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1、 考点九 幂函数 知识梳理 1幂函数的概念 如果一个函数，底数是自变量 x，指数是常量，即 yx，这样的函数称为幂函数 注意区分幂函数与指数函数：幂函数的一般形式是 yx，幂函数中自变量 x 处在底数位置，幂指数为常数；指数函数的一般形式是 yx，指数函数中自变量 x 处在指数位置，底数为常数 2五个简单幂函数的图象和性质(1)图象比较 (2)性质比较 函数 特征 性质 yx yx2 yx3 y yx1 定义域 R R R 0，)x|xR 且 x0 值域 R 0，)R 0，)y|yR 且 y0 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增 x0，)时，增；x(，0时，减 增
2、 增 x(0，)时，减；x(，0)时，减 典例剖析 题型一 幂函数的概念 例 1 下列函数中是幂函数的是_ y2x y2x yx2 y 答案 解析 根据幂函数的定义 yx，是常数，得出 yx2是幂函数，y2x、y2x、y 不是幂函数 变式训练 下列函数：yx2+1；y2x2；，其中幂函数是_ 答案 解析 根据幂函数的定义 yx，是常数，得出是幂函数，例 2 已知幂函数 f(x)的图象经过(9，3)，则 f(2)f(1)_ 答案 解析 设幂函数 f(x)xa，它的图象经过(9，3)，所以 39a，a，幂函数为 f(x)，所以 f(2)f(1)变式训练 函数 y(m2m+1)是幂函数，且 f(x)
3、f(x)，则实数 m 的值为_ 答案 1 解析 因为函数 y(m2m+1)是幂函数，所以 m2m+11，解得 m1 或 m0 因为 f(x)f(x)，所以函数是偶函数，当 m0 时，幂函数为 yx3函数表示奇函数，当 m1 时 yx4函数是偶函数 解题要点 (1)幂函数的形式是 yx(R)，其中只有一个参数，因此只需一个条件即可确定其解析式(2)若幂函数 yx(R)是偶函数，则 必为偶数当 是分数时，一般将其先化为根式，再判断 题型二 幂函数的图象 例 3 下图给出 4 个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是()答案 解析 图说明函数定义域为 R，有，且观察图象可知图为，则图为；又图中函数定
4、义域为，所以其对应，综上可知：.变式训练 下列命题中正确的是_ 幂函数的图象一定过点(0，0)和点(1，1)若函数 f(x)xn是奇函数，则它在定义域上单调递增 幂函数的图象上的点一定不在第四象限 幂函数的图象不可能是直线 答案 解析 幂函数 yx1的图象不过点(0，0)，它在(，0)，(0，)上单调递减，于是，都不正确幂函数 yx 的图象是直线，不正确当 x0 时，f(x)x0 必成立，所以，幂函数的图象上的点一定不在第四象限，答案为 解题要点 若幂函数 yx在(0，)上单调递增，则 0，若在(0，)上单调递减，则 cb 解析 因为在上是增函数，所以又因为在上是减函数，所以.解题要点 同底数
5、的两个数比较大小，考虑用指数函数的单调性同指数的两个数比较大小，考虑用幂函数的单调性：若指数大于 0，对应的幂函数在上是增函数；若指数小于 0，对应的幂函数在上是减函数若指数和底数都不相同，则可借助中间值 0 或 1 比较 当堂练习 1已知幂函数 yf(x)的图象过(4，2)点，则_ 答案 解析 已知幂函数 yx的图象过点(4，2)，则 42，故函数的解析式为 yf(x)，.2当 x(0，+)时，幂函数 y(m2m1)x5m3为减函数，则实数 m 的值为_ 答案 m2 解析 因为函数 y(m2m1)x5m3既是幂函数又是(0，+)的减函数，所以解得：m2 3.设 a3525，b2535，c25
6、25，则 a，b，c 的大小关系是_ 答案 acb 解析 yx25(x0)为增函数，ac.y25x(xR)为减函数，cb，acb.4已知幂函数 f(x)x的图象经过点2，22，则 f(4)的值为_ 答案 12 5若幂函数的图象过点(2，14)，则它的单调递增区间是_ 答案(，0)解析 设 yxa，则142a，a2，yx2.课后作业 一、填空题 1在函数 y，y2x2，yx2+x，y1 中，幂函数的个数是 答案 1 解析 幂函数的定义是“形如 yx，R 的函数，叫做幂函数”，在函数 y，y2x2，yx2+x，y1 中，只有一个 yx2符合定义，是幂函数；2已知幂函数 f(x)xm的图象经过点(4
7、，2)，则 f(16)答案 4 解析 由于知幂函数 f(x)xm的图象经过点(4，2)，则有 4m2，解得 m，故 f(16)4 3若函数是幂函数，则 m 的值为 答案 1 解析 是幂函数，2m+31，m1 4已知幂函数 yf(x)的图象过(36，6)，则此函数的解析式是 答案 解析 设幂函数 yf(x)x，由于它的图象过(36，6)，故有 366，故此函数的解析式是 5在同一坐标系中，函数的图象可能是 答案 解析 对，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对，中中，不符合题意；对，中中，不符合题意；对，中中，符合题意.6设，则的大小关系是 答案 解析 由函数的性质得到所以，.7已知幂函数 yf(
8、x)的图象过点()，则 log4f(2)的值为 答案 解析 由设 f(x)xa，图象过点()，()a，解得 a log4f(2)8对于幂函数 f(x)x(是有理数)给出以下三个命题：存在图象关于原点中心对称的幂函数；存在图象关于 y 轴轴对称的幂函数；存在图象与直线 yx 不重合，但关于直线 yx 对称的幂函数 其中真命题的是 答案 解析 幂函数 yx3是奇函数，所以，结论正确；幂函数 yx2是偶函数，所以，结论正确；幂函数 y 的图象关于直线 yx 对称，所以，结论正确 9下列函数(1)yx3，(2)yx2，(3)y，(4)y，在(，0)上是增函数的是 答案 (1)解析 由幂函数的图象和性质
9、得(1)是奇函数，在(，0)上递增 (2)是偶函数，在(，0)上递减(3)奇函数，在(，0)上递减 (4)在(，0)上无意义，故区间(，0)不是函数的单调区间 故答案是(1)10函数 f(x)xn+1 恒过一个定点，这个定点坐标是 答案 (1，2)解析 由于函数 yxn恒过一个定点(1，1)，故函数 f(x)xn+1 恒过一个定点(1，2)，故答案为(1，2)11比较大小(填“”“”或“”)：(1)；(2)()3 (3)3 答案 (1)(2)解析 (1)因为幂函数 yx0.5在区间0，+)上是增函数，又 ，所以；(2)因为幂函数 yx3在区间(，+)上是增函数，又3，所以()3(3)3 二、解
10、答题 12比较大小：(1)；(2)(1.2)3，(1.25)3；(3)5.251,5.261,5.262.解析 (1)yx12在0，)上是增函数，1.51.25，(1.2)3(1.25)3；(3)yx1在(0，)上是减函数，5.255.261；y5.26x是增函数，12，5.2615.262.综上，5.2515.2615.262.13已知幂函数 f(x)x的图象经过点 A().(1)求实数 的值;(2)求证：f(x)在区间(0，+)内是减函数.解析 (1)解：f(x)x的图象经过点 A()，()，即 2，解得 ；(2)证明：任取 x1，x2(0，+)，且 x1x10，x1x20，于是 f(x2)f(x1)0.即 f(x2)f(x1)，所以 f(x)在区间(0，+)内是减函数.