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1、中考数学频考点突破-圆的综合题目1如图，在ABC中，以AB为直径的O交AC于点M，弦MNBC交AB于点E，且ME1，AM2，AE 3 （1）求证：BC是O的切线； （2）求O的半径 2如图，已知O 的直径 AB 垂直弦 CD 于点 E，连接 CO 并延长交 AD于点 F，且 CFAD（1）求证：点 E 是 OB 的中点； （2）若 AB=12，求 CD 的长 3发现如图ACB=ADB=90，那么点D在经过A，B，C三点的圆上（如图） 思考如图，如果ACB=ADB=a（a90）（点C，D在AB的同侧），那么点D还在经过A，B，C三点的O上吗？我们知道，如果点D不在经过A，B，C三点的圆上，那么点
2、D要么在O外，要么在O内，以下该同学的想法说明了点D不在O外请结合图证明点D也不在O内【证】结论综上可得结论，如果ACB=ADB=（点C，D在AB的同侧），那么点D在经过A，B，C三点的圆上，即：A、B、C、D四点共圆应用利用上述结论解决问题：如图，已知ABC中，C=90，将ACB绕点A顺时针旋转度（为锐角）得ADE，连接BE、CD，延长CD交BE于点F；（1）用含的代数式表示ACD的度数； （2）求证：点B、C、A、F四点共圆； （3）求证：点F为BE的中点 4如图，点A在以 BC 为直径的 O 上， ABC 的角平分线与 AC 相交于点E，与 O 相交于点D，延长 CA 至M，连结 BM
3、，使得 MB=ME ，过点A作 BM 的平行线与 CD 的延长线交于点N. （1）求证： BM 与 O 相切；（2）试给出 AC，AD，CN 之间的数量关系，并予以证明.5如图，在圆O中，弦AB=8，点C在圆O上（C与A，B不重合），联结CA、CB，过点O分别作ODAC，OEBC，垂足分别是点D、E.（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径.6如图，在ABC中，ACB90，边AB与O相切于点D，CD是O的直径，AC交O于E，连接BE交CD于P，交O于F，连接DF（1）求证：ABCEFD；（2）若AD2，CD6，求BD的长7如图，AB是O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作O
4、的切线DE交AB的延长线于点E，且 ADDE 于D，与O交于点F（1）判断AC是否是DAE的平分线？并说明理由；（2）连接OF与AC交于点G，当AGGC1时，求切线 CE 的长8如图，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的 O 分别交 BC、AC 于点 D、E ，连结 EB 交 OD 于点F. （1）求证： ODBE（2）连结 AD ，交 BE 于点G，若 AGEDGF ，且 AB=2 ，求 AE 的长. 9如图，ABC在平面直角坐标系内，顶点的坐标分别为A（4，4），B（2，5），C（2，1）（1）平移ABC，使点C移到点C1（2，4），画出平移后的A1B1C1，并写出点A1，B
5、1的坐标； （2）将ABC绕点（0，3）旋转180，得到A2B2C2，画出旋转后的A2B2C2；（3）求（2）中的点C旋转到点C2时，点C经过的路径长（结果保留） 10O为ABC的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图1，图2中画出一条弦，使这条弦将ABC分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）（1）如图1，AC=BC（2）如图2，直线l与O相切于点P，且lBC。11如图，ABC内接于O，ABC和BAC的平分线交于点E，延长AE分别交BC，O于点F，D，连接BD。（1）求证：BD=DE。 （2）若BD=6，AD=10，求EF的长。 12如图，在边长为1的正方形网格中，ABC的顶
6、点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（4，3）、B（4，1），把ABC绕点C逆时针旋转90后得到A1B1C（1）画出A1B1C，直接写出点A1、B1的坐标；（2）求在旋转过程中，ABC所扫过的面积13如图，在边长为1的正方形网格中，ABC的顶点均在格点上（1）画出ABC关于原点成中心对称的ABC，并直接写出ABC各顶点的坐标（2）求点B旋转到点B的路径长（结果保留）14如图，在ABC中，ABAC，以AB为直径的O交AC于点D，交BC于点E，过点E作EFAC于点F，交AB的延长线于点P.（1）求证：PE是O的切线；（2）若O的直径为5，tanC2，求BP的长.15如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋
7、转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80米，最低点C离地面为6米，旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：（1）经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？（2）若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？（精确到1平方公里）16如图，在直角坐标系中，M经过原点O(0，0)，点A( 6 ，0)与点B(0， 2 )，点D在劣弧 OA 上，连结BD交x轴于点C，且CODCBO. （1）求M的半径； （2）求证：BD平分ABO； （3）在线段BD的延长线上找一点E
8、，使得直线AE恰为M的切线，求此时点E的坐标. 答案解析部分1【答案】（1）证明：在AME中，AM2，ME1，AE 3 ， AM2ME2+AE2，AME是直角三角形，AEM90， 又MNBC， ABC90， ABBC，而AB为直径，BC是O的切线（2）解：连接OM，如图，设O的半径是r， 在RtOEM中，OEAEOA 3 r，ME1，OMr，OM2ME2+OE2，r212+（ 3 r）2，解得r 233 ，即O的半径为 233 【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定【解析】【分析】(1)欲证明BC是O的切线，只需证明ABBC即可；(2)连接OM，设O的半径是r，在RtAEM中，OEA
9、EOA 3 r，ME1，OMr，利用勾股定理即可求得.2【答案】（1）证明：如图，连接 AC ABCD 于点 E，CE=DE，在ACE 和ADE 中，CE=DEAEC=AEDAE=AE ，ACEADE（SAS），AC=AD，同理：CA=CD，ACD 是等边三角形，OCE=30，OE= 12 OC而 OB=OC，OE= 12 OB故 E 是 OB 的中点（2）解：AB=12， OC=6，OE=12 OC=3，在 RtOCE 中，CE= OC2OE2 = 6232 =3 3 ，CD=2CE=6 3【知识点】等边三角形的判定与性质；含30角的直角三角形；勾股定理；垂径定理【解析】【分析】（1） 如图
10、，连接 AC ，根据垂径定理可得CE=DE，根据全等三角形的判定与性质可得AC=AD，CA=CD，可得ACD 是等边三角形，从而可得OCE=30，继而求出OE=12OC=12OB，据此得出结论.（2）先求出OE的长，利用勾股定理求出CE的长，由CD=2CE，求出CD的长即可.3【答案】（1）由题意可知，AC=AD，CAD=，根据等腰三角形的性质即可得到ACD=90 12 ；（2）AB=AE，BAE=，ABE=90 12 ，ACD=ABE， B、C、A、F四点共圆；（3）B、C、A、F四点共圆， BFA+BCA=180，又ACB=90，BFA=90，AFBE，AB=AE，BF=EF，即点F为BE
11、的中点【知识点】圆的综合题【解析】【分析】【思考】【证】如图1，假设点D在O内，延长AD交O于点E，连接BE，则AEB=ACB，根据外角的性质得到ADBAEB，于是得到ADBACB，于是得到结论； 【应用】（1）由题意可知，AC=AD，CAD=，ACD=90 12 ；（2）根据等腰三角形的性质得到ABE=90 12 ，同时代的ACD=ABE，即可得到结论；（3）由B、C、A、F四点共圆，得到BFA+BCA=180，推出AFBE，根据等腰三角形的性质即可得到结论4【答案】（1）证明：如图所示， MB=ME ， BD 是 ABC 的角平分线，MBE=MEB ， ABE=EBC ，又BC 为直径，B
12、AC=90 ，ABE+MEB=90 ，EBC+MBE=90 ，即 BM 与 O 相切.（2）解：ABE=EBC ， AD=CD ，AD=CD ，DAC=DCA ，ADC 为等腰三角形，又BDC=90 ，BDN=90 ，N+NGD=90 ，又NGD=BGF ，且由（1）可得 MBC=90 ， NFBM ，NFB=90 ，即 N=EBC=ABE=DCA ，NAC 为等腰三角形，在 ADC 和 NAC 中，N=DAC=DCA ，ADC NAC ，ADNA=DCAC=ACNC ，AC2=DCNC ，又AD=CD ，故： AC2=ADNC .【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似
13、三角形的判定与性质；角平分线的定义【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义及等腰三角形的性质，得出MBE=MEB，ABE=EBC，由BC为直径得出BAC=90，利用直角三角形两锐角互余可得ABE+MEB=90 ，从而可得EBC+MBE=90=MBC，根据切线的判定定理即证； （2） 由ABE=EBC 可得AD=CD 从而求出AD=CD ，继而可求出ADC、NAC为等腰三角形，证明ADC NAC，可得ADNA=DCAC=ACNC，从而求出 AC2=DCNC ，继而得出结论.5【答案】（1）解：OD经过圆心O，ODACAD=DC同理：CE=EBDE是ABC的中位线DE=12ABAB=8DE=4（2
14、）解：过点O作OHAB，垂足为点H，OH=3，联结OAOH经过圆心OAH=BH=12ABAB=8AH=4在RtAHO中，AH2+OH2=AO2AO=5即圆O的半径为5.【知识点】勾股定理；垂径定理；三角形的中位线定理【解析】【分析】（1）由垂径定理可得AD=DC，CE=EB，则DE为ABC的中位线，DE=12AB，然后结合AB的值可得DE的值； （2）过点O作OHAB，垂足为点H，连接OA，则OH=3，由垂径定理可得AH=BH=12AB=4，然后在RtAHO中，利用勾股定理计算即可.6【答案】（1）证明：AB与O相切于点D，CDAB，CDB=90，DCB+ABC=90，ACB=90，DCB+E
15、CD=90，ECD=ABC，ECD=EFD，EFD=ABC；（2）解：CDAB，ADC=CDB=90，ECD=ABC，ACDCBD，ADCD=CDDB，26=6DB，DB=3，BD的长为3【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）根据切线的性质可得CDB=90，由已知条件可知ACB=90，根据同角的余角相等可得ECD=ABC，由圆周角定理可得ECD=EFD，据此证明；（2）根据垂直的概念可得ADC=CDB=90，根据同角的余角相等可得ECD=ABC，证明ACDCBD，然后根据相似三角形的性质进行计算.7【答案】（1）解：AC是DAE的平分线.证明：连接 OC
16、、FC DE是O的切线，OCDE，.ADDE，ADCOCE 90 ,ADOC，.2ACO，OAOC，1ACO，12，AC是DAE的平分线.（2）解：AGCG 1 ， ACOG ，即 AGOF .又12， AFGAOG , AFAO,又 AOOF ， AFAOOF. AOF 是等边三角形，DAO60 ， 130 ，. 又ADE 90 ，E30 .CEACAGCG2【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；含30角的直角三角形；切线的性质【解析】【分析】（1）先由切线性质和垂直定义得ADCOCE，进而利用平行线的判定得2ACO，然后利用半径相等转换为等边对等角性质，最后等量代换得角相等，即可
17、证明AC是DAE的平分线.（2）先利用等腰三角形的三线合一证明A C O G，再由12根据等角的余角相等得 A F G A O G ，从而得出 A O F 是等边三角形，得出内角为60后再求得 E 30 ，然后利用直角三角形30角的性质得出答案。8【答案】（1）证明：连接AD， AB 是 O 的直径，BEAC，ADBC ，AB=AC ，BD=CD ，又 AO=BO ，OD/AC ，ODBE ；（2）解：由（1）知 OD/AC ， ODBE ，EF=BF ，AO=BO ，OF=12AE ，AGEDGF ，DF=AE ，OF=12DF ，OF+FD=OD=12AB ， AB=2 ，12FD+FD=
18、1 ，FD=23 ，AE=23 .【知识点】等腰三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；三角形的中位线定理【解析】【分析】 （1）连AD，由AB为 O 的直径，根据圆周角定理的推论得到ADBC，BEAC， 而AB=AC，根据等腰三角形的性质有BD=DC，易得OD为BAC的中位线，则ODAC，即可得到结论；（2）根据垂径定理得EF=BF，结合OA=OB，由中位线定理得OF=12AE，再由全等三角形的性质知DF=AE，则OF=12FD，利用OF+FD=OD列等式，求出FD的长度，则AE的长度可求.9【答案】（1）解：如图所示，则A1B1C1为所求作的三角形， A1（-4，-1），B1（-2，0）（2）
19、解：如图所示，则A2B2C2为所求作的三角形 （3）解：点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2为直径的半圆， 由勾股定理得：CC2= 42+42=42 ，点C经过的路径长： 122r=22 【知识点】弧长的计算；作图平移；作图旋转【解析】【分析】（1）根据点C（-2,1）平移后的对应点 C1（2，4），可得出ABC向下平移了5个单位，从而确定点A、B的对应点A1、B1，然后顺次连接即可；利用位置写出坐标即可；（2）根据旋转的性质及网格特点，分别确定点A、B、C绕点（0，3）旋转180的对应点A2、B2、C2然后顺次连接即可；（3） 由于点C经过的路径长：是以（0，3）为圆心，以CC2
20、为直径的半圆， 利用勾股定理求出CC2的长，利用弧长公式计算即可.10【答案】（1）解：如图1，直径CD为所求；（2）解：如图2，弦AD为所求【知识点】垂径定理；切线的性质；作图-线段垂直平分线【解析】【解答】（1）过点C作直径CD，由于AC=BC，根据垂径定理的推理得CD垂直平分AB，所以CD将ABC分成面积相等的两部分；（2）连结PO并延长交BC于E，过点A、E作弦AD，由于直线l与O相切于点P，根据切线的性质得OPl，而lBC，则PEBC，根据垂径定理得BE=CE，所以弦AE将ABC分成面积相等的两部分【分析】此题考查了圆的应用，根据垂径定理，切线的性质即可解答问题。11【答案】（1）证
21、明：如图， AD 平分BAC，BADCAD.弧 BD=弧 CD.DBCCADE 平分ABC，12由BEDBAD1，DBEDBC2，BEDDBEDBDE（2）解：由（1）得DBCCAD DD.DBFDABDFBD=BDADBD=6，AD=10DF6=610DF=3.6且由（1）得：DE=BD=6EF=DE-DF=6-3.6=2.4【知识点】三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由内心的定义知，AE、BE都是ABC的平分线，结合同弧所对的圆周角相等和三角形的外角的性质，可得 BEDDBE ，于是根据等角对等边可证BD=DE.（2）由两组对角分别相等的两个三角形相似，可证
22、DBFDAB，于是对应边成比例可得DF=3.6 ，结合BE=BD=6，则EF的长度可求.12【答案】（1）解：所求作A1B1C如图所示：由A（4，3）、B（4，1）可建立如图所示坐标系，则点A1的坐标为（1，4），点B1的坐标为（1，4）（2）解：AC= AB2+BC2 = 22+32 = 13 ，ACA1=90在旋转过程中，ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+SABC= 90(13)2360 + 12 32= 134 +3【知识点】扇形面积的计算；坐标与图形变化旋转【解析】【分析】（1）根据旋转中心旋转方向及旋转角度找出点A、B的对称点A1、B1的位置，然后顺次连接即可，根据A、B的坐标建
23、立坐标系，据此写出点A1、B1的坐标；（2）用勾股定理得出AC的长度，在旋转过程中，ABC所扫过的面积为：S扇形CAA1+SABC计算即可。13【答案】（1）解：如下图所示：（2）解：由图可知：OB= 32+32 =3 2 ，BB =OB=3 2 【知识点】弧长的计算；中心对称及中心对称图形【解析】【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标，可得答案；（2）根据弧长公式，可得答案14【答案】（1）证明：连接 AE ， OE ， AB=AC ，C=ABC ，OE=OB ，OEB=OBE ，C=OEB ，OE/AC ，EFAC ，OEPF ，PE 是 O 的切线；（2）解：为 O 的直径， AEB=
24、90 ，AB=AC=5，ABC=C ，tanC=tanABC=AEBE=2 ， 设 AE=2x ， BE=x ，AE2+BE2=AB2 ，4x2+x2=25 ，x=5 （负值舍去），AE=25 ， BE=CE=5 ，C+CAE=C+CEF=90 ，CEF=CAE ，AECEFC ， CEAC=CFCE ， 55=CF5 ，CF=1 ，AF=4 ，OE/AF ，PEOPFA ， OEAF=POPA ， 524=PB+52PB+5 ，PB=53 .【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形【解析】【分析】（1）连接 AE ， OE ，根据等腰三角形的性质和等量代换得到
25、C=OEB ，根据平行线的性质得到 OEPF ，于是得到结论；（2）根据圆周角定理得到 AEB=90 ，设 AE=2x ， BE=x ，根据勾股定理得到 AE=25 ， BE=5 ，根据相似三角形的性质即可得到结论. 15【答案】（1）解：从点C乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E， 则COE=120延长CO与圆交于点F，作EGOF于点G，则GOE=60在RtEOG中，OG=40cos60=20小明2分钟后离开地面高度DG=DC+CO+OG=66米（2）解：）F为最高点，也能看到的地面景物面积为： 总高度86米=0.086km，s=(320.0862)2=28 平方公里 注：若理解为s=32=28
26、平方公里不扣分，不写这句不扣分【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值【解析】【分析】 （1） 从点C乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E， 则COE=120 延长CO与圆交于点F，作EGOF于点G， 根据邻补角的定义得出 GOE 的度数，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 OG=40cos60 即可算出OG的长度，最后根据 DG=DC+CO+OG 即可算出答案；（2） F为最高点 ，距离底面的距离为FC+CD=86米，能看到底面景物应该是一个以3公里为斜边，86米为高的直角三角形的另一边为半径的圆形区域，根据勾股定理算出该半径的长，再根据圆的面积计
27、算方法算出答案即可。16【答案】（1）解：点A为（ 6 ，0），点B为（0， 2 ） OA= 6 OB= 2根据RtAOB的勾股定理可得：AB=2 2 M的半径r= 12 AB= 2 .（2）证明：根据同弧所对的圆周角相等可得：ABD=COD COD=CBO ABD=CBO BD平分ABO（3）解：如图， 由（2）中的角平分线可得ABEHBE BH=BA=2 2OH=2 2 2 = 2在RtAOB中， OAOB=3ABO=60 CBO=30在RtHBE中，HE= BH3=263点E的坐标为（ 263 ， 2 ）【知识点】圆的综合题【解析】【分析】根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据RtAOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出ABD=COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出ABEHBE，从而得出BH=BA=2 2 ，从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据RtAOB的三角函数得出ABO的度数，从而得出CBO的度数，然后根据RtHBE得出HE的长度，即点E的横坐标.学科网（北京）股份有限公司