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1、学习必备 欢迎下载 坐标系与参数方程教案 一、高考考试大纲说明的具体要求：1坐标系：理解坐标系的作用.了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.2参数方程：了解参数方程，了解参数的意义.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.二、基础知识梳理：1伸缩变换：设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换)0(,)0(,:y yx x 的作用下，点 P(x,y)对应到点)y,x(P，称为平面直角坐标系中的 坐标伸缩变化，简称 伸
2、缩变化。1.(由 x y x y 2 sin sin；)“保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来的21”，设),(y x P 是平面直角坐标系中任意一点，保持纵坐标 y 不变，将横坐标 x 缩为原来的21，得到),(y x p，那么y yx x21 思考：（由 x y x y21sin sin)2.（由 x y x y sin 3 sin）“保持横坐标 x 不变，将纵坐标 y 伸长为原来的 3倍.”设),(y x p 是平面直角坐标系中的任意一点，保持横坐标 x 不变，将纵坐标 y 伸长为原来的 3倍，得到点),(y x p，那么y yx x3 3.（x y x y 2 sin 3 si
3、n）设平面直角坐标系中任意一点),(y x p 经过上述变换后变为),(y x p，那么y yx x321 基础练习：学习必备 欢迎下载 1.在同一平面坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 y yx x2131 后的图形（1）14 92 2 x x；（2）112 182 2 y x；（3）x y 22.2.在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换y yx x3后，曲线 C 变为曲线9 92 2 y x，求曲线 C 的方程并画出图像.3.在同一平面直角坐标系中，求满足下列图像变换的伸缩变换：（1）直线2 2 y x变成直线4 2 y x；（2）曲线0 22 2 x y x变成曲线0 4 16
4、 2 2 x y x 伸缩变化高考题：角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换
5、求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载 1.(2011 年高考湖北卷理科 14)如图，直角坐标系xOy 所在的平面为，直角坐标系 x oy Oy(其中 y轴与 y 轴重合)所在平面为，45 xox()已知平面内有一点(2 2,2)P，则点 P在平面 内的射影 P 的坐标为；()已知平面 内的曲线 C的方程是 2 2(2)2 2 0 x y，则曲线 C在平面 内的射影 C 的方程是.答案：（2，2）2 2(1)1 x y 2.(2011 年高考全国新课标卷理科 23)（本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线1C的参数方程为 sin 2
6、 2cos 2yx，(为参数)M是曲线1C上的动点，点 P 满足OM OP 2，（1）求点 P 的轨迹方程2C；（2）在以 D为极点，X轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 与曲线1C，2C交于不同于原点的点 A,B 求AB 2.极坐标 系的概念：在平面内取一个定点，叫做 极点；自极点引一条射线叫做 极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变
7、换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载 样就建立了一个 极坐标。3点 M的极坐标：设 M是平面内一点，极点与点 M的距离 OM 叫做点 M的 极径，记为；以极轴 x 为始边，射线 OM 为终边的 XOM 叫做点 M的 极角
8、，记为。有序数对),(叫做 极坐标，记为),(M.极坐标),(与)2,(k 表示同一个点。极点 O 的坐标为),0(.4.若 0,则 0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(表示同一点。如果规定 2 0,0，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。5直角坐标与极坐标的互化 以直角坐标系的 O为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点 P 的直角坐标极坐标分别为（x，y）和(,)，则 x cos 2 2 2y x y sin tan xy（直线、圆的直角坐标方程与极坐标方程的互化）将下列极坐标方程
9、化为普通方程：（1）)0(4（2）)0(3（3）34)0(（4）)(4R（5）1（6）2（7）1 cos（8）2 sin（9）0 1 sin cos（10）0 2)sin(cos（11）cos 2（12）cos 2（13）sin 2（14）sin 2（15）cos 4 sin 2 基础练习：1 在极坐标系中，已知两点)3,3(A，)32,1(B，求 A，B 两点间的距离.角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角
10、坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载 2.已知点的极坐标分别为)4,3(，)32,2(，)2,4(，),23(，求它们的直角坐标.3.已知点的直角坐标分别为)3,3(，)3 2,2(，求它们的极坐标.4.说明下列极坐标方程表示什么曲线
11、，并画图（1）5；（2）65)(R（3）65（4）sin 2 5.在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是3的直线；（2）过点)3,2(，并且和极轴垂直的直线；（3）圆心在)4,1(A，半径为 1 的圆；（4）圆心在)23,(a，半径为a的圆.6.把下列直角坐标方程化成极坐标方程：（1）4 x；（2）0 2 y；（3）0 1 3 2 y x；（4）162 2 y x 7.把下列极坐标方程化成直角坐标方程：（1）2 sin；（2）0 4)sin 5 cos 2(；（3）cos 10；（4）sin 4 cos 2.8.已知直线的极坐标方程为22)4sin(，求点)
12、47,2(A到这条直线的距离.极坐标高考题 1(2011 年高考上海卷理科 5)在极坐标系中，直线(2cos sin)2 与直线cos 1 的夹角大小为。角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基
13、础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载【答案】2 5arccos5 2（2010 年高考北京卷理科 5）极坐标方程（p-1）（）=（p0）表示的图形是（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线【答案】C 3.(2011 年高考安徽卷理科 3)在极坐标系中，圆2sin 的圆心的极坐标是 B A.(1,)2 B.(1,)2 C.(1,0)D.(1,)4.(2011 年高考安徽卷理科 5)在极坐标系中，点(,)到圆2cos 的圆
14、心的距离为 D（A）2(B)249(C)219（D)3 5.（2011 年高考江西理科 15）（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为 cos 4 sin 2，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的 直角坐标系方程为 0 2 42 2 y x y x 6（2010 年高考广东卷理科 15）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（，）（0 2）中，曲线=2sin 与cos 1 p 的交点的极坐标为 _【答案】3(2,)4 7（2010 年高考江苏卷试题 21）选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在极坐标系中，已知圆=2cos 与直线 3 cos+4 sin
15、+a=0 相切，求实数 a 的值。（2 a，或8 a）6 参数方程 的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x,y 都是某个变数 t的函数),t(g y),t(f x 并且对于 t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点 M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的 参数方程，联系变数 x,y 的变数 t 叫做参变数，简称 参数。相对于参数方程而 角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角
16、坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载 言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 普通方程。7、参数方程与普通方程的互化（1）参数方程化为普通方程 常见参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：cossinx ay b（为参数）；00
17、(x x atty y bt 为参数）（3）2sincosxy0,2)（4）1()21()2ax ttby tt（t 为参数）（5）cossinx a ry b r（为参数）（参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！如：5 cos(0)sinxy）（2）普通方程化为参数方程（1）圆2 2 2r y x 的参数方程 sincosr yr x（为参数）（2）圆2 2 2r)b y()a x(的参数方程可表示为 sincosr b yr a x（为参数）（3）椭圆1byax2222(ab0)的参数方程可表示为sincosb ya x（为参数）（4）双曲线 12222
18、byax的参数方程tansecb ya x（为参数）（5）抛物线 2px y2 的参数方程可表示为pt ypt x222（为参数）（6）经过点)y,x(Mo o O，倾斜角为 的直线 l 的参数方程可表示为.tsin y y,tcos x xoo（t 为参数）。在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化中，必须使 x,y 的取值范围保持一致.（3）写出下列参数方程的一般方程：（1）t yt x1（t 为参数）（2）t yt x3 21（t 为参数）角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标
19、系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载（3）sincos 1t yt x（t 为参数）（4）sincosyx（为参数）（5
20、）sin 3cos 5yx（为参数）（6）sincos 5yx（0）（7）sin 3 1cos 3 2yx（为参数）（8）tan 3sec 2yx（为参数）（9）)(452R tt yt x（10）t yt x16162（t 为参数）（11）t yt x2 11（t 为参数）（12）2 sin 1cos sinyx（为参数）参数方程高考题 1(2011 年高考天津卷理科 11)已知抛物线C的参数方程为28,8.x ty t（t为参数），若斜率 为 1 的直线经过抛物线 C 的焦点，且与圆)0()4(2 2 2 r r y x相切，则 r 角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用
21、极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载（2）2.(2011 年高考
22、广东卷理科 14)（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5 cos(0)sinxy 和25()4x tt Ry t，它们的交点坐标为.).552,1(3.(2011 年高考江苏卷 21)选修 4-4：坐标系与参数方程（本小题满分 10 分）在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆5cos3sinxy（为参数）的右焦点且与直线4 23x ty t（t为参数）平行的直线的普通方程。（1(4),2 4 02y x x y 即）4（2010 年高考安徽卷理科 7）设曲线C的参数方程为2 3cos1 3sinxy（为参数），直线l的方程为3 2 0 x y，则曲线C上到直线l距离为7 1010的点
23、的个数为 B A、1 B、2 C、3 D、4 5.(2010 年高考天津卷理科 13)已知圆 C 的圆心是直线 t yt x1（t为参数）与x轴的交点，且圆 C 与直线0 3 y x相切。则圆 C 的方程为。【答案】2 2(1)2 x y 6.(2010 年全国高考宁夏卷 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 已知直线 C1x 1 t cossin y t（t 为参数），C2x cossin y（为参数），（）当=3时，求 C1与 C2的交点坐标；（）过坐标原点 O做 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA中点，当变化时，求 P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线。角
24、坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同
25、一平面直学习必备 欢迎下载 极坐标与参数方程综合高考题 1.极坐标方程 cos 和参数方程 t yt x3 21（t 为参数）所表示的图形分别是（）A圆、直线 B.直线、圆 C.圆、圆 D.直线、直线 3（2010 年高考陕西卷理科 15）(坐标系与参数方程选做题)已知圆C的参数方程 sin 1cosyx(为参数)，以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为1 sin,则直线l与圆C的交点的直角坐标为_ _.【答案】1,1,1,1 4（2010 年高考福建卷理科 21）（本小题满分 7 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中，直线l的参数方程为23,
26、2252x ty t（t 为参数）。在极坐标系（与直角坐标系 xoy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为2 5 sin。（）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线l交于点 A、B，若点 P 的坐标为(3,5)，求|PA|+|PB|。5（2010 年高考辽宁卷理科 23）（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程（为参数，0）上的点，点 A 的坐标为（1,0），已知 P 为半圆 C：O 为坐标原点，点 M 在射线 OP 上，线段 OM 与 C 的弧 的长度均为3。（I）以 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点 M 的
27、极坐标；（II）求直线 AM 的参数方程。角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩
28、变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载 4.(2011 年高考湖南卷理科 9)在直角坐标系xoy中，曲线 C1的参数方程为cos,1 sinxy（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点 O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为 cos sin 1 0，则1C与2C的交点个数为。答案：2 5.(2011 年高考陕西卷理科 15)（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点 A，B 分别在曲线13 cos:4 sinxCy(为参数）和曲线2:1 C 上，则AB的最小值为【答案】
29、3 2.(2011 年高考辽宁卷理科 23)（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系统与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的参数方程为cos,sin,xy（为参数）曲线 C2的参数方程为cos,sin,x ay b（0 a b，为参数）在以 O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 l：=与 C1，C2各有一个交点.当=0 时，这两个交点间的距离为 2，当=2时，这两个交点重合.（I）分别说明 C1，C2是什么曲线，并求出 a 与 b 的值；角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图
30、形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直学习必备 欢迎下载(II)设当=4时，l 与 C1，C2的交点分别为 A1，B1,当=-4时，l 与 C1，C2的交
31、点为 A2，B2，求四边形 A1A2B2B1的面积.角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况能在极坐标系中用极坐标表示点的位置能进行极坐标和直角坐标的互化能在极坐标系中给出简单图形如过极点的直线过极点或圆心在极点的圆的方程参数方程了解参数方程了解参数的意 一点在变换称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变化简称的作用下点对应到点伸缩变化由保持纵坐标不变将横坐标缩为来的设是平面直角坐标系中任意一点那么保持纵坐标不变将横坐标缩为来的得到思考由由保持横坐标不变将纵坐标 角坐标系中任意一点经过上述变换后变为基础练习在同一平面坐标系中求下列方程所对应的图形经过伸缩变换学习必备欢迎下载后的图形在同一平面直角坐标系中经过伸缩变换求曲线的方程并画出图像后曲线变为曲线在同一平面直