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1、专题0 3 复数问题【高考真题】1.（2022全国乙理）己知z=l-2 i,且 z+a T+b=0,其中a,b 为实数，则（）A.ct=1,b=2 B.。=1,b=,2 C.。=1,b=22.(2022全国乙文)设(l+2i)+b=2 i,其 中 凡 b 为实数，贝 1()A.a=l,b=B.a=l,b=C.a=-1,b=D.ci=-1,b=-2D.a=1,b=3.(2022全国甲理)若z=-l+小 i,则Y=()Z Z-1A.-1+小 i B.-1一小 i C.-D8.(2022浙江)已知a,bR,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则()4.(2022全国甲文)若 z=l+i.则|iz
2、+3可=()A.4小 B.4y/2C.2小D.2也5 (2022新高考 I)若 i(l-z)=L 则 z+T=()A.一2 B.一1C.1D.26.(2022.新高考H)(2+2i)(l-2i)=()A.-2+4 i B.-2-4 iC.6+2iD.6-2 i7 （2022北京）若复数z 满足iz=3数=,则|z|=（)A.1 B.5 C.7D.25A.a=lf b=3 B.a=1,b=3 C.a=-1,b=3 D.a=l,b=3【知识总结】1.复数的相关概念及运算法则（1）复数 z=a+bi（a,Z?R）的分类z 是实数=b=0；z 是虚数z 是纯虚数=a=0 且 bWO.（2）共辗复数复数
3、z=+bi（，丹 R）的共趣复数z=一bi.（3）复数的模复数 z=+bi（，b R）的模|z|=g P R.（4）复数相等的充要条件a+bi=c+di=4=c 且匕=d（a,b,c,d R）.特别地，。+例=0=0 且力=0（”，b e R）.（5）复数的运算法则加减法：（a+历）土（c+di）=（4土 c）+（bd）i；乘法：(+药)(c+di)=(acbd)+(ad+bc)；“、上 .ac+bd,bc-ad,除法：(+/?i)：(c+di)=+2_|_ 2 i(c+diWO).(其中a,b,c,dR)2.复数的几个常见结论(l)(li)2=2i.1+i1 i，T+i(3)i4,=l,i4
4、w+I=i,i4/i+2=-l,i4w+3=-i,i4w+i4/l+1+i4n+2+i4rt+3=0(ne Z).【同类问题】题 型 一 复数的概念1.(2021浙江)已知R,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位),则。等于(A.-1 B.1 C.-32.(2020全国III)若 1(l+i)=l i,则 z 等于()A.1-i B.1+i C.-i D.iz(l+i)i3 3.若复数z 满足i,则复数z 的 虚 部 为()A.i B.-i C.14 (2020全国 I)若 z=l+i,则Iz22z|等于()A.0 B.1 C.也D.3D.-1D.25.已 知 盖=1 y i,其中x,y 是实
5、数，i 是虚数单位，则x+y i的共物复数为（）A.2+i B.2-i C.l+2i D.l-2 i6.（2021上海）已知 z=l3 i,则|zi|=.7 .如果复数一jS G R）的实部与虚部相等，那么b=（）A.-2 B.1 C.2 D.48 .若复数z=（d l）+（x l）i为纯虚数，则实数x的值为.29 .（多选）若复数z=保，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为一 1 B.|z|=45 C.z2为纯虚数 D.z 的共辗复数为一1一i1 0.（多选）（2022武汉模拟）下列说法正确的是（）A.若|z|=2,则 z z=4B.若复数Z”Z2满足|Z|+Z2|=|Z
6、|-Z 2|,则Z|Z2=0 C.若复数Z的平方是纯虚数，则复数Z的实部和虚部相等D.“aW l”是“复数z=（a1）+（层-l）i（aG R）是虚数”的必要不充分条件题型二复数的四则运算11.（2021新高考全国I）己知z=2i,则 z（三+i）等于（)A.621 B.421 C,6+2iD.4+2i12.（2021北京）在复平面内,复数z 满足（1 i z=2,则 z=（）A.1 B.i C.1-iD.1+i13.（2020新高考全国I 不 西 等 于（）A.1 B.-1 C.i14.(2021全国乙)设iz=4+3 i,则 z 等于()D.-iA.-3-4 i B.-3+4 i C.3-
7、4 i15.(2021全国乙)设 2(z+z)+3(zz)=4+6 i,则 z=()D.3+4iA.l-2 i B.l+2i C.1+i16.(2021全国甲)已知(li z=3+2 i,则 z=()D.l-i+3-23.3B.，一展一TA.3-2D.17.（多选）（2022湛江一模）若复数z=小 一 i,则（）A.|z|=2 B.|z|=4 C.z 的共轨复数z=b 1.故选A.3.(2022全国甲理)若z=l+小 i,则 Y=()zT 1A.1+小 i B.1一小 i C.D.3.答案 C 解析 T =-l-y/3 i,z T=(-l+小 i)(-l小 i)=4,Y-故选 C.Z Z 1
8、J 3 34.(2022全国甲文)若z=l+i.则|iz+3三|=()A.4A/5 B.4-/2 C.2小 D.264.答案 D 解析 因为 z=l+i.所以 1 2+3 3=1+。+3(1。=22。所以|iz+3T|=2 g.故选 D.5.(2022新高考 I)若 i(l-z)=l,贝!)z+T=()A.-2 B.-1 C.1 D.25.答案 D 解析 由题设有l z=；=i,所以z=l+i,故 z+T=2,故选D.6.(2022新高考 H)(2+2i)(l2i)=()A.-2+4 i B.-2-4 i C.6+2i D.62i6.答案 D 解 析(2+2 i)(l-2 i)=2+4-4 i
9、+2 i=6-2 i,故选 D.7.(2022北京)若复数 z 满足 iz=34 i=,则|z|=()A.1 B.5 C.7 D.2 5 7.答案 B 解析 由题意3-4j _ _有 z=J j=l+i,故|z|=q(-4尸+(3)2=5.故选 B.8.(2022浙江)已知 a,b R,a+3i=(b+i)i(i 为虚数单位)，则()A.。=1,h=3 B.a=9 h=3 C.a=l9 h=3 D.a=l,h=38.答案 B 解 析 a+3i=-l+历，而“，人为实数，故。=-1,b=3,故选B.【知识总结】1.复数的相关概念及运算法则(1)复数 z=a+/?i(a,AG R)的分类z 是实数
10、0 8=0；z 是虚数0 后 0；z 是纯虚数=。=0 且 6Ho.(2)共枕复数复数z=a+历(a,b eR)的共丽复数z=a-b.(3)复数的模复数z=a+/i(a,bGR)的模忆|=次+序.(4)复数相等的充要条件a+b i=c+4 i=a=c,且 b=d(m b,c,JGR).特别地，a+历=0=a=0 且匕=0(4,feGR).(5)复数的运算法则加减法：(+抚)土(c+di)=(4土 c)+(feJ)i；乘法：(a+历)(c+i)=(acbd)+(a7+bc)；,ac+bd,bead,除法：(a+/?i)+(c+di)=彳+蓝奇i(c+diWO).(其中a,b,c,t/WR)2.复
11、数的几个常见结论(l)(li)2=2i.1+i,1-i(2)0=1,币=f(3)i4n=1 ,j 4 +2=_ ,i 4 +3=_ j,i4 +i4+l+i4+2 +i4n+3 =0(neZ)【同类问题】题型一复数的概念1.(2021浙江)已知a GR,(l+ai)i=3+i(i为虚数单位),则a 等于()A.-1 B.1 C.-3 D.31.答案 C 解析 方法一 因为(l+a i)i=-a+i=3 +i,所以一4=3,解得。=3.3 I i方法二 因为(1+a i)i=3+i,所以 l+a i=-一=13 i,所以 a=-3.2.(2020.全国III)若T(l+i)=l-i,则 z 等于
12、()A.1-i B.1+i C.-i D.i2.答案 D 解析 因为三=号=:有】一1 十i 1+11-1=-i,所以z=i.3.若复数z 满足咒tF=1 i,则复数，的虚部为()A.i B.-i C.1 D.-1z(1 +i)F3.答案 C 解析 V=l-i,.,.z(l+i)(-i)=(2-i)(l-i),.*.z(l-i)=(2-i)(l-i),；.z=2 i,.,.7 =2+i,的虚部为I.4.(2020全国 I)若 z=l+i,则Iz22z|等于()A.0 B.1 C.yf2 D.24.答案 D 解 析 方 法 一 z22z=(l+i)22(l+i)=2,|z22z|=|-2|=2.
13、方法二|z2-2 z|=|(l+i)2-2(l+i)|=|(l+i)(-l+i)|=fl+iH-l+i|=2.5.已 知 亩 =1-y i,其中x,y 是实数，i 是虚数单位，则 x+y i的共规复数为()A.2+i B.2-i C.l+2 i D.l-2 i1 A，5.答 案 B解析 由 有 =1 y i,得:yi，即 尹=解得X=2,y=l,：,x+y i=2+i,，其共柜复数为 2i.6.(2021上海)已知 z=l-3 i,贝 U|z-i|=6.答案 小 解析 V z=l-3 i,.*.2=1+31,Z.-z-i=l+3 i-i=l+2 i,6|z-i|=犀 存=由.7.如果复数T（R
14、）的实部与虚部相等，那么6=（）A.-2 B.1 C.2 D.47.答案 A解析半=（2+1）.）=b-2 i,所以实部为b,虚部为一2,故匕的值为一 2,故选1 1 （1）A.8.若复数z=（f l）+（xl）i 为纯虚数，则实数x 的值为.X21=0,8.答 案 一1解析为纯虚数，,A x=-1.x 1K0,29.（多选）若复数z=而，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为一 1 B.因=啦 C.Z?为纯虚数 D.z 的共辄复数为一l i2 2（1 j）2 2j9.答案 ABC 解 析 z j （j j 51 -*i1 对于A,z 的虚部为一1,正确；对于B,模长团=啦
15、，正确；对于C,因为z2=（l i）2=-2 i,故 z2为纯虚数，正确；对于D,Z的共粗复数 为 1+i,错误.10.（多选）（2022武汉模拟）下列说法正确的是（）A.若|z|=2,则 Z,Z =4 B.若复数 ZI，Z 2 满足|zi+z2|=|zi Z2I，则 Z|Z2=0C.若复数z 的平方是纯虚数，则复数z 的实部和虚部相等D.“aW l”是“复数z=(a1)+(层一 l)i(aWR)是虚数”的必要不充分条件1 0.答案 AD 解析 若团=2,则 Z-Z=|ZF=4,故 A 正确；设 z i=a i+i(”S R),22=02+82X02,岳丘2,由|Z1+Z2|=|Z1Z2I，可
16、得|zi+z2|2=(a|+”2)2+(/+62)2=|Z|Z 2|2=(z=2,则 z=()A.1 B.i C.1-i D.1+i1 2.答案 D 解析 由题意可得2=2=1+二1 1 (1 1)(1 十 1)13.(2020新高考全国I 等于()A.1 B.-1 C.i D.-i小金 皿 2-i(2-i)(l-2 i)-5 i.13.n 案 D 解析 j+2 i=(14-2i)(i _2 i)=-5=-1 14.(2021全国乙)设iz=4+3 i,则 z 等于()A.-3-4 i B.-3+4 i C.3 4i D.3+4i1 4.答 案 C解 析 方 法 一(转化为复数除法运算)因为i
17、z=4+3 i,所以2=罕=处 善 口=-4 i-3 i2=3-4 i.方 法 二(利 用复数的代数形式)设z=a+bi(a,h&R),则 由 iz=4+3 i,可 得 i(a+b i)=4+3 i,即一方a3,+a i=4+3 i,所以 即 所以 z=3-4i.a=3,心=一4,方 法 三(巧 用同乘技巧)因为iz=4+3 i,所以iz i=(4+3 i i,所以一z=4i3,所以z=34i.15.(2021全国乙)设 2(z+z)+3(z-z)=4+6 i,则 z=()A.l-2 i B.l+2 i C.1+i D.I-i1 5.答案 C 解析 设 z=a+bi(”，GR),贝 iz=“一
18、”，代入 2(z+z)+3(z-z)=4+6 i,可得 4a+6=4+6 i,所以 a=l,b,故 z=l+i.316.（2021全国甲）已知（l-i）2z=3+2 i,则 z=（）A.一 1 一手3B.1 +iC.-+iD.3,MY 3+2i 3+2i 3 i-2 ,316.答案 B 解析 z=（2=-2-=-l+3.17.（多选）（2022湛江一模）若复数z=g i,则（）A.z=2 B.|z|=4 C.z 的共辆复数z=，5+i D.z2=4-2 y f3 i17.答案 AC 解 析 依题意得|z|=。（小）2+（-1）2=2,故A正确，B错误；z=/+i,C正确;i=（5一i）2=3
19、2小i+i2=225i,D 错误.+j 718.若z=（a#）+行为纯虚数，其中。R,则.1 8.答 案-i解析 z为纯虚数,.aA/2=0,和，广 y2 i y2i 1yj2i-a=y J Z Al+=1+V 2i=l+V 2 il-V 2 i-3 iz19.已知复数z=a+/?i（a,bR,i为虚数单位），且7芋=3+2 1则a=,b=19.答 案5 1解析 由z=+Z?i（m i为虚数单位），则z=a一%所以 不 二 =甘%bi）=“a-b ,t,a+b a-bU i=3 +2 i,故方一=3,-2-=2所以 a=5,b=l.20.（多选）设Z,Z2,Z3为复数，Z|W 0.下列命题中正
20、确的是（）A.若 阂=，则Z2=Z3B.若 ZZ2=ZZ3，则 Z2=Z3C.若 Z 2=Z 3,则|Z1Z2|=|ZZ3D.若 ZiZ2=|ZiF，则 Z1=Z22 0.答 案B C解 析 由=知A错误；ZZ2=ZZ3，则Z-Z3）=0,又Z和，所以Z2=Z3，故B正确；|ziZ2|=|Z|Z2b|Z1Z3|=|Z|Z3|,又、2=Z 3,所以忆2尸|T2|=阂，故 C 正确，令 Z|=i,Z 2=-i,满足Z1Z2=|Z|2,不满足 Z=Z 2,故 D 错误.题型三复数的几何意义21.（2021新高考全国H）复数/或在复平面内对应的点所在的象限为（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
21、 D.第四象限21.答案 A解析苗=（2-喘+3=爷=空所以该复数在复平面内对应的点为6，号，该点在第一象限.22.已知i是虚数单位，则复数Z=i2 023+i（i 1）在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限22.答 案 C解析 因为Z=i2 0 2 3 +i(il)=-i-l i=-l 2 i,所以复数Z在复平面内对应的点是(一1,-2),位于第三象限.2 3.若复数z=(2+ai)(a-i)在复平面内对应的点在第三象限，其中。6 R,i 为虚数单位，则实数的取值范围为()A.(-2,柩 B.(一小，0)C.(0,的 D.0,的3(70,23.答案 B 解
22、 析 z=(2+ai)(-i)=3a+(cf2)i在复平面内对应的点在第三象限，二.解得20,y2a424.如图，若向量O Z对应的复数为z,则 z+：表示的复数为()l+3 iB.-3-iC.3-iD.3+i2 4.答 案 D解析4 4由题图可得 Z(l,1),即 z=li,所以 z+：=l i+j7=1z I-i.41+i+1il+i=1i+-2-=1 i+2+2i=3+i.25.(2020北京)在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2),则 i-z等于()A.1 +2i B.-2+i C.12i D.1 2i25.答案 B 解析 由题意知，z=l+2 i,i z=i(l+2i)=-2
23、+i.26.在复平面内，复数z=(i 为虚数单位)，则 z 对应的点的坐标为()A.(3,4)B.(-4,3)C.你 一 D.(一/,5i 5i(3+4i)3i4 4 3 4 326.答 案 D解析 因为z=:=k=Y+i，所以z=Y 一 ,所以复数zJ ITI J T1 Z I D I ITI/J J J J J所对应的点的坐标为(一,，-j).27.(2019全国I)设复数z满足|z-i|=l,z 在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(%+1)2+/=1 B.(x-l)2+V=l C.*+(厂 1)2=1 D.?+(+1)2=12 7.答案 C 解析 在复平面内对应的点为(x,y),
24、：.z=x+yi(x,yR).V|z-i|=l,.-.|x+(y-1)i|=1,.”+。-1)2=1.28.(2020全国 H)设复数zi,Z2满足忆|=比|=2,zi+z2=d+i,则一z?|=.28.答案 2小 解析 方 法 一 设 ZZ2=a+bi,a,b R,因为 z i+z 2=4 +i,所以 2zi=(小+a)+(l+与i,2Z2=(小 一 4)+(1)i.因为|zi|=|zd=2,所以|2Z I|=|2Z2|=4,所以“5+/+1+从=4,，、小一片+1一=4,，2+2,得/+0 2=2.所以Z 2|=A/2+O2=2S,方法二 设复数ZI,Z 2在复平面内分别对应向量 次，成则
25、Z 1+Z 2对应向量次+彷.由题意知|次|=|仍|=|次+加|=2,如图所示，以O A,0B为邻边作平行四边形O A C B,Z L Z 2对应向量或，且|次|=|祀1 =|灰1=2,可得|或|=2|况|s i n 6(T=2巾.故|zZ 2l=BAl=2y/3.2 9.已知复数z满足|z-l-i|W l,则|z|的最小值为()A.1 B.7 2-1 C.小 D.6+129 .答 案B解 析 令z=x+y i(x,y S R),则由题意有(x 解+(y 1 0 1,的最小值即为圆(x 十。-1)2=1上的动点到原点的最小距离，.|Z|的最小值为啦一1.30 .(多选)欧拉公式e H=c o
26、s x+i s i n x是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是()A.复数e 对应的点位于第二象限 B.为纯虚数eri1-i1C.复 数 的 模 长 等 于5 D.e6的共辗复数为5竽ij r30 .答案 A B C 解析 对于A,e2,=c o s 2+i s i n 2,因为广2 兀，B P c o s 2 0,复数e?，对应的点位于第二象限，A正确；对于B,e 5 =c o s；+i s i n B=i,/为纯虚数，B正确；对于C,5+ic o s x+i s i n x (c o s x+i s i n x)(y/3 i)小c o s x+s i n x 也s i n%c o s x /a cn I小+i=(5+i)(小一i)=4+4 于E 可 小+i|=(小cos;+sin x)+(小Sin。正确；对于 D,J =c混+i s i n 台 坐+；i复数为坐一1 i,D不正确.其共朝