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1、解 析 几 何【知钠直讲解】一、直线的方程1.直线的倾斜角(1)定义：当直线/与轴相交时，取工轴作为基准，%轴正向与直线1向上的方向之间所成的角叫做直线/的倾斜角。(2)规定：当直线/与工轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0。(3)范围：直线倾斜角的取值范围是 0。,180)o2.斜率公式(1)定义式：直线的倾斜角为a(a H,则斜率k=te m a。(2)坐标式：Pi(%i，y i),P2(x2,y2)在直线/上，且4 H x2,则/的斜率k=及一力o%2一%1例1.图1是中国古代建筑中的举架结构，AA,8B,CC,QQ是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示
2、意图.其中O A，C G，8 4，A A是举，O R,D C|,C B*A是相等的步，相邻桁的举步之比分别为7m=0,5,DT-=ki 已知勺&，&成 公 差 为 a的等差数列，且直线ZJCj CL|D/。4的斜率为0.7 2 5,则与=()【答 案】D(详 解】设=D C、=C B、=B A,=1 ,则 C C =*B B =k2,A At=k,依题意有&-0.2 =勺,%-0.1=&，且C0+CC+B 4+A AO D、+Z)G +C B、+3 A=0.7 2 5,所以0.5 +3k%0.3=0.7 2 5,故&=0.9,4例 2.已 知 A,8,P 为 双 曲 线/一 片=上 不 同 三
3、 点，且 满 足 用+方=2 的（。为坐4标 原 点），直 线 PAP8的斜率记为加,，则 病+止 的 最 小 值 为4A.8 B.4 C.2 D.1【答 案】B【详 解】P A+P B =2 PO有 点。为 线 段 AB的中点，设 4%,，必）,（,必），则岭2,所 与，”资，故 叱器鬻当寒，由于点A,B,P 在双曲线上，所 以 x：-g=l,考-父=1，代入上式中，有J?=4，所4 4 4（必一 1）以病+2 2 1.匕=m n =4，故 最 小 值 为 4.选 B.4 V 43.直线方程的五种形式名称 方程点斜式 y y0=k（x x0）不含垂直于久轴的直线适用范围斜截式y =kx +b
4、不含垂直于X轴的直线两点式y-y i _2 一%一X2-Xt不含直线%=%式%1。%2）和直线y =丫1（%丰丫2）截距式-4-7 =l(a h H 0)a D不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式A%+B y +C =0(/+8 2 =0)平面内所有直线都适用例 3.直 线 2 y x+l=0关 于 y-x+3 =0 对 称 的 直 线 方 程 是（）A.2 x-y-8 =0 B.2 x-y-1 0 =0 C.2 x +y-1 2 =0 D.2 x+y-1 0 =0【答 案】A【详 解】解：设 所 求 直 线 上 任 意 一 点 P（x,y）,Q（%，x）是 关于 直 线）x+3 =0的对称点
5、,则 ,解得卜”：一+y X|+X|?_0 y x-3,2 2由对称性得。在直线2y-x+l=0上，.2(x 3)(y+3)+l=0,即2x-y-8=0例 4.直 线 I:2/nr+y-m-l=0 与圆C:/+(-2尸=4 交于A,B 两点，则当弦AB最短时直线I 的方程为A.2x-4y+3=0B.x-4y+3=0C.2x+4y+3=0D.2x+4y+l=0【答案】A【详解】由题得?(2x-l)+(y-l)=0,.12 1 =0y-l=01x=2,)=1所以直线I 过定点P(g,D.当CPBI时，弦 AB最短.由题得,2-1.=10 _ 1 一 ，,/一2,所以一2雨 二 一，.2 =224所
6、以直线I 的方程为2x-4y+3=0.二、两直线的位置关系1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线2 1/2 ,其斜率分别为七水2,则有，1，2=K =k2 O当直线21,。的斜率都不存在时，h与 平行。例 5.若直线 ix+2y+，=0 与直线3次+(加-1)+7=0平行，则加的值为A.7 B.0 或 7 C.0 D.4【答案】B【详解】回直线tr+2y+z=0 与直线3，nx+Q _l)y+7=0平行，回，=3，x2,回 j=0 或 7,经检脸，都符合题意，故 选 B.（2）两条直线垂直如果两条直线 ,12斜率存在，设 为 七，k2,则，1 J-0 =A kz =
7、T o当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线垂直。2 .三种距离公式（1）点/（%1，丫1）,8（%2，丫2）间的距离为|A B|=J（%2%1）2 +（丫2 y i）2 o（2）点P（%o，y o）到直线L/x +B y +C =0的距离为人=毁舞尹。（3）两平行直线。:4%+B y +G=0与，2：4 x +B y +C 2 =0（G。2）间的距离为o例6.在平面直角坐标系中，记d为点P（cos O,s i n。）到直线x-阳-2=0的距离，当9、“变化时，的最大值为A.I B.2 C.3 D.4【答案】C【详解】Q cos2 6+s i n?=1,P为单位圆上一点，而直线x-
8、，y-2=0过点A（2,0）,所以d的最大值为Q 4+l =2+l =3,选C.3.对称问题（1）点P（%o，y。）关于点力（a,b）的对称点为P （2a-xQ,2b-y0）。（2）设点P Q o，y o）关于直线丫=左+5的对称点为P （x ,y）,P 坐.=则 有.*x 可求出/,y oV 2 2 特殊情况：（1）点（x,y）关于直线x=a的对称点为（2ax,y）,关于直线y=6的对称点为（x,2by）;（2）点（x,y）关于直线y=x的对称点为（v,x）,关于直线y=-x的对称点为（-y,x）：（3）点（x,_/）关于直线x+y=A 1的对称点为（一v,kx）,关于直线x y=k的对称点
9、为（A+y,x）.例7.点（1,2）*口（一1,相）关于乙一丁+3=。对称，则7+4=.【答案】5【详解】由题意，点（1,2）和（-1,m）关 于k x-y+3=0对称，则 点（寸，等）在直线k x-y+3=0上，可得：笞1=3,解 得m=4.那么：点（1,2）和（-1,4）确定的直线的斜率为-1与k x -y+3=0垂直，故得：k=l则m+k=4+l=5,故答案为5.例8.已知点P（2,l）,。（/）关于直线x+y +l =O对称，则a+6=.【答案】-5【详解】由题意，点尸（2,1）,Q（a,6）关于直线x+y+l =。对称，空（一1）=1可得,解得a =_2,b=_ 3,所以a+6 =5
10、.I Z A?I 1 -+-+1 =02 2例9.点M（3,l）关于点N（4,4）的对称点为0（5,7）,则=.【答案】1例1 0.已知直线4：2x+y +2=0与&：4x +处+c=。关于点P（l,0）对称，则b+c=【答案】-10【详解】在直线4：2x+y +2=0上取点M（-l,0）,M O,-2）,M,N关于点尸 久。）对称的点分别为必（3,0），M（2,2）.点 M（3,0）,M（2,2）在直线（：4x +by +c=0上,12+c=0,8 +2/?+c=0,解得 c=-12,/?=2,:.b+c-O.三、圆的方程1.圆的定义和圆的方程定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
11、标准方 程（x a）2+（y b）2=户&0）圆心C（a,b）半径为r一般方程 x2+y2+D x +E y +F=0(D2+E2-4F 0)充要条件：。？+E?-4F 0圆心坐标：半径r=|V D2+F2-4 F补充：以4(%,%)，8(X2,为直径端点的圆的方程为(x一拓)(x X2)+(y y i)(y y)=0.例I L 经过三个点40,0),8(20,0),C(0,-2)的圆的方程为()A.(x-V 3)2+(y +l)2=2C.J C 5/3 j +(y +1)=4【答案】CB.(X-可+(y _ l f =2D.(x-V 3)2+(y-l)2=4【详解】由已知得，A(0,0),8
12、(2G,0),C(0,-2)分别在原点、x轴、1轴上,ABLAC,.,经过三点圆的半径为/=J B C|=g，(26-0)2+(0+2)2=2,圆心坐标为BC的中点1当2等,即(上,-1),.圆的标准方程为(x-G+(y +l=4.例1 2.已知平面向量3,反满足忖=l,cos(a,c)=；，坂-4 Z+3=0,贝|忸-4的最小值是()C.6 D.V 3-1【答案】D【详解】建立平面直角坐标系xOy,设 =),石=丽 工=反，由同=i,cos(，a=g,不妨设 =场=(1,0),又,P=3，不妨设C在直线y =J 5x(x 0)上，又方 4 7 B+3 =0可得初疝石+4=1,即片一4出+47
13、=1,则,-2q2 =1,设。（2,0）,则 砺=2丽=2/则（而-而 丫=1,即 方2=,则B在以。（2,0）为圆心，1为半径的圆上：又R-相 丽-网=同，则忸-|的最小值等价于同 的 最 小值，即以0（2,0）为圆心，1为半径的圆上一点到直线y =A（x（）上一点距离的最小值，即圆心到直线的距离减去半径，即1=1,则 的 最 小 值是百一1.例1 3.已知z为复数，且Iz|=l,则|z-3i|的取值范围是（）A.2,3 B.3,4J C.2,4 D.27 2,4【答案】C【详解】法一：在复平面内，复数z对应的点Z（a,，）的轨迹是以原点。为圆心，以1为半径的圆，Iz-3i|表示复平面内的点
14、Z（“,b）与点用（0,3）之间的距离.因为点（0,3）与原点。的距离10Ml=3,所以|z-3i|的最小值是M E=2,最大值是M r=4,故I z-3i|的取值范围是 2,4.故选:J法二：因为复数z满足I z|=1,不妨设z =c o s，+i s i n。，O e R,则|z-3 i|=|c o s e+i（s i n e-3）|=如 痴 而 万 二=因为 s i n 6 e-l,l l,所以J1 0-6s i n。G2,4,所以I z-3 i|的取值范围是2,4.2.点与圆的位置关系平面上的一点M(%o，y()与圆C:(%a)2 +(y -b)2 =N之间存在着下列关系：(1)M C
15、 r M 在圆外，Fp(x0 a)2+(y0 b)2 r2 M 在圆外;(2)M C =r M 在圆上，即(Xo a)?+(y()b)2 =r 2 0 M 在圆上:(3)M C r M 在圆内，即(%o a)2 +(y。-b)2 0相交元二次方程，计算/=b2-4ac 4=0相切4V o相离几何法计算圆心到直线的距离d，比较dd r相离例1 4.直 线/：x-y 4=0与 圆C:产+),2=8的 位 置 关 系 为()A.相切B.相交 C.相离D.不确定【答案】A【详解】解：圆C:f+y 2 =8的圆心为(0,0),半径r =2夜，|-4|厂圆心到直线/：x _ y _ 4 =0的距离1=(1
16、y=2 y 2 =r,所以直线与圆相切：2 .圆与圆的位置关系设圆。1：(%-a。？+(y -瓦)2 =r/d 0),圆。2：(X-a2y+(y-b2)2=r/(r2 0)。几何法：圆心距d与勺/2的关系代数法：两圆方程联立组成方外离d r1+r2程组的解的情况无解外切d=r1+r2一组实数解相 交21rl-r2 d rr+r2两组不同的实数解内切d=In-r2|(rx*r2)一组实数解内含Q Wd +(y-2)2 =4交于A8两个不同点,则当弦AB最短时，圆与圆N:x 2+(y-m)2=l的位置关 系 是()A.内切【答案】DB.相离C.外切D.相交【详解】易知直线/：皿+尸 相-1 =0过
17、定点弦4 8最短时直线/垂直PM,又即M=：4=I，所以解得i=i,此时圆N的方程是/+(丫-1)2=4.两圆圆心之间的距离MY=(2-0)2+(2-1尸=6 ,又2-1 石 2+1,所以这两圆相交.3.两圆公切线的条数位置关系 内含内切相交外切外离公切线条数 01234例 1 6.已知圆 C:x?+丁=4,直线/:(3+m)x+4y-3+3m=0,(meR),则下列结论正确 的 是()A.直线/恒过定点(3,3)B.当帆=0时，圆C上有且仅有三个点到直线/的距离都等于1C.圆C与曲线V+yn-6x-8y+w=0恰有三条公切线，则加=16D.当机=13时，直线/上.个动点P向圆C引两条切线P
18、A P B,其中A,8为切点，则直线AB经过点1【答案】CD【详解】对于A,直线/:(3+m)x+4y-3+3?=0,(,eR),整理得加(x+3)+(3x+4y-3)=0,fx+3=0(x=3,、所以j3x+4.y_3=0，得=3 所以直线/恒过定点(T 3),所以A错误，对 于B,当机=0时，直线/为3x+4y-3=。，则圆心C(0,0)到直线/的距离为 =S 0-3|=m而圆的半径为2,所以圆C上有V32+42 5且仅有四个点到直线/的距离都等于1,所 以B错误,1 6x=-94 y=-94 y-x =09 y+4=0，得.对于C,当加=1 6时，曲线x 2 +y 2-6x-8 y +/
19、M=0 为一+丁-6犬-8 y +1 6=0,整理得(x-3)2+(y-4)2=9,则圆心为(3,4),半径为 3,圆C:f +y 2=4 的圆心C(0,0),半径为2,所以两圆的圆心距为J(3 -O N +(4 -O N =5=3 +2,所以两圆相外切，所以两圆恰有3条公切线，所 以 C 正确，对 于 D,当机=1 3 时，直线/的方程为4 x +y +9 =0,设 P(f,-9-4 f),则以P C 为直径的圆的方程为(x-f)x +(9 +4 f +y)y =0 ,g p x2+(-?)%+y2+9y +4t y =0,因为圆Ux?+),2 =4 ,所以两圆的公共弦的方程为T r +4/
20、+9 y +4 =0 ,整理得(4 y-x)r+9 y+4 =o,所以所以直线A 8 经过点,所 以 D 正确，4.圆的切线方程常用结论过圆上一点P(*o,加 的圆的切线方程为xox+y o y=r；过圆(%一目2+(，一。)2=/-2 上一点 P(x ,y0)的圆的切线方程为(4 a)(xa)+(%一6)(y6)=r2;过 圆 寸+/=/外 一 点”(%,N o)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为X o x+yoy=r.5.圆系方程过直线 A x+B y+C=Q 与圆 x+y+D x+E y+F=Q交点的圆系方程：x+y+Dx+E y+F+A x+W+O =0(2 6 R)；(2)过圆
21、G：X2+/+X+J/+=O 和圆 G：*?+/+3 x+E j/+6=0 交点的圆系方程：x y D y X-Eyy-Fy-A(x2+y2+Zx+E2y-F)=0(A 1)五、椭 圆1.椭圆的概念在平面内到两定点Fi ,尸 2的距离的和等于常数(大于IF/2 I)的点的轨迹叫椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。2.椭圆的标准方程与几何性质2 2X v(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为二十至=1 (a 6 0).a D2 2/x(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为,+目=1 (a 6 0).a D2 2例1 7.若直线x+2y+4=0过椭圆
22、二+4=1(。60)短轴端点和左顶点，则椭圆a b方 程 为()A.t+反=1 B.二+反T C.t+工=1 D.二+目=14 2 16 4 4 16 12 9【答案】B【详解】直线x+2y+4=0交工轴于(-4,0),交y轴于(0,-2),依题意，。=4,=2,所以椭圆方程为江+片=1.16 43.椭圆的常见结论(1)椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值分别为a+c,ac.(2)焦点三角形：椭圆上的点P(x。，%)与两焦点构成的所6叫做焦点三角形,NF、PFk0,所E的面积为S.I.当。为短轴端点时，6最大；19II.S=-jPFy PF2 sin 6 0)的弦，a b力(无，必)，8(x
23、2,y2),弦中点(看,战)，则：I.弦长/=/i-+P|x21 =yy i;1 1.直线4 8 的斜率右=一 一a y0例 1 8.在一些山谷中有一种奇特的现象，在一处呼喊一声，在另一处会间隔听到两次呼喊，前一次是声音直接传到听者耳朵中，后一次是声音经过山壁反射后再传到听者耳朵中.假设有一片椭圆形状的空旷山谷，甲、乙两人分别站在椭圆的两个焦点处，甲呼喊一声，乙经过2 s 听到第一声，又过3 s 听到第二声，则该椭圆的离心率为（）【答案】B【详解】如图，甲 在 乙 在 尸 2,直接传播路径有百f6，即片g=2 c,由椭圆的对称性，结合声波的反射定律，声音经过A点反射，传播路程为Z-Afg,即F
24、lA +A F2=2a-,声音经过8反射，传播路程为-8-舄，即6 8 +8 6=2 9,一 C）,因为c a,所以2 c 2 a,2（a-c）0,6 0）.v x(2)焦点在y轴上的双曲线的标准方程为下一9=1 (a 0,b 0).a b3.双曲线的几何性质2 6 2(1)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为一,也叫通径.a2 22 2X v x V(2)与双曲线？一1=1 (a 0,b0)有 共 同 渐 近 线 的 方 程 表 示 为t.(3)双曲线的焦点到其渐近线的距离为6.(4)若户是双曲线右支上一点，F、,E分别为双曲线的左、右焦点，则|所L,=a+c,|所|*=c-a.例1 9
25、.过双曲线卫 一 =1 (,方0)的右焦点F,且与x轴垂直的直线与渐近线交于第一象限的一点P,为左焦点，直线片户的倾斜角为6则双曲线的离心率e为【答案】等【详解】解：依题意右焦点月(G 0),双曲线的渐近线为y =,令x =c可得y =这，a a即p(c,生,又左焦点片(-c,0),所 以 力=t a-=1 =二=在，所以2 =述，、a 1 稗 6 2 c 2 a 3 a 3七、抛物线1.抛物线的定义平面内与一个定点厂和一条定直线/(/不经过点Q的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点尸叫做抛物线的焦点，直 线/叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程 y2 y=2 p x(p 0)
26、=-2 p x(p 0)x2=2 p y(p 0)X=-2 p y(p 0)图形0(0,0)x 44y*由顶点对称轴焦点F&0)尸(0 名)尸(。，-9离心率 e=1准线 p p p px=-%=-y=-V=2 2 7 2 7 2范围 x 0,y&R%0,x e R y 0)焦 点 尸 的 弦，若 4(必，必)，8(x2,%),a为 弦 4 8 的 倾 斜 角，则：(1)MX2=。，必玫=。；(2)|AF=-，|BF=7；1-cos a 1 +cos a(3)弦长|/8|=xy+x2+p=;s i n a1 1 2丽十两=7(5)以 弦 4 8 为直径的圆与准线相切.例 20.已 知 抛 物
27、线 C：V =2px(P 0)过 点 矶 1,2),过 点 A(-l,0)的 直 线 交 抛 物 线 于 M,N 两 点，点 N 在 点 M 右 侧，若 尸为焦点，鱼 线NF,分 别 交 抛 物 线 于 P,Q 两点，则()A.MF-NF4 B.OM-ON=OBfC.A,P,。三点共线 D.ZAM P 0)过点8(1,2),所以4 =2p,所以抛物线方程为y 2 =4 x设 )”(%,%)设过点A(-1,O)的直线方程为x =%y-l,代入y?=4 x整理得：/-4 w +4 =0则 +%=4,A=16W2-160,或加1 O M -O N =J x：+y：收+货=J x；名+x：y；+x；y
28、：+又 y；=4X Q；=4，X M=4由定义可知，I 尸|=西+1,加尸|=占+1,V A M F-N F =xx2+x+w+1 =，；：2 +X ；+1 2 +2；=4 ,故 A 正确；所以|OM|.|O N|=J +16 =J 17 +y；+y；=也+16 52 2又|O叶=5,故B错误；记尸令M，Q号,M)设直线M7方程为x =y +I,代入y 2=4 x整理得：y2-4 y-4 =044则X%=-4,%=-T,同理可得乂=-%必k：%_ 4%_ _ 4耳 _ 必 _ 4)4 _ -16%-4 1因为第 一 +J+4-4 +代，-立一行+4 -16 +4 y广 犬+4-r 1 -r 1
29、442%,所以A,P,。三点共线，C正确；4JI因为%=-3=-%,M P A F ,所以 Z A M P =-/M4。I T T T T由上可知，直线AM的斜率-1一1,所以0/MAO一,所以,D错m 4 4、口7天.补充知识：(1)三角形的重心G是 AAfiC的重心=应i+丽+沅=6;重心坐标G(%F+先)；G为AA3C的重心，。为平面上任意点，则 所=：(而+丽+正)；重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1;重心与三角形的3 个顶点组成的3 个三角形的面积相等，即重心到3 条边的距离与3 条边的长成反比；(2)三角形的内心a-IA+b-IB+c I C
30、=6(3)三角形内切圆的半径任意三角形：r=丝 LQ(其中CD为三角形4 8 c 的周长，为三角形4861的 面 积)；直角三角形：r=-+b(其中a,6 为直角边，c 为斜边)2(4)三角形的垂心，是 M B C的 垂 心=HA-B(j=H(j A R =。垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2 倍。(5)三角形的外心.，.2.2.20 是 A43C的外心o|OA|=|OB|=|OC|(或 3 =O B =0 C );若 点 0 是“吕。的外心，则(砺+砺)丽=(而+玩)阮=(丽+阮)高=0.若。是 A43C的外心，则 sin2A丽+sin2B O与+sin2C O(f=6
31、;多心组合：AA8C的外心0、重心G、垂心H 共线，即OG。”(6)圆锥曲线的光学性质：椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.光线从双曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点发出过焦点的光线（光线不同过抛物线对称轴上任意两点）经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.【对点制球】一、单选题1.已知椭圆C的焦点为4（-1,0），鸟（1,0）,过尸2的直线与C交于A,8两点.若|伍1=2|6 B|,|A B =B F,则。的方程为A 厂 2 1A.+/=12.2 2B,工+汇=13 2V-2 2
32、C.+-=14 3D-卜2.已知片，工是椭圆。：*+方=1（。）的左，右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为由的直线上，尸打名为等腰三角形，NKP=120。，则C的离心率6为2 23.设f为双曲线C：-当=1（。0,/?0）的右焦点，0为坐标原点，以OFa1 b为直径的圆与圆/+产=相交于p、Q两 点.若|p 0|=|O F|,则。的离心率为A.及 B.73C.2D./54.已 知 鸟 是 椭 圆C:工+?=1的两个焦点，点M在C上，则伙明|M用的最大 值 为（）A.13 B.12 C.9 D.6丫2 25.若 过 椭 圆?+=1内一点*1,1）的弦被该点平分，则该弦所在的直线方程为（）A
33、.x-2y+l=0 B.x 2y 3=0 C.x+2y-3=0 D.x+2y+3=（）6.设抛物线C:V=4x的焦点为F,过 点（-2,0）且斜率为:的直线与C交于M,N两点，则 丽.丽 二A.5 B.6 C.7 D.87.设3是椭圆C:二+4 =1（人 0）的上顶点，若。上的任意一点P都满足a b-PB2b?则C的离心率的取值范围是（）A.B.C.D.9.已知抛物线C:V=4 x的焦点为F,过F作倾斜角为锐角的直线I交抛物线C于A、B两点，弦A B的中点M到抛物线C的准线的距离为5,则直线I的方程为A.底x-3y-f=0B.3 x-#y-3 =0C.x-y-l=()D.x-42y-1=010
34、.已知尸为抛物线C:V=4x的焦点，过产作两条互相垂直的直线力，h,直线力与。交于A、B两 点,直线与C交于。、E两点、,则|A3|+|O E|的最小值为A.16 B.14 C.12 D.102 211.已知双曲线C：三-马=1（。0,8 0）的离心率为右,则点（4,0）至IJC的渐近线a b的距离为A.五 B.2 C.D.242212.在平面内，A,B是两个定点，C是动点，若 而 屈=1,则点C的轨迹为（）A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.直线2 213.已知抛物线y2=4x的焦点为F,准线为/.若/与双曲线-与=1（“0,0）的cr kr两条渐近线分别交于点A和 点8,且|A8|=4|OF
35、|（。为原点），则双曲线的离心率为A.72 B.6 C,2 D.石14.设耳、后是椭圆E:+=1（。0）的左、右焦点，P为直线x=当上一a b 2点，八鸟尸片是底角为3 0的等腰三角形，则E的离心率为A B-C-D-2。一 丁 4 U，51 5.已知双曲线W-1=1 3 0,0）的离心率为2,过右焦点且垂直于冗轴的直线a b 与双曲线交于A 8两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为4和4 ,且4+4=6,则双曲线的方程为2 2A X V,A.-=13 9B.31 6.已知6,6是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且归耳|P段,线 段 的 垂 直 平 分 线 过 尸2,若椭
36、圆的离心率为4,双曲线的离心率为02,则2 e.1+才 的 最 小 值 为()A.A/6 B.3 C.6 D.7317.点 (4,-2)与圆/+9 =4上任一点连线的中点的轨迹方程是A.(x-2)2+(y+l)2=lB.。-2)2+(y+iy=4C.(x+4)2+(y-2)2=4D.(x+2)2+(-l)2=l18.已知4力wR,必 0,函数/(工)=依2+/10)的左顶点为A,点P,。均 在。上，且关于y轴对a b称.若 直 线AP,AQ的斜率之积为!，则。的 离 心 率 为()A.昱 B.C.|D.12 2 2 3二、多选题2 2.已知曲线C:?/+町;2=.()A.若则C是椭圆，其焦点在
37、y轴上B.若则C是圆，其半径为4C.若m n 0,则C是两条直线2 3.已知。为坐标原点，点A(l,l)在抛物线C:f=2 p)，(p 0)上，过点B(0,-1)的直线交。于P,Q两点，则()A.。的准线为y=-l B.直线A B与C相切C.OP O(|OA|2 D.BP BQBA12 4.已知。为坐标原点，过抛物线C：V=2p x(p 0)焦点尸的直线与。交于A,B两点，其中A在第一象限，点M(P，0),若IA F R A M I,则()A.直线A 3的斜率为2#B.OB=OFC.AB4OFD.ZOAM+ZOBM 人。）的左、右 焦 点分别为M,E且忻闾=2,点尸（1,1）在椭圆内部，点。在
38、椭圆上，则以下说法正确的是（）A.|Q耳|+|QH的 最 小 值 为2 a-1B.椭圆C的短轴长可能为2（石 川C.椭圆C的离心率的取值范围为0,7D.若 国=超，则 椭 圆C的 长 轴 长 为 石+折2 6.已知椭圆C:+营=l（a ）的左右焦点分别为K、居，长轴长为4,点在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为（。，|B.当离心率为亨时，|。制+|。”的最大值为2+乎C.存在点Q使 得 斯 西=0D-血.赢 的 最 小 值 为12 7.已知、与分别为双曲线-*i g o,o）的左、右焦点，且忻用=_：,点P为双曲线右支 一点，/为 耳用的内心，若S4W F、=
39、s+1 s 班 后 成立，则下列结论 正 确 的 有（）A.当/；，*轴时，N/记居=30 B.离心率e=匕 且2C.4=正 D.点/的横坐标为定值o22 22 8.已知耳，行分别为椭圆C:1y+=l（a%0）的左、右焦点，户为椭圆上任意一点（不在x轴上），片工外接圆的圆心为H,片内切圆的圆心为/,直线P/交x轴于点M，。为坐标原点.则（）A.丽.用的最小值为 B.丽.用的最小值为2 4c.椭圆c的离心率等于瑞D.椭圆C的离心率等于胃7 2 2 22 9.（多选）已知片,乃是椭圆予+m=1（4 4 0）和双曲线，一卓=1（“2%0）jr的公共焦点，。是他们的一个公共点，且/耳尸巴=耳，则以下结
40、论正确的是（）A.-b：=a；-b；B.=3b；C.3+*=1 D.e；+e；的最小值为1 +年2 23 0.已知椭圆C:+=l（ab0）的左右焦点分别为6、F2,长轴长为4,点P（夜,1）在椭圆内部，点。在椭圆上，则以下说法正确的是（）A.离心率的取值范围为（0,；）B.当离心率为乎时，|Q周的最大值为2+日C.存在点。使 得 不 函=01 1D-函+函 的 最 小 值 为13 1.泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅.已知点”（1，0）,直 线/：x=-2,若某
41、直线上存在点P,使得点P到点M的距离比到直线/的距离小1,则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（）A.点P的轨迹曲线是一条线段B.点P的轨迹与直线，：x=-l是没有交会的轨迹（即两个轨迹没有交点）C.y=2x+6不是最远距离直线D.y=g x+l是 最远距离直线”3 2.已知F为椭圆C：?+J =l的左焦点，直线/：y=fcc（%w0）与椭圆C交于A,B两点、,轴，垂足为E,与椭圆。的另一个交点为P,则（）1 4LA.府|+际i 的最小值为2 B.ABE面积的最大值为近C.直线8E的斜率为D.N 以8为钝角3 3.如图，点M是棱长为1的正方体A B C D-A B C Q中的侧面A
42、O|A上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）A.存在无数个点M满足CM_LA。B.当点M在 棱 上 运 动 时，|M 4|+|M g|的最小值为6 +1C.在线段4。上存在点M,使异面直线A M与CQ所成的角是3伊D.满足IM D b21M q的点M的轨迹是一段圆弧三、填空题34.设/工 为 椭 圆C:三+y=1的两个焦点，为C上一点且在第一象限.若36 20MF也为等腰三角形，则例的坐标为.35.已知双曲线C:-1=1（。0乃 0）的左、右焦点分别为B,F2,过F/的直线C T b-与C的两条渐近线分别交于A,B两点、.若 不=通，的 用=0,则C的离心率为.36.已知点M（-L
43、1）和抛物线C：y2=4x，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B 两点、.若 NAMB=9O。，则=.四、解答题37.已知4 8分别为椭圆E:4 +/=1（。1）的左、右顶点，G为E的上顶点，A G G B =8,P为直线x=6 上的动点，与 E 的另一交点为C,PB与 E的另一交点为D.(1)求 E 的方程；(2)证明：直 线 CD过定点.3 8 .在平面直角坐标系M x中，已知点川-如,。)、用(如,0,叫|-|姐|=2,点M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设点T 在直线x 上，过T 的两条直线分别交C于A、8两点和尸，Q 两点，且必卜|用=.|项，求直线A 8 的斜率与直线也的斜
44、率之和.33 9 .已知抛物线C:p=3 x 的焦点为F,斜率为的直线/与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)若|A F|+|8 F|=4,求/的方程：(2)若 丽=3 而，求|A 8 .40 .设椭圆C：+y 2=l的右焦点为尸，过 F的直线/与C交于4 8两点，点M 的坐标为(2,0).(1)当/与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2)设。为坐标原点，证明：N O M A =N O M B.41 .已知椭圆C:+营=1 卜 0 6 0)过点4(0,1),且椭圆的离心率为手.(回)求椭圆C的方程；(回)斜率为1 的直线/交椭圆C于M(X，y),%(&,%)两点，且再/.若直线x =3
45、 上存在点P,使得A P M N 是以/P M N 为顶角的等腰直角三角形，求直线/的方程.42 .已知椭圆 C:1+1=1 (a b 0),四点 Pi (1,1),P2 (0,1),P3(-1,),cr Z r 2P4(1,)中恰有三点在椭圆c上.2(回)求C的方程；(回)设直线I不经过P2 点且与C相交于A,B两点.若直线P2 A 与直线P2 B 的斜率的和为-1,证明：I过定点.43.已知椭圆C的方程为+与=l(a b 0),右焦点为尸(60),且离心率为逅.a h 3(1)求椭圆C的方程；(2)设 M,N是椭圆C上的两点，直线M N与曲线d +y A x 。)相切.证明:M,N,尸三点
46、共线的充要条件是|MN|=0.4 4.已知椭圆C:5 +=1(人()的离心率为也，且过点A(2,l).(1)求C的方程：(2)点M,N在 C上，且A D L M N ,。为 垂 足.证 明：存在定点Q,使得|也为定值.4 5.已知抛物线C:2=2 p x(p 0)的焦点尸到准线的距离为2.(1)求。的方程；(2)已知。为坐标原点，点 P 在 C上，点 Q 满 足 而=9/,求直线。斜率的最大值.4 6.已知斜率为左的直线/与椭圆C：1+蒋=1 交于A,B两点、,线段A 3 的中点为M(1,m)(/n 0).(1)证明：k 0)的左焦点为F,上顶点为尺已知椭圆的离心率为左,点 A的坐标为(匕,0
47、),且|网明=诋(I)求椭圆的方程；(II)设直线/:卜=丘(4 0)与椭圆在第一象限的交点为P,且/与直线A3交于点。.若 鬻=s i n Z A O Q(O 为原点)，求左的值.5 4.设 椭 圆 +左=1(6 0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为g,|A B|=V 1 3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线/：=公纸 0）,点 A是椭圆C 与抛物线c?的交点，过点A的直线/交椭圆C于点8,交抛物线c 2 于 M （8,M 不同于 A）.（0）若 P=,求抛物线G的焦点坐标；16（回）若存在不过原点的直线/使M 为 线 段 的 中 点，求p的最大值.5 6 .已知椭圆M :当+4
48、=l（a%0）的 离 心率为逅，焦距为2 啦.斜率为左的直线a b-3/与椭圆M 有两个不同的交点A、B.（0）求椭圆的方程；（a）若目=1,求IA B I的最大值;（回）设 P（-2,0）,直线以与椭圆M 的另一个交点为C,直线PB 与椭圆M 的另一个交点为。.若c、力和点共线，求上.5 7 .设椭圆+当=1（0）的左焦点为尸，右顶点为A,离心率为，已知A是抛物线y?=2 p x（p 0）的焦点，F到抛物线的准线/的距离为，（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II）设/上两点产，。关于x 轴对称，直线4P与椭圆相交于点B（8 异于点A）,直线8。与x 轴相交于点。.若A PZ）的面积为理，求
49、直线A P的方程.25 8 .双曲线C:毛-2=1（4 0,。0）的左顶点为A,右焦点为F,动点B 在 C上.当cr b-时，AF|=|BF.（1）求C的离心率；（2）若8 在第一象限，证明：ZBFA=2ZBAF.2 25 9.在平面直角坐标系X。)，中，已知椭圆E:?+=l 的左、右焦点分别为尸 2,点 A 在椭圆E 上且在第一象限内，回 口/尸 2,直 线 与 椭 圆 E 相交于另一点B.(1)求EA求仍的周长;(2)在 x 轴上任取一点P,直线AP与椭圆E 的右准线相交于点。，求丽炉的最小值；(3)设点M 在椭圆E 上，记回0 4?与 的 面 积 分 别 为 S/,S2,若 2=35/,
50、求点 M 的坐标.2 26 0.如图，在平面直角坐标系x Q y 中，椭 圆 C:5+方=l(a b 0)的焦点为F/(-1、0),尸 2(1,0).过尸2作 x 轴的垂线I,在 x 轴的上方，/与圆F2:(x-)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点。.连结A F/并延长交圆F2于点、B,连 结 交 椭 圆 C于点E,连结。F/.已知(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.【会考卷素】1.B【详解】法一：如图，由已知可设后却=，则|4 q=2”,忸制=|4四=3，由椭圆的定义有2a=B F+B F=4n,:.A F =2a-A F=2 n.在4 8 中，由余弦定理推论得cosZ F.