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1、第五章第五章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征1定义定义1 设 X 为离散型随机变量，其概率分布为若无穷级数绝对收敛，则称其和为随机变量 X 的数学期望数学期望记作记作 E(X)数学期望的定义数学期望的定义随机变量的数学期望随机变量的数学期望2定义2 设 X 为连续型随机变量,其密度函数为若广义积分绝对收敛，则称此积分为随机变量 X 的数学期望数学期望记作记作 E(X)随机变量的数学期望的本质数学期望的本质 加加 权权 平平 均均，它是一个数不再是随机变量3q E(C)=Cq E(aX)=a E(X)q E(X+Y)=E(X)+E(Y)q 当X,Y 相互独立相互独立时，E(X Y)=E(X
2、)E(Y).数学期望的性质数学期望的性质4 市场上对某种产品每年的需求量为X 吨，X U 2000,4000,每出售一吨可赚3万元,售不出去，则每吨需仓库保管费1万元，问 应该生产这中商品多少吨,才能使平均利润 最大？解解设每年生产 y 吨的利润为 Y 显然，2000 y 4000例例856显然，故 y=3500 时，E(Y)最大，E(Y)=8250万元7例例9 假设由自动线加工的某种零件的内径 X(mm)N(,1).已知销售每个零件的利润T(元)与销售零件的内径 X 有如下的关系：问平均直径 为何值时，销售一个零件的平均利润最大？8解：解：9即可以验证，零件的平均利润最大故时销售一个10引例
3、引例 甲、乙两射手各打了10发子弹，每发子弹 击中的环数分别为：甲 10,6,7,10,8,9,9,10,5,10乙 8,7,9,10,9,8,7,9,8,9问哪一个射手的技术较好？解解 首先比较平均环数首先比较平均环数甲=8.4,乙=8.45.2 方差方差有有六六个个不不同同数数据据仅仅有有四四个个不不同同数数据据11再比较稳定程度再比较稳定程度甲：乙：乙比甲技术稳定12进一步比较平均偏离平均值的程度进一步比较平均偏离平均值的程度甲乙13定义定义 若E(X-E(X)2)存在，则称其为随机变量 X 的方差方差,记为D(X)D(X)=E(X-E(X)2)称为X 的均方差均方差.方差的概念方差的概
4、念(X-E(X)2 随机变量X 的取值偏离平均值 的情况,是X的函数,也是随机变量 E(X-E(X)2 随机变量X的取值偏离平均 值的平均偏离程度是一个数。14若 X 为离散型变量，概率分布为若 X 为连续型，概率密度为f(x)常用的计算方差的公式：15证明：证明：16q D(C)=0q D(aX)=a2D(X)D(aX+b)=a2D(X)q 特别地，若X,Y 相互独立，则 方差的性质方差的性质17若相互独立，为常数则若X,Y 相互独立q 对任意常数C,D(X)E(X C)2,当且仅当C=E(X)时等号成立q D(X)=0 P(X=E(X)=1称为X 依概率 1 等于常数E(X)18性质 1
5、的证明：性质 2 的证明：19性质 3 的证明：当 X,Y 相互独立时，注意到，20性质 4 的证明：当C=E(X)时，显然等号成立；当C E(X)时，21例例1 设X P(),求D(X).解解 方差的计算方差的计算22例例2 设X B(n,p)，求D(X).解一解一 仿照上例求D(X).解二解二 引入随机变量相互独立，故23例例3 设 X N(,2),求 D(X)解24常见随机变量的方差常见随机变量的方差分布方差概率分布参数为p 的 0-1分布p(1-p)B(n,p)np(1-p)P()25分布方差概率密度区间(a,b)上的均匀分布E()N(,2)26例例4 已知X,Y 相互独立，且都服从 N(0,0.5),求 E(|X Y|).解解故27例例5 设X 表示独立射击直到击中目标 n 次为止 所需射击的次数，已知每次射击中靶的概 率为 p，求E(X),D(X).令 X i 表示击中目标 i-1 次后到第 i 次击中 目标所需射击的次数，i=1,2,n 相互独立，且计算？计算？解解28常用29故30例例6 设求 E(Y),D(Y).解解3132作作 业业习题五 15，16，1733