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1、第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学23离散型随机离散型随机变变量的均量的均值值与方差与方差 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学23.1离散型随机离散型随机变变量的均量的均值值 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学1通过实例，理解离散型随机变量均值(数学期望)的概念，能计算简单离散型随机变量的均值，并能解决一些实际问题2掌握二点分布、二项分布的均值，体会二项分布数学期望的证明方法3通过本节学
2、习，体会离散型随机变量的均值在实际生活中的意义和应用，提高数学应用意识，激发学习兴趣第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学本节重点：离散型随机变量的均值概念及计算本节难点：求离散型随机变量的均值第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修
3、选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学1定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为则称E(X)为随机变量X的均值或Xx1x2xixnPp1p2pipnx1p1x2p2xipixnpn数学期望第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学2离散型随机变量的数学期望反映了离散型随机变量取值的水平3若a，b为常数，X为离散型随机变量，则aXb也是，并且E(aXb)，特别地，E(c)(c是常数)4若离散型随机变量X服从两点分布，则
4、E(X).5若X服从二项分布，即若X ，则E(X).平均离散型随机变量aE(X)bcpB(n，p)np第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学分析首先确定随机变量X所有可能的取值，X可取0,1,2，然后分别求出它们对应的概率，再利用求期望的公式计算第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学点评解此类题的一般步骤是：明确随机变量的取值，以及取每个值的试验结果；求出随机变
5、量取各个值的概率；列出分布列；利用期望公式进行计算第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学随机抛掷一枚骰子，求所得骰子点数X的均值分析每点出现的概率都是解析P(Xi)1/6，i1、2、6，E(X)11/621/661/63.5.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学例2已知随机变量X的分布列为求：(1)E(X)；(2)若Y5X4，求E(Y)X024P0.4m0.3第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学分析由题目可获取以下主要信息：已知随机变量X的分布列求E(X)解答本题可先求出
6、参数m的值，再直接利用期望公式及性质求解第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析(1)由随机变量分布列的性质，得 0.4m0.31.m0.3，E(X)00.420.340.31.8.(2)方法一：Y5X4，随机变量Y的分布列为：Y41424P0.40.30.3第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学E(Y)40.4140.3240.31.64.27.213.方法二：Y5X4，E(Y)E(5X4)5E(X)451.8413.点评(1)求期望关键是求分布列，然后直接套用期望公式；(2)对于aXb型的随机变量，利用期望的
7、性质E(aXb)aE(X)b求解较简捷第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学分析利用离散型随机变量的均值概念与性质解题 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学例3设一位足球运动员，在有人防守的情况下，射门命中的概率为p0.3，求他一次射门时命中次数X的期望分析首先写出X的分布列，由于射门一次可能命中或不命中，故服从两点分布解析X的分布列为P(X0)0.7，P(X1)0.3，因此，E(X)00.710.30.3(或直接用结论)第二章第二章
8、随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学点评对于这类应用问题，求期望的一般步骤是：首先写出随机变量所有可能的取值，然后求出随机变量取每个值时对应事件的概率，列出分布列，最后利用期望的定义计算求解.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学例4某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题，竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响(1)求这名同学回答这三个问题的总得分X的概率分布和均值；(2)求这名同学总得分不为负分(即X0)的概率第二章第二章 随机变
9、量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学分析(1)求X的可能取值，即是求得分，答对0道题得300分，答对1道题得100200100分，答对两道题得2100100100分，答对3道题得300分；(2)总分不为负分包括：总分为100分和总分为300分两种情况第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析(1)X的可能取值为300、100、100、300.P(X300)0.230.008，P(X100)30.220.80.096，P(X100)30.20.820.384，P(X300)0.830.512.所以X的概率分布为X30010010030
10、0P0.0080.0960.3840.512第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学E(X)(300)0.008(100)0.0961000.3843000.512180.(2)这名同学总得分不为负分的概率为P(X0)0.3840.5120.896.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学(2010四川理，17)某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为 .甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料(1)求甲中奖且乙、丙没有中奖的概率；(2)求中
11、奖人数的分布列及数学期望E.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析甲、乙、丙中奖与否是等可能事件，而甲中奖与乙，丙未中奖是相互独立的中奖人数可为0,1,2,3且相互独立，由独立事件至少有一个发生的概率计算即可解：(1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A、B、C，那么第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学点评本题主要考查相互独立事件，随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查了运用所学知识解决问题的能力.第二章第二章 随机变量及其分布
12、随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学例5某公司有客户3000人，若公司准备了100份小礼品，邀请客户在指定时间来领取，假设收到邀请的任一客户去领奖的概率为4%.问：公司能否向每一位顾客都发出领奖邀请？若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖人都得到礼品，公司至少应准备多少份礼品？分析解本题关键是判断出随机变量X服从二项分布，可直接用二项分布的均值公式求解第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析设公司向每一位顾客发出领奖邀请后来领奖的人数为X，则P(Xk)C (0.04)k(10.04)3000k(k0,1,2，3000)，可见XB(3
13、000,0.04)，所以，EX30000.04120(人)100(人)所以不能向每一位顾客都发出领奖邀请若向每一位顾客都发出领奖邀请，且能使每一位领奖人都得到奖品，公司至少应准备120份礼品第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学点评解此类题首先判断随机变量X是否服从特殊分布(两点分布和二项分布)，如果是，代入相应的公式求期望值；如果不是，则先列出X的分布列，再代入期望公式求解第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件A发生，该公司要赔偿a元，设在一年内A发生的概率为p，为使
14、公司收益的期望值等于a的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析设保险公司要求顾客交x元保险金，若以X表示公司每年的收益额，则X的概率分布列如下表：因为公司每年收益X的期望值EXx(1p)(xa)pxap，要使公司收益的期望值等于a的百分之十，只需EX0.1a，即xap0.1a，x(0.1p)a，所以当顾客交的保险金为(0.1p)a元时，可使公司收益的期望值为a的百分之十XxxaP1pp第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学点拨当今的社会，经济繁荣、储蓄、保险、股票、证券等经
15、济活动繁多，其实每一个经济现象都蕴含了丰富的数学知识，例如数学期望就有广泛的应用，能直接算出经营者的赚与赔第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学例6如下图形状的三个游戏盘中(圆形游戏盘的两个同心圆的半径之比是1：2)，各有一个玻璃小球，依次摇动三个游戏盘后，将它们水平放置，就完成了一局游戏第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学(1)一局游戏后，这三个盘中的小球都停在阴影部分的概率是多少？(2)一局游戏后，用X表示小球停在阴影部分的次数与小
16、球没有停在阴影部分的次数之差的绝对值，求X的分布列及数学期望分析由题目可获取以下主要信息：三个游戏盘的形状；完成一局游戏的规则解答本题可先根据题意确定概率模型及X的所有可能取值，再按要求分别求解第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学点评解答此类综合题的关键是充分结合以前所学的有关概率的模型古典概型、几何概型等，把握各种模型的特征，把概率与统计有机融合在一起，使知识在大脑中形成纵向和横向的联系，达到知识
17、上的理论升华第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学(2010淄博)随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：万元)为X.(1)求X的分布列；(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；(3)经技术革新后，仍有第四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选
18、修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学(2)E(X)60.6320.2510.1(2)0.024.34.(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为E(x)60.72(10.70.01x)x(2)0.014.76x(0 x0.29)，依题意，E(x)4.73，即4.76x4.73，解得x0.03.所以三等品率最多为3%.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学一、选择题1随机变量X的分布列如下表，则E(
19、5X4)等于()A.16 B11 C2.2 D2.3答案A解析根据题意，由已知表格可求E(X)00.320.240.52.4，故E(5X4)5E(X)452.4416，故答案选A.X024P0.30.20.5第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学答案D 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学3节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.6元处理根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量X(束)的分
20、布列如下表若进这种鲜花500束，则期望利润是()A.706元 B690元 C754元 D720元答案AX200300400500P0.200.350.300.15第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析本题考查数学期望的概念，节日期间这种鲜花需求量的数学期望E(X)2000.203000.354000.305000.154010512075340(束)，则利润Y5X1.6(500X)5002.53.4X450，所以E(Y)3.4E(X)4503.4340450706(元)故期望利润为706元应选A.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修
21、选修2-3)人教A版数学二、填空题4由于电脑故障，使得随机变量X的概率分布列中部分数据丢失(以代替)，其表如下表请你先将丢失的数据补充，再求随机变量的数学期望，其期望值为_.X123456P0.200.100.5 0.100.150.20第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学答案3.5解析本题考查随机变量的概率，数学期望由题知，它们的概率的和为1，可以得到应填的数为2，然后根据 数 学 期 望 E(X)10.20 20.10 30.25 40.1050.1560.203.5.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学5
22、设离散型随机变量X可能取的值为1,2,3,4.P(Xk)akb(k1,2,3,4)又X的数学期望E(X)3，则ab_.第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学解析由题意可得随机变量X的分布列如下表.由分布列的性质得(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1，又E(X)3，所以1(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3.联立两式解得a ，b0，X1234Pab2ab3ab4ab第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学三、解答题6袋中有4只红球、3只黑球，今从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的数学期望第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布 (选修选修2-3)人教A版数学