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1、高考复习试卷习题资料之高考数学试卷（理科）一、选择题：本题共1 0 小题，每小题5 分，共 5 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有项符合题目的要求的.1.（5 分）已知复数z 的共辄复数去l+2 i（i 为虚数单位），则 z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.（5 分）已知集合人=1,a,B=1,2,3 ,则a=3是A可 的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.（5 分）双曲线力-了2=1的顶点到渐近线的距离等于（）4.（5 分）某校从高年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成
2、6 组：40,50）,50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生6 0 0 名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）5.（5 分）满 足 a,b G-1,0,1,2,且关于x 的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为（）A.14 B.13 C.12 D.106.（5 分）阅读如图所示的程序框图，若输入的k=10,则该算法的功能是（）A.计算数列 2 n-l 的前10项和 B.计算数列 2 n-l 的前9 项和C.计算数列 2 n-l 的前10项和 D.计算数列 2n-1 的前9 项
3、和7.(5 分)在 四 边 形 A BCD 中，M=(1,2),丽=(-4,2),则该四边形的面积为()A.V S B.25 C.5 D.108.(5 分)设 函 数 f(x)的定义域为R,x0(XOHO)是 f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A.VkGR,f(x)f(x0)B.-xO 是 f(-x)的极小值点C.-xO是-f(x)的极小值点D.-xO是-f(-x)的极小值点9.(5 分)已知等比数列 an 的公比为 q,记 bn=am(n-1)+l+am(n-1)+2+.+am(n-1)+m,cn=am(n-1)+l*am(n-1)+2.am(n-1)+m,(m,n C N*)，则
4、以下结论定正确的是()A.数列 bn 为等差数列，公差为qmB.数列 bn 为等比数列，公比为q2mC.数列 cn 为等比数列，公比为q-D.数列 cn 为等比数列，公比为qm110.(5 分)设 S,T 是 R 的两个非空子集，如果存在一个从S 到 T 的函数y=f(x)满足:(i)T=f(x)|xGS；(i i)对任意 xl,x 2 C S,当 xlx2 时、恒有 f(x l)f(x 2),那么称这两个集合 保序同构，以下集合对不是 保序同构 的是()A.A=N*,B=NB.A=x-lx3,B=x|x=-8 或 0 x10C.A=x|Ox0发生的概率为.12.（4 分）已知某多面体内接于球
5、构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2 的正方形，则该球的表面积是.13.（4 分）如图，在4 A B C 中，已 知 点 D 在 B C 边上，ADAC,sin/BA C=3但,3AB=3&,A D=3,则 BD 的长为.2 214.(4 分)椭 圆 r：%+J=1 (a b 0)的左右焦点分别为Fl,F 2,焦距为2 c,若直a2 b2线 y=J5(x+c)与椭圆 的一个交点M 满足NM F1F2=2/M F2F1,则该椭圆的离心率等于.15.(4 分)当 x G R,冈 1 时,有如下表达式:l+x+x2+.+xn+.=-l-xj_ J_
6、_L L J_两边同时积分得：r 3 1 dx+f 3 xdx+f x2dx+.+f gxndx+.=f 4-dx从而得到如下等式：lx +lx (1.)2+LX(工)3+.+-1-X()n+l+.=ln22 2 2 3 2 n+1 2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算:、O xL+JLlx（_!_）2+（工）3+.+_1_ 以（工）n+l=.n 2 2 n 2 3 n 2 n+1 n 2三、解答题：本大题共5 小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(1 3 分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2,中奖可以获得2 分；方案
7、乙的中奖率为2,中奖可以获得3 分；未中奖则不得3 5分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为x,求 X43的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？17.(13 分)已知函数 f(x)=x-alnx(a&R)(1)当 a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.18.(1 3 分)如 图，在正方形OABC中，。为坐标原点，点 A 的坐标为(10,0),点 C的坐标为(
8、0,1 0),分别将线段O A和 A B 十等分，分点分别记为Al,A2，A 9 和Bl,B2,B 9,连接 O B i,过 Ai 作 X 轴的垂线与 O B i,交于点P j(i N*,1 1 9).(1)求证：点p j i E N*,i i 0）(1)求证：CDJ_平面 ADD1A1(2)若直线AA1与平面ABIC所成角的正弦值为旦，求k的值7(3)现将与四棱柱ABCD-A1B1C1D1形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为f(k),写 出f(
9、k)的解析式.(直接写出答案，不必说明理由)20.(1 4分)已 知 函 数f(x)=sin(wx+小)(w 0,04)n)的周期为n,图象的一个对 称 中 心 为(工，0),将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标4不 变)，再将得到的图象向右平移个工单位长度后得到函数g(x)的图象.2(1)求函数f(X)与g(X)的解析式-T T T T(2)是否存在xOW(皆，,使得f(xO),g(xO),f(xO)g(xO)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定xO的个数，若不存在，说明理由；(3)求实数a与正整数n,使 得F (x)=f(x)+ag(x)在(0,n n)内恰有个零点
10、.本题设有(2 1)、(2 2)、(2 3)三个选考题，每 题7分，请考生任选2题作答，满 分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21.(7分)选 修4-2：矩阵与变换已知直线I：ax+y=l在 矩 阵 对 应 的 变 换 作 用 下 变 为 直 线|，：x+by=l10 1)(I)求实数a,b的值(I I)若 点P (xO,y 0)在直线I上，且A求 点P的坐标.yoJ yo J22.(7分)选 修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的极坐标为G历.千)，直 线I的极坐标方程为p c o s(8 *-)=a，且点A在直线I上
11、.(I)求a的值及直线I的直角坐标方程；(I I)圆C的参数方程为x=l+8 s a s为 参 数)，试判断直线与圆c的位置关系.(y=sina23.设不等式|x-2|a (a G N*)的解集为A,且称 A,a 秘(I)求a的值(II)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题：本题共1 0小题，每小题5分，共5 0分.在每小题给出的四个选项中，只有-项符合题目的要求的.1.(5分)已知复数z的共辅复数W=l+2i(i为虚数单位)，则z在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【分析】求出复数z,复数
12、z的对应点的坐标，即可得到选项.【解答】解：因为复数z的共柄复数淳=l+2 i，所 以z=l-2 i,对应的点的坐标为(1,-2).z在复平面内对应的点位于第四象限.故选：D.【点评】本题考查复数的代数表示以及几何意义，基本知识的考查.2.(5分)已知集合人=已a,B=1,2,3 ,则a=3是A 的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【分析】先 有a=3成立判断是否能推出A式 成立，反之判断A三 成立是否能推出a=3成立；利用充要条件的题意得到结论.【解答】解：当a=3时，A=1,3所以A田，即a=3能推出A 3；反之当AQB时，所以a=3或
13、a=2,所以A出 成立，推不出a=3故a=3是A0 的充分不必要条件故选：A.【点评】本题考查利用充要条件的定义判断个命题是另个命题的什么条件.3.（5 分）双 曲 线 亍-y 2=1的顶点到渐近线的距离等于（）A.-2 B.1 c,2V5 D.5 5 5 5【分析】由对称性可取双曲线,-y 2=1的 顶 点（2,0）,渐 近 线 尸,X，利用点到直线的距离公式即可得到顶点到渐近线的距离.【解答】解：由对称性可取双曲线,-y 2=1的 顶 点（2,0）,渐近线产,x，则顶点到渐近线的距离卡噜故选：C.【点评】熟练掌握双曲线的顶点、渐近线方程及得到直线的距离公式是解题的关键.4.（5 分）某校从
14、高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6 组：40,50）,50,60）,60,70）,70,80）,80,90）,90,100加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生6 0 0 名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）【分析】根据频率分布直方图，成绩不低于60分的频率，然后根据频数=频率x总数可求出所求.【解答】解：根据频率分布直方图，成绩不低于60（分）的频率为1-10 x（0.005+0.015）=0.8.由于该校高一年级共有学生600人，利用样本估计总体的思想，可估计该校高一年级模块测试成绩不低于60(分)的人数为600 x0.8=
15、480人.故选：B.【点评】本小题主要考查频率、频数、统计和概率等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力.5.(5 分)满 足 a,b -1,0,1,2 ,且关于x 的方程ax2+2x+b=0有实数解的有序数对的个数为()A.14 B.13 C.12 D.10【分析】由于关于x 的方程ax2+2x+b=0有实数根，所以分两种情况：(1)当 axO时，方程为一元二次方程，那么它的判别式大于或等于0,由此即可求出a 的取值范围；(2)当a=0时，方程为2x+b=0,此时一定有解.【解答】解：(1)当 a=0时,方 程 为 2x+b=0,此时一定有解;此时 b=-l,0,1,
16、2；即(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2)四种.(2)当 axO时，方程为一元二次方程，.=4-4ab20,/.a b 0 域 程有两个不相等的实数根；(2)=()访程有两个相等的实数根；(3)V 0访程没有实数根，在解题时要注意分类讨论思想运用.考查分类讨论思想.6.(5 分)阅读如图所示的程序框图，若输入的k=1 0,则该算法的功能是()A.计算数列 2 n-l 的前10项和 B.计算数列 2 n-l 的前9 项和C.计算数列 2 n-l 的前10项和 D.计算数列 2n-1 的前9 项和【分析】从赋值框给出的两个变量的值开始，逐渐分析写出程序运行的每一步，便可得到程序框图表示
17、的算法的功能.【解答】解：框图首先给累加变量S 和循环变量i 赋值，S=0,i=l；判断 i10 不成立，执行 S=l+2x0=l,i=l+l=2；判断 i10 不成立，执行 S=l+2xl=l+2,i=2+l=3；判断 i10 不成立，执行 S=l+2x(1+2)=1+2+22,i=3+l=4；判断 i10 不成立，执行 S=l+2+22+.+29,i=10+l=ll；判断 i10 成立，输出 S=l+2+22+.+29.算法结束.故则该算法的功能是计算数列 2n-1 的 前 10项和.故选：A.【点评】本题考查解决程序框图中的循环结构时，常采用写出前几次循环的结果，找规律.7.(5分)在
18、四 边 形A BCD中，A C=(1.2),丽=(-4,2),则该四边形的面积为()A.遥 B.2 5 C.5 D.1 0【分析】通过向量的数量积判断四边形的形状，然后求解四边形的面积即可.【解答】解：因为在四边形A BCD中，正=(1,2)BD=(-4,2)正 丽=0，所以四边形A BCD的对角线互相垂直，又|瓦|二心2+2 2=代,|BD 国(-4)2 +2 2=2匹该四边形的面积：y|A C I lBD|卷X在x 2后5.故选：C.【点评】本题考查向量在儿何中的应用，向量的数量积判断四边形的形状是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力.8.(5分)设 函 数f (x)的定义域为R,x0(
19、XOHO)是f(x)的极大值点，以下结论一定正确的是()A.WGR,f(x)9(皆,不是常数，故选项A不正确,.等比数列 an的公比为口，D$m(ird-l),c_ m l+24*-fm=m 2n-am(rrl)若 1)。m(m+l).cn+l 咪n H T)q 2Cs m -iD(nrH)n(n-D F V综上可知：只有C正确.q K,故C正确D不正确.故选：C.【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的定义、通项公式及其前n项和公式是解题的关键.10.(5分)设S,T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y=f(x)满足：(i)T=f(x)|x S)；(i i)对任意 xl,x2 G S
20、,当 xlx2 时，恒有 f(x l)f(x 2),那么称这两个集合 保序同构，以下集合对不是 保序同构 的是()A.A=N*,B=NB.A=x|-lx3,B=x|x=-8 或 0 x10C.A=x|0 xl,B=RD.A=Z,B=Q【分析】利用题目给出的 保序同构 的概念，对每一个选项中给出的两个集合，利用所学知识，找出能够使两个集合满足题目所给出的条件的函数，即B是函数的值域，且函数为定义域上的增函数.排除掉是“保序同构 的，即可得到要选择的答案.【解答】解：对 于A=N*,B=N,存 在 函 数f(x)=x-1,x G N*,满足：B=f(x)|xGA；(ii)对任意 xl,x 2 G
21、A,当 xlx2 时，恒有 f(x l)f(x 2),所以选项 A 是“保序同构;-8,x=-l对于 A=x|-14X43,B=x|x=-8 或 0 x410,存在函数f(x)二至7x得，T x 3满足:(i)B=f(x)|x A；(ii)对任意 xl,x 2 A,当 xlVx2 时，恒有 f(x l)f(x 2),所以选项B是保序同构”；TT对于 A=x|0 x l,B=R,存在函数 f(x)=tan(JTx-)，满足：(D B=f(x)2|xeA；(ii)对任意xl,x2GA,当x lV x 2时，恒有f(x l)0发生的概率为2_【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出(0
22、,1)上产生随机数a所对应图形的长度，及事件3a-对应的图形的长度，并将其代入几何概型计算公式，进行求解.【解答】解：3 a-l 0即a L,3i-A则事件“3a-10”发生的概率为P=上旦.1 3故答案为：2.3【点评】儿何概型的概率估算公式中的 儿何度量，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量 只与 大小 有关，而可形状和位置无关.12.(4分)已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、俯视图、均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是12n.【分析】由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2,求出球的半径，然后求出球的表面积即
23、可.【解答】解：由三视图可知，组合体是球内接正方体，正方体的棱长为2,球的直径就是正方体的体对角线的长，所以2r=2 ,r=G所以球的表面积为：4nr2=12n.故答案为：12n.正方体的外接球【点评】本题考查三视图与几何体的关系，球的内接体以及球的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力.13.（4分）如图，在4 A B C中，已 知 点D在B C边上，ADAC,sin/B A C=4但,3AB=3诋，A D=3,贝BD的长为代.【分析】由NBAC=NBAD+NDAC,ZDAC=90,得至，NBAC=/BAD+90,代入并利用诱导公式化简s in/B A C,求 出cos/B A D的值，在
24、三角形ABD中，由AB,AD及cos/B A D的值，利用余弦定理即可求出BD的长.【解答】解：VAD1AC,ZDAC=90,ZBAC=Z BAD+Z DAC=ZBAD+900,.,.sinZBAC=sin(ZBAD+900)=cos/BAD-”，3在 ABD 中，AB=3&,AD=3,根据余弦定理得：BD2=AB2+AD2-2ABADcosZBAD=18+9-24=3,则 BD=VS.故答案为：愿【点评】此题考查了余弦定理，诱导公式，以及垂直的定义，熟练掌握余弦定理是解本题的关键.2 214.(4分)椭 圆r：二+=1 (a b 0)的左右焦点分别为Fl,F 2,焦距为2 c,若直a2 b2
25、线y=J 5(x+c)与 椭 圆 的 个 交 点M满足NMF1F2=2NMF2F1,则该椭圆的离心率等于V 3 l-【分析】由直线打J 3(x+c)可知斜率为、石，可得直线的倾斜角a=60。.又直线与椭圆的一个交点M满足/M F1F2=2/M F2F1,可 得/M FcF产30，进而/F】MF。=90 设|M F2|=m,|M Fl|=n,利 用 勾 股 定 理、椭 圆 的 定 义 及 其 边 角 关 系 可 得r o2+n =(2 c)2(舟n=2 a ，解 出a,c即可.n*:V 3 n【解答】解：如图所示，由直线尸6(x+c)可知倾斜角a与斜率畲有关系/圣tana,.a=60。.又椭圆
26、的 一 个 交 点 满 足 ZMF1F2=2ZMF2F1,/.Z M F o F S Q0，Z F!MF2=9 0 -m2+n=(2 c)2设|MF2|=m,|M F l|=n,贝小舟用2 a ，解得nf=y/3n.该椭圆的离心率e=-l.故答案为我-1.【点评】本题综合考查了直线的斜率与倾斜角的关系、勾股定理、含30。角的直角三角形的边角关系、椭圆的定义、离心率等基础知识，考查了推理能力和计算能力即数形结合的思想方法.15.（4 分）当 xG R,|x|l 时,有如下表达式:l+x+x2+.+xn+.=1-X两边同时积分得:1-20+gx-xd1-20rgx+j1-20rj1-20rjxnd
27、x+.=?-11-120-dXgx从而得到如下等式：lx +lx ()2+x(工)3+.+一x()n+l+.=ln22 2 2 3 2 n+1 2请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：c O x L+L c lx ()2+r2x(A.)3+.+1rn x(上)n+l=-r()n+1-1 1.4 2 2 n 2 3 n 2 n+1 n 2 n+1 1 A 2)【分析】根据二项式定理得Cn0+Cnlx+Cn2x2+.+Cnnxn=(1+x)n,两边同时积分整理后,整理即可得到结论.【解答】解：二项式定理得 CnO+Cnlx+Cn2x2+.+Cnnxn=(1+x)n,对 CnO+Cnlx+Cn2
28、x2+.+Cnnxn=(1+x)n两 边 同 时积 分 得dxnXnnc1-20从 而 得 到 如 下 等 式故答案为：【点 评】本 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用.是 道 好 题，解决问题的关 键 在 于 对Cn0+Cnlx+Cn2x2+.+Cnnxn=(1+x)n,两边同时积分，要是想不到这一点，就变成难题T.三、解答题：本大题共5 小题，共 80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(1 3 分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为2,中奖可以获得2 分；方案乙的中奖率为2,中奖可以获得3 分；未中奖则不得35分.每人有
29、且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品.(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X,求 x 3 的概率；(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？【分析】(1)记 他们的累计得分X43的事事件为A,则事件A 的对立事件是X=5,由题意知，小明中奖的概率为2,小红中奖的概率为2,且两人抽奖中奖与否互不影响，先根35据相互独立事件的乘法公式求出对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式即可求出他们的累计得分x E (3 X 2),从而得出答5案.【解答】解：(1)由题意知，小明
30、中奖的概率为Z,小红中奖的概率为2,且两人抽奖中35奖与否互不影响，记 他们的累计得分XS3的事件为A,则事件A 的对立事件是X=5,因为 P(X=5)=X =3-,AP(A)=1-P(X=5)=；3 5 15 15即他们的累计得分xE(3 X 2),.他们选择甲方案抽奖，累计得分的数学期望较大.【点评】本题考查利用概率知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查数学期望的计算，确定X服从的分布是解题的关键.17.(13 分)已知函数 f(x)=x-alnx(aSR)(1)当a=2时，求曲线y=f(x)在点A(1,f(1)处的切线方程；(2)求函数f(x)的极值.【分析】(1)把a=2代入原
31、函数解析式中，求出函数在x=l时的导数值，直接利用直线方程的点斜式写直线方程；(2)求出函数的导函数，由导函数可知，当a 0,函数在定义域(0,+8)上单调递增，函数无极值，当a 0时，求出导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，利用原函数的单调性得到函数的极值.【解答】解：函数f(x)的定义域为(0,+8),/X(1)当 a=2 时，f(x)=x-2lnx,f (x)=l 2(x 0)，x因而 f(1)=1,f(1)=-1,所以曲线y=f(x)在 点A(1,f(1)处的切线方程为y-1二-(x-1),即 x+y-2=0(2)由 f (*)=1 3=2 2 _,x0 知：X X 当a 0,函
32、数f(x)为(0,+8)上的增函数，函数f(x)无极值；当a 0时，由f(x)=0,解 得x二a.又当(0,a)时、f(x)0.从而函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上，当a 4时，函数f(x)无极值；当a 0时，函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.【点评】本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的极值，考查了分类讨论得数学思想，属中档题.18.(1 3分)如 图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为(10,0),点C的坐标为(0,1 0),分别将线段O A和A B十等分，分点分别记
33、为A l,A2,.A 9和Bl,B2,B 9,连接 O B i,过 Ai 作 X 轴的垂线与 O B i,交于点P jG E N*,1 1 9).(1)求证：点P i(i N*,都在同一条抛物线上，并求抛物线E的方程;(2)过 点C作直线I与抛物线E交于不同的两点M,N,若4 0 cM与公OCN的面积之比为【分析】(I)由题意，求出过A/iE N*,li 4 9)且 与X轴垂直的直线方程为x=i,Bi的坐标为(10.i)，即可得到直线O B i的方程为产 工 联立方程y 10 x=i尸 会*即可得到Pi满足的方程;(II)由题意，设 直 线I的方程为y=kx+10,与抛物线的方程联立得到一元二
34、次方程，利用根与系数的关系，及利用面积公式SA OCM=SA O CN,可得|x l|=4|x 2|.即xl=-4 x 2.联立即可得到k,进而得到直线方程.【解答】(I)证明：由题意，过A jG E N*,l 0,直线与抛物线恒有两个不同的交点,设为 M(xl,y l),N(x2,y 2),则 xl+x2=10k,xlx2=-100,VSA OCM=4SA OCN,A|xl|=4|x2|./.xl=-4x2.联立，Xj+xlO kx1 X 2=-100,解 得k=_1.X=-4X2.直 线I的 方 程 为 尸 土3 x+10-即 为3x+2y-20=0或3x-2y+20=0.【点 评】本题主
35、要考查了抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系、三角形的面积等基础知识，考查了推理能力、转化与化归方法、计 算 能 力、数形结合的思想方法、函数与方程得思想方法、分析问题和解决问题的能力.19.(13 分)圳 图，在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中，侧棱 AA1J_底面 ABCD,ABDC,AA1=1,AB=3k,AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k 0)(1)求 证：CD_L平面 ADD1A1(2)若 直 线AA1与 平 面A BIC所成角的正弦值为9,求k的值7(3)现 将 与 四 棱 柱ABCD-A1B1C1D1形 状 和 大 小 完 全 相 同 的 两 个 四 棱 柱 拼 成
36、个新的四棱 柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记 其 中 最 小 的 表 面 积 为f(k),写 出f(k)的 解 析 式.(直 接 写 出 答 案，不必说明理由)【分析】(1)取 D C得中点E,连 接 B E,可证明四边形ABE D是平行四边形，再利用勾股定理的逆定理可得BE _LCD,即 CDJ_AD,乂侧棱AA1_L底面A B CD,可得AA1_LDC,利用线面垂直的判定定理即可证明.(2)通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可得出；(3)由题意可与左右平面ADD1A1,B
37、CC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4 种不同方案.写出每一方案下的表面积，通过比较即可得出f(k).【解答】(1)证明：取 D C的中点E,连接BE,；ABE D,AB=E D=3k,.四边形ABE D是平行四边形，；.BEA D,且 BE=AD=4k,；.BE 2+E C2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2,A ZBE C=90,，BE _LCD,又：BEAD,A CD AD.;侧棱 AA1_L 底面 ABCD,A A A llC D,VAAinAD=A,ADD1A1.(2)解：以 D 为坐标原点，DA 前、可 的 方 向 为 X,y,z 轴的
38、正方向建立空间直角坐标系)则 A(4k,0,0),C(0,6k,0),Bl(4k,3k,1),Al(4k,0,1).-A C=(-4 k,6 k,0)，画=(0,3k.1)-函=(0,0,D.-n A C=-4k x+6k y=0设平面A B IC 的一个法向量为n=(x,y,z),则 ，取 y=2,则 z=-n,A B =3k y+z=06k,x=3,n=(3,2,-6k)设 AAl 与 平 面 ABIC 所 成 角 为 0 则_ _ _ _ _|A A|*n|6k cs i n Q =|c o s A A 1=,一1,、，解得 k=l,故所求 k=l.|A At|n|V 36k +13 7
39、(3)由题意可与左右平面ADD1A1,BCC1B1,上或下面ABCD,A1B1C1D1拼接得到方案新四棱柱共有此4种不同方案.72k2+26k,0 lo【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力及化归与转化能力.20.(1 4分)已 知 函 数f(x)=sin(wx+4)(w 0,0 图象的-一 个对 称 中 心 为(工，0),将函数f(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标4不 变)，再将得到的图象向右平移个型单位长度后得到函数g(x)的图象.2(1)求
40、函数f(X)与g(X)的解析式(2)是否存在 x0,使得 f(xO),g(x0),f(xO)g(x O)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定xO的个数，若不存在，说明理山；(3)求实数a与正整数n,使 得F(x)=f(x)+ag(x)在(0,n n)内恰有个零点.【分析】(1)依题意，可 求 得0)=2,4)三，利用三角函数的图象变换可求得g(x)=sinx；(2)依题意，当(!,)时，sinx,o cosx cos2x 6 4 2 2 2IT TTsinxcos2x,问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在(-，-)内 是 否有解.通过G6 4(x)0,可 知G(x)在(
41、工，)内单调递增，而G()0.从6 4 6 4而可得答案;(3)依题意，F (x)=asinx+cos2x,令 F (x)=asinx+cos2x=0,方程 F(x)=0 等价于关于 x的方程a=-浮 红，x*kn(k d Z).问题转化为研究直线y=a与曲线y=h(x),xe (o,s in xn)U(n,2 n)的交点情况.通过其导数，列表分析即可求得答案.【解答】解：(1).函数 f(x)=sin(u)x+(|)(o)0,04)n)的周期为 n,T又曲线y=f（x）的一个对称中心为（工，0）-6 c（0，n）,4故 f（T-）=$汨（2x-+（j）=0,得巾=（,所以 f（x）=cos2
42、x.将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，再将y=cosx的图象向右平移二个单位长度后得到函数g(x)=cos(x-L)的图象,2 2.g(x)=sinx.(2)当 x 时，sinx-,0cos2x co s2x s i nxcos2x,问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在(3 _,2 L)内是否有解.6 4冗 71设 G(x)=sinx+sinxcos2x-2cos2x,(-,-),6 4贝ijG (x)=cosx+cosxcos2x+2sin2x(2-s in x)，V x e(71 兀 .6 4.G,（x）0,G（
43、x）在-）内单调递增，6 4又G（）=-0,且G（x）的图象连续不断，故 可知函数G6 4 4 2（x）在工）内存在唯一零点x 0,即存在唯一零点xOW（二，）满足题意.6 46 4(3)依题意，F(x)=asinx+cos2x,令 F(x)=asinx+cos2x=0,当 sinx=O,BP x=kn(k e z)时,cos2x=l,从而 x=kn(k e z)不是方程 F (x)=0 的解,方 程F(x)=0等价于关于x的方程a=-c?s2x,xxkn(k e z).sinx现研究xC(0,n)U(n,2 n)时方程a=-浮红的解的情况.sinx令 h(x)=-cs 2 x,xe (0,r
44、e)U(n,2 n),sinx则问题转化为研究直线小a与曲线y小(x),xe (0,n)U(n,2 n)的交点情况.h，(x)=漕竺/初L,令 h，(x)=0,得 x三 或 x a L,9 9当X变换时，卜（X）,h（X）的变化情况如下表:X(0,兀（兀，(n,3兀2 冗，2 2 222 L)2n)3兀)22n)h(x)+0-0+h(x)1-17 1当x 0且x趋近于。时，h(x)趋向于-8,当x V n且x趋近于n时，h(x)趋向于-g,当XTI且x趋近于n时，h(x)趋向于+8,当xV 2n且x趋近于2n时，h(x)趋向于+8,故 当a l时，直 线y=a与曲线y=h(x)在(0,R)内无
45、交点，在(n,2 n)内 有2个交点.当a-1时，直 线y=a与曲线y=h(x)在(0,R)内 有2个交点，在(TG 2 n)内无交点：当-l a l时，直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)内有2个交点，在(n,2 n)内有2个交点；由函数h(x)的周期性，可知当a x l时，直线y二a与曲线y=h(x)在(0,n n)内总有偶数个交点，从而不存在正整数n,使得直线y=a与 曲 线y=h(x)在(0,rm)内恰有个零点.又 当a=l或a=-1时，直线y=a与曲线y=h(x)在(0,n)U(n,2 n)内有3个交点，由周期性,=3x671,.,.依题意得 n=671x2=1342.综上，当
46、a=l,n=1342,或 a=-1,n=1342 时;函数 F (x)=f(x)+ag(x)在(0,nn)内恰有个零点.【点评】本题考查同角三角函数基本关系，三角恒等变换，三角函数的图象与性质，考查函数、函数的导数、函数的零点、不等式等基础知识，考查运算求解能力，抽象概括能力，推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想，属于难题.22.(7分)选 修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知点A的TT TT极 坐 标 为(后，(-),直 线I的极坐标方程为pcos(8，且点A在直线I上.(I)求 a 的值
47、及直线I 的直角坐标方程；(I I)圆 C的参数方程为 x n+c o s a g 为 参 数)，试判断直线|与圆c 的位置关系.(y=sina【分析】(I)根 据 点 A 在 直 线 I 上，将点的极坐标代入直线的极坐标方程即可得出a值，再利用极坐标转化成直角坐标的转换公式求出直线I 的直角坐标方程；(I I)欲判断直线I 和 圆 C 的位置关系，只需求圆心到直线的距离与半径进行比较即可，根据点到线的距离公式求出圆心到直线的距离然后与半径比较.【解答】解：(I)点 A(J 5,子)在 直 线 I 匕 得 c o s(子 T)=a，=、历，故直线I 的方程可化为：psin0+pcos0-2,得
48、直线I 的直角坐标方程为x+y-2=0；(II)消去参数a,得 圆 C的普通方程为(x-1)2+y2=l圆心C到直线I 的距离 d-人二&LV2 2所以直线I 和。c 相交.【点评】本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及圆的参数方程和直线与圆的位置关系的判定，属于基础题.23.设不等式|x-2|V a(a G N*)的解集为A,且3E A,(I)求 a 的值(I I)求函数f(x)=|x+a|+|x-2|的最小值.【分析】(I)利用得人，上 胡，推出关于a 的绝对值不等式，结 合 a 为整数直接求a2 2的值.(II)利用a 的值化简函数f(x),利用绝对值三角不等式求出|x+l|+|x-2
49、|的最小值.【解答】解：(I)因 为 弥 A,机所 以 怎 一2|a)解 吗!，因为a N*,所以a 的值为1.(II)由(I)可知函数 f(x)=|x+l|+|x-2|(x+1)-(x-2)|=3,当且仅当(x+1)(x-2)0,即或烂-1 时取等号，所以函数f(x)的最小值为3.【点评】本题考查绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力，转化与化归思想.本题设有(2 1)、(2 2)、(2 3)三个选考题，每 题7分，请考生任选2题作答，满 分14分.如果多做，则按所做的前两题计分.21.(7分)选 修4-2：矩阵与变换已知直线i：ax+y=l在 矩 阵 对 应 的 变 换 作 用 下 变
50、为 直 线I：x+by=l(I)求实数a,b的值(I I)若 点P(xO,y O)在直线I上，且A求 点P的坐标.【分析】(I)任取直线I：ax+y=l上 一 点M(x,y),经矩阵A变换后点为M(x，y),利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，求出直线I 的方程，从而建立关于a,b的方程，即可求得实数a,b的值；(I I)由A U|=0得X+2y,从而解得y O的值，又 点P(xO,y O)在 直 线Iboj UoJ lyo=yo上，即可求出点P的坐标.【解答】解：(I)任取直线I：ax+y=l上一点M(x,y),经矩阵A变换后点为M (X，x =x+2y 巾 1,又点 M (xy=y可得,解 得