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1、中考数学频考点突破-圆的综合题1如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD=7，BE=2，求半圆和菱形ABFC的面积2如图，点O是ABC的内心，过点O作EFAB，与AC，BC分别交于点E，F.（1）比较EF与AE+BF的大小关系；（2）若AE=5，BF=3，求EF的长.3如图， AB 是 O 的直径，弦 CDAB 于点 E,G 是弧 AC 上一点，连接 AD、AG、GD （1）求证 ADC=AGD ；（2）若 BE=2,CD=6 ，求 O 的半径4如图，O是RtABC的外接
2、圆，AB为直径，ABC=30，CD是O的切线，EDAB于F，（1）求证：CDE是等腰三角形；（2）若AB=4， AE=2(3+1) ，求证：OBCDCE5如图，在ABC中，C90，点O在AC上，以OA为半径的O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE（1）判断直线DE与O的位置关系，并说明理由；（2）若AC3，BC4，OA1，求线段DE的长6如图，A，P，B，C是半径为8的O上的四点，且满足BAC=APC=60，（1）求证：ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD7如图，已知矩形ABCD是一空旷场地上的小屋示意图，其中AB：AD2：1拴住小狗的绳子一端固定在
3、点A处，请根据下面条件分别画出小狗在小屋外最大活动区域（小狗的大小不计） 图1 图2（1）若拴小狗的绳子长度与AD边长相等，在图1中画出小狗在屋外活动的最大区域； （2）若拴小狗的绳子长度与AB边长相等，在图2中画出小狗在屋外活动的最大区域 8如图，BC是 O 的直径，CE是 O 的弦，过点E作 O 的切线，交 CB的延长线于点G，过点B作 BFGE 于点F，交CE的延长线于点A. （1）求证： AB=BC ； （2）若 GF=23 ， BF=2 ，求 O 的半径. 9问题呈现：阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BCAB，M是 ABC 的中点，则从
4、M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CDAB+BD下面是运用“截长法”证明CDAB+BD的部分证明过程 证明：如图2，在CB上截取CGAB，连接MA，MB，MC和MGM是 ABC 的中点，MAMC（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分； （2）实践应用：如图3，已知ABC内接于O，BCABAC，D是 AB 的中点，依据阿基米德折弦定理可得图中某三条线段的等量关系为 ；如图4，已知等腰ABC内接于O，ABAC，D为 AB 上一点，连接DB，ACD45，AECD于点E，BCD的周长为4 2 +2，BC2，请求出AC的长 10如图，AB是O的直径，点C，D在O上，AC=BC，CD
5、交AB于点E，BOD=120（1）求BEC的度数；（2）若DF是O的切线，与BA的延长线交于点F，AC=22直接写出图中阴影部分的面积11已知，如图，直线MN交O于A，B两点，AC是直径，AD平分CAM交O于D，过D作DEMN于E（1）求证：DE是O的切线；（2）若DE=6cm，AE=3cm，求O的半径12如图，在 O 中， AB 为直径， AC 为弦过 BC 延长线上一点G，作 GDAO 于点D，交 AC 于点E，交 O 于点F，M是 GE 的中点，连接 CF ， CM （1）求证： CM 与 O 相切；（2）若 ECF=2A ， CM=6 ， CF=4 ，求 MF 的长13如图，AB是O的
6、直径，点D是AB延长线上的一点，点C在O上，且ACCD，ACD120.（1）求证：CD是O的切线，（2）若O的半径为3，求图中阴影部分的面积.14“中秋节”，小明和同学一起到游乐场游玩大型摩天轮摩天轮的半径为20m，匀速转动一周需要12min，小明乘坐最底部的车厢(离地面0.5m)（1）经过2min后小明到达点Q(如图所示)，此时他离地面的高度是多少？（2）在摩天轮转动过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面不低于30.5m的空中？15如图，AB是O的直径，E为O上的一点，ABE的平分线交O于点C，过点C的直线交BA的延长线于点P，交BE的延长线于点D.且PCACBD.（1）求证：PC为O的切
7、线；（2）若PC22BO，PB12，求O的半径及BE的长.16如图，已知AB是O上的点，C是O上的点，点D在AB的延长线上，BCD=BAC（1）求证：CD是O的切线； （2）若D=30，BD=2，求图中阴影部分的面积 答案解析部分1【答案】（1）证明：AB是直径， AEB=90，AEBC，AB=AC，BE=CE，AE=EF，四边形ABFC是平行四边形，AC=AB，四边形ABFC是菱形（2）解：设CD=x连接BD AB是直径，ADB=BDC=90，AB2AD2=CB2CD2，（7+x）272=42x2，解得x=1或8（舍弃）AC=8，BD= 8272 = 15 ，S菱形ABFC=8 15 S半圆
8、= 12 42=8【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定；圆周角定理【解析】【分析】（1） 由直径所对的圆周角是直角可得 AEB=90 ，根据等腰三角形的三线合一可得BE=CE，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得 四边形ABFC是平行四边形， 再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得 四边形ABFC是菱形； （2）连接BD。半圆的面积= 12AB22，菱形ABFC的面积=AC BD，要求面积，只需求得AB、BD、AC的长即可。在直角三角形ABD中，用勾股定理可得关于CD的方程，解方程可求得CD的长，则AC=AD+CD，再用勾股定理可求得BD的长，则半圆和菱形ABFC的面积 可求解
9、。2【答案】（1）解： 连结OA，OB，点O是ABC的内心，AO，BO分别是CAB和ABC的平分线，EAO=OAB，ABO=FBO.EFAB，AOE=OAB，BOF=ABO.EAO=AOE，FBO=BOF.AE=OE，OF=BF，EF=AE+BF. （2）解：由AE=5，BF=3，得EF=AE+BF=5+3=8【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的内切圆与内心【解析】【分析】（1）连结OA，OB，根据三角形内心的性质得出AO，BO分别是CAB和ABC的平分线，由角平分线的定义得出EAO=OAB，ABO=FBO.根据二直线平行，内错角相等得出AOE=OAB，BOF=ABO.根据
10、等量代换得出EAO=AOE，FBO=BOF.根据等角对等边得出AE=OE，OF=BF，从而得出结论；（2）根据（1）的结论得出EF=AE+BF=5+3=8。3【答案】（1）证明： ABCD ， AC=AD ，ADC=AGD ；（2）解：连接 OC ，设 OC=r ，如图所示： BE=2,CD=6 ，CE=3,OE=r2 ，在 RtOEC 中， 32+(r2)2=r2 ，解得 r=134 ，O 的半径为 134 【知识点】勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【解析】【分析】（1）根据垂径定理可得：弧AC=弧AD，再根据同弧所对的圆周角相等可证出；（2）利用勾股定理列出方程求解即可。4【答案
11、】（1）证明：AB为直径，ACB=90，又ABC=30，BAC=60，又OA=OC，AOC是正三角形，又CD是O的切线，OCD=90，DCE=1806090=30，又EDAB于F，DEC=90BAC=30，DCE=DEC，故CDE为等腰三角形（2）证明：在RtABC中，AB=4，AC=AO=2，BC=4222=23 ，而 CE=2(3+1)2=23 ，BC=CE，又OBC=OCB=DCE=DEC=30，OBCDCE（ASA）【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）利用直径对的圆周角为90可求得BAC=60，从而求得ACO=60，再结合切线的性质求得DCE=30，再利用EDAB求得DEC=30
12、，即可利用等腰三角形性质判定CDE为等腰三角形；（2）由（1）可知两组对应角相等，只需证明BC=CE即可，利用勾股定理及所给的线段的长度，即可求得BC与CE的长度即可得证.5【答案】（1）解：连接OD， EF垂直平分BD，EDEB，EDBB，OAOD，AODA，A+B90，ODA+EDB90，ODE90，ODDE，直线DE是O的切线；（2）解：C90，AC3，BC4， AB=5，作OHAD于H，OAOD，AHDH，在RtOAB中，sinA BCAB 45 ，在RtOAH中，sinA OHOA=45 ，OH 45 ，AH 12(45)2 35 ，AD2AH 65 ，BD5 65 195 ，BF
13、12 BD 1910 ，在RtABC中，cosB 45 ，在RtBEF中，cosB BFBE 45 ，BE 54 1910 198 ，DE= BE= 198 【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】 连接OD，由EF垂直平分BD，可得EDEB，即得EDBB，根据等腰三角形的性质及等量代换可求出ODE90，即得ODDE，根据切线的判定定理即证；（2）由勾股定理求出AB=5，作OHAD于H， 由sinA BCAB 45=OHOA，可求出OH 45，从而求出AH= 35，AD2AH 65 ，从而得出BF 12 BD 1910，然后利用B的余弦可求出B
14、E的长，从而得出DE的长.6【答案】（1） 证明：APC和ABC是同弧所对的圆周角，APC=ABC=60。又在ABC中，BAC=60，ABC=60。ACB=180BACABC=1806060=60。ABC是等边三角形。（2）解：连接OB， ABC为等边三角形，O为其外接圆，O为ABC的外心。BO平分ABC。OBD=30.OD=8 12 =4【知识点】等边三角形的判定与性质；含30角的直角三角形；圆周角定理；圆内接正多边形【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 APC=ABC =60， 在ABC中 BAC=60， ABC =60，根据三角形的内角和得出 ACB= 60，根据三个角都相
15、等的三角形是等边三角形得出结论；（2） 连接OB， 根据正三角形与圆的关系得出 O为ABC的中心，故 BO平分ABC所以OBD=30.根据含30直角三角形的边之间的关系即可得出OD的长。7【答案】（1）解：在图1中画出小狗在屋外活动的最大区域如图阴影部分所示，（2）解： 在图2中画出小狗在屋外活动的最大区域如图阴影部分所示，【知识点】圆的认识【解析】【分析】(1)以A为圆心，AD为半径画弧即可。(2)分别以A，D为圆心，AB，AD为半径画弧即可。8【答案】（1）证明：连接 OE ， BE ， EG 是 O 的切线，OEEG ，BFGE ，OE/AB ，ABE=OEB ， A=OECOE=OB=
16、OC ， OEB=CBE ， OEC=CABE=CBE ， A=C又BE=BE （公共边）ABECBE ，AB=BC ；（2）解： BFGE ， BFG=90 ，GF=23 ， BF=2 ，GB=BF2+GF2=22+(23)2=4 ，由（1）可知 BF/OE ，BGFOGE ， BFOE=BGOG ， 2OE=44+OE ，OE=4 ，O 的半径为4.【知识点】圆的综合题【解析】【分析】（1）连接OE，BE，利用切线的性质可证得OEEG，利用已知条件可证得OEAB，可推出ABE=OEB，A=OEC，利用等腰三角形的性质可证得ABE=CBE，A=C，利用AAS，可知ABECBE，利用全等三角形
17、的性质，可证得结论.（2）利用勾股定理求出GB的长，再由BFOE，可证得BGFOGE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出OE的长.9【答案】（1）证明：如图2，在CB上截取CGAB，连接MA，MB，MC和MG M是 ABC 的中点，MAMC在MBA和MGC中 BA=GCA=CMA=MC ，MBAMGC（SAS），MBMG，又MDBC，BDGD，DCGC+GDAB+BD（2）BECE+AC；根据阿基米德折弦定理得，CEBD+DE， BCD的周长为4 +2， BD+CD+BC4 +2， BD+DE+CE+BC2CE+BC4 +2， BC2， CE2 ， 在RtACE中，ACD45， AC CE4
18、【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理【解析】【解答】（2）解：根据阿基米德折弦定理得，BECE+AC，答案为：BECE+AC；【分析】（1）在CB上截取CGAB，连接MA，MB，MC和MG，圆周角定理可证得MA=MC，再利用SAS证明MBAMGC，利用全等三角形的性质可知MB=MG，利用等腰三角形三线合一的性质，可证得BD=CG，继而可证得结论。（2）由阿基米德折弦定理可得出BE、DE、CE之间的数量的关系； 根据阿基米德折弦定理得，CEBD+DE，再由已知BCD的周长和BC的长，就可证得BD+CD+BC=2CE+BC=42+2，从而可求出CE的长，在等腰RtACE中，利用解直角三角形求
19、出AC即可。10【答案】（1）解：AB为O的直径，ACB=90AC=BC，B=CABB=45BOD=120，DCB=12BOD=60BEC=180BDCB=1804560=75（2）解：所求阴影面积=2323【知识点】扇形面积的计算；圆的综合题；几何图形的面积计算-割补法【解析】【解答】(2)DF是O的切线，FDO=90，又DOB=120，FOD=60，OFD=30，AC=22，AB=ACsin45=2222=4，OD=2，FD=23，所求阴影面积=SRTFDOS扇形OAD=122236022360=2323【分析】（1）先求出B=45，再利用圆周角的性质求出DCB=12BOD=60，最后利用
20、三角形的内角和求出BEC=180BDCB=1804560=75即可；（2）利用割补法求出阴影部分的面积即可。11【答案】（1）证明：连接ODOA=OD，OAD=ODAOAD=DAE，ODA=DAEDOMNDEMN，ODE=DEM=90即ODDED在O上，OD为O的半径，DE是O的切线（2）解：AED=90，DE=6，AE=3，AD=DE2+AE2=62+32=35 连接CDAC是O的直径，ADC=AED=90CAD=DAE，ACDADEADAE=ACAD 353=AC35 则AC=15（cm）O的半径是7.5cm【知识点】平行线的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质【解析
21、】【分析】（1）连接OD，先证明DOMN，根据DEMN，证明ODDE可得出DE是O的切线。（2）根据已知易证得ACDADE由相似三角形的性质，得出对应边成比例，建立方程求得AC的长，即可求出结果。12【答案】（1）证明：连接OC，如图： GDAO 于点D，G+GBD=90AB 为直径，ACB=90M 为GE的中点，MC=MG=MEG=1OB=OCB=21+2=90OCM=90OCCMCM 是 O 的切线；（2）解： 1+3+4=90 ， 5+3+4=901=51=G,5=AG=A4=2A4=2GEMC=G+1=2GEMC=4FEC=CEMEFCECMEFCE=CEME=CFCM即 EFCE=C
22、E6=46CE=4,EF=83MF=MEEF=683=103 【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【解析】【分析】 （1）连接OC，利用直角三角形的性质得出G+GBD=90，根据圆周角定理得出ACB=90利用斜边中线的性质得出MC=MG=ME，从而可得G=1，利用同圆半径相等可求出B=2，即得1+2=90，继而得出OCM=90，根据切线的判定定理即证；（2）先证明G=A，再证得EMC=4，EFCECM，可得EFCE=CEME=CFCM，据此求出CE、EF的长，利用MF=ME-EF即可求出结论.13【答案】（1）证明：连接OC.AC=
23、CD，ACD=120，A=D=30.OA=OC，ACO=A=30.OCD=ACD-ACO=90.即OCCD，CD是O的切线（2）解：A=30，COB=2A=60.S扇形BOC=603236032，在RtOCD中，CD=OCtan603 3，SOCD12OCCD1233 3932，SOCDS扇形BOC93232，图中阴影部分的面积为93232.【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1） 连接OC，由AC=CD可得A=D=30，由OA=OC可得ACO=A=30， 从而求出OCD=ACD-ACO=90 ，根据切线的判定定理即证；（2）
24、图中阴影部分的面积 = SOCDS扇形BOC，据此解答即可.14【答案】（1）解：过点Q作QBOA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转 16 周，AOQ= 16 360=60，OB=OQcos60= 12 OQ= 12 20=10，BT=OTOB=10，AB=BT+AT=10.5，此时他离地的高度为10.5m；（2）解：作GDAO，交AO的延长线于点M，由题意知AM=30.5，OM=10，GOD=2DOM=120，此时他离地的高度为10.5+20=30.5m，所以他有123=4分时间在离地面不低于30.5m的空中【知识点】垂径定理；锐角三角函数的定义；
25、特殊角的三角函数值【解析】【分析】（1）过点Q作QBOA，垂足为B，交圆于点C，由题意知，匀速转动一周需要12min，经过2min后转 16 周，根据周角的定义算出AOQ的度数，然后根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由OB=OQcos60，算出OB的长，根据线段的和差，由BT=OTOB，AB=BT+AT算出答案；（2）作GDAO，交AO的延长线于点M，根据圆的对称性可知AM=30.5，OM=10，由垂径定理得出GOD=2DOM=120，由于120是周角的13，从而得出答案。15【答案】（1）证明：连接OC，BC平分ABE，ABC = CBD，OC=OB，ABC = OCB，PCA= CB
26、D，PCA= OCB，AB是直径，ACB = 90，ACO+OCB= 90，PCA+ ACO= 90，PCO = 90，OCPC，OC是半径，PC是OO的切线；（2）解：连接 AE， 设 OB=OC=r，PC=22OB，PC=22r，OP=OC2+PC2=r2+(22r)2=3r，PB=12，4r=12，r=3，由 (1) 可知， OCB=CBD，OC/BD，PCOPDBOCBD=OPPB，D=PCO=90，3BD=912，BD=4，AB 是直径，AEB=90，AEB=D=90，AE/PD，BEBD=BABP，BE4=612，BE=2.【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；平行线
27、分线段成比例；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连接OC，由角平分线概念得ABC = CBD，由等腰三角形性质得ABC = OCB，结合PCA= CBD，得PCA= OCB，根据圆周角定理得ACB = 90，则ACO+OCB= 90，推出PCO = 90，据此证明；（2）连接AE，设OB=OC=r，则PC=22r，OP=3r，结合PB的值可得r的值，由（1）可得OCB=CBD，推出OCBD，证明PCOPDB，根据相似三角形的性质可得BD的值，由圆周角定理可得AEB=90，则AEB=D=90，推出AEPD，然后根据平行线分线段成比例的性质计算即可.16【答案】（1）证明：如图，连接OC
28、， OA=OC，BAC=OCA，BCD=BAC，BCD=OCA，AB是直径，ACB=90，OCA+OCB=BCD+OCB=90OCD=90OC是半径，CD是O的切线（2）解：设O的半径为r， AB=2r，D=30，OCD=90，OD=2r，COB=60r+2=2r，r=2，AOC=120BC=2，由勾股定理可知：AC=2 3 ，易求SAOC= 12 2 3 1= 3S扇形OAC= 1204360=43 ，阴影部分面积为 433 .【知识点】勾股定理；切线的判定；扇形的面积【解析】【分析】（1）连接OC，易证BCD=OCA，由于AB是直径，所以ACB=90，所以OCA+OCB=BCD+OCB=90，CD是O的切线；（2）设O的半径为r，AB=2r，由于D=30，OCD=90，所以可求出r=2，AOC=120，BC=2，由勾股定理可知：AC=2 3 ，分别计算OAC的面积以及扇形OAC的面积即可求出阴影部分面积.学科网（北京）股份有限公司