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1、概率统计和随机过程课件41目录CONTENTS随机变量函数的分布随机变量的分布函数随机变量的概率密度函数随机变量的期望和方差01CHAPTER随机变量函数的分布03随机变量函数的性质随机变量函数具有一些重要的性质，如线性性质、概率性质和期望性质等。01随机变量函数一个随机变量是一个定义在样本空间上的函数，通常表示为 X()，其中 是样本点。02随机变量函数的定义随机变量函数是指将一个或多个随机变量作为输入，经过某种运算后得到另一个随机变量的函数。随机变量函数的定义概率性质随机变量函数具有概率性质，即对于任意随机变量 X 和非负常数 k，有 kX 的期望等于 kEX。期望性质随机变量函数的期望是
2、该函数在样本空间上的平均值，即对于任意随机变量 X，EX=EX。线性性质随机变量函数具有线性性质，即对于任意常数 a 和 b，以及随机变量 X 和 Y，有 aX+bY 的期望等于 aEX+bEY。随机变量函数的性质二元随机变量函数涉及两个随机变量的函数。一元随机变量函数只涉及一个随机变量的函数。高维随机变量函数涉及多个随机变量的函数。连续型随机变量函数连续型随机变量的函数，如正态分布、泊松分布等。离散型随机变量函数离散型随机变量的函数，如伯努利试验、二项分布等。随机变量函数的分类02CHAPTER随机变量的分布函数分布函数是描述随机变量取值概率的函数，其定义域为全体实数，值域为0,1。对于任意
3、实数x，分布函数F(x)表示随机变量X小于或等于x的概率。分布函数具有非负性、单调递增性和右连续性。010203分布函数的定义分布函数的性质01分布函数的值域为0,1，即0F(x)1。02对于任意实数x1x2，有F(x1)F(x2)，即分布函数是单调递增的。分布函数具有右连续性，即对于任意实数x，lim(xx+)F(x)=F(x)。03010203对于离散型随机变量，分布函数是其概率质量函数的积分。对于连续型随机变量，分布函数是其概率密度函数的积分。对于均匀分布、正态分布、指数分布等常见分布，其分布函数有已知的公式或形式。分布函数的计算03CHAPTER随机变量的概率密度函数概率密度函数描述随
4、机变量取值概率分布的函数，其值表示在某点附近取值的概率。离散型随机变量当随机变量只取有限个或可数个值时，其概率分布由概率质量函数描述。连续型随机变量当随机变量可以取某个区间内任意值时，其概率分布由概率密度函数描述。概率密度函数的定义030201非负性概率密度函数在积分意义 下 总 和 为 1，即f(x)dx=1。归一化有界性概率密度函数在定义域内有界，即存在正数M，使得对于所有x属于定义域，有|f(x)|=0。概率密度函数的性质对于离散型随机变量，概率密度函数可以通过求和或积分计算。离散型随机变量对于连续型随机变量，概率密度函数可以通过微积分计算。连续型随机变量例如正态分布、泊松分布、指数分布
5、等都有已知的概率密度函数形式，可以直接使用。常见分布的概率密度函数概率密度函数的计算04CHAPTER随机变量的期望和方差定义期望是随机变量取值的概率加权和，常用符号E表示。对于离散随机变量，期望定义为$E(X)=sum x_i p(x_i)$；对于连续随机变量，期望定义为$E(X)=int x f(x)dx$。性质期望具有线性性质，即$E(aX+b)=aE(X)+b$；期望具有可交换性，即$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$；期望具有可结合性，即$E(X+(Y+Z)=E(X+Y+Z)$。期望的定义和性质定义方差是随机变量取值与其期望的差的平方的期望，常用符号D表示。对于离散随机变量，方差定义
6、为$D(X)=sum(x_i-E(X)2 p(x_i)$；对于连续随机变量，方差定义为$D(X)=int(x-E(X)2 f(x)dx$。性质方差具有非负性，即$D(X)geq 0$；方差具有齐次性，即$D(aX)=a2D(X)$；方差具有可交换性，即$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$。方差的定义和性质离散随机变量的期望和方差计算对于离散随机变量，可以通过直接计算每个取值的概率加权和来计算期望，通过计算每个取值与期望的差的平方的概率加权和来计算方差。连续随机变量的期望和方差计算对于连续随机变量，可以通过积分计算每个取值的概率加权和来计算期望，通过计算每个取值与期望的差的平方的概率加权和来计算方差。期望和方差的性质在计算中的应用在计算复杂随机变量的期望和方差时，可以利用期望和方差的性质进行简化计算。例如，利用线性性质可以将多个随机变量的和的期望和方差分别简化为单个随机变量的期望和方差的线性组合。期望和方差的计算THANKS感谢您的观看。