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1、学案学案2 坐标系与参数方程坐标系与参数方程名师伴你行名师伴你行填填知学情填填知学情填填知学情填填知学情课内考点突破课内考点突破课内考点突破课内考点突破规规规规 律律律律 探探探探 究究究究考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读考考考考 向向向向 预预预预 测测测测名师伴你行考考考考 纲纲纲纲 解解解解 读读读读 坐标坐标系与系与参数参数方程方程(1)了解坐标系的作用了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况缩变换作用下平面图形的变化情况.(2)了解极坐标的基本概念了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置坐标刻
2、画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互能进行极坐标和直角坐标的互化化.(3)能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方线、过极点或圆心在极点的圆）表示的极坐标方程程.(4)了解参数方程了解参数方程,了解参数的意义了解参数的意义.(5)能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程方程.返回目录返回目录 名师伴你行 坐标系主要以客观题的形式出现坐标系主要以客观题的形式出现,参数方程主要是考参数方程主要是考查应用查应用.考考考考 向向向向 预预预预 测测测测 返回目录返回目录 1.
3、极坐标系的概念极坐标系的概念:在平面上取一个定点在平面上取一个定点O叫做叫做 ;自点自点O引一条射线引一条射线Ox叫做叫做 ;再选定一个长度单位、角度单位再选定一个长度单位、角度单位(通常通常取弧度取弧度)及其正方向及其正方向(通常取逆时针方通常取逆时针方向为正方向向为正方向),这样就建立了一个极坐标系这样就建立了一个极坐标系(如图如图11-2-1).设设M是平面上的任一点，极点是平面上的任一点，极点O与点与点M的距离的距离|OM|叫做点叫做点M的的 ,记为记为;以极轴以极轴Ox为始边为始边,射线射线OM为终边的为终边的xOM叫做点叫做点M的极角的极角,记为记为.有序数对有序数对(,)称为点称
4、为点M的极坐标的极坐标,记作记作 .名师伴你行M(,)极点极点 极轴极轴 极径极径 返回目录返回目录 2.直角坐标与极坐标的互化直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点把直角坐标系的原点作为极点,x轴轴正半轴作为极轴正半轴作为极轴,并在两坐标系中取相并在两坐标系中取相同的长度单位同的长度单位.设设M是平面内的任意一是平面内的任意一点点(如图如图11-2-2),它的直角坐标、极坐标它的直角坐标、极坐标分别为分别为(x,y)和和(,),则则 2=x2+y2 tan=(x0)名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行 3.直线的极坐标方程：若直线过点直线的极坐标方程：若直线过点M(0,0),且
5、极轴且极轴到此直线的角为到此直线的角为,则它的方程为则它的方程为:sin(-)=0sin(0-).几个特殊位置的直线的极坐标方程几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点直线过极点:;(2)直线过点直线过点M(a,0)且垂直于极轴且垂直于极轴:;(3)直线过直线过Mb,2且平行于极轴且平行于极轴:.sin=b =0和和=-0 cos=a 返回目录返回目录 名师伴你行4.圆的极坐标方程圆的极坐标方程:若圆心为若圆心为M(0,0),半径为半径为r的圆方程的圆方程为为:2-20cos(-0)+02-r2=0.几个特殊位置的圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点当圆心位于极
6、点,半径为半径为r:;(2)当圆心位于当圆心位于M(a,0),半径为半径为a:;(3)当圆心位于当圆心位于M(a,),半径为半径为a:.=2asin =r =2acos 返回目录返回目录 名师伴你行5.常见曲线的参数方程的一般形式常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点经过点P0(x0,y0),倾斜角为倾斜角为的直线的参数方程为的直线的参数方程为 (t为参数为参数).设设P是直线上的任一点是直线上的任一点,则则t表示有向线段表示有向线段P0P的数量的数量.(2)圆的参数方程为圆的参数方程为 (为参数为参数).返回目录返回目录(3)圆锥曲线的参数方程圆锥曲线的参数方程 椭圆椭圆 (ab0)的参数
7、方程的参数方程为为 .双曲线双曲线 -(a0,b0)的参数方程的参数方程为为 .抛物线抛物线y2=2px的参数方程为的参数方程为 .x=acosy=bsinx=asecy=btanx=2pt2y=2pt(为参数为参数)(为参数为参数)(t为参数为参数)名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点1 1 极坐标方程极坐标方程极坐标方程极坐标方程 圆心坐标为圆心坐标为(a,0),半径为半径为a的圆的极坐标方程是的圆的极坐标方程是 ,以以(a,)为圆心为圆心,半径为半径为a的圆的极坐标方程是的圆的极坐标方程是 .【分析分析分析分析】考查常见圆的极坐标方程考查常见圆的极坐标方程.名师伴你行返回目录返回
8、目录 【解析解析解析解析】因为圆心为因为圆心为(a,0),所以这个圆以所以这个圆以(0,0)和和(2a,0)的连线为直径的连线为直径,所以这个圆的极坐标方程是所以这个圆的极坐标方程是=2acos;化为直角坐标即为以化为直角坐标即为以(0,a)为圆心为圆心,a为半径为半径的圆的方程为的圆的方程为x2+(y-a)2=a2,即为即为x2+y2=2ay,转化为极坐转化为极坐标方程为标方程为2=2asin,即即=2asin.应熟记常见圆的极坐标方程应熟记常见圆的极坐标方程.名师伴你行返回目录返回目录 2010年高考江苏卷在极坐标系中，已知圆年高考江苏卷在极坐标系中，已知圆=2cos与直线与直线3cos+
9、4sin+a=0相切，求实数相切，求实数a的值的值.【解析】【解析】将极坐标方程化为直角坐标方程将极坐标方程化为直角坐标方程,得圆的方程得圆的方程为为x2+y2=2x,即即(x-1)2+y2=1,直线的方程为直线的方程为3x+4y+a=0.由题设知由题设知,圆心圆心(1,0)到直线的距离为到直线的距离为1,即有即有 解得解得 a=2或或a=-8.故故a的值为的值为-8或或2.名师伴你行返回目录返回目录 考点考点考点考点2 2 曲线与圆锥曲线的参数方程曲线与圆锥曲线的参数方程曲线与圆锥曲线的参数方程曲线与圆锥曲线的参数方程 x=(t+)sin y=(t-)cos(t0).(1)若若t为常数为常数
10、,为参数为参数,方程所表示的曲线是什么方程所表示的曲线是什么?(2)若若为常数为常数,t为参数为参数,方程所表示的曲线是什么方程所表示的曲线是什么?已知参数方程已知参数方程【分析分析分析分析】考查曲线的参数线考查曲线的参数线.名师伴你行返回目录返回目录 【解析解析解析解析】(1)当当t1时时,表示中心表示中心在原点，长轴为在原点，长轴为2 ,短轴为短轴为2 ,焦点在焦点在x轴的椭圆轴的椭圆.当当t=1时，时，y=0,x=2sin-2,2,它表示在它表示在x轴上轴上-2,2的一段线段的一段线段.(2)当当 (kZ),是双曲线是双曲线.当当=k(kZ)时，时，x=0，它表示，它表示y轴轴.当当=k
11、+（kZ）时，）时，y=0,x=()，它表示，它表示x轴上以（轴上以（-2，0）和）和(2,0)为端点的向左和向右的两条射线为端点的向左和向右的两条射线.名师伴你行返回目录返回目录 参数方程化普通方程要注意参数的范围参数方程化普通方程要注意参数的范围.名师伴你行返回目录返回目录 设抛物线的轴与准线设抛物线的轴与准线l交于交于A点点,过点过点A作割线作割线ABC交抛交抛物线于物线于B,C两点两点,又过焦点作割线又过焦点作割线QFR与直线与直线ABC平行平行,且交抛物线于且交抛物线于Q,R两点两点,求证求证:|AB|AC|=|QF|FR|.【证明】【证明】设抛物线方程为设抛物线方程为y2=4px,
12、于是于是A,F的坐标分的坐标分别为别为(-p,0),(p,0).设割线设割线ABC的倾斜角为的倾斜角为,则直线则直线ABC,QFK的方程分别的方程分别为为 x=-p+tcos x=p+tcos y=tsin(t为参数为参数),y=tsin(t为参数为参数).名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行将上式分别代入将上式分别代入y2=4px,整理得整理得t2sin2-4ptcos+4p2=0,t2sin2-4ptcos-4p2=0,由韦达定理得由韦达定理得t1t2=,t1t2=-,|t1t2|=|t1t2|.即即|AB|AC|=|FQ|FR|.返回目录返回目录 考点考点考点考点3 3 直线的参数方程
13、直线的参数方程直线的参数方程直线的参数方程 经过点经过点M(2,1)作椭圆作椭圆x2+4y2=16的弦的弦AB,使得使得|AM|:|MB|=1:2,求弦求弦AB所在的直线方程所在的直线方程.x=2+tcos y=1+tsin,代入代入x2+4y2=16,整理得整理得 (3sin2+1)t2+4(cos+2sin)t-8=0.由韦达定理得由韦达定理得t1+t2=,t1t2=.【解析解析解析解析】设弦设弦AB所在的直线方程为所在的直线方程为 名师伴你行返回目录返回目录 由已知由已知|AM|:|MB|=1:2,即即|t1|:|t2|=1:2.M在已知曲线外在已知曲线外,M外分弦外分弦AB.t1:t2
14、=-,t2=-2t1,t1+t2=-t1,t1t2=-2 =-2(t1+t2)2,=整理得整理得12tan2+16tan+3=0.0,),tan=弦弦AB所在直线方程为所在直线方程为y-1=(x-2).名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行考查直线的参数方程应用考查直线的参数方程应用.返回目录返回目录 已知点已知点P(3,2)平分抛物线平分抛物线y2=4x的一条弦的一条弦,求弦求弦AB的长的长.x=3+tcos y=2+tsin 代入方程代入方程y2=4x,整理得整理得t2sin2+4(sin-cos)t-8=0.点点P(3,2)是弦是弦AB的中点的中点,由参数由参数t的几何意义可知的几何意义
15、可知,方程方程的两个实根的两个实根t1,t2满足关系满足关系t1+t2=0,即即sin-cos=0.0,=.|AB|=|t1-t2|=设设设设弦弦AB所在直线参数方程为所在直线参数方程为(t为参数为参数),名师伴你行返回目录返回目录 1.1.极坐标极坐标极坐标极坐标(,)与与与与(,2k+)(k(,2k+)(kZ)Z)表示同一表示同一表示同一表示同一个点个点个点个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示平面内一个点的极坐标有无数种表示平面内一个点的极坐标有无数种表示平面内一个点的极坐标有无数种表示.2.2.极坐标与直角坐标互化公式极坐标与直角坐标互化公式极坐标与直角坐标互化公式极坐标与直角坐标互化
16、公式:x=:x=coscos,y=y=sinsin成立的条件是直角坐标的原点为极点成立的条件是直角坐标的原点为极点成立的条件是直角坐标的原点为极点成立的条件是直角坐标的原点为极点,x,x轴的正轴的正轴的正轴的正半轴作为极轴半轴作为极轴半轴作为极轴半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位并在两种坐标系中取相同的长度单位并在两种坐标系中取相同的长度单位并在两种坐标系中取相同的长度单位.3.3.在参数方程与普通方程的互化中在参数方程与普通方程的互化中在参数方程与普通方程的互化中在参数方程与普通方程的互化中,必须使必须使必须使必须使x,yx,y的取的取的取的取值范围保持一致值范围保持一致值范围保持一致值范围保持一致.名师伴你行返回目录返回目录 名师伴你行