中考数学二轮专题复习频考点突破--圆的综合.docx

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1、中考数学频考点突破-圆的综合1如图，AB与O相切于点C，OA，OB分别交O于点D，E， CD=CE . （1）求证：OAOB；（2）已知AB4 3 ，OA4，求阴影部分的面积.2AB是 O 的直径，点C是 O 上一点，连接AC、BC，直线MN过点C，满足 BCM=BAC= （1）如图，求证：直线MN是 O 的切线； （2）如图，点D在线段BC上，过点D作 DHMN 于点H，直线DH交 O 于点E、F，连接AF并延长交直线MN于点G，连接CE，且 CE=53 ，若 O 的半径为1， cos=34 ，求 AGED 的值 3如图，已知A、B是O上两点，OAB外角的平分线交O于另一点C，CDAB交AB

2、的延长线于D（1）求证：CD是O的切线；（2）E为弧AB的中点，F为O上一点，EF交AB于G，若tanAFE= 34 ，BE=BG，EG=3 10 ，求O的半径4如图， CD 为O的直径， CDAB ，垂足为点 F ， AOBC ，垂足为点 E ， BC=3 . （1）求 AB 的长； （2）求O的半径. 5如图1，在正方形ABCD中，点F在边BC上，过点F作EFBC，且FEFC（CECB），连接CE、AE，点G是AE的中点，连接FG（1）用等式表示线段BF与FG的数量关系是 ； （2）将图1中的CEF绕点C按逆时针旋转，使CEF的顶点F恰好在正方形ABCD的对角线AC上，点G仍是AE的中点，

3、连接FG、DF在图2中，依据题意补全图形；求证：DF 2 FG6如图，已知ABC，AC=3，BC=4，C=90，以点C为圆心作C，半径为r.（1）当r取什么值时，点A、B在C外（2）当r在什么范围时，点A在C内，点B在C外.7已知直线l与O，AB是O的直径，ADl于点D （1）如图，当直线l与O相切于点C时，求证：AC平分DAB； （2）如图，当直线l与O相交于点E，F时，求证：DAE=BAF 8如图，已知三角形ABC的边AB是O的切线，切点为BAC经过圆心O并与圆相交于点D、C，过C作直线CE丄AB，交AB的延长线于点E（1）求证：CB平分ACE；（2）若BE=3，CE=4，求O的半径9如图

4、，AB是O的直径，BD是弦，C是BD的中点，弦CEAB，H是垂足，BD交CE，CA于点F，G（1）求证：CF=BF=GF；（2）若CD=6，AC=8，求圆O的半径和BD长10如图所示，线段AB=1.8cm，作满足下面要求的图形 （1）到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形 （2）到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形 11如图，在RtABC中，C=90，点D在线段AB上，以AD为直径的O与BC相交于点E，与AC相交于点F，B=BAE=30（1）求证：BC是O的切线；（2）若AC=3，求O的半径r；（3）在（1）的条件下，判断以A、O、E、F为顶点的四边形为哪种特殊四边

5、形，并说明理由12如图，在ABC中，A45，以AB为直径的O经过AC的中点D，E为O上的一点，连接DE，BE，DE与AB交于点F.（1）求证：BC为O的切线；（2）若F为OA的中点，O的半径为2，求BE的长.13如图，已知AB为O的直径，PD切O于点C，交AB的延长线于点D，且D=2CAD（1）求D的大小；（2）若CD=2，求AC的长14如图，AB是O的直径，AM、BN分别与O相切于点A、B，CD交AM、BN于点D、C，DO平分ADC.（1）求证：CD是O的切线；（2）设AD4，ABx (x 0)，BCy (y 0). 求y关于x的函数解析式.15如图，AB是O的直径，点D在直径AB上（D与A

6、，B不重合），CDAB，且CDAB，连接CB，与O交于点F，在CD上取一点E，使EFEC.（1）求证：EF是O的切线； （2）若D是OA的中点，AB4，求CF的长. 16如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O分别交AC，BC于点D，E，过点B作AB的垂线交AC的延长线于点F。（1）求证： BE=DE（2）过点C作CGBF于G，若AB=5，BC=2 5 ，求CG，FG的长。答案解析部分1【答案】（1）证明：连接OC，则OCAB. CD=CE ，AOCBOC.在AOC和BOC中，AOC=BOCOC=OCOCA=OCBAOCBOC(ASA).AOBO.（2）解：由(1)可得ACBC 12 A

7、B2 3 ，在RtAOC中，OA2，sinAOC=ACAO=234=32AOCBOC60.SBOC 12 BCOC 12 2 3 22 3 ，S扇COE 60R2360 23 .S阴2 3 23 .【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质；扇形面积的计算；解直角三角形；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1） 连接OC ，由切线的性质得出ACO=90，由 CD=CE，可得AOCBOC，根据ASA可证AOCBOC，可得AOBO；（2） 由(1)可得ACBC 12 AB2 3 ， 再求出AOCBOC60，由S阴SBOC-S扇COE，利用三角形的面积公式及扇形的面积公式求解即可.2【答案】（1

8、）证明：连接OC，如图， AB是 O 的直径，ACB=90 ，A+B=90 ，OC=OB ，B=OCB ，BCM=A ，OCB+BCM=90 ，即 OCMN ，MN是 O 的切线；（2）解：如图， cos=ACAB=34 ，即 AC2=34 ，AC=32 ，2=3，1=2，1=3，DHMN ，1+AGC=90，3+ECD=90，ECD=AGC ，又DEC=CAG ，EDC ACG ，EDAC=ECAG ，AGDE=ACCE=3253=52 【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形的性质【解析】【分析】（1）由圆周角定理的推论和直角三角形的性质可得 A+B=90 ，由

9、 OC=OB 可得 B=OCB ，进一步即可推出 OCB+BCM=90 ，从而可得结论；（2）如图，由已知条件易求出AC的长，根据对顶角相等和圆周角定理可得1=3，根据余角的性质可得 ECD=AGC ，进而可得 EDC ACG ，于是根据相似三角形的性质变形可得 AGDE=ACCE ，进一步即可求出结果3【答案】（1）证明：连接OC，如图，BC平分OBD，OBC=CBD，OB=OC，OBC=OCB，OCB=CBD，OCAD，而CDAB，OCCD，CD是O的切线 （2）解：连接OE交AB于H，如图，E为弧AB的中点，OEAB，ABE=AFE，tanABE=tanAFE= 34 ，在RtBEH中，

10、tanHBE= EHBH=34设EH=3x，BH=4x，BE=5x，BG=BE=5x，GH=x，在RtEHG中，x2+（3x）2=（3 10 ）2，解得x=3，EH=9，BH=12，设O的半径为r，则OH=r-9，在RtOHB中，（r-9）2+122=r2，解得r= 252 ，即O的半径为 252【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；切线的判定；同角三角函数的关系【解析】【分析】（1）连接OC，如图，根据角平分线的定义得出OBC=CBD，根据等边对等角得出OBC=OCB，根据等量代换得出OCB=CBD，根据内错角相等，二直线平行得出OCAD，由二直线平行，同旁内角互补得出OCCD，故CD是

11、O的切线 ；（2）连接OE交AB于H，如图，根据垂径定理得出OEAB，根据同弧所对的圆周角相等得出ABE=AFE，根据等角的同名三角函数值相等得出tanABE=tanAFE=34，在RtBEH中，用正切函数的定义，由tanHBE=EHBH=34，设EH=3x，BH=4x，根据勾股定理BE=5x，进而得出GH=x，在RtEHG中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，从而得出EH，BH的长，设O的半径为r，则OH=r-9，在RtOHB中，利用勾股定理建立方程，求解得出r的值。4【答案】（1）CD 为O的直径， CDAB ， AOBCAF=FB=12AB,CE=EB=12BC ，BC=3CE=12

12、BC=32在 AOF 与 COE 中，AFO=CEO=90AOF=COEAO=OCAOFCOE(AAS)CE=AF=32AB=322=3 ；（2）由（1）得， AB=BC=3BE=12BCBE=12ABAEB=90A=30cos30=AFAOAO=AFcos30=3232=3 O的半径为 3 .【知识点】含30角的直角三角形；垂径定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）由垂径定理得到 AF=FB=12AB,CE=EB=12BC ，由 BC=3 解得 CE=12BC=32 ，再证明 AOFCOE(AAS) ，由全等三角形的对应边相等性质解得 CE=AF=32 ，再由垂径定理可得 A

13、B 的长； （2）由（1）中结论可知 AB=BC ，由垂径定理得到 EB=12BC ，继而得到 EB=12AB ，根据直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半，可知 A=30 ，再根据余弦的定义解题即可.5【答案】（1）BF FG（2）解：如图2所示， 如图2，连接BF、BG，四边形ABCD是正方形，ADAB，ABCBAD90，AC平分BAD，BACDAC45，AFAF，ADFABF（SAS），DFBF，EFAC，ABC90，点G是AE的中点，AGEGBGFG，点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，BF BF ，BAC45，BGF2BAC90，BGF是等腰直角三角形，BF

14、2 FG，DF 2 FG【知识点】正方形的性质；圆周角定理；旋转的性质【解析】【解答】解：（1）BF 2 FG， 理由是：如图1，连接BG，CG，四边形ABCD为正方形，ABC90，ACB45，ABBC，EFBC，FEFC，CFE90，ECF45，ACE90，点G是AE的中点，EGCGAG，BGBG，AGBCGB（SSS），ABGCBG 12 ABC45，EGCG，EFCF，FGFG，EFGCFG（SSS），EFGCFG 12 （360BFE） 12 （36090）135，BFE90，BFG45，BGF为等腰直角三角形，BF 2 FG故答案为：BF 2 FG【分析】（1）连接BG，CG，利用正

15、方形的性质，可证得ABC90，ACB45，ABBC，再证明EG=CG=AG，从而可证得AGBCGB，利用全等三角形的性质，就可求出ABGCBG45，再利用SSS证明EFGCFG，利用全等三角形的性质，可得到EFGCFG=135，然后证明BGF是等腰直角三角形，从而可得出结果。（2）根据题意补全图形即可； 根据已知条件易证ADFABF，再利用全等三角形的性质，可证得DFBF，再证明AGEGBGFG，就可得到点A、F、E、B在以点G为圆心，AG长为半径的圆上，利用圆周角定理可证得BGF=90，就可得到BGF是等腰直角三角形，再利用解直角三角形就可质的结论。6【答案】（1）解：当0r3时，点A、B在

16、C外 （2）解：当3r4时，点A在C内，点B在C外 【知识点】点与圆的位置关系【解析】【分析】点和圆的位置关系：点到圆心的距离小于半径，点在圆内；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离大于半径，点在圆外。 （1）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知，当 0r3时，点A、B在C外 ； （2）根据点和圆的位置关系和AC、BC的长度可知， 当3r4时，点A在C内，点B在C外 。7【答案】（1）连接OC， 直线l与O相切于点C，OCCD；又ADCD，ADOC，DAC=ACO；又OA=OC，ACO=CAO，DAC=CAO，即AC平分DAB；（2）如图，连接BF， AB是O的直径，AFB=

17、90，BAF=90B，AEF=ADE+DAE，在O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，AEF+B=180，BAF=DAE【知识点】圆周角定理；直线与圆的位置关系【解析】【分析】（1）连接OC，易得OCAD，根据平行线的性质就可以得到DAC=ACO，再根据OA=OC得到ACO=CAO，就可以证出结论；（2）如图，连接BF，由AB是O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得AFB=90，由三角形外角的性质，可求得AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，继而证得结论 8【答案】（1）证明：如图1，连接OB，AB是0的切线，OBAB，CE丄AB，OBCE，1=3，OB=OC，1=2，2=3，CB平分A

18、CE（2）解：如图2，连接BD，CE丄AB，E=90，BC= BE2+CE2 = 32+42 =5，CD是O的直径，DBC=90，E=DBC，DBCCBE，CDBC=BCCE ，BC2=CDCE，CD= 524 = 254 ，OC= 12CD = 258 ，O的半径= 258【知识点】圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）要证CB平分ACE，由角平分线的性质只需证2=3即可。连接OB，由切线的性质和已知条件即可证得2=3；（2）连接BD，在直角三角形BCE中，用勾股定理可求得BC的长，由圆周角定理易证DBCCBE，则可得比例式CDBC=BCCE，直径CD可求解，则

19、半径OC=12CD。9【答案】（1）证明：CEAB，BC=BE，A=ECB，C是BD的中点，A=DBC，ECB=DBC，CF=BF，AB是O的直径，ACB=90，DBC+CGB=90，ECB+GCF=90，CGB=GCF，CF=GF，CF=BF=GF；（2）解：C是BD的中点，BC=CD=6，AC=8，AB=BC2+AC2=10，圆O的半径是5，DC=BC，OC垂直平分BD，设OC与BD相交于点M，设OM=x，则CM=5x，BM2=OB2OM2=BC2CM2，52x2=62(5x)2，解得x=1.4，OM=1.4，BM=OB2OM2=521.42=245，BD=2BM=485【知识点】圆的综合

20、题【解析】【分析】（1）先证明ECB=DBC，可得CF=BF，再根据CGB=GCF，可得CF=GF，即可得到CF=BF=GF；（2）设OC与BD相交于点M，设OM=x，则CM=5x，利用勾股定理可得52x2=62(5x)2，求出x=1.4，再求出BM=OB2OM2=521.42=245，即可得到BD=2BM=485。10【答案】（1）解：如图所示： 图中阴影部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形（2）解：图中两个圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形 【知识点】点与圆的位置关系【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，1.1cm为半径画弧，两个

21、圆相交的部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形；（2）两个圆内部分都是到点A或点B的距离都小于1.1cm的部分，那么两圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形11【答案】（1）解：如图1，连接OE，OA=OE，BAE=OEA，BAE=30，OEA=30，BOE=BAE+OEA=60，在BOE中，B=30，OEB=180-B-BOE=90，OEBC，点E在O上，BC是O的切线（2）解：如图2，B=BAE=30，AEC=B+BAE=60，在RtACE中，AC=3，sinAEC= ACAE ，AE= ACsinAEC=3sin60=23 ，连接DE，A

22、D是O的直径，AED=90，在RtADE中，BAE=30，cosDAE= AEAD ，AD= AEcosBAE=23cos30=4 ，O的半径r= 12 AD=2（3）解：以A、O、E、F为顶点的四边形是菱形，理由：如图3，在RtABC中，B=30，BAC=60，连接OF，OA=OF，AOF是等边三角形，OA=AF，AOF=60，连接EF，OE，OE=OF，OEB=90，B=30，AOE=90+30=120，EOF=AOE-AOF=60，OE=OF，OEF是等边三角形，OE=EF，OA=OE，OA=AF=EF=OE，四边形OAFE是菱形【知识点】菱形的判定；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形

23、【解析】【分析】（1）连接OE，由OA=OE，求出AEO的度数，再利用三角形外角的性质，求出BOE的度数，在BOE中，利用三角形内角和定理求出OEB=90，然后利用切线的判定定理，可证得结论。（2）根据已知求出AEC=60，利用解直角三角形，在RtACE中求出AE的长，RtADE中，求出AD的长，就可求出圆的半径。（3）连接OF、EF、OE，利用B的度数去证明AOF和OEF是等边三角形，利用等边三角形的性质及同一个圆的半径相等，易证OA=AF=EF=OE，就可证得结论。12【答案】（1）证明：连接BD，AB为O的直径，BDAC，D是AC的中点，BC=AB，C=A45，ABC=90，BC是O的切

24、线 。（2）解：连接OD，由（1）可得AOD=90，O的半径为2， F为OA的中点，OF=1， BF=3， AD=22+22=22 ，DF=OF2+OD2=12+22=5 ，弧BD=弧BD，E=A，AFD=EFB，AFDEFB，DFAD=BFBE ，即 522=3BE ，BE=6510 .【知识点】切线的判定；圆的综合题；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得出BDAC，根据中垂线定理得出BC=AB，根据等边对等角及三角形的内角和得出ABC=90，从而得出BC是O的切线；（2）连接OD，由（1）可得AOD=90，根据中点定义得出OF=1，BF=3根据

25、勾股定理得出AD，DF的长，根据同弧所对的圆周角相等得出E=A，然后判断出AFDEFB，根据相似三角形对应边成比例得出DFAD=BFBE利用比例式，即可得出BE的长13【答案】（1）解：连接OCBC=BC，CAD=12COB，即 COB=2CADD=2CAD，COB=DPD是O的切线，OCPD，即 OCD=90COB+D=90 2D=90D=COB=45（2）解：COB=D，CD=2，CO=CD=2COB=45，AOC=135AC的长l=nR180=1352180=32【知识点】圆心角、弧、弦的关系；弧长的计算【解析】【分析】（1） 连接OC 根据切线的性质的出 OCPD，即 OCD=90根据

26、圆周角定理得出D=2CAD， 进而证明 COB=D 根据等腰直角三角形的性质求出 D的大小；（2）根据等腰三角形的性质求出OC，根据弧长公式计算即可。14【答案】（1）证明：过O做OECD于点E，则OED90O与AM相切于点AOAD90OD平分ADEADOEDOODODOADOEDOEOAOA是O的半径OE是O的半径CD是O的切线 （2）解：过点D做DFBC于点F，则DFABxAD4，BCyCFBCADy4由切线长定理可得：DE=DA，CE=CBCDCEEDBCAD4y在RtDFC中，CD2DF2FC2(y4)x 2(y4)2整理得：y 116 x2则y关于x的函数关系式为：y 116 x2解

27、法二：连接OC，CD、CB都是O的切线CECByOC平分BCD即：OCD 12 BCD同理：DEAD4CDO 12 CDAAM、BN分别与O相切且AB为O的直径AM/BNBCDCDA180OCDCDO90CDOOCDCOD180COD90在RtDOC中，OD2OA2AD2即OD2( x2 )242同理可得：OC2( x2 )2y2CDCEEDy4在RtOCD中CD2OC2OD2即(y4)2( x2 )242( x2 )2y2整理得：y 116 x2则y关于x的函数关系式为：y 116 x2【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理的应用；垂径定理的应用；切线的判定与性质；切线长定理【解析】【分

28、析】（1）过O做OECD于点E，则OED90 ，根据切线的性质，圆的切线垂直于经过切点的半径得出OAD90 ，根据角平分线的定义得出ADOEDO ，从而根据AAS判断出OADOED，根据全等三角形的对应边相等得出OEOA ，根据切线的判定定理得出CD是O的切线 ；（2）解法一 ：过点D做DFBC于点F，则DFABx ，根据矩形的性质及线段的和差得出CFBCADy4 ，由切线长定理可得：DE=DA，CE=CB ，根据线段的和差得出CDCEEDBCAD4y ，在RtDFC中，由勾股定理得出(y4)x 2(y4)2 ，从而得出y与x之间的函数关系式 ；解法二：连接OC，根据切线长定理得出CECBy

29、，OC平分BCD ，即：OCD 12 BCD，同理：DEAD4 ，CDO 12 CDA ，又AM、BN分别与O相切且AB为O的直径 ，故AM/BN，根据二直线平行同旁内角互补得出BCDCDA180 ，进而得出OCDCDO90 ，根据平角的定义得出CDOOCDCOD180 ，从而得出COD90，在RtDOA中，根据勾股定理得出OD2( x2)242 ， 同理可得：OC2( x 2 )2y2 ，由于CDCEEDy4 ，在RtOCD中 ，CD2OC2OD2 ，即(y4)2( x 2 )242( x 2 )2y2 ，从而得出y与x之间的函数关系。15【答案】（1）证明：连接OF，如图1所示： CDAB

30、，DBC+C90，OBOF，DBCOFB，EFEC，CEFC，OFB+EFC90，OFE1809090，OFEF，OF为O的半径，EF是O的切线（2）解：连接AF，如图2所示： AB是O的直径，AFB90，D是OA的中点，ODDA 12 OA 14 AB 14 41，BD3OD3，CDAB，CDAB4，CDB90，由勾股定理得：BC BD2+CD2 32+42 5，AFBCDB90，FBADBC，FBADBC，BFBD=ABBC ，BF ABBDBC 435 125 ，CFBCBF5 125 135【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连

31、接OF，易证DBC+C90，由等腰三角形的性质得DBCOFB，CEFC，推出OFB+EFC90，则OFE90，即可得出结论；（2）连接AF，则AFB90，求出BD3OD3，CDAB4，BC BD2+CD2 5，证明FBADBC，得出 BFBD=ABBC ，求出BF 125 ，由CFBCBF即可得出结果16【答案】（1）证明：连接AE， AB是直径，AEB=90，AEBC，AB=AC，EAB=EAC，BE = DE 。（2）解：BFAB，CGBF，AEBC CGB=AEB=ABF=90，CBG+ABC=90，ABC+BAE=90，CBG=BAE，BCGBE，CGBE=BCAB ，CG5=255 ，CG=2，CGAB，CFAF=CGAB ，CFCF+5=25 ，CF= 103FG= CF2CG2=(103)222=83【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可证得AEBC；再利用等腰三角形三线合一的性质可知EAB=EAC，然后根据在同圆和等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，可证得结论。（2）利用垂直的定义及同角的余角相等，可证得CBG=BAE；再证明BCGBEA，利用相似三角形的对应边成比例，就可求出GC的长，根据CGAB，利用平行线分线段成比例定理列出比例式，就可求出CF的长；然后利用勾股定理求出FG的长。学科网（北京）股份有限公司