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1、1第五章第五章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征2定义定义 若E(X-E(X)2)存在，则称其为随机变量 X 的方差方差,记为D(X)D(X)=E(X-E(X)2)称为X 的均方差均方差.方差的概念方差的概念(X-E(X)2 随机变量X 的取值偏离平均值 的情况,是X的函数,也是随机变量 E(X-E(X)2 随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数 3若 X 为离散型 变量变量.，概率分布为若 X 为连续型，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：4q D(C)=0q D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)q 特别地，若X,Y 相互独立，则 方差的性质方差的性质5若相互独
2、立，为常数则若X,Y 相互独立q 对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立q D(X)=0 P(X=E(X)=1称为X 依概率 1 等于常数E(X)6例例8 将 编号分别为 1 n 的n 个球随机地放入 编号分别为 1 n 的n 只盒子中，每盒一 球.若球的号码与盒子的号码一致，则称 为一个配对.求配对个数 X 的期望与方差.解解则不相互独立，但7P 1 08P 1 0P 1 0910仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布仅知随机变量的期望与方差并不能确定其分布,例如：例如：P-1 0 1 0.1 0.8 0.1P-2 0 20.025 0.95 0.025与它们
3、有相它们有相同的期望、同的期望、方差方差但是分布但是分布却不同却不同11但若已知分布的类型，及期望和方差，常能但若已知分布的类型，及期望和方差，常能确定分布确定分布.例例9 已知 X 服从正态分布,E(X)=1.7,D(X)=3,Y=1 2 X,求 Y 的密度函数.解解 12标准化随机变量标准化随机变量设随机变量 X 的期望E(X)、方差D(X)都存在,且D(X)0,则称为为 X 的标准化随机变量的标准化随机变量.显然，13 5.3 协方差和相关系数协方差和相关系数问题问题 对于二维随机变量(X,Y):已知联合分布边缘分布 这说明对于二维随机变量，除了每个随机变量各自的概率特性以外，相互之间可
4、能还有某种联系.问题是用一个什么样的数去反映这种联系.数反映了随机变量X,Y 之间的某种关系14定义定义 称为X,Y 的协方差协方差.记为称为（X,Y）的协方差矩阵协方差矩阵可以证明协方差矩阵为半正定矩阵协方差和相关系数的定义协方差和相关系数的定义15若D(X)0,D(Y)0,称为X,Y 的 相关系数相关系数，记为事实上，若称 X,Y 不相关不相关.16q 若(X,Y)为离散型，q 若(X,Y)为连续型，协方差和相关系数的计算协方差和相关系数的计算q 17求 cov(X,Y),XY 1 0 p qX P 1 0 p qY P 例例1 已知 X,Y 的联合分布为XYpij 1 010 p 0 0 q0 p 0,D(Y)0 时，等号成立 当且仅当27证证 5:令对任何实数 t,即 Cauchy-Schwarz不等式不等式其中其中28等号成立有两个相等的实零点即又显然29即即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为31相关系数的性质相关系数的性质q q Cauchy-Schwarz不等式的等号成立即Y 与X 有线性关系的概率等于1，这种线性关系为323334q X,Y 不相关X,Y 相互独立X,Y 不相关若 X,Y 服从二维正态分布，X,Y 相互独立X,Y 不相关35作作 业业习题五习题五 20，21，22，24