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1、4.1 随机变量函数的分布随机变量函数的分布问题问题：已知随机变量 X 的概率特性 分布 函数 或密度函数（分布律）Y=g(X)求 随机因变量Y 的概率特性方法方法：将与将与 Y 有关的事件转化成有关的事件转化成 X 的事件的事件第四章第四章 随机变量的函数的分布随机变量的函数的分布1设随机变量 X 的分布律为由已知函数 g(x)可求出随机变量 Y 的所有可能取值，则 Y 的概率分布为离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布2例例1 已知 X 的概率分布为X pk-1 0 1 2求 Y 1=2X 1 与 Y 2=X 2 的分布律解解Y 1pi-3 -1 1 33Y 2pi1 0 1 4
2、Y 2pi0 1 44例例2 已知 X 的概率分布为其中 p+q=1,0 p 0 时，13当a 0 时，故14例如，设 X N(,2),Y=a X+b,则Y N(a+b,a22)特别地，若 X N(,2),则15例例4 X E(2),Y=3X+2,求解解16例例5 已知 X N(0,1),Y=X 2,求 f Y(y)解法一解法一 从分布函数出发yy当y 0 时，17故18解法二解法二 从密度函数出发y即当 y 0 时y1920故21一般地yx1x2x3y=g(x)x xn22特别地，若g(x)为单调函数，则y=g(x)xyx1其中x1=g 1(y)=h(y)23定理定理1定理定理225例例6
3、设求f Y(y)xyx=(1-y)3解解26例例7 设 X 的概率密度函数为求的概率密度函数解解故当 y 0 或 y 1 时yf Y(y)=0 x10y由图可知,Y 的取值范围为(0,1)27yarcsiny-arcsiny1x0当0 y 1 时故28注意注意：连续型随机变量的函数的分布函数 不一定是连续函数例如例如：X U(0,2)令 Y=g(X)xy1FY(y)不是连续函数294.2 二维随机变量函数的分布二维随机变量函数的分布问题：已知二维随机变量(X,Y)的概率特性 g(x,y)为已知的二元函数，Z=g(X,Y)求：Z 的概率特性方法：转化为(X,Y)的事件 30当(X,Y)为离散型随
4、机变量时，Z 也为离散型，离散型二维随机变量的函数离散型二维随机变量的函数31例例1 设二维离散型随机变量(X,Y)的概率分布为X Y pij-1 1 2-1 0求的概率分布32解解 根据(X,Y)的联合概率分布可得如下表格：P X+Y X-Y X Y Y/X(X,Y)(-1,-1)(-1,0)(1,-1)(1,0)(2,-1)(2,0)-2 -1 0 1 1 2 0 -1 2 1 3 2 1 0 -1 0 -2 0 1 0 -1 0 -1/2 033故得PX+Y-2 -1 0 1 2PX-Y-1 0 1 2 334PX Y-2 -1 0 1 PY/X-1 -1/2 0 135q 设设 X B(n1,p),Y B(n2,p),且且 X,Y 相互独立，相互独立，则则 X+Y B(n1+n2,p)关于离散型随机变量的两个重要结论：重要结论：q 设设 X P(1),Y P(2),且且 X,Y 相互独立，相互独立，则则 X+Y P(1+2)36作作 业习题四四 2，3，5，8，1441