案】(D 见 解 析(I I)(1,3)(5,+o o)x)=x-4,x W-l33 x-2f-l x 1,当4这 一 中-4|1,解得工5或3,.“近-1q I当一1 1,解得工1或 已2 31 3.一1%一或 l x 1，解得
8、x 5或 工 5综上,x g或l x,解析原不等式等价于（工_|）+（x+2）5J 2 x 5或1 -a-l）-（x+2）5,解得迂2或g一3.故原不等式的解集为 M烂一3或x 2）.答 案 x|烂一3或后2高频考点二不等式的证明例2.【2019年高考全国I卷理数】已知m b,c为正数，且满足Hc=1.证明:（1）+-+-a b+be+ca=-=+-ahca h c所 以+!+/+0 2a h c（2）因为a,c为 正 数 且=l,故有(a+b)3+(Z?+c)3+(c+a)?3y(a+b)3(h+c)3(a+c)3=3(Q+Z?)S+c)(a+c)之 3 x (2 )x (2/Z)x (2
9、Z)=24.所以(a+0)3+S+c)3+(c+a)3N24.【变式探究】已知函数/(无)=|x-1l+lx+gl，/为 不 等 式 x)2的解集.(I)求M；(H)证明：当 时，|a+b|l+ab|.【答案】(I)M =x|-l x l:(II)详见解析.【解析】(D/(x)=l,!%!，2 2当xW g时，由/(尤)2得一2x -1；当一2 x4 时，/(%)2；2 2当xN；时，由/(x)2得2x 2,解得x l.所以/(x)2 的解集 M=x l x l.(II)由(I)知，当力 时，一1。1,一1力 1,从而(a+b)2-(1+ah)2=a2+h2-a2h2-1=(2-1)(1-/?
10、2)0,因此|。+加cd,则也+的 加+6；(2)也+也 加+/是心一b|cd 得(g+也 (加+夜)?.因此3+的 标+3.(2)若 V|c一4,则(ab)2 V (c42，即(a+b)24ab V(c+力-4cd.因为+b=c+d,所以由得3+亚 加+口.若也+或/+5，贝lj(也+也)2(加+夜)2,即 a-2yabc+d+lcd.因为a+6=c+d,所以ab cd,于是(ab)2=(a+b)24ab 亚+6是|aO|V|c一$的充要条件.【变式探究】已知4和均为给定的大于1的自然数.设集合M=0,1,2,.,q ,集合4=尤 伏=x-X2q-.+xnqn XiM,/=1,2,.,n.(
11、1)当夕=2,=3时，用列举法表示集合A；(2)设 s,tA,s=a+a2q+.+anqnx,t=b+b2q+.+bnqn1,其中所 biWM,i=l,2,.证明：若 anbn,则 st.(1)【解析】当 4=2，=3 时，M=0,1),A=xx=xi+x2-2+xy9 xM,i=l,2,3 .可得，A=0,1,2,3,4,5,6,7).(2)【证明】由 s,/WA,s=a+aiq+.+anqn,t=b+biq+.+bnqn1,an bgM,i=lt 2,n及 anbn 9可得 sf=(ai-加)+(2=均+(4”-i瓦-1),二十必一儿)/七(一)+(01)1+(一(q1)1)-q 厂 2-
12、i=_g=-o.所以，sf.真 题 感 悟1.【2019年高考全国I卷理数】已知a,b,c为正数，且满足反=1.证明：(1)+-+-2ab,b2+c2 2bc,c2+a2 2ac,又 而 c=l,故有2 l22、7 ,ab+bc+ca 1 1 1a+b+c ab+be+ca=-=H F.abc a b c所以一+-。2+。2.a b c(2)因为a,b,c为正数且出 七=1,故有(a+b)，+(人 +cP+(c+o p 3/(a+Z?)3(/?+c)3(+c)3=3(a+Z?)(匕+c)(a+c)3x(2/a)x(2/c)x(2/ac)=24.所以(a+Z?)3+(人+c)3+(c+a)3 2
13、4.2.【2019年高考全国H 卷理数】已知/(x)=|x -a|x+|x-2(x -a).(1)当。=1时，求不等式/(X)0 的解集；(2)若 x e(8,l)时，/(x)0,求。的取值范围.【答案】(1)(f l)；(2)1,+co)【解析】(1)当 a=l 时，/(x)=|x-l|x+|x-2|(%-l).当x l 时，/(x)=-2(x-l)2 0.所以，不等式/(x)0 的解集为(一 8,1).(2)因为7 3)=0,所以aNl.当al,xe(-8,1)时，f(x)=(a-x)x+(2-x)(x-a)=2(a-x)(x-1 )0.所以，。的取值范围是U,+8).3.【2019年高考
14、全国m卷理数】设 x,y,z e R,且 x +y +z =l.(1)求(x l)2+(y +l)2+(z +lf 的最小值；(2)若。一2)2+()，-1)2+(2。)2 2 3 成立，证明：a -.4【答案】(1)-；(2)见详解.3【解析】(1)由于(x-l)+(y +l)+(z +l)2=(x-+(y +1)2+(z +1)2+2(x-l)(y +1)+(y +l)(z +1)+(z +1)(1)1,当 且 仅 当 尸-?，z =-1 时等号成立.所以。一 1)2+(y+l)2+(z +1)2的最小值 为:(2)由于 Q_ 2)+(y _ l)+(z a)2=(x-2 +(y-l)2+
15、(z-4+2(x-2)(y -1)+(j -l)(z -a)+(z -a)(x-2)2.【答案】x|x 1.【解析】当x 2,解得x 2,B Px L 时，原不等式可化为x+2x-l 2,解得x l.2综上，原不等式的解集为&|x 1.1.(2018 年全国 I 卷理数)已知f(x)=|x+l|-|ax-l|.(1)当a=l时，求不等式f(x)l的解集；(2)若x 6(0,l)时不等式f(x)x 成立，求a的取值范围.【答案】(1)x x ；.(2)(0,2.【解析】/-2,x -1,(1)当 a=l 时，f(x)=|x+1|-|x-1|,即 f(x)=12x,-1 l.故不等式f(x)1的解
16、集为(2)当x (O,l)时|x+l|-|ax-1|城立等价于当x(O,l)时|ax-1|v i 成立.若a W O，则当 x(0,l)时|ax-1|“；2 2若a 0,|ax-1|1 的解集为0 x v-,所以-2 1，故0 aW 2.a a综上，a的取值范围为(0,2.2.(2018年全国H 卷理数)设函数f(x)=5-|x +aRx-2|.(1)当a=l时，求不等式f(x)20的解集；(2)若f(x)W l,求a的取值范围.【答案】(1)x|-2 x 3),(2)(-o o,-6 U 2,+o o)【解析】(1)当2=1时，/2x+4,x -1,f(x)=2,-l x 2.可得f(x)“
17、的解集为x|-2 W x S 3.(2)f(x)4.而|x+a|+|x-212 1a+2,F L当x =2时等号成立.故f(x)S 1 等价于|a+2 工 4.由|a+2|N4可得aS-6gKa 2,所以a的取值范围是(-,-6 u 2,+s).3.(2018年全国III卷理数)设函数f(x)=|2x+1 +|x T|.(1)画出y f(x)的图像；(2)当 x 0.+8)，f(x)s ax-b,求 a+b 的最小值.(2)5【解析】f(x)I 1 y=f(x)的图像如图所示.x+2/x 1.(2)由(1)知，y=f(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅
18、当a3且b22时，f(x)二a x-b在 0.+()成立，因此a+b的最小值为5。4.(2018年江苏卷)选修4一5：不等式选讲若x,y,z为实数,且x+2y+2z=6,求x?+y2+z?的最小值.【答案】4【解析】证明：由柯西不等式,得W +a普2小因为x+2y+2z=6，所以x?+y 2+4，当且仅当x 一v z对，不等式取等号，此时x=2-,y =4-,z=4-,1 2 2 3 3 3所以x?+y2+z2的最小值为4.1.【2017课标I I,理23】已知。0力 0,a3+户=2。证明:(1)(a+/?)(a5+/?5)4；(2)a+b 4.(2)因为/.x3 3c 2L r .2 .3
19、(a+b)=a+3a b+3ab+bg(x)的解集；(2)若不等式/(x)涟(x)的解集包含-1,1 ,求。的取值范围.【答案】(1)x|-l x -1 4;(2)-1,1.【解析】(1)当a=l时，不等式”x g(x)等价于炉x+k+1卅X 1卜4 4 0.当兀 l时，式化为V+x z lW O,从而l x 士姮.2所以/(X g(x)的解集为 x -x g(x)的解集包含 1，等价于当x-l,l R t/(x)2.又/(x)在-1,1 的学科&网最小值必为/(-1)与/(1)之一，所以/(-1)2 2且/2 2,得所以a的取值范围为1.1 20 1 6高考新课标1卷】已知函数/(x)=k+
20、l|-|2x-3|.(I)在答题卡第(24)题图中画出y =/(x)的图像；(H)求 不 等 式 的 解 集.【答案】(I)见 解 析(H)(-8,g)(1.3)(5,+co)【解析】(1)如图所示：x-4,无W-l f(x)=33x-2,-1 x1,当;1#-4|1,解 得*5或 3,.忘一14 1当 _1xl,解得 x 或 x；1 、3；-4 x 或 1 x 1，解得x5 或x3,；-W x52 2综 上,或 lvx1,解集为-,g)(1，3)(5,+oo)2.12016高考新课标2理数】已知函数/(x)=|尤 g|+|龙+；,M为不等式/。)2的解集.(I)求M；(I I)证明：当 时，
21、|+例|1 +。例.【答案】(I)M=x|-l x l:(I I)详见解析.【解析】(D/(幻=1,一 x .2当了4-；时，由/(无)2得一2x 1：当一2 x 4 时，/(%)2；2 2当时，由/(x)2得2x2,解得x l.所以/(%)2的解集M=x(I I)由(I)知，当。力eM 时，-1。1,一 1cb1,从而(a+b)?(1+I =片+/_&2bz-l =(f l2-l)(l-/?2)0,因此|a+b|2x-1|.当x e R时，f(x)+g(x)3,求a的取值范围.【答案】(I)x|T W x W 3 ；(I I)2,+0 0).【解析】(I)当a=2时，f(x)=12 x 2 1+2.解不等式|2九 一 2|+24 6得一l4 x 4 3.因此/(%)6的解集为x|-l x l时，等价于a l +a 3,解得a22.所以a的取值范围是 2,+8).