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1、专题0 4 平面向量问题【高 考 真 题】1.（2022全国乙理）已 知 向 量 8 满足同=1,向=小，|。-2加=3,则 a仍=（）A.-2 B.-1 C.1 D.21.答案 C 解析 a-2b2a2-4 a-b+4 b2,又：|a|=l,b=y3,a-2b=3,：.a b=l.故选 C.2.(2022全国乙文)已知向量 a=(2,1),/=(-2,4),贝 加 一 =()A.2B.3 C.4 D.52.答案 D 解 析 因为。一=（4,-3）,所以|a加=5.故选D.3.（2022全国甲理）设向量a,b 的夹角的余弦值 为/且|a|=l,|回=3,则（2a+）Z=.3.答 案 11解析
2、设 a,b 的夹角为6,因为。与。的夹角的余弦值为W，即 cos6=；,又|a|=l,|。|=3,所以。力=|即b|c o s 6=l,所以（2+）力=20。+|力|2=11.故答案为11.4.（2022全国甲文）己知向量=（加，3）,力=（1,加+1）,若则m=3 3 34.答案 一解析 由 题 意 知 m+3（m+1）=0,解得?=一 故答案为一5.（2022新高考I）在A8C中，点。在边A8上，B D=2 D A.记 己=机，C D=n,则 游=（）A.3 m 2nB.-2m+3?iC.3 m+2nD.2m+3 n5.答案 B 解析 因为点r在边AB上，B D=2 D A,所以丽=2法，
3、即&一 史=2（之 一 3）,所以屈=3而-2以=3-2 相=一2m+3儿 故选B.-2-4 1 -A -A -A爪子定理 如图 1,C D C A+C B,所以CB=3CD2cA=32/n=2/n+3”.故选 B.-n.没答案.6.(2022新高考H)已知向量 a=(3,4),Z (1,0),ca+t b,若,则 f=()A.-6 B.-5 C.5 D.66.答案 C 解析 c=(3+r,4),cos=cos,即解得，=5,故选 C.D|C|KI7.(2022北京)在ABC中，AC=3,8 c=4,ZC=90,P 为ABC所在平面内的动点，且 PC=1,则万.两的取值范围是（）A.5,3B.
4、-3,5C.6,4D.-4,67.答 案 D解析依题意如图建立平面直角坐标系，则 C(0,0),4 3,0),5(0,4),因为P C=1,所以尸在以。为圆心，1 为半径的圆上运动，设尸(cos仇sin。)，夕 0,2兀 ，所 以=(3cos。，-sin。)，P3=(cos夕 4sin。)，所以B4 P 3=(cos9)(3cos。)3+(4sin0)(-sin)=cos203cos04sin+sin20=1 3cos04sin0=1 5sin(0+q),其中 sin(p=g,cos(p4 _=5,因为一lWsin(6+(p)W l,所以一4W l-5sin(8+(p)W 6,即R V P 3
5、 -4,6 ,故选 D.极化恒等式法 设 A 8的中点为M,连接C M,则|加|=|,即点M 在如图所示的圆瓠上，则 豕 期=|两 一 物两2-|C M T)2 一争=-4.荷.丽=|丽 J 硒 2=|丽|2 一亨 W(|CW|+1)2-苧1.平面向量基本定理如 果 6，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数九，22，使 0=九0|+几 202.若ei，e2不共线,我们把3,02 叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.2.向量a 与 b 的夹角已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作=a,O B=b,则乙4。3=。(0。或 兀)叫做向T T量
6、 a 与 b 的 夹 角.当 9=0 时，a 与 1 同向;当。=兀 时，a 与 b反向.如 果 a 与 6 的 夹 角 是 我 们 说 a 与b 垂直，记作a，b.3.平面向量的数量积(1)若 a,b 为非零向量，夹 角 为 仇 则。山=向cos 0.(2)设 a=(x”i),6=(X 2，)2)，则 4 4=囚+丫1 丫 2.4.两个非零向量平行、垂直的充要条件若。=(用，yi),b=g，)，则(1)。)a a=#0)xiV2 X2Vi=0.(2)a _L=0=同“2+川)2=5.利用数量积求长度（1）若 a=（x,y）,则=7/+/（2）若 AQ,yD，B（X2，丫2），则|A8|+。2
7、yi.6.利用数量积求夹角ab xim+yi”设。，力为非零向量，若Q=（x i，）,b=3,及），6 为 a 与 b的夹角，则cos 0团 臼d肥+行同3+强【常用结论】1.“爪”子定理形 式1：在 B C中，。是BC上的点，如 果 质 f,四尸，则 病=品 正 十 熹 两,其 中 很A B,公知二可求一.特别地，若。为线段8 c的中点，则劝祀+砌.形式1形 式2 形式2：在AABC中，。是BC上的点，且 前=入求，则 戏 =流+（1 入）成，其中戏），A B,公 知二可求一.特别地，若。为线段8C的中点，则 动=；（企+屈）.形 式1与形式2中元与初的系数的记忆可总结为：对面的女孩看过来（
8、歌名，原唱任贤齐）2.极化恒等式三角形模式如图，在AABC中，设。为BC的中点，则屈祀=|A O F-|BD|2.三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决.BC记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差.【同类问题】题 型 一 向 量 的 线 性 运 算1.（2015全国I）设。为ABC所在平面内一点，B C 3 C D,则（）A.A D jAB+AC B.A D=A B ACC.A D=A B+A CD.A D=A B AC1.答案 A 解析 A D=A C+C D=A C+B C=A C+A C-A B)=A C-A B=-A B+A C,故选
9、 A.2.(2014全国I)设。，E,F 分别为 B C 的三边8C,CA,AB的中点，则m+&?=()A.A D B.5AD C.BC D.BC2.答案 A 解析 E B+F C=(A h+C B)+(A C+B C)=A B+A C)=A b,故选 A.3.(2018 全国I)在AABC中，AQ为 BC边上的中线，E 为 A。的中点，则 防=()A1-43-43-4十屈1-4D.3.答案 A 解析 是 4 D 的中点，.,.或=-3 在，；或=或+辐=一;助+屈，又知。是 BC的中点，.，.#=；（初+竟），因此筋=（屈+公）+显 君 一 拓 t.4.在平行四边形A8CD中，E,尸分别是8
10、C,CD的中点，O E交 AF于/,记 显，求 分 别为a,b,则 油B.|a+$C.一|。+$r 2D.y a4.答 案 B解析 如图，过点尸作BC的平行线交。E 于 G,则 G 是。E 的中点，且群=；爱=:就,.办=演，易知x A H D s F H G,从而苏=；科，初=渺，#=初+#,=6+%,.m=*8+g a）2 4=5a+5h,故 选 B.5.(多选)在 4B C 中，D,E,尸分别是边BC,CA,AB的中点，AD,BE,C F交于点 G,则()A.#=的 一 标 B.星=一 演+减 C.A b+B k=F t D.GA+G +G t=05.答 案 C D 解析 如图，因为点。
11、，E,尸分别是边8C,CA,A 8的中点，所 以 济=；费=一：比,故 A 不正确；旗=比+仍=尻?+权说+：（+或）=此 一;就 一；B=1油+；比，故 B 不正确；是=祀 一#=劝+皮+成=+3觉+成=助+助+成=弱+彷+就+成=力+就，故 co 2 7 7 1 7 1正确；由题意知，点 G 为AABC的重心，所以W&+就+且=干 彷+就+其%=守 5（牯+祀）+守 5（成2 i+宿+爹（费+/）=0,即GA+访+G t=0,故 D 正 确.故 选 CD.A6.如图，在AOAB中，P 为线段A 3上的一点，O p x O X+y O h,且 那=B.X2-3y-3-4X-D.3-4y-1-
12、4CX-16.答案 A 解析 由 题 意 知 碍 宓+崩，又加=2后，所 以 赤 或 1=宓+,(而 一 应=:游+r 2 彳仍，所以%=,/=.7.(2013江苏)设力，E 分别是AABC的边AB,BC上的点，A)=；AB,B E=B C.若方方=%脑+苞3,及为实数)，则九+义2的值为.1 2 2 1 9 17.答案 乙 另 解析 由题意，得 初乙=加+。前=5乙油+Q波=5霜+(祀一修)=K +彳 祀，则九=一.D v J J V Z2 12 2=,即 2+A2=E.8.如图，在AABC中，不方=|公，前=%6,若#=海+&，则 2+的 值 为()8-9A.4-9B.8-3C4-3D.8
13、.答案 A解 析#=劝+办=辐+；反 6=A+g(At一屈)=劝+/A8=60。，所以设D点的坐标为(布,小(#0).A b=(?，小，)=源力+/zAt?=l,0)+/z(0,2)=(7,2)，贝(I%=加，且=坐?，所以(2017 江 苏)如图，在同一个平面内，向量不，O B,历的模分 别 为 1,1,也,且 ta n a=7,加与洸的夹角为45。.若 历=加 不+加(如 R),则?+=0),由 tan 1=.答 案 3解析 以。为坐标原点，0 4 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则 4 1,717,a (0,另，得 sina=丽。“而,设 C(xc,yc),B(XB,),则 xc=|
14、OC|cosa=-/2xj=5,yc=|洸|sin 1=啦|=；|萩|,P是 0 2的中点，则点8 的坐标为.1 5 .答 案（4,2）或（一 -6）解析：点 P在直线0 A 上，.舁祝，又：|办|=；|两，土摄t设点尸（，”，），则 办=（，），用=（6，3 n）.若 办=：或，则（，）=:（6，3 n）,解得71=1,(2,I),是 0 8 的中点，.8（4,2）.若 源=一 可，贝解得，/?/=6,w=-3,P(6,-3),T P 是 0 8 的中点，-6）.综上所述，点 4的坐标为（4,2）或（一 1 2,-6）.（2 02 0全国H）已知单位向量a,力的夹角为6 0。，则在下列向量中
15、，与 垂直的是（A.a+2bB.2abC.a2bD.2a-b1 6 .答案 D 解析 由题意得=|臼=1,设 a,。的夹角为6=6 0。，故 0 Z =|a|b|c o s 对 A 项，（a+2&）-Z =a-Z +2*2=1+2=|0；对 B 项，（2a+b）-b=2a-b+h2=2 X +1 =2 0；对 C 项，（a 2 b）力、1 3、1=。）-2/=1 2=-#0；对 D 项，（2。一万）仍=2。5 一 2=2 X/1=0.1 7 .（2 02 1 全国乙）已知向量=（1,3）,5=（3,4）,若（a 劝）J _ 则；1=.31 7 .答案 解析 方法一。一劝=（1 一3九 3一4）
16、，;5一劝）_Lb,（a-M）b=0,即（1 32,34 2）（3,4）3=0,/.3-9 A+1 2-1 6 A=0,解得 7=不方法二 由（。一劝）_1 _力可知，（a 劝）6=0,艮；a b-z Z 20 从而2=丁=之+标-=5 5=5，1 8.（2 02 0全国H）已知单位向量m 的夹角为4 5。，履一与。垂直，则=.1 8.答案 斗 解析 由题意知 ka6）a=0,即kab a=0.因为a,力为单位向量，且夹角为4 5 ,所以A X-i x i X 乎=0,解得力=乎.1 9 .（2 01 8北京）设向量 a=（l,0）,1=（一1,?）.若 则?=.1 9.答案 1 解析 由题意
17、得，ma b=(m+I,-，根据向量垂直的充要条件可得1 x(7+l)+0 x(一m)=0,所以?=1.2 0.(2 01 7 全国I )已知向量a=(1,2),b=(m,1).若向量。十力与。垂直，则 m=.2 0.答案 7 解析 因 为 =3),+与4垂直，所以(7-l)X(-l)+3 X 2=O,解得加=7.题型三面向量数量积2 1.(2 01 2 浙江)在AB C 中，是 8c 的中点，AM=3,B C=1 0,则显祀=.2 1.答 案 一 16解 析 因为M 是 BC的中点，由极化恒等式得：砧-At=|AM|2-5 8c l2=9 一1 x|00=一f 2 2.如图，A A O B
18、为直角三角形，04 =1,O B=2,C为斜边A B的中点，P为线段OC的中点，则成成=()力2 2.答案 B 解析 取 A O 中点。，连接 P。，AP O P=l P d=P Q2-*BA Q2=1162 3.如图所示，A B是圆。的直径，P是 A B上的点，M,N 是直径A B上关于点O对称的两点，且 AB=6,M N=4,则 俞 丽=()A M o N BA.1 32 3.答案 C 解析 连接AP,8尸，则 丽=就+万 认 丽=成+的=动 一 病，所以前丽=(昂+嬴 0(动-A =-A M+A M P B-A M*1=-A M+A M P B-A M 2=AMAB-AM2=IX6-1
19、=5.2 4.(2 01 6 江苏)如图，在 A8C 中，。是 BC的中点，E,F是 A。上的两个三等分点.BXCA=4,BPCP=-1,则 展 国 的 值 为.-1-7B D C 2 4.答 案O解 析 极 化 恒 等 式 法 设 3。=。=团，A E=E F=F D=n9则A O=3.根据向量的极化恒等式，有 福 正 二?一 反2 =9/抗2 =4,或 叱=市 一 瓦2 =2-,2=一 联 立 解 得/乌，团2O=呆因此前或 二 前2一选2 =4n2 一相2=即就.及=1.OO O坐标法 以直线BC为x轴，过点。且垂直于BC的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy,如图：设 A(3
20、a,3b),B(c,0),C(c,0),则有 E(2a,2b),F(a,b)flA-cA=(3a+c,3b)-(3a-c,3b)9a2c2+9b24 Bp Cia+c,b)(a-c,by cr+b2 ,则 屋+从=3，廿=号 Bk cko o7=(2ac,2b)-(2a-ct 2b)=4a2c2+4h2=.C 1,基 向 量以CA=(反 一 而 协 一5b)=4仍一册36亦 一 正4 pfjr 弓 3肝#=(防 一 踮)(方 方 沈 尸-4一=-1，因此用配=宁，Bk-Ck=(Dk-Dh)(Dk-Db)4市 一/16亦 一 鼠 巾7=4=4=825.在梯形A8CD中，满足AQBC,AD=,B
21、C=3,油 虎=2,则祀助的值为2 5.答 案4解 析 过A点作4E平行于D C,交8 c于E,取8 E中点F,连接A F,过。点作。”平行UUU U L U u u u uum UUU于 AC,交 8c 延长线于 H,E 为 BH 中 点、,连接 DE,AB-DC=AB-AE=AF2-BF2=AF2-1=2,AC-LU.U1 LllUl llllUBD=-DB DH=BE2-DE2=4-DE2,又 FE=BEBF=1,AD/BC,则四边形 AOEF 为平行四边F E26.在三角形 ABC 中，。为 AB 中点，ZC=90,AC=4,BC=3,E,尸分别为8C,AC上的动点，且E F=1,则虎
22、方永最小值为.26.答 案 号 解 析 设EF的中点为M,连接C M,则|扁=/即点M在如困所示的圆弧上，则 旎/=|D/tf|2-|E|2=|Df|2-1|CD|-1|2-1=y.B点，则 或（成+向 的 最小值2 7.（2 0 17 全国H）已知 AB C 是边长为2的等边三角形，P为平面A BC内一2 7.4-3C-3-2B.-2M(A.D答 案 B 解 析 解析法建立坐标系如图所示，则4,B,C三点的坐标分别为4 0,V3),5(-1,0),C(l,0).设 P 点的坐标为(x,y).图则可=（x,小一y）,P h=（x,y）,P t=（l-x,-y）,.成（而+陶=（-x,小 一y）
23、（2 x,2），）=2 年+/一 小 y）=2 f+Q 坐；z 2 x（）=-*当且仅当 x=0,y=坐 时，或（而+宿3取得最小值，最小值为一名故选B.几何法 如图所示，而+叱=2 用（Q 为 BC的中点），则可（彷+无）=2 可用.;B 0 c 图要使成用最小，则可与无）方向相反，即点P在线段A O上，则（2 可可%,i n=-2|可|可 问题转化为求 同 质|的最大值.又当点尸在线段A D 上时，网+1 用|=|硒=2x =小，.网 用 区（闻 中 电2 =（坐）=,；.可.（彷 +必 m i n =（2 或 协）m i n=-2 x=1.故选 B.极化恒等式法 设 8c 的中点为。，A
24、 O的中点为例，连接O P,P M,.可（防+元）=2 防 月=2|丽1 a a|2 一习而并=2|丽|2 一声一,当且仅当M 与。重合时取等号.BD2 8.已知正三角形48c 内接于半径为2的圆O,点尸是圆。上的一个动点,则可同的 取 值 范 围 是.2 8.答 案2,6解析 取AB的中点。，连接C D,因为三角形A 8C为正三角形，所以。为三角形ABC的重心，。在C C上，且0。=2。=2,所 以CZ)=3,A B=2 又由极化恒等式得：中协=|即2一张剧2=|尸。|23,因为尸在圆。上，所以当P在点C处时，|PD1mli*=3,当尸在CO的延长线与圆。的交点处时，|PD|m in=l,所
25、以可防W 2,6.2 9.如图，设A,8是半径为2的圆O上的两个动点，点C为A O中点，则氏)可的B.1,3C.-3,-1 D.-29.答案 A 解析 建立平面直角坐标系如图所示，可得。(0,0),A(-2,0),C(-l,0),设8(2cos仇2sin6).60,2n).则C0C 8=(l,0)-(2cos 0+1,2 s in 0)=2 c o s 0+ie-l,3 J.故选 A.极化恒等式法 连接O B,取0 3的中O,连接C D,则COC8=|CD|2一|B|2=C2访的最小值为-1.IC。监a x=2,，劭-仍 的最大值为3.30.(2020.天津)如图，在四边形ABCO中，NB=6
26、0。，AB=3,B C=6,且初=2册仍成=一点则实数2的值为,若M,N是线段BC上的动点，且|办|=1,则 而 新 的最小值为.A D二 B M N C 3 0.答 案 不 才 解 析 第1空 因为#=%觉，所以ACB C,则N2A)=i2 0。,所以劝.屈=|冠 卜|霜O 1 1卜cos 120。=2，解 得 力1 =1.因为A t),帝 同向，且8 c=6,所以与)=彳比，即入=亨第2空 通法 在四边形A8CQ中，作AO_LBC于点O,则BO=AB cos 60=|,AO=ABsin 60。=乎.以O为坐标原点，以3 c和4。所在直线分别为x,y轴建立平面直角坐标系.如图，设M(m 0),不妨设点N在点M右侧,则M&+1，0),且一又d ，所以向/=Q 1,4 3，丽=Q,所以扬。加=2+号=(-3)+号 所 以 当 =；时，方而苏取得最小值学.极化恒等式法 如图，取M N的中点尸，连接P D,则 而 苏=仍 一 防 二 用2-；,当 防_1_就 时，|防F取最小值系所以品曲的最小值为争 M PN