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1、专题0 4 平面向量问题【高 考 真 题】1.(2 0 2 2 全 国 乙 理)已 知 向 量 b 满足同=1,向=/，a-2b=3,则 a 心=()A.-2 B.-1 C.1 D.22.(2 0 2 2 全国乙文)已知向量 a=(2,1),b=(-2,4),则|a 一切=()A.2 B.3 C.4 D.53.(2 0 2 2 全国甲理)设向量a,6的夹角的余弦值为/且=1,血=3,贝 l(2 a+6)b=4.(2 0 2 2 全国甲文)已知向量=(加，3),=(1,m+1),若。_ 1 _ 6，则机=.5.(2 0 2 2 新高考I)在 A BC 中，点。在边A B 上，B D=2 D A.
2、记 点=5，C D=n,则E=()A.3m2n B.2 m+3 n C.3m+2n D.2m+3 n6.(2 0 2 2 新高考 H)已知向量。=(3,4),0),c=a+t b,若v a,c=,则/=()A.-6B.-5C.5D.67.(2 0 2 2 北京)在 A BC 中，A C=3,8 C=4,ZC=9 0 ,P 为 A BC 所在平面内的动点，且 P C=1,则以丽的取值范围是()A.-5,3 B.-3,5 C.-6,4 D.-4,6【知识总结】1 .平面向量基本定理如果白，改是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数九，2，使 0=九6 1+义 2
3、 0 2.若e”0 2 不共线,我们把 e i，e 2 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2 .向量a与 5 的夹角已知两个非零 向 量a,b,O是平面上的任意一点，作 晶=a,O B=b,则/4。2=仇0。兀)叫做向7 T量。与 b的夹角.当夕=0时，。与方同向；当。=兀时，。与力反向.如果。与 b的 夹 角 是 我 们 说。与垂直，记作。_ L.3 .平面向量的数量积(1)若，为非零向量,夹角为仇则山=|A|co s 夕(2)设。=(X ,y i),b =(X 2，2)，则。协=X LX 2+y i”.4 .两个非零向量平行、垂直的充要条件若。=(X ,y i),b=(M，”)，则(l
4、)a Oa=2 b 3/0)=X y 2 X 2 y i=0.(2)a _ L)o。协=0=汇阳+丁1 2=0.5.利用数量积求长度(1)若。=(x,y),则=*/=(/+)t（2）若 A（x i，y i）,8（M，2），则|A 8|=#（忿一即P+。2 y 炉6.利用数量积求夹角设 a,为非零向量，若 a=（x i，y i）,b=（M，丸），。为。与 b的夹角，则 co s 0=a,b x i x z+y i”【常用结论】L“爪”子定理形 式 1：在 B C中,。是 B C上的点，如果|砌=,|=，则 防=帚 北+熹 河 其 中 启A B,公 知二可求一.特别地，若。为线段B C的中点，则屐
5、）=；（加+砌.形式1形 式 2 形式2：在A 4 B C 中，。是 BC上的点，且尻）=入 境 则屐=X A +（1 一 九）初，其 中 病，A B,公 知 二可求一.特别地，若。为线段BC的中点，则冠=/祀+戏）.形 式 1 与形式2中元与 的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来（歌名，原唱任贤齐）2.极化恒等式三角形模式如图，在A A BC中，设。为8 c的中点，则屈祀=|A O F|BD|2.三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决.c记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【同类问题】题型一向量的线性运算1 .（2015全国 I）设
6、D 为 4A B C 所在平面内一点，B C =3 CD,则（）A .A D=-|AB +|ACB.A D=|AB C.A D=2A S+D.A D=A B A C2.（2014全国I ）设 Q,E,F分别为“8 C的三边B C,C A,AB的中点，则 法+忌=（）A.A D B.地 C.B C D.3.（2018全国I）在ZkABC中，AQ为 BC边上的中线，E 为 A。的中点，则动=（）4.在平行四边形A8C及中，E,尸分别是8C,CQ的中点，D E 交 A F 于 H,记 协，8C分别为a,b,则 初2 4 2 4 2B.a+5b C.一于+5b D.一5.（多选）在A43C中，D,E,
7、F 分别是边3C,CA,AB的中点，A Df BE,C F交于点G,则（）A.彷=界 一 版 B.励=一 掘 +标 C.A b+B k=F t D.GA+G+G t=O6.如图，在0 4 8 中，P 为线段4 8 上的一点，O p=x O X+y O h,且 加=2可，贝 女 ）c 1 2B.x=y yC-%=不1 y=43D.x=不37.（2013江苏）设。，E 分别是A8C的边AB,8 c 上的点，A D=A Bf BEmB C.若 仍=九 融+2汞 口 ,石为实数），则九+彩的值为.8.如图，在A4BC中，助=然?，屏=；沉），若#=痴&+/，则 2+的值为（）8-94-9B.8-3C4
8、-3D.9.已知在 RtA4BC 中，ZBAC=90,A 8=l,A C=2,。是A8C 内一点，且NOA8=60。，设m=痴&+祀（九 蚱 R）,则彳=（）A.B.坐 C.3 D.2yli10.（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量近，O B,历 的 模 分别为1,1,巾,5A与 皮 的 夹角为a,且 tana=7,加与皮的夹角为4 5 .若 历=6 届+加（加，R）,则?+=.11.己知向量。=(1,2),b=(2,2),c=(l,A).若。(2。+力)，贝 U 4=.12.(2018,全国HI)已知向量 0=(L 2),b=Q,-2),c=(l,A).若。(2o+A),则 2=.1
9、3.已知向量。=(2,4),Z=(-1,1),c=(2,3),若。+助与 c 共线，则实数 7=()2233A.弓 B.-5 C.D.51 4.己知向量。=(2,3),b=(l,2),若相。+帅 与 a3方共线，则=.1 5.已知O 为坐标原点，点 A(6,3),若点P 在直线OA上，且|0|=*丽|,P 是 的 中 点，则点8 的坐标为16.(2020全国H)已知单位向量a,8 的夹角为60。，则在下列向量中，与分垂直的是()A.a+2b B.2a+b C.a2b D.2ab17.(2021全国乙)已知向量a=(l,3),6=(3,4),若(a-)_ L b,则;1=.18.(2020全国I
10、I)已知单位向量a,。的夹角为45。，履一方与a 垂直，则&=.19.(2018北京)设向量 a=(l,0),6=(1,m).若 a_L(，a力)，则，=.20.(2017全国I)已知向量。=(一 1,2),b=(m,1).若向量a+。与 Q垂直，则机=题 型 三 面向量数量积21.(2012浙江)在AAB C 中，M 是 3c 的中点，AM=3,BC=10,则油加=.2 2.如图，AAO8为直角三角形，0A=1,OB=2,C 为斜边AB的中点，P 为线段OC的中点，AP-OP=()A.1 B.专 C.1 D.2A工oB23.如图所示，AB是圆。的直径，P 是 AB上的点，M,N 是直径AB上
11、关于点O对称的两点，且 AB=6,M N=4,则 丽 丽=()B.7C.5D.324.(2016江苏)如图，在A4B C中，。是 8 c 的中点，E,尸是AO上的两个三等分点.成总=4,BP cP=-1,则勘的值为.为_ _ _ _ _ _ _ _在梯形A8C。中，满足AOB C,AD=,B C=3,通 反=2,则祀劭的值尸分别为BC,AC上的动点，且在三角形 ABC 中，。为 A8 中点，ZC=90,AC=4,8c=3,E,EF=l,则加 而最小值为.27.（2017全国H）己知ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则前（诵+两 的 最 小 值是（）3 4A.-2 B.-2 C
12、.-D.128.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆O,点P是圆。上的一个动点，则成防的 取 值 范 围 是.29.如图，设A,8是半径为2的圆。上的两个动点，点C为A。中点，则 劭 那的取值范围是（）330.（2020天津）如图，在四边形A8c。中，NB=60。，AB=3,B C=6,且初=/1岌，必 磋=一 工,则实数4的值为,若M,N是线段3C上的动点，且用和=1,则山麻的最小值为BA,_DM N C专题0 4 平面向量问题【高 考 真 题】1.（2022全国乙理）已 知 向 量 8 满足同=1,向=小，|。-2加=3,则 a仍=（）A.-2 B.-1 C.1 D.21.答案 C 解析
13、a-2b2a2-4a-b+4b2,又：|a|=l,b=y3,a-2b=3,：.a b=l.故选 C.2.(2022全国乙文)已知向量 a=(2,1),/=(-2,4),贝 加 一 =()A.2B.3 C.4 D.52.答案 D 解 析 因为。一=（4,-3）,所以|a加=5.故选D.3.（2022全国甲理）设向量a,b 的夹角的余弦值 为/且|a|=l,|回=3,则（2a+）Z=.3.答 案 11解析 设 a,b 的夹角为6,因为。与。的夹角的余弦值为W，即 cos6=；,又|a|=l,|。|=3,所以。力=|即b|c o s 6=l,所以（2+）力=20。+|力|2=11.故答案为11.4.
14、（2022全国甲文）己知向量=（加，3）,力=（1,加+1）,若则m=3 3 34.答案 一解析 由 题 意 知 m+3（m+1）=0,解得?=一 故答案为一5.（2022新高考I）在A8C中，点。在边A8上，B D=2 D A.记 己=机，C D=n,则 游=（）A.3m 2nB.-2m+3?iC.3m+2nD.2m+3n5.答案 B 解析 因为点r在边AB上，B D=2 D A,所以丽=2法，即&一 史=2（之 一 3）,所以屈=3而-2以=3-2 相=一2m+3儿 故选B.-2-4 1 -A -A -A爪子定理 如图 1,C D C A+C B,所以CB=3CD2cA=32/n=2/n+
15、3”.故选 B.-n.没答案.6.(2022新高考H)已知向量 a=(3,4),Z (1,0),ca+t b,若,则 f=()A.-6 B.-5 C.5 D.66.答案 C 解析 c=(3+r,4),cos=cos,即解得，=5,故选 C.D|C|KI7.(2022北京)在AB C中，AC=3,8 c=4,ZC=90,P 为AB C所在平面内的动点，且 PC=1,则万.两的取值范围是（）A.5,3B.-3,5C.6,4D.-4,67.答 案 D解析依题意如图建立平面直角坐标系，则 C(0,0),4 3,0),5(0,4),因为P C=1,所以P 在以C 为圆心，1 为半径的圆上运动，设 P(c
16、os仇sin。)，夕 0,2兀 ，所 以=(3cos。，-sin。)，P3=(cos夕 4sin。)，所以B4P 3=(cos9)(3cos。)3+(4sin0)(-sin)=cos203cos04sin+sin20=1 3cos04sin0=1 5sin(0+q),其中 sin(p=g,cos(p4 _=5,因为一lWsin(6+(p)W l,所以一4W l-5sin(8+(p)W 6,即R V P 3 -4,6 ,故选 D.极化恒等式法 设 A 8的中点为M,连接C M,则|加|=|,即点M 在如图所示的圆瓠上，则 豕 期=|两 一 物两2-|C M T)2 一争=-4.荷.丽=|丽 J硒
17、 2=|丽|2 一亨 W(|CW|+1)2-苧1.平面向量基本定理如 果 6，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数九，22，使 0=九0|+几 202.若ei，02不共线，我们把出,02 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.向量”与占的夹角已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作=a,O B=b,则乙4。3=。(0。或 兀)叫做向T T量 a 与 b 的 夹 角.当 9=0 时，a 与 1 同向;当。=兀 时，a 与 b反向.如 果 a 与 6 的 夹 角 是 我 们 说 a 与b 垂直，记作a，b.3.平面向量的数量积 若 a,b
18、为非零向量，夹 角 为 仇 则。山=固cos 0.(2)设 a=(x”i),6=(X2，)2)，则 4 4=囚+丫1 丫 2.4.两个非零向量平行、垂直的充要条件右 a =（X|,|）,=。2，丫 2），则。，=a=2 励 W 0)x i V 2 X 2 V i=0.（2）aLha-b（）=汨、2+丫 讣 2=0.5 .利用数量积求长度(1)若 Q=(X,y),则|a|=/=d/+y2.（2）若 A（X 1，yi）,B（X 2，J2）则|AB|=A/（X2即）2+。2）2.6 .利用数量积求夹角设a,5为非零向量，若4=（即，yi）,b=（X2,j2）-8 为 a 与 b的夹角，则c os 0
19、ab 见及+9小团网巧才+人 与3+y三【常用结论】1.“爪”子定理形 式1：在BC中，。是BC上的点，如 果 质 f,四尸，则 病=品 正 十 熹 两,其 中 很AB,形式2：在AABC中，。是3 c上的点，且 前=入求，则戏）=温+（1入）其中戏），A B,后1知二可求一.特别地，若。为线段8 C的中点，则 动=；（企+戏）.形 式1与形式2中元与初的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来（歌名，原唱任贤齐）2.极化恒等式三角形模式如图，在AABC中，设。为BC的中点，则屈祀=|A O F-|B D|2.三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决.BC记忆：向量的数
20、量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【同类问题】题 型 一 向 量的线性运算1.（2 0 1 5全国I ）设。为 A B C所在平面内一点，B C 3 C D,则（）4-3-1-3B4-33AC.A D=A B+A CD.A D=A B AC1.答案 A 解析 A D=A C+C D=A C+B C=A C+A C-A B)=A C-A B=-A B+A C,故选 A.2.(2014全国I)设。，E,F 分别为 B C 的三边8C,CA,AB的中点，则 或+元 =()A.A D B.|AD C.BC D.BC2.答案 A 解析 E B+F C=(A B+c h)+(A C+B C)
21、=A B+A C)=A b,故选 A.3.(2018全国I)在AABC中，AQ为 BC边上的中线，E 为 A。的中点，则 说=()A1-43-4D3.答案 A 解 析 是4。的中点，或=一 拓 6,，或=或+初=一 暴 力+W&,又知。是 BC的中点，,无力=；（4力+祀），因此防=（初+企）+初=（初 一%t.4.在平行四边形A8CQ中，E,尸分别是3C,C。的中点，D E 交 A F 于 H,记 屈，或 分 别为a,b,则皿2 4 2 4 2B.ga+qb C.一5口+5力 D.与。4.答 案 B解析 如图，过点F 作 BC的平行线交Q E 于 G,则 G 是 O E的中点，且 群=；或=
22、（比,;吊 二 也,易知&A H D s 丛F H G,从而济=%力，.油=疑，正=屐）+/=力+%,.*.葩=如+4+5 6故 选 B.5.（多选）在AABC中，D,E,尸分别是边3C,C4,A 3 的中点，AD,BE,C/父于点 G,贝 小 ）A.肆=界 一 界 B.星=一 加+；衣 C.硒+能=/D./+初+求=05.答 案 CD 解析 如图，因为点。，E,尸分别是边BC,CA,AB的中点，所以用=；仍=一；进，故 A 不正确；展=既+透=求+焉 =洸+/动+弦）=反 -昂 一 短=一;屈+J 型 故 B 不正确；元=祀 一#=n+虎+可=废）+；瑟+或=劝+时+或=屐）+附+就+或=刀
23、）+就，故 C正确；由题意知，点G为AABC的重心，所以4&+砧+&=看 彷+,彷+,力=,x：G 括+&）+言:（或+由+荆（在+酬=0,即 第+访+G t=0,故 D 正 确.故 选 CD.AD 6.如图，在AOAB中，P 为线段A 3上的一点，O =x O X+y O h,且用=2成，则（）-A.x=,，y=；B.y=|C.x=$y=D.x ,1y=z6.答案 A 解析 由 题 意 知%=应+防，又那=2%所以a=办 法=应+永 游 一 应=|应+1_ 2 1qOB,所以 x=,y=J J J 2 7.（2013江苏）设力，E 分另lj是AAB C的边AB,B C上的点，A D=A B,
24、B E 巧 B C.若m=九成+石祀（九，石为实数），则 A|+22的值为.7.答 案!解 析 由题意，得踮=肪+就 =；磊+反 =；霜+,（祀 一 霜）=:砧+彳 正，则入尸一卷，2 1.=，即，|+%2=受.8.如图，在AAB C中，无 力=滋，解=，b,若#=痴&+祀，则/+的值为（）8-94-9B.4-3D.8C 1 38.答案 A解析#=辐+同鼠=港+3（初 一祀=话+方 正.因为2 2 9 2 R+&，所以 2=?,4=,则/+4=+=.9.已知在 R3A5C 中，ZB AC=90,A 5=l,A C=2,。是 A3C 内一点，且NDA3=60。，设 初=）见+祀（九 H R）,此
25、=（）A.B.坐 C.3 D.2小9.答案 A 解析 如图，以A 为原点，A 8所在直线为x 轴，AC所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,则 8 点的坐标为（1,0）,C 点的坐标为（0,2）,因为ND48=60。，所以设。点的坐标为（叫小,）（#0）.中=（，小?）=+祀=1,0）+（0,2）=（z,2），贝 ij 2=，且=坐 加，所以（2017江苏）如图，在同一个平面内，向量5 1 O B,求 的 模 分 别 为 1,1,3 4/34、则切=|。81cos仅+45。)=ya=|O B|sin(a+45)=j,即 8(一亍 寸35=w-?b7 45=5 小解得，7=不5 7所以m+=w+w
26、=3.,由 洸=小 不+加，可得题型二平面向量的平行与垂直11.已知向量 a=(l,2),b=(2,-2),c=(l,.若，(2。+0),则%=.I I.答 案 解析由题意得 2a+B=(4,2),因为 c=(l,2),c/(2 a+b),所以 412=0,解得 2=g.12.(2018全国HI)已知向量 a=(l,2),b=Q,-2),c=(l,X).若,(20+力，则 2=.1 2.答案|解析 2。+力=(4,2),因为 c=(l,A),且，(2 a+6),所以 1x2=41，即13.已知向量a=(2,4),b=(-l,1),c=(2,3),若 a+助 与 c 共线，则实数2=()2 2
27、3 3A.m B.-g C.5 D.一51 3.答案 B 解析 解法一：。+乃=(2九 4+2),c=(2,3),因为。+劝 与 c 共线，所以必定存在唯f _62 T=2 4-5，一实数 ，使得+劝=c,所 以，、解得 、,|4+/=3 ，3_ _ 22解法二：a+Aft=(22,4+2),c=(2,3),由 Q+劝与 c 共线可知 3(2乃=2(4+2),得 4=一亍I T!1 4 .已知向量。=（2,3）,b=（l,2）,若，7 7。+力 与。-3 b 共线，则1=.1 4 .答案 一g解析 由 击#所 以。与办不共线，又 a 3）=（2,3）3（1,2）=（5,3）0.那么当 妆+4
28、与。-3 b 共线时，有 牛=上 即得；=一：.1 3 n 31 5 .已知。为坐标原点，点A（6,3）,若点尸在直线OA 上，且|5|=；|萩|,P是 02的中点，则点8的坐标为.1 5 .答 案（4,2）或（一 -6）解析：点 P在直线0A 上，.舁祝，又：|办|=；|两，土摄t设点尸（，”，），则 办=（，），用=（6，3 n）.若 办=：或，则（，）=:（6，3 n）,解得71=1,(2,I),是 0 8 的中点，.8（4,2）.若 源=一 可，贝解得，/?/=6,w=-3,P(6,-3),T P 是 0 8 的中点，-6）.综上所述，点 4的坐标为（4,2）或（一 1 2,-6）.（
29、2 0 2 0全国H）已知单位向量a,力的夹角为6 0。，则在下列向量中，与 垂直的是（A.a+2bB.2abC.a2bD.2a-b16.答案 D 解析 由题意得=|臼=1,设 a,。的夹角为6=60。，故 0 Z =|a|b|c o s 对 A项，（a+2&）-Z=a-Z+2*2=1+2=|0；对 B 项，（2a+b）-b=2a-b+h2=2 X +1 =2 0；对 C 项，（a 2b）力、1 3 、1=。）-2/=1 2=-#0；对 D 项，（2。一万）仍=2。5一 2=2 X/1=0.17.（2021全国乙）已知向量=（1,3）,5=（3,4）,若（a 劝）J _ 则；1=.317.答案
30、 解析 方法一。一劝=（1一3 九 3 一4），;5 一劝）_ L b,（a-M）b=0,即（13 2,3 42）（3,4）3=0,/.3-9A+12-16A=0,解得 7=不方法二 由（。一劝）_ 1_ 力可知，（a 劝）6=0,艮；ab-z Z20 从而2=丁=之+标-=5 5=5，18 .（2020全国H）已知单位向量m 的夹角为45。，履一与。垂直，则=.18.答案 斗 解析 由题意知 ka6）a=0,即kab a=0.因为a,力为单位向量，且夹角为45 ,所以AX-i x i X 乎=0,解得力=乎.19.（2018 北京）设向量 a=（l,0）,1=（一1,?）.若 则?=.19.
31、答案 1解析 由题意得，mab=(m+I,-，根据向量垂直的充要条件可得1x(7+l)+0 x(一m)=0,所以?=1.20.(2017全国I)已知向量a=(1,2),b=(m,1).若向量。十力与。垂直，则 m=.2 0.答案 7 解析 因 为 =3),+与4 垂直，所以(7-l)X(-l)+3 X 2=O,解得加=7.题型三面向量数量积21.(2012浙江)在AB C 中，是 8c 的中点，AM=3,BC=10,则显祀=.21.答 案 一 1 6 解 析 因为M 是 BC的中点，由极化恒等式得：砧-At=|AM|2-58cl2=9一1x|00=一16.2 2.如图，AAOB 为直角三角形，
32、。4=1,OB=2,C 为斜边AB的中点，P为线段。的中点，则成拚=()A.1 B.石 C.4 D-2A一一 51O 822.答案 B 解析 取 AO 中点。，连接P0,12 3.如图所示，AB是圆。的直径，P 是 4 8 上的点，M,N 是直径A 8上关于点。对称的两点，且 AB=6,M N=4,则无T丽=()B.7 C.5 D.323.答案 C 解析 连接4P,8P,则 丽=萩+启，说=两+俞=丽 一 病，所以格.诚=(而十篇).(尾-A M)=P B-R A A M+A M P h-A M 1=-M A M+A M P B-A M 1=AMAh-AM2=x 6-=5.24.(2016江苏
33、)如图，在AAB C中，D 是 8 c 的中点，E,尸是AD上的两个三等分 点.成.不=4,Bp-Cp=一 1,则 旗 的 值 为极化恒等式法3 n,根据向量的极化恒设 8O=DC=/n,A E=E F=F D=n,则 AO=等式，有 福 正 二?一反2 =9/抗2 =4,或 叱=市 一 瓦2 =2-,2=一 联立解得/乌，团2O=呆因此前或 二 前2一选2 =4n2 一相2=即就.及=1.OO O坐标法 以直线BC为x轴，过点。且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy,如图：设 A(3a,3b),B(c,0),C(c,0),则有 E(2a,2b),F(a,b)flA-cA
34、=(3a+c,3b)-(3a-c,3b)9a2c2+9b24 Bp Cia+c,b)(a-c,by cr+b2 ,则 屋+从=3，廿=号 Bk cko o7=(2ac,2b)-(2a-ct 2b)=4a2c2+4h2=.C 1,基向量 BAcA=(DA-D)(oA-Dt)=4Ab2 B t2 36亦 一 肥4-5 3Bp-CP=(D-D t)=-4-=-l,因此可J2：Bkck=(Dk-Dh)(Dk-Db)4市 一/16亦 一 前2 7=4=4=82 5.在梯形A8CD中，满足AQBC,AD=,B C=3,油 虎=2,则祀助的值为2 5.答 案4解 析 过A点作4E平行于D C,交8 c于E,
35、取8 E中点F,连接A F,过。点作。”平行UUU U L U u u u uum UUU于 AC,交 8c 延长线于 H,E 为 BH 中 点、,连接 DE,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-LU.U1 LllUl llllUBD=-DB DH=BE2-DE2=4-DE2,又 FE=BEBF=1,AD/BC,则四边形 AOEF 为平行四边F E26.在三角形 ABC 中，。为 AB 中点，ZC=90,AC=4,BC=3,E,尸分别为8C,AC上的动点，且E F=1,则 虎方 永最小值为.2 6.答 案 号 解 析 设EF的中点为M,连接C M,则|扁=/即点M在如
36、困所示的圆弧上，则 旎/=|D/tf|2-|E|2=|Df|2-1|CD|-1|2-1=y.27.（2017全国H）已知 A B C是边长为2 的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则丽（两+元）的最小值是（）A.-2 B.C.-g D.-127.答 案 B 解 析 解析法建立坐标系如图所示，则4,5(-1,0),C(l,0).设尸点的坐标为(x,y),图小),则可=（x,小一y）,P h=（x,y）,P t=（l-x,-y）,.成（而+陶=（-x,小 一y）（2x,2），）=2年+/一 小 y）=2 f+Q 坐；z 2x（）=-*当且仅当 x=0,y=坐 时，或（而+宿3取得最小值，最小值
37、为 一 宗 故选B.几何法如图所示，彷+无=2 前（。为BC的中点），则可（成+反）=2 成瓦）.要使用.用最小，则可与防方向相反，即点P在线段4。上，则（2 可.用）m in=-2|谡|瓦 问题转化为求同|格的最大值.又当点P在线段AD上时,|丽+1丽=|硒=2 乂坐=小,.|丽 丽 的;翅）2 =停 岩，.成,（彷+由”（2 成 物 m in=-2 x?=-/故选B.极化恒等式法 设 8c 的中点为。，AC的中点为M,连接OP,P M,.,.成（闻+=2 历成=2|丽|2-|A Z|2=2|P|2-1-1.当且仅当M 与 P重合时取等号.2 8.已知正三角形ABC内接于半径为2的圆。，点
38、P是圆。上的一个动点,则可同的 取 值 范 围 是.2 8.答 案 2,6 解析 取 AB的中点。，连接CD,因为三角形A 8 C 为正三角形，所以。为三角形A B C 的重心，。在 CC上，且 0。=2。=2,所 以 C Z)=3,AB=2 又由极化恒等式得：中协=|即 2 一张剧2=|尸。|2 3,因为尸在圆。上，所以当P在点C处时，|P D 1m l i*=3,当尸在CO 的延长线与圆。的交点处时，|P D|m in=l,所以可防W 2,6.2 9.如图，设 A,B是半径为2的圆O 上的两个动点，点 C为 40中点,则 仍 4的B.1,3 C.3,1 D.-2 9.答案 A 解析 建立平
39、面直角坐标系如图所示，可得。(0,0),4(2,0),C(-l,0),设 8(2 co s 仇2 s in(9).0 0,2 兀).则C O C B=(1,0)-(2 co s 0+1,2 s in J)=2 co s 6+1 e 1,3 .故选 A.极化恒等式法连接 O B,取 0 8 的中 ),连接 C D,则C OC B=|C D|2-田 q2=c0 2一I,又|C D 焉n=0,；.我)那 的最小值为一 1.|CD|LX=2,为的最大值为3.3 0.(2 0 2 0天津)如图，在四边形A B C O 中，ZB=60,A B=3,B C=6,且 劭=7 就，初 初=一|,则 实数 2的值
40、为,若 M,N是线段BC上的动点，且|丽=1,则 成 麻的最小值为.A DB M N C 3 0.答案 不 y 解析 第 1 空 因为刀)=)炭，所以A B C,则/A 4 =1 2 0。,所以戏).成=乐力显3 1 1卜 co s 1 2 0。=太，解得位)|=1.因为才 力，反洞 向，且 BC=6,所以与)=4 求，即2=不,第2空 通法 在四边形A 8CO 中，作 A O_ L8 c于点。，则 8 O=A 8-co s 60 o=/4。=4 8 6访60。=芈.以O 为坐标原点，以BC和 40所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.如图，设 M(a,0),不妨设点3 7则 M 4+l，0),且一齐1行.又N在点M右侧，1,2),所 以 成=Q-1,D-a,一 岁)，所以W,而=/+曰=(“一,2+学,所 以 当 时，方而.而取得最小值号.极化恒等式法如图，取M N的中点尸，连接尸力，则 成 碗=亦 一 称2=赤 一，当可)，比 时，I用F4 DB_ _ Q取 最 小 值 学 所以品加的最小值为号.MPN